Innovations, Scrabble et logarithmes

La Reine, le Fou et l'Arbre (3)
Rappel des épisodes précédents (ici): les innovations technologiques et les ramifications du vivant présentent d’étranges similitudes. Les délais entre deux évolutions majeures sont de plus en plus courts et semblent suivre une progression logarithmique. Quelle que soit la manière dont on représente de telles évolutions -graphe, arbre ou autre- la forme obtenue est toujours la même, quelque soit l'échelle choisie. Ce sont donc des fractales! De quoi combler les amateurs de Da Vinci Code... Certes, ce n’est pas un scoop de dire que l’histoire du progrès technique s’accélère à mesure que le temps passe, mais c’est plus surprenant de faire le même constat pour les chronologies du vivant:

Source : Chaline, Nottale et Grou (ici)

Je viens de trouver une explication plus simple à ce phénomène que celle des lapins-sauteurs de mon précédent billet, en lisant un excellent bouquin de Jared Diamond dont je vous reparlerai dans un prochain billet.

L'imprimerie, inventée il y a 3700 ans...
La réflexion de Diamond prend comme point de départ la découverte d’un disque d’argile, à Phaïstos en Crète, daté de 1700 av. JC (la photo vient de Wikipedia). Ce disque est recouvert de plus de deux cents hiéroglyphes (dont 45 différents) imprimés à l’aide de poinçons. Ces poinçons en relief sont si minutieusement conçus qu’on suppose qu’ils ont servi plusieurs fois. On serait donc en présence de la première inscription réalisée avec des caractères mobiles et réutilisables. Un vrai travail d’impression, 2500 ans avant l’invention de l’imprimerie en Chine et 3000 ans avant celle de l’Europe! Cette trouvaille est une énigme : pourquoi a-t-il fallu attendre autant de temps pour que cette invention soit enfin exploitée par d’autres peuples ?

La réponse de Diamond est finalement assez évidente : aucune innovation, aussi géniale soit-elle, ne peut se diffuser si elle ne se s’articule pas avec les technologies existantes. Il n’y avait en Crète ni encre, ni papier, ni presse, ni métal, ni écriture alphabétique pour que cette invention « prenne ». Et comme seuls quelques scribes jaloux de leur pouvoir savaient à l’époque lire et écrire, il n’y avait pas besoin de diffuser massivement de l’information. L’imprimera attendra donc que tous les ingrédients soient réunis dans l’Europe de Gutenberg pour trouver son essor en 1455 et modifier considérablement le cours de l’histoire occidentale.

Derrière chaque invention, une armée de précurseurs méconnus 
A l’appui de cette règle, il suffit de constater que les grandes découvertes sont rarement le fruit d’un seul homme. La plupart des inventeurs ont surtout peaufiné et adapté des trouvailles que des précurseurs avaient imaginées avant eux. La première machine à vapeur date non pas de James Watt, son inventeur officiel, mais de Héron d’Alexandrie et son étonnante Eolipyle!
Thomas Edison a breveté la version moderne de l’ampoule électrique et Samuel Morse celle du télégraphe électrique mais dans les deux cas, leurs inventions ont été précédées de nombreux procédés similaires ou concurrents (voir par exemple cette histoire de l’éclairage et celle du télégraphe). Bien entendu il n’est pas question de nier l’apport de ces grands inventeurs, mais il faut bien admettre que leur succès tient surtout au fait que leur société était mûre pour exploiter leurs innovations. Les vrais génies qui, comme ce proto-imprimeur de Phaïstos, ont des idées vraiment en avance sur leur époque sont très probablement voués à l’oubli. Si Léonard de Vinci n’avait pas été célèbre pour ses peintures, qui saurait qu’il avait imaginé l’ancêtre de l’hélicoptère?

Une innovation ne réussit donc que lorsqu’elle coïncide avec un bon contexte technologique, prêt à la faire fructifier. Un peu comme un nouveau réactif chimique, qui ne produit d'effet intéressant que lorsqu’il est incorporé aux bons ingrédients.


L'innovation: une affaire de combinatoire?
Innover serait donc l'art de combiner astucieusement des idées ou des technologies. D'ailleurs, la créativité n'est-elle pas précisément la capacité d'associer deux concepts qui n'ont pas l'habitude de l'être? Cette relation intime entre innovations et combinaisons pourrait expliquer le caractère cumulatif du progrès technique, dont les effets se multiplient plutôt qu’ils ne s’additionnent. Plus on a d’ingrédients à sa disposition, plus on a de chances de trouver le mélange adapté à un nouveau réactif. Plus une société a accumulé de technologies, plus elle a les moyens de tirer parti d’une innovation. Le progrès technique progresse donc en cascade, une innovation en amenant une autre dans des délais de plus en plus courts.

[Pour les sceptiques uniquement, essayons de modéliser ça. Supposons que l’on dispose de n technologies et que le champ des innovations soit proportionnel au nombre de combinaisons possibles entre ces technologies. Il y a alors 2ⁿ combinaisons possibles (voir la démonstration ici). Une technologie supplémentaire double le nombre de combinaisons donc le champ des innovations].

L’invention de l’internet par exemple, n’a pris son ampleur qu’avec l’avènement de l’ordinateur individuel et la démocratisation du haut-débit. A son tour, l’internet a permis l’invention de nouvelles formes de divertissement, de commerce, de communications, de moyens de paiement qui elles-mêmes ont induit d’autres innovations etc.

Le Scrabble du vivant
Il y a sans doute quelque chose du même genre dans le grand Lego du vivant. Lorsqu’une innovation anatomique réussit (un nouveau plan d’organisation au Cambrien par exemple), elle ouvre la voie à une floraison de recombinaisons qui chacune amène de nouvelles espèces.
Il y a pourtant une différence de taille avec le progrès technologique: au bout d’un certain temps, variable selon les familles ou les espèces, le rythme des innovations secondaires ralentit de plus en plus et puis s’arrête. Certaines espèces comme le Coelacanthe (source: cliff1066™) n’évolue plus de façon visible depuis des centaines de millions d’années. Que se passe-t-il ? Je livre à vos commentaires une élucubration Xochipillesque : 
Contrairement au progrès technologique qui ne connaît comme limite que celles que lui impose notre culture, l’évolution du vivant, est, elle, soumise à de nombreuses limites physiques: en termes de taille, de poids et de proportion par exemple, mais il y en a beaucoup d’autres. Il se passe donc à mon avis la même chose qu’au Scrabble: 

Au départ, les combinaisons disponibles sont très peu nombreuses, puis chaque mot posé augmente le champ des possibles. Mais comme le plateau de jeu n’est pas infini, le jeu « se referme » peu à peu et les occasions de faire des combinaisons fulgurantes se raréfient. Parfois même, certains mots mal placés «ferment le jeu» et réduisent brutalement les possibilités de jouer. Il arrive un moment où plus personne ne peut jouer, même s’il reste des lettres dans la pioche. De la même manière, on peut imaginer qu’une grande innovation anatomique démultiplie tout d’abord les possibilités d’évolutions d’une branche, puis que celles-ci se raréfient progressivement à mesure que toutes ses dérivées anatomiques viables aient été explorées. Le coelacanthe est pour ainsi dire le super "mot-compte-triple" collé en bas à droite du plateau...

Des Scrabbles partout...
L’innovation culturelle serait-elle plutôt Scrabble ou plutôt Légo? Paradoxalement, il me semble qu’elle est plutôt Scrabble, en raison des contraintes culturelles qui délimitent le plateau de jeu. Le jazz par exemple, a ouvert la voie à de nombreuses écoles qui se sont multipliées jusqu’à ce qu’on ait progressivement exploré toutes les combinaisons culturellement intéressantes. Sans doute faudra-t-il attendre un ingrédient supplémentaire (technologique ou culturel) pour que foisonnent (peut-être?) de nouveaux styles.
 

Source: article d'Ivan Brissaud (ici)

Si mon hypothèse tient la route, il n'est pas très étonnant de trouver autant de phénomènes humains, physiques ou biologiques obéissant à des lois log-périodiques: on en obtient chaque fois qu'une dynamique combinatoire est à l'oeuvre et que son développement est entravé par une contrainte. Cette "invariance d'échelle" omniprésente dans la nature est bien sûr fascinante et l'on peut être tenté d'y rechercher LA règle universelle de l'ordre naturel comme le font certains chercheurs. C'est à mon avis faire beaucoup d'honneur à l'analyse combinatoire. Je reste en revanche toujours impressionné par la beauté du résultat, obtenu à partir de règles aussi élémentaires que celles du Scrabble.

Sources:
De l’inégalité parmi les sociétés de Jared Diamond

Billets connexes:
Innovation et évolution: une histoire de lapins-sauteurs?
La Reine, le Fou et l'Arbre

Les certitudes de l'incertitude

Avez-vous remarqué la connotation négative de tous les termes qui ont trait au hasard? "L'aléa" est synonyme de mauvaise surprise, comme le "risque" d'ailleurs. "Hazardous" signifie dangereux en anglais et en français tout ce qui est "hasardeux" n'a pas franchement la cote non plus. Il faut croire qu'on n'est pas très à l'aise avec l'incertitude en général. Mais comme il faut bien faire avec, on tente de domestiquer les phénomènes aléatoires en les réduisant à leur moyenne, agrémentée de leur "écart-type" si on veut faire pro (qui indique la dispersion typique des mesures autour de la moyenne). Et l'on se représente mentalement la série des valeurs aléatoires gentiment dispersée autour de la moyenne et de plus en plus rares à mesure qu'on s'en éloigne. Cette distribution dite "normale" (les mots ne sont pas neutres) est la fameuse courbe en cloche de Gauss, extraordinairement pratique, mais qui nous induit souvent en erreur comme on va le voir...

Tapons-nous la cloche
La fréquence des tailles au sein d'une population adulte donne une bonne idée de l'allure d'une telle distribution:

Dans ce type de distribution règne la tyrannie de la moyenne:
- l'immense majorité de l'échantillon se concentre autour de la moyenne, à la pointe de la cloche: 68% des valeurs sont à moins d'un écart-type de la moyenne (entre 1m75 et 1m90 dans notre exemple);
- la proportion des valeurs extrêmes diminue exponentiellement quand on s'éloigne de la moyenne: il y a une chance sur un milliard de tomber sur un géant de plus de 2m30.
Les extrêmes sont donc à la fois modérés, rares et de peu d'influence. La loi des grands nombres prédit que la moyenne mesurée à partir de n'importe quel (grand) échantillon donne une très bonne approximation de la moyenne théorique, car aucun individu de l'échantillon n'aura un poids suffisant pour biaiser significativement la mesure. Dans ce Médiocristan comme l'appelle Nassim Nicholas Taleb [1] figure la statistique de l'âge d'une population, du nombre de côtés "pile" quand on lance une pièce de monnaie, du nombre de personnes par foyer, etc.

Pareto: voyage dans le royaume de l'Ekstremistan
En étudiant la répartition des richesses de la population italienne à la fin du XIXeme siècle, Vilfredo Pareto découvrit une tout autre distribution aléatoire, où 20% de la population gagne 80% des revenus d'un pays. Depuis cette époque, les 20% les plus riches gagnent plutôt 40% des revenus en France et aux Etats-Unis parce que les inégalités se sont un peu réduites (ou est-ce parce que les revenus déclarés au fisc reflètent mal la valeur réelle des hauts revenus? ;-) mais on continue d'appeler ça la loi des 80-20:

source: d'après le site de Daniel Martin

Ce type de distribution "sauvage" comme l'appelle Benoît Mandelbrot, a cours dans beaucoup de domaines, comme ceux qu'on trouve par exemple sur le site de Gérard Villemin:
- Moins de 1% des loueurs de voitures comptent pour plus de 25% des heures de location;
- 30% des sites Web concentrent 90% des visites;
- 17% de la population mondiale (celles des pays riches) consomment 80% des médicaments etc.
- En biologie les insectes représentent un million des 1 800 000 espèces décrites à ce jour, suivis de loin par les plantes supérieures (270 000) qui elles-mêmes devancent les mollusques (85 000). Mais tout ça n'est rien par rapport aux bactéries qui battent à plate couture toutes les autres formes de vie sur l'arbre du vivant (sur la figure empruntée à Wikipédia, les bactéries sont en bleu) et représenteraient plus de la moitié de la biomasse sur Terre!

La loi des grands nombres: abrogée!
Ici, c'est l'inverse du Médiocristan. Les valeurs extrêmes sont certes rares, mais elles sont tellement spectaculaires que leur présence n'est plus du tout négligeables sur la moyenne. Prenez par exemple la taille des 36 500 communes en France métropolitaine: 1722 habitants en moyenne. Si vous écartez les valeurs extrêmes des 113 villes de plus de 50 000 habitants, votre moyenne tombe à 1324 habitants! 0,35% des données pèsent donc pour 25% de la moyenne. Plus question donc d'appliquer la loi des grands nombres car vous avez de grandes chances que votre échantillon ne soit pas bien représentatif des valeurs extrêmes. Idem pour l'écart-type.

Je me suis amusé à regarder l'historique du Nasdaq depuis 1971 (les données sont téléchargeables ici). Les différences sautent aux yeux quand on compare la distribution des fluctuations quotidiennes du Nasdaq avec celles d'une Gaussienne ayant la même moyenne (0,27) et le même écart-type (27):

1) Les très grandes fluctuations, sur lesquelles j'ai fait un zoom, sont beaucoup plus fréquentes. Il y a eu 64 jours "noirs" où l'indice a chuté de plus de 108 points (4 écarts-types), soit une chance sur 150. Si la distribution était "normale", il aurait fallu attendre plus de 10 ans pour qu'une telle chute se produise (une chance sur 31 000)! L'allure de la queue de la courbe de distribution est donc beaucoup plus "épaisse" que pour une courbe gaussienne, d'où son surnom de "fat tail"...
Pour donner une idée de l'impact de ces journées de folie: depuis quarante ans le Nasdaq a oscillé entre 5060 points (valeur maximale en mars 2000) et 54 (valeur minimale en octobre 1974). Or les 11 jours les plus chahutés de l'histoire du Nasdaq représentent à eux tout seuls une variation cumulée de plus de 3000 points, soit 60% de la variation nette globale!

2) A l'autre bout de l'échelle, il y a beaucoup plus de jours en Bourse où il ne se passe rien du tout ou presque: 2000 jours sans aucune variation là où une Gaussienne n'en compterait que 150. A tel point que j'ai dû raboter le haut de l'échelle des ordonnées pour qu'on puisse voir le reste de la courbe. Paradoxalement, on s'ennuie beaucoup plus fréquemment en Ekstremistan! Les évolutions se passent un peu au rythme d'une veste qu'on ouvre en écartant ses pans, sans prendre le soin de la déboutonner: de longues périodes d'immobilité succèdent à de violents a-coups, chaque fois qu'il y a un bouton à passer.

Avec tout ça, on comprend qu'il soit aussi difficile de faire la moindre prédiction sur la Bourse en extrapolant à partir des valeurs passées. La distribution normale sur laquelle s'appuient encore bon nombre de modèles financiers est manifestement peu adaptée à des évolutions aussi chaotiques.

Hasard fractal...
Ces distributions extrêmes ont une autre caractéristique: leurs règles étranges sont valables quelque soit l'échelle à laquelle on les regarde. Pour reprendre l'exemple des communes, 23% de la population est concentrée dans 0,34% des communes (les 113 plus grandes villes), mais cette hyperconcentration se vérifie aussi dans la taille des 60 plus grandes villes dont 40% de la population se concentre sur les 6 premières. Et Paris pèse à lui tout seul près de la moitié de ces 6 mégapoles.

Idem pour le Nasdaq, dont l'évolution est étrangement similaire, qu'on l'observe sur 15 ans ou sur 12 mois:

Qui dit invariance d'échelle dit...fractales! Alors que dans une distribution gaussienne, les variations deviennent imperceptibles dès qu'on prend de la hauteur, il n'en est rien pour ces distributions qui conservent la même apparence très irrégulière quelque soit l'échelle à laquelle on les regarde (2).

La raison profonde au fait que la règle des 80-20 reste vraie à toutes les échelles, tient à ce qu'il y a dans toutes ces distributions un effet de renforcement pour les valeurs extrêmes, du type "le gagnant rafle tout": la richesse appelle la richesse (pour la répartition des revenus), la notoriété renforce la notoriété (pour le trafic sur le Web), les grandes villes attirent la population et la Bourse est connue pour ses comportements moutonniers en période de panique ou d'euphorie.

Quand l'ordre dicte la taille...
On a déjà rencontré cette invariance d'échelle dans ce billet sur la loi de Benton: elle suppose que la distribution suive une loi de puissance de type p(x≥h)=h^-α, α étant un paramètre fixe. Lorsque cette distribution concerne des phénomènes que l'on peut classer par ordre de grandeur (la longueur des fleuves par exemple), il existe toujours une relation directe entre le rang et la dimension du phénomène. Le phénomène numéro r aura une dimension proportionnelle à (K/r)^1/α, K et α étant des constantes caractéristiques de cette distribution.

[Pour les matheux-curieux: si la probabilité qu'un phénomène x ait une amplitude ≥ h vaut p(x≥h)= h^-α alors sur un échantillon de grande taille K, le nombre de phénomènes de taille ≥ h vaut Kh^-α
Un phénomène d'amplitude h aura donc le rang r=Kh^-α
Le phénomène de rang r aura donc pour taille h=(K/r)^1/α ]

Un tas de phénomènes naturels ou sociaux vérifient ce lien géométrique entre classement et amplitude:
- la magnitude des séismes, c'est la loi de Gutemberg-Richter:

- la fréquence des mots dans un texte: c'est la loi de Zipf:

- les dimensions des fleuves, des lacs ou des montagnes et de manière générale tout ce qui a trait à la topologie des paysages. C'est d'ailleurs pas très surprenant dans la mesure où la côte Bretonne est LA figure fractale par excellence: son aspect déchiqueté est similaire quelque soit l'échelle à laquelle on l'observe.

Graphique à partir des statistiques disponibles pour les lacs d'Europe.
La très belle corrélation linéaire entre logarithmes équivant à une loi de puissance puisque:
Log(surface)=-1,2Log(rang)+4,67 revient à S=47000r^-1,2.
En supposant les lacs circulaires, leur largeur vaut donc L=122r^-0,6

Le petit conte des Lacs
Mais n'allez pas croire qu'un tel déterminisme aide en quoique ce soit à prévoir la taille des phénomènes extrêmes. La statistique sur les lacs a inspiré un joli conte sur ce sujet à Mandelbrot, le pape des fractales (3). L'histoire se passe dans une contrée brumeuse à la conquête de laquelle se lancent des explorateurs. Ce pays est jonché d'étendues d'eau, certaines immenses (on dit même qu'il y a un océan de 300 km de large, d'autres réduites à de simples lacs d'un kilomètre de largeur. Nos explorateurs n'ont pas de carte, mais sont des bêtes de statistiques (ou alors ils ont lu le Webinet). Ils savent donc que les lacs font en moyenne 2,5km et que le lac numéro r est large de 122 r^-0.6

Une fois qu'on s'engage en bateau sur un lac, le brouillard empêche de distinguer l'autre rive si celle-ci est à plus d'un kilomètre. L'équipage en est alors réduit à spéculer sur la probabilité d'arriver prochainement. Si, au bout de cinq kilomètres on n'a toujours pas vu la rive opposée, les calculs indiquent qu'il reste en moyenne cinq autres kilomètres à couvrir. S'il ne voit toujours rien au bout de dix kilomètres, il lui faut s'apprêter à en parcourir dix de plus.

"Le fait même d'avoir couvert quelques kilomètres sans rien rencontrer fait taire tout espoir d'être tombé sur un petit lac et augmente celui d'être tombé sur un lac moyen ou grand, et augmente même le risque terrifiant de s'être engagé sans le savoir sur un Océan."

[Pour les algébristes seulement: on peut démontrer cette propriété bizarre d'un accroissement géométrique de l'espérance à mesure qu'on s'éloigne du bord:

Si p(L≥x)=x^-α (c'est l'hypothèse de départ, souvenez-vous) la probabilité conditionnelle p(L≥x) sachant que L≥h s'écrit :
p(L≥x / L≥h) = p(L≥x)/p(L≥h) = (x/h)^-α
Si l'on fixe h (5km par exemple), la densité de probabilité vaut
p(x / x≥h)= αh^α x^-α-1 (c'est la dérivée de la fonction de répartition qu'on vient d'écrire)
et l'espérance E(x / x≥h) est l'intégrale entre h et +∞ de l'expression: αh^α x^-α-1xdx
Le calcul donne
E(x / x≥h) = hα/(α-1) c'est-à-dire: E(x-h / x≥h)=h/(α-1)
Cette équation barbare se lit de la façon suivante: la distance restant à parcourir quand on a déjà parcouru une distance h est proportionnelle à cette distance h [avec un facteur 1/(α-1) ]

Dans le monde des fractales, tout se joue donc au départ. Si un projet planifié sur un an au total, met initialement deux mois au lieu d'un seul pour passer son premier jalon, ce n'est pas un mois de retard qu'il risque d'avoir à l'arrivée, mais un an! Du côté des bonnes nouvelles, si le jour de sa sortie en salle un film fait cinq fois plus d'entrées qu'un autre, il a de bonnes chances d'avoir cinq fois plus de succès globalement. C'est sans doute la raison pour laquelle Apple concentre autant d'efforts promotionnels au lancement de son iPad, même s'il est certain du succès de celui-ci.

Principe d'incertitude en version macroscopique
Sauf que... le conte de Mandelbrot nous indique aussi qu'on est toujours certain d'être surpris, paradoxe qui ne manque pas de saveur:

"Et puis tout d'un coup, les arbres émergent de la Brume, et on arrive au but. "Haro sur le mauvais faiseur de prévision!" Se moque-t-il de nous, ou commet-il une faute de calcul? Le premier voyageur (bien sûr) l'avait cru, mais il dut se rendre à l'évidence mathématique. C'est curieux, mais c'est ainsi: pendant que l'explorateur abat du travail, la valeur probable de la tâche restante s'allonge à mesure. L'on s'exclame, l'on s'étonne, et les vétérans expliquent patiemment qu'il ne s'ensuit en aucune façon que l'autre rive du lac soit un mirage. Elle existe bel et bien, et les esprits fantasques des Brumes, non seulement finissent toujours par s'attendrir, mais en général s'attendrissent fort rapidement(...) L'autre rivage apparaît juste au moment où rationnellement il paraissait plus éloigné que jamais. Dès lors toutes sortes de clichés s'appliquent de la façon la plus textuelle. Il ne faut pas lâcher pendant le dernier quart d'heure..."

Bref, si les extrapolations gaussiennes sont hors de propos, les prédictions de la statistique fractale ne parviennent pas à faire beaucoup mieux. Elles ne parviennent qu'à nous montrer à quel point tous nos efforts de prédictions sont vains dans beaucoup de domaine. Ce principe d'une "inévitable surprise" -analogue à l'indétermination quantique?- est finalement la seule certitude positive qu'il nous reste. Remarquez, je trouve ça déjà pas mal d'être certain par avance que la nature nous réserve beaucoup d'autres sujets d'étonnement.

Sources:

[1] Nassim Nicholas Taleb, Le Cygne Noir (2007): un excellent bouquin que je vous recommande, même si Taleb a manifestement des comptes à régler avec les économistes!
(2) ...jusqu'à un certain point, mais le problème est qu'on ne sait jamais lequel.
(3) Benoît Mandelbrot, Fractales, hasard et finance (1997). J'ai changé les données du conte original car elles ne collent pas avec mes propres statistiques (tirées de Wikipedia sur les lacs d'Europe) et en plus il me semble qu'elles sont incohérentes (la loi T=100/racine(r) de Mandelbrot ne colle pas avec la taille moyenne de 5km qu'il indique dans son livre).

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Logarithmes: again! Sur la loi de Benton et autres curiosités sur les répartitions logarithmique
La Reine, le Fou et l'Arbre illustre la fractalité des évolutions biologiques et technologiques.

La constance du papillon

"L'effet papillon" c'est un peu la pince multi-prise du prêt-à-penser: le fameux battement d'aile qui déclenche une tornade à l'autre bout du monde est la référence médiatique incontournable de tous les chaos, crises financières ou désastres écologiques dont on ne comprend pas les causes. Il faut dire que le concept a tout pour séduire: un label de théorie scientifique, une belle image de la Nature - un papillon- et l'inévitable référence à une mondialisation incontrôlable.
Normal donc qu'on l'invoque sous toutes ses formes -chansons, films, essais- à chaque fois qu'on souhaite illustrer comment de toutes petites causes provoquent des grandes catastrophes, sous l'effet d'une avalanche de réactions en chaine. L'effet papillon serait-il simplement la version scientifique du nez de Cléopâtre, dont Blaise Pascal pensait que "s'il eût été plus court, la face de la Terre aurait changé"? Hmmm... Ce serait un peu court. Et surtout, la puissance d'une théorie scientifique (celle du chaos en l'occurrence) ne se mesure-t-elle pas précisément à sa capacité prédictive? Qu'y aurait-il de génial dans une théorie qui nous démontrerait juste qu'on vit dans un monde complexe et imprévisible?

A vrai dire, la théorie du chaos a fait les frais de son succès médiatique. Lorsqu'en 1972, son inventeur Edward Lorenz, fit sa fameuse conférence "Le battement des ailes d'un papillon du Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas?", il présenta deux résultats fascinants dont le grand public ne retint que le premier. Lorenz modélisait alors des phénomènes météorologiques en faisant mouliner les laborieuses machines à calculer de l'époque sur des calculs itératifs (on prend comme données d'entrée les résultats du calcul précédent et on recommence). L'histoire raconte qu'un jour de 1961, il voulut refaire un de ses calculs pour le vérifier mais, pressé d'aller se faire un café, il eut la flemme d'entrer en machine les données complètes avec six décimales, et les arrondit au millième.

Derrière le papillon, la sensibilité aux données initiales
A sa grande surprise, l'infime variation des données initiales avait entrainé une grande divergence des prévisions: au bout d'un certain temps ce n'était plus une tempête au pôle Nord qui s'annonçait, mais une grande sécheresse dans le Sud! C'est cette hypersensibilité aux conditions initiales qui lui inspira le titre de sa conférence et qui marqua les esprits.
Ce phénomène est intéressant, mais à vrai dire pas très nouveau en physique: si vous lancez une toupie, vous connaissez parfaitement les lois auxquelles elle est soumise. Vous savez qu'elle va finir par tomber et pourtant, même en connaissant parfaitement sa vitesse de rotation, son poids etc. vous ne ne pouvez absolument pas prédire dans quelle direction elle va le faire, tant celle-ci est sensible à la moindre perturbation. Ce qui était nouveau dans la découverte de Lorenz, c'est que pour la première fois on avait déniché une telle instabilité au cœur même des ordinateurs les plus puissants.

Vous pouvez faire vous-même le même genre d'expérimentation sur Excel: prenez deux nombres qui coïncident entre eux jusqu'à la 5^eme décimale, par exemple 0,1 et 0,100001. Doublez-les, ne gardez que la partie décimale et recommencez. Au début les résultats sont très proches, mais au bout de 8 itérations ils commencent à diverger. Au bout d'une vingtaine ils n'ont plus rien à voir entre eux. Voici ce que ça donne avec différents nombres au départ:

Regardez comme c'est étrange: d'une part l'ordinateur finit par se tromper sur les chiffres exacts (nombres à une décimale des premières colonnes) et d'autre part vous finissez par obtenir 0 au bout d'une cinquantaine d'itérations. Cette convergence, c'est le deuxième résultat étonnant que découvrit Lorenz, je vais y revenir.

Ainsi étaient mis en évidence des phénomènes totalement déterministes (dont les lois sont parfaitement définis et calculables) mais tellement sensibles aux conditions initiales qu'on ne peut en prédire l'évolution que jusqu'à un certain horizon temporel, faute d'en connaître l'état initial avec suffisamment de précision. Selon Philippe Etchecopar une fluctuation de 1 cm sur la position initiale de la Terre aboutit -dans les modèles actuels- à un déplacement d’un million de km après cent millions d’années.

C'est en ce sens qu'il faut comprendre l'image de "l'effet papillon": même si nous connaissons toutes les lois d'évolution d'un système, notre capacité à en prévoir l'évolution est limitée par la précision de nos mesures initiales. Pour les prévisions météo, par exemple, autant on peut prévoir le temps qu'il fera dans trois jours, autant d'après David Ruelle, "après quinze jours (...) il faudrait tenir compte de l'effet gravitationnel qu'aurait un électron situé à 10 années lumières de la Terre"! Le papillon peut aller se rhabiller, mais le phénomène n'a rien à voir avec un enchainement compliqué de causes à effets qui relierait l'histoire réelle d'un papillon avec le déclenchement d'un séisme à l'autre bout de la planète, comme on l'imaginerait spontanément en lisant le titre de la conférence de Lorenz.

Rien à voir non plus avec le hasard même si ça y ressemble. On peut connaître parfaitement les mécanismes d'un phénomène et être incapable d'en prédire l'évolution à long terme, faute de mesures suffisamment précises au départ: c'est ce qu'on appelle le chaos déterministe. Comme l'a bien résumé bien Poincaré (déjà en 1908, décidément il est trop fort Riton) : "Une cause très petite qui nous échappe, détermine un effet considérable (...) et alors nous disons que cet effet est dû au hasard".

Derrière le chaos, l'invariance
L'autre résultat que découvrit Lorenz un peu plus tard (il tint sa conférence onze ans après sa première découverte en 1961) me semble beaucoup plus spectaculaire bien qu'il ait été éclipsé par l'image du papillon. Certes avec des conditions initiales légèrement différentes, Lorenz obtenaient des résultats qui divergeaient totalement deux à deux au bout d'un certain nombre d'itérations. Mais il constata avec étonnement que les deux séries avaient statistiquement la même distribution de résultats.

Plus fort encore, lorsqu'on représentait graphiquement ces valeurs en trois dimensions, elles finissaient toujours par former un drôle de dessin... en forme de papillon. Quelles que soient les valeurs autour de ces valeurs initiales, les séries de résultats finissaient toujours par se distribuer autour des mêmes boucles. C'est bizarre, alors on a appelé ça un "attracteur étrange" (l'image est tirée du site du cnrs)


Pour expliquer ça en termes de Physique (n'oublions pas qu'il s'agissait de prévisions météo), Lorenz avançait "l’idée qu’au fil des années les petites perturbations ne modifient pas la fréquence d’apparition des événements tels que les ouragans : la seule chose qu’ils peuvent faire, c’est de modifier l’ordre dans lequel ces événements se produisent.» Autrement dit on ne peut prévoir le temps qu'il fera dans plusieurs semaines (faute de précision suffisante sur les conditions atmosphériques initiales), mais on peut tout à fait prédire le nombre de jours de pluies sur une période donnée.

Derrière l'invariance, la fractale
On a pu montrer que la plupart des systèmes chaotiques (c'est à dire qui suivent des lois précises mais dont le résultat dépend fortement des conditions initiales), finissent par osciller autour d'un ensemble fini de valeurs. Pourquoi de telles boucles? Ce n'est pas encore très clair (traduisez: je n'ai pas encore bien compris!) La figure reboucle rarement deux fois sur le même point et ce qui se profile est... une fractale, mais oui! Quel que soit l'agrandissement que l'on en fasse, c'est la même complexité qui se répète à l'infini -à condition bien sûr d'itérer le calcul à l'infini lui aussi.

On peut s'amuser à fabriquer sur Excel plein de telles figures, en itérant un calcul très simple. Celui-ci par exemple. Son petit nom c'est Gumowski-Mira:

En s'amusant à donner différentes valeurs à A, B, X₀ et Y₀, et en observant le graphique des points (X,Y) obtenus sur un grand nombre d'itérations (typiquement 10 000), on obtient de magnifiques figures. Ca marche sur Excel, mais c'est plus joli sur la galerie de photos de Stinging Eyes.

Vous ne trouvez pas que ça ressemble étrangement aux formes que prend le plancton? J'aime l'idée que peut-être -j'ai bien dit peut-être!-une seule loi physique régisse non pas une seule forme du vivant (comme on l'a vu pour les spirales de Fibonacci), mais une grande variété de formes très différentes, au hasard des paramètres que peut prendre cette loi dans la nature.

La transformation du boulanger.
Il y a quand même des cas où l'on comprend bien que ça finisse par reboucler. Si les résultats du calcul itératif ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs, tôt ou tard on va retomber sur ses pieds. Les séries de Kaprekar en sont une illustration. Pour l'exemple vu plus haut du doublement des décimales d'un nombre c'est la même chose car l'ordinateur travaille sur un nombre fini de décimales (d'où les erreurs qu'il commet au bout d'un moment).

Cela dit, retomber sur les valeurs de départ a tout d'un tour de magie. Enfilez votre tablier de cuisine et faites une pâte à gateau. Donnez-lui une forme de carré puis aplatissez-le en lui donnant une forme de rectangle horizontal. Coupez-en la moitié droite et replacez-la au-dessus de l'autre moitié: vous voici avec un nouveau carré de même dimension que le premier. Recommencez comme ça de nombreuses fois. Si au départ vous aviez une image sur votre carré de pâte, celle-ci se trouve rapidement totalement brouillée après quelques transformations. Mais au bout d'un grand nombre de fois, l'image réapparaît comme par miracle à sa place initiale! (source: BouMaton, logiciel pour faire ces traitements d'image)


On trouve des tas de transformations semblables sur internet. Parmi les plus spectaculaires, celle dites du "photomaton" où cette fois la photo de départ est transformée en 4 photos, comme sur un photomaton justement. On recommence de nouveau pour obtenir 4x4 photos etc. Au bout de quelques transformations on retrouve notre photo initiale! (source ici) Avouez que cette invariance systématique des systèmes complexes est bien plus stupéfiante que la question de leur prédictabilité limitée. L'histoire médiatique de l'effet papillon est aussi étrange que son attracteur: le grand public en a seulement retenu la triste (mais fausse) idée d'une impuissance scientifique à prévoir quoique ce soit, alors que la théorie exhibait au contraire une troublante invariance au coeur de ces systèmes. L'incompréhension entre les scientifiques et leur époque serait-elle aussi une constante intemporelle?

Sources:
David Ruelle, Chaos, imprédictibilité et hasard
Philippe Etchecopar, Quelques éléments sur la théorie du chaos
Le site d'Alain Esculier, pour les images des transformations du boulanger
Le site d'André Lévesque, pour les merveilleuses images de fractales
L'article d'Etienne Ghys et Jos Leys sur le site du CNRS, très bien fait où un "moulin à eau" reflète physiquement les observations numériques de Lorenz.
Une conférence sur le chaos de Sophie Mugnier

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