Big Bang: une erreur de genèse?

 L’idée que des grandeurs aussi élémentaires que le temps, la vitesse ou la température puissent avoir des limites infranchissables est difficile à avaler. On a vu dans un précédent billet comment réconcilier notre intuition avec le concept de vitesse maximale. Cette semaine on s’attaque à un défi encore plus troublant: celui « d’instant zéro », du moment exact où le Big Bang a émergé et engendré l’Univers…

L’idée est doublement dure à admettre. D’abord parce qu’elle suppose qu’il existe une date au delà de laquelle on ne peut remonter. Or on se représente intuitivement l’échelle du temps comme la droite des nombres réels. Et une droite c’est infini des deux côtés. Qu’est-ce qui pourrait bien nous empêcher de remonter une seconde avant le Big Bang? Ensuite le statut d’un tel instant 0 fait mal à la tête: comment s’explique-t-il s’il n’y avait rien avant lui, ni temps ni espace… Peut-on concevoir qu’un phénomène aussi fondateur (puisque tout découle de lui) n’ait été créé par rien du tout? Difficile d’avaler un tel concept si l’on n’est pas croyant!

L’instant zéro: une simple convention mathématique…

Cette histoire de commencement de l’univers m’a turlupiné jusqu’à ce que je lise le dernier bouquin d’Etienne Klein (Discours sur l’origine de l’Univers) qui est un bijou de pédagogie. En résumé, Klein défend l’idée que cette histoire d’instant 0 (qu’on confond en pratique avec le « Big Bang », l’explosion d’énergie qui a suivi) est presque d’avantage un phénomène culturel qu’une théorie scientifique. On sait que la trame de notre univers se dilate depuis toujours, comme un ballon qui se gonfle, et les équations de la relativité générale sont parfaitement raccords avec les observations d’une telle expansion. Comme rien ne nous empêche de remonter le film de l’Univers à l’envers, il y eut nécessairement un temps lointain où il était riquiqui et l’on peut même calculer sur le papier l’instant exact où il a pu être réduit à un point sans dimension. Cet instant zéro fournit certes une référence universelle bien pratique pour situer temporellement les stades de développement de l’Univers, mais Klein explique que jamais la communauté scientifique n’a attribué de réalité physique à cet instant théorique, pour une raison très simple: en-deçà d’une certaine taille de l’Univers (correspondant à l’échelle de Planck 10-35m, 10-43s)  les équations relativistes ne sont plus valables car elles ne prennent pas en compte les effets de la physique quantique, très sensibles à cette échelle. C’est parce que tous les scientifiques sont d’accord sur ce point qu’ils ne se prennent pas trop la tête sur la signification pratique de cet instant zéro. Sauf que ça, ils ne le disent jamais explicitement!

Les deux seuls théories qui s’attaquent à ce « mur de Planck » -la théorie des cordes et la gravitation quantique à boucles- concluent l’une comme l’autre à un Univers primordial qui n’a pas pu descendre en dessous d’une taille minimale. Résultat d’autant plus remarquable que les deux théories partent de postulats radicalement opposées. Dans un cas comme dans l’autre il n’y pas eu de « singularité initiale » avec des grandeurs qui s’envolent à l’infini. A la place de « l’instant zéro », les deux théories suggèrent plutôt un scénario de « Big Bounce » (grand rebond) selon lequel notre univers se serait contracté très fortement avant de rebondir lorsqu’il est devenu trop petit. Pourquoi le « pré-univers » se serait-il contracté alors que le nôtre semble au contraire accélérer son expansion? On n’en sait rien du tout, mais au moins cette question a-t-elle le mérite de changer radicalement l’objet du débat, et la question du temps zéro ne se pose plus du tout…

La symbiose entre temps et taille

Mais mettons de côté ces arguments d’ordre physique et supposons un instant qu’il y eut  à un moment donné un instant 0. Serait-ce si fou que cela? La question renvoie à la définition même du temps. Qu’est-ce que le temps, si ce n’est le rythme auquel des grandeurs physiques (non temporelles) évoluent. Le temps n’existe que s’il est incarné par des trucs qui bougent matériellement: le déplacement de l’aiguille d’une horloge, le passage d’un rayon lumineux, la longueur d’onde d’une radiation etc. Le temps ne peut pas être dissocié d’une certaine matérialité et en ce sens il fait partie de l’Univers lui-même. Comment évolue le temps dans un monde qui grandit ou rapetisse continûment? Il suffit de réfléchir à la manière dont le rythme des choses varie en fonction de leur taille. Plus le bras d’un pendule oscillant rapetisse, plus sa fréquence augmente (si vous l’avez oublié, la période de ses oscillations est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur). Plus courte est la longueur d’onde d’un rayon, plus rapide est sa fréquence. Plus la distance entre deux points diminue, plus l’aller-retour entre ces deux points est vite fait. Idem pour le monde du vivant : la fréquence cardiaque des animaux diminue avec la taille des animaux et en moyenne, plus ils sont gros plus ils vivent longtemps. D’ailleurs on a remarqué qu’au total, le cœur d’un animal produit toujours aux environ d’un milliard de battements, quelle que soit l’espèce et sa taille de la bestiole, du mulot à l’éléphant:

 Bref, tout semble indiquer que le temps s’écoule plus vite quand les longueurs sont petites. Essayons de montrer ça un peu rigoureusement dans le cas d’un monde qui se dilate.

Pourquoi la dilatation de l’espace ralentit-elle le temps qui passe?

Supposons que vous ayez un télescope superpuissant qui vous permet de regarder un poste de télévision placé sur la planète Zorglub, située à des milliards d’années lumière de la Terre. C’est loin mais votre appareil est vraiment très performant et puis pour rien au monde vous ne rateriez la Coupe Intergalactique des Nations diffusée en exclusivité sur Canal Zorglub. Qu’allez-vous voir du match? D’abord, l’image est rougeâtre. Ensuite c’est bizarre, on dirait que le match se déroule au ralenti. La télé sur Zorglub est-elle détraquée? Même pas. Il se trouve que sous l’effet de l’expansion de l’espace, les délais tout comme les longueurs d’onde s’allongent au même rythme que le facteur d’échelle de l’espace – a(t) dans le schéma ci dessous.

 

La dilatation de l’espace (le rapport entre les facteurs d’échelle a(t) pris à des instants différents) agit comme une espèce de ralentisseur du temps et de l’action. Inversement, le rythme des choses s’accélère dans un univers qui rapetisse. Pour avoir une idée du « vrai » rythme des choses, il faut choisir une échelle de temps qui élimine l’effet du facteur d’échelle a(t) soit dto= dt/a(t). Avec cette échelle, vous verriez le match sur Zorglub à vitesse normale. Par contre, on n’a toujours pas éclairci le mystère d’un instant zéro (si tant est qu’il existe).

L’échelle de temps « naturelle »

On pourrait évacuer le problème en remplaçant notre mesure du temps t par une échelle logarithmique Log(t) qui renverrait le temps 0 à l’infini mais ce ne serait là qu’un artifice de calcul, sans justification physique. Jean-Marc Lévy Leblond a donc cherché une échelle de temps -appelons-la θ – qui mesure l’âge de l’Univers en utilisant une métrique bien définie et sans équivoque. Et comme on ne mesure pas l’âge de l’Univers tous les jours, on aimerait bien aussi pouvoir l’utiliser pour mesurer le délai entre deux événements. Il nous faut donc une échelle arithmétique pour θ, permettant d’additionner et de soustraire cette variable temporelle comme bon nous semble pour mesurer des durées  Δθ.

Pas de bol, la seule métrique objective et universelle que l’on ait sous la main est le facteur d’échelle a(t) qui correspond à une échelle géométrique (c’est-à-dire défini à un coefficient de proportionnalité près). Entre deux événements c’est en effet non pas la différence Δa(t) qui a un sens mais le rapport a(t2)/a(t1). Il faut donc définir θ de sorte qu’une même durée de temps Δθ s’écoule chaque fois que l’univers double de taille. Par exemple, l’horloge à θ peut faire un tour complet du cadran chaque fois que l’Univers double de taille.

L’outil préféré des mathématiciens pour convertir une échelle géométrique (celle du facteur d’échelle) en une échelle arithmétique (celle du temps θ) est le logarithme. En choisissant un temps t0 de référence pour lequel on définit arbitrairement que a(t0)=1 et  θ0=0, ça donne θ=log(a(t)) c’est à dire 

Au passage je suis frappé par le nombre de variables dont la mesure « naturelle » est logarithmique (j’en avais déjà fait une longue liste dans ce billet).

Instant 0? Quel instant 0?

Notre nouvelle définition d’un temps additif θ est prête! Il vous suffit de retirer de l’équation précédente toute référence au temps « cosmique » t et de n’utiliser que les variables θ et a. Ca donne:

θ=log(a)

Et là, tan tan! Plus d’instant zéro! Vous pouvez remonter le temps aussi loin que vous voulez, chaque fois que la taille de l’univers est divisée par deux, votre montre retarde imperturbablement d’un tour de cadran. Comme l’explique Lévy-Leblond, « Du point de vue du temps additif donc, il n’y a pas  de début : l’Univers a toujours été là et le Big Bang n’a jamais commencé ». Et il s’amuse même à recalculer la chronologie de tous les grands événements qui ont marqué la vie de l’Univers depuis le début. Comme on pouvait s’y attendre, ils se distribuent de façon bien plus régulière sur l’échelle de temps additive θ que sur l’échelle de temps habituelle:

 

Le Big Bang, un nouveau mythe originel?

Récapitulons: du point de vue des physiciens, l’instant zéro n’a pas de réalité matérielle avérée, et quand bien même il en aurait une, ça ne leur poserait pas de problème métaphysique pourvu qu’on ait une échelle du temps qui tienne la route. Etienne Klein pointe du doigt le gap immense entre ce fait bien connu des scientifiques et la perplexité du grand public devant ce qu’il prend pour une réalité physique. Pourquoi aussi peu de scientifiques prennent-ils la peine de dissiper le malentendu? Sans doute, suggère-t-il, est-ce lié à la fascination qu’exerce le Big Bang sur le grand public, bien au-delà du registre purement scientifique. Lorsque le terme est né d’une boutade radiophonique dans les années 1950, il est très vite sorti du champ scientifique et sa puissance évocatrice a colonisé irréversiblement l’imaginaire collectif. L’idée n’était pas neuve – Friedman et Lemaître en avaient écrit les bases théoriques dès les années 1920- mais il avait manqué jusque là une image forte qui la propulse au rang de mythe fondateur. Sans le vouloir, les scientifiques ont créé un substitut à l’ancienne mythologie biblique. Et l’on ne déracine pas une mythologie avec des raisonnements scientifiques, aussi pédagogiques et convaincants soient-ils.

Cette construction d’une métrique universelle qui peut s’additionner et qui ne connaît pas de limite ni vers le haut ni vers le bas vous rappelle sans doute mes histoires de « rapidité » en relativité. C’est normal! Les deux raisonnements développés par Jean-Marc Lévy-Leblond tirent leur source d’un même théorème mathématique qui montre qu’en gros on peut toujours transformer une grandeur ayant une limite absolue (comme la vitesse d’un corps ou le temps) en une variable « naturelle » pouvant s’additionner et se soustraire facilement (pour ceux que ça intéresse, ce théorème montre précisément que « tout groupe continu à un paramètre est isomorphe à un groupe additif », voilà voilà!). Du coup, je vous pose une question à cent balles qui m’a trotté dans la tête. Avec le même genre de démarche pourrait-on imaginer une échelle « naturelle » des températures qui n’ait pas de limite inférieure? La réponse en commentaire la semaine prochaine!

Sources:
JM Lévy-Leblond: L’âge de l’Univers est-il vraiment fini (pdf), qui a inspiré ce billet, et Additivité, rapidité, relativité pour le fameux théorème sur l’additivité
Le modèle de Friedman-Robertson-Walker expliqué dans un cours de cosmologie de l’Université d’Helsinki
A lire aussi le Geo Savoir, sur le Big Bang qui sort mercredi prochain (mais que j’ai pu me procurer en avant-première) avec justement une interview d’Etienne Klein sur le sujet.

Billets connexes:
Cosmologie fastoche 1 sur le facteur d’échelle
Life in the fast lane, sur la même démarche appliquée à la vitesse.
Notre sens du logarithme sur d’autres cas où le logarithme explique bien des choses

L'amour du risque

Science Etonnante a fait un très bon billet  comparant l'irrationalité des hommes et celle des singes et pointe du doigt une étrange propriété commune à nos deux espèces.  A gain équivalent en moyenne, on préfère éviter les risques quand on vise une récompense (pour l’instant ça semble normal) mais par un effet étrange de renversement on préfère prendre des risques quand il s’agit de minimiser des pertes.
Le schéma de son blog explique bien ça:

Dans l’expérience 1, les singes préfèrent choisir l’option 1 assurant une pomme supplémentaire à tous les coups plutôt que l’option 2, assurant soit 0, soit 2 pommes supplémentaires.
Dans l’expérience 2, par contre, quand on oblige les singes à perdre des pommes, ils préfèrent l’option 2 qui leur fait perdre tantôt 0, tantôt 2 pommes, plutôt que l’option 1 qui leur en fait une à coup sûr. Autrement dit, il y a “aversion au risque” si l’enjeu est une récompense et “goût pour le risque” quand on cherche à limiter ses pertes.

L’amour du risque est universel!
En cherchant un peu [1], j’ai découvert que la plupart des espèces animales se comportent exactement pareil: des abeilles, des guêpes, des rats, des oiseaux, des poissons etc. L’expérience 1 manipule comme récompenses des trucs à manger en quantités soit fixe, soit variable. L’expérience 2 joue en général sur le temps d’attente de distribution de nourriture (une longue attente est une perte), avec des délais soit fixes soit variables. La plupart des bestioles manifestent une certaine aversion pour les récompenses aléatoires mais une très forte préférence pour les délais variables. Exactement comme nous et nos amis les singes.

Cet étrange reversement des préférences m’a fait penser à la loi de Weber, dont je vous ai déjà parlé ici et là.

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Les civilisations: encore une affaire de scrabble?

Lire les bouquins de Jared Diamond est doublement réjouissant. D'abord parce qu'il est rare de voir un essai s'attaquer à des questions aussi fondamentales que celles de la naissance, la croissance ou la mort des civilisations dans l'histoire de l'humanité. En 500 pages, Diamond passe en revue les 10 000 dernières années sur tous les continents. Ensuite ces sujets compliqués sont d'habitude traités sous le prisme d'une seule discipline: l'ethnologie (Claude Lévi-Strauss), l'histoire économique (Fernand Braudel) ou la philosophie. Diamond réussit au contraire à mobiliser toutes les disciplines scientifiques avec bonheur, de la génétique à la paléo-anthropologie, en passant par la géographie et la linguistique. Je ne crois pas avoir lu un essai aussi multi-disciplinaire.

Ce feu d'artifices méthodologique m'a donné envie de vous faire partager les conclusions étonnantes de son livre sur "l'inégalité parmi les sociétés". Dans cet essai, il tente de comprendre les raisons pour lesquelles l'humanité s'est développée à des rythmes différents selon les régions du monde et pourquoi l'Europe a mieux réussi matériellement que l'Afrique, l'Amérique ou l'Australie. Récusant évidemment tout argument racial, Diamond soutient de manière assez convaincante me semble-t-il, une forme de déterminisme géo-climatique qui balaie pas mal d'idées reçues.

Quand devient-on agriculteur plutôt que chasseur-cueilleur?
Vu de notre vingt et unième siècle, on pourrait se dire que les premiers hommes n'étaient pas bien malins de cavaler toute la journée après leur casse-croûte, au lieu de faire tranquillement pousser des tomates et d'élever des moutons. Pourquoi a-t-il fallu autant de temps pour que les chasseurs-cueilleurs comprennent leur méprise? Et pourquoi certains peuples l'ont-ils compris particulièrement longtemps après les autres, la palme de l'entêtement revenant aux aborigènes d'Australie qui n'avaient toujours pas troqué leurs boomerang contre le soc d'une charrue lorsque les Anglais débarquèrent pour leur montrer comment faire.

Ce questionnement naïf part du présupposé que les végétaux cultivables ont toujours été disponibles partout dans le monde. Erreur tragique! Il suffit de regarder à quoi ressemblait le téosinté, ancêtre du maïs pour comprendre le malentendu (à droite, l'évolution du maïs, tirée de Wikipedia).

Non seulement les plantes se prêtant à la culture sont très rares, mais en plus leurs ancêtres sauvages ont dû être laborieusement sélectionnées par l'homme avant de présenter le début du commencement d'un intérêt agricole. En effet, la sélection naturelle agit souvent à rebours de nos intérêts de cultivateurs:
- la plupart des plantes sauvages font de petites graines, à écorce dure, qui sont dispersées aux quatre vents dès qu'elles arrivent à maturité (ce qui augmente leur chance de dissémination);
- rares sont les plantes à germination rapide et régulière: la plupart des espèces sauvages ont tendance à attendre les conditions météorologiques propices pour germer, ce qui rend les récoltes aléatoires;
- les plantes font en général beaucoup de cellules fibreuses (feuilles, tige ou tronc) et peu de graines. Leur rendement énergétique est donc en général très faible;
- elles sont souvent interfécondes, autrement dit elles se croisent les unes avec les autres.
Pour obtenir, une plante potable dans le potager, il faut donc détricoter des millions d'années de sélection naturelle: d'abord trouver une plante annuelle, nourrissante. Ensuite il faut sélectionner patiemment les plants qui produisent les plus grosses graines, ayant une écorce fine et ne tombant pas par terre quand elles murissent. Et pour avoir une chance d'y arriver, mieux vaut partir d'une plante auto-féconde sinon la sélection artificielle est beaucoup plus compliquée. Bref les candidats ne sont pas légion. Pour preuve: 80% des plantes consommées actuellement proviennent d'une petite dizaine d'espèces (blé, maïs, riz, orge, sorgho, soja, pomme de terre, manioc, patate douce et banane) qui sont celles que l'on cultivait déjà il y a plusieurs milliers d'années. Comme le souligne Diamond, "Le fait même qu'on ne soit pas parvenu à domestiquer une seule grande plante alimentaire dans les temps modernes donne à penser que les Anciens ont réellement pu explorer la quasi-totalité des plantes sauvages utiles et domestiqué toutes celles qui valaient la peine de l'être."

Par dessus le marché les ancêtres de ces espèces providentielles ne poussaient qu'en très peu d'endroits au monde. L'Eurasie est plutôt bien lotie, mais le continent américain beaucoup moins tandis que l'Australie et l'Afrique australe en sont presque dépourvus. Allez donc faire votre potager quand vous n'avez aucune graine à y planter!

Sources: à gauche, illustration extraite du blog de SSFT, à droite extrait du livre de Diamond, p206

L'axe Est-Ouest des continents
D'autres facteurs physiques comme les déserts ou les montagnes isolent naturellement certaines régions de la diffusion des pratiques agricoles. Mais, selon Diamond, l'orientation des continents joue aussi un rôle important car les espèces végétales se disséminent plus facilement entre régions situées à une même latitude et qui ont, sinon le même climat, du moins le même cycle dans la durée des journées. C'est ainsi que toutes les cultures céréalières d'Europe et d'Asie dérivaient de la même souche ancestrale. A l'inverse, l'orientation Nord-Sud du continent américain expliquerait pourquoi le maïs cultivé au Mexique ait mis autant de siècles à remonter vers les Etats-Unis. Contrairement au continent européen, la plupart des cultures céréalières du Nouveau Monde semblent avoir été découvertes indépendamment les unes des autres.

Et le bétail alors?
Nous souffrons de la même myopie historique concernant l'élevage. Le nombre d'espèces mammifères domesticables est incroyablement réduit! Seuls les herbivores paisibles, peu territoriaux, acceptant de se reproduire en captivité et vivant en large troupeaux non hiérarchisés socialement se prêtent à la domestication. C'est grâce à une alchimie de caractères très subtile qui fait que le cheval est domesticable alors que ses cousins le zèbre et l'onagre ne le sont pas. Parmi les 148 mammifères non carnivores pesant plus de 45 kilos, seuls 22 se prêtent à l'élevage. Pour le reste, on obtient au mieux des animaux "apprivoisables", comme les éléphants, mais il s'agit alors d'animaux sauvages domptés qui se reproduisent très mal en captivité. Là encore, l'Eurasie est particulièrement bien dotée, puisqu'on y trouve 13 des 14 espèces de grands mammifères domesticables. Malgré une profusion d'animaux sauvages, l'Afrique subsaharienne, les Amériques et l'Australie étaient nettement moins gâtés:

	Eurasie	Afrique Sub Saharienne	Amériques	Australie
Espèces candidates	72	51	24	1
Espèces domestiquées	13	0	1	0

L'orientation des continents influence aussi la diffusion des pratiques d'élevage (sans que l'explication de Diamond me paraisse très claire). Le très grand axe Est-Ouest du continent eurasien expliquerait la diffusion massive des mêmes animaux domestiques (porcs, moutons, chèvres, vaches, chevaux) de l'Irlande à l'extrêmité de la Chine. A l'inverse, le lama des Andes, la dinde d'Amérique du Nord ou le buffle d'eau d'Afrique occidentale sont restés confinés dans une étroite bande de latitude sans diffuser dans le sens Nord-Sud.

La cascade du progrès
Ces trois facteurs environnementaux -disponibilité d'espèces végétales cultivables, présence d'animaux domesticables et orientation Est-Ouest des continents- ont constitué selon Diamond les causes ultimes de l'essor des peuples du continent eurasien:

Une partie du schéma est assez intuitive: la production agricole fixe les populations qui abandonnent leur ancien mode de vie de chasseurs-cueilleurs. Les surplus alimentaires permettent aux sociétés de grandir et de s'organiser de façon plus complexe. En se spécialisant, les individus peuvent innover chacun dans leur domaine: l'écriture est née du besoin de comptabiliser la production et les échanges. L'explication est assez classique, mais j'ai été frappé par l'enchaînement de causes et d'effets se renforçant les uns les autres:

- Les popularisations sédentarisées ont eu plus de facilité pour améliorer leurs techniques de culture, ce qui a contribué à les sédentariser davantage.
- A mesure que la population s'accroissait grâce aux surplus alimentaires, la production alimentaire est devenue la seule manière de nourrir tout le monde, la chasse et la cueillette n'y suffisant plus; le mode de vie agricole est un processus auto-renforçant (à condition de ne pas surexploiter les terres).
- Les sociétés plus complexes ont eu davantage de possibilités d'améliorer les conditions de vie et donc d'accroître leur taille, ce qui les a contraint à se complexifier encore davantage.
- La spécialisation a favorisé l'innovation mais l'inverse est aussi vrai:  scribes et forgerons sont devenus nécessaires après l'invention de l'écriture et du travail des métaux.
- L'utilisation d'animaux domestiques a puissamment contribué à l'amélioration de la production alimentaire en fournissant l'engrais, le moyen de transport et l'aide musculaire pour les travaux des champs. Et du côté innovation, il suffit de noter que la roue n'a été inventée que dans les sociétés ayant des animaux capables de tirer des charges (et encore, pas dans les Andes).
- L'orientation Est-Ouest des continents et l'absence de barrière naturelle a boosté tous ces facteurs en facilitant la diffusion des connaissances et des techniques entre sociétés, par le commerce ou par la guerre.
Bref, tous ces facteurs se sont multipliés entre eux, comme autant de catalyseurs dans une réaction chimique.

Avantage: Europe!
Contrairement aux autres continent, l'Eurasie avait tous les atouts pour réussir: des plantes cultivables, des animaux domesticables et un territoire orienté Est-Ouest sans rupture majeur au milieu: pas étonnant qu'elle ait pris autant d'avance sur l'Amérique, l'Afrique et l'Australie. Dans leur conquête de ces trois continents, les explorateurs européens avaient l'avantage de l'équipement (l'acier), des armes, de la connaissance et des moyens de transport (le cheval). Par dessus le marché, ils ont apporté en Amérique des maladies infectieuses qui ont décimé les indigènes. Ce n'est pas non plus un hasard si l'on en croit Diamond: la plupart de nos maladies infectieuses sont héritées de celles de nos animaux domestiques, auxquels ni les Aztèques ni les Incas n'avaient été exposés jusqu'alors. La domestication animale aurait donc fourni indirectement une arme bactériologique radicale aux conquistadores qui purent ainsi vaincre à un contre cent.

Reste à comprendre pourquoi ce fut l'Europe occidentale et non pas l'Asie Mineure (le berceau des civilisations) ou la Chine, qui imposa son modèle de civilisation.
Pour l'Asie Mineure, Diamond expédie la question assez vite: la surexploitation des forêts y a rapidement appauvri les sols et transformé un pays de Cocagne comme l'Irak en un désert aride. Il examine en détail dans son autre bouquin ("Effondrement") le mécanisme par lequel les sociétés disparaissent, à force de trop puiser dans leur environnement.

La Chine, victime d'unification trop précoce?
Le cas de la Chine est plus étonnant. Cette région avait également tout pour réussir: un vaste territoire bien desservi par de longs fleuves et dont les régions sont facilement reliables les unes aux autres, une nature riche en végétaux cultivables et en animaux domesticables, un écosystème résistant à l'agriculture. Tous ces facteurs ont effectivement facilité l'essor précoce de la production alimentaire et le décollage rapide de la technologie: on doit à la Chine l'invention de la fonte, du papier, de la poudre à canon etc. La société s'est également rapidement structurée en royaumes puis en un Empire unifié dès 220 av JC. Mais selon Diamond, cette unification (trop) précoce a paradoxalement fini par pénaliser son développement: "La cohésion de la Chine a fini par devenir un handicap, car la décision d'un despote suffisait à arrêter une innovation, ce qui fut le cas à maintes reprises". Par exemple, alors que la Chine était prête à conquérir le monde à bord de ses immenses navires au début du XVe siècle, une querelle de pouvoir suspendit toute expédition maritime pendant des siècles. Pendant ce temps, en Europe, Christophe Colomb essuya de nombreux refus dans chacune des puissances européennes jusqu'à en trouver une qui accepte de le financer. La concurrence acharnée entre les pays d'Europe a finalement constitué un stimulant pour l'innovation et la diffusion des technologies tandis que la Chine se développait au rythme des caprices du pouvoir central. Plus près de nous, les ravages de la Révolution culturelle sur l'élite intellectuelle chinoise donnent une idée des effets désastreux d'une telle dépendance. A l'inverse les spectaculaires réussites de la politique de l'enfant unique et du sursaut économique actuel sont le versant positif d'une telle centralisation.

Pourquoi l'Europe est-elle restée divisée alors que la Chine s'est unifiée très rapidement? La réponse de Diamond se lit une fois de plus dans les cartes géographiques:

La côte de la Chine est assez lisse, avec peu de très grandes îles et ses différentes régions sont bien reliées entre elles de sorte qu'aucune n'a pu s'émanciper du reste du pays. A l'inverse, l'Europe possède plusieurs péninsules assez isolées les unes des autres et de hautes montagnes divisant l'intérieur du continent. Ces barrières naturelles ont empêché l'unification -politique, linguistique, économique- des différentes régions mais sans pour autant freiner la diffusion des techniques et des idées. Finalement, la comparaison entre l'histoire de la Chine unifiée et de l'Europe balkanisée illustre à merveille les effets amplificateurs d'une société globalisée, pour le meilleur et pour le pire.

La théorie de Diamond me plaît bien parce qu'elle est plus probabiliste que déterministe: la combinaison de conditions écologiques plus ou moins favorables permet de prédire la vitesse de développement d'une société et ses rapports de force avec ses voisines. Evidemment les décisions humaines jouent un rôle majeur sur le cours de l'histoire, mais l'analyse de Diamond se place à l'échelle de la civilisation, pas du siècle. Ou plutôt à l'échelle des grandes évolutions historiques: millénaire au début, séculaire ensuite et décennal finalement lorsque tout s'accélère sous l'effet multiplicateur des combinaisons. A moins que sous l'effet de contraintes politiques (comme pour la Chine), écologiques (pour le Croissant fertile) ou militaires (l'invasion de l'Empire Romain par les barbares), ce rythme ne ralentisse jusqu'au déclin de la civilisation. Vous allez me dire que ça tourne à l'obsession, mais j'y vois encore une explication raisonnable au fait les sociétés progressent très vite à un moment donné, puis après avoir atteint un maximum, ralentissent leur croissance jusqu'au déclin. Exactement comme les évolutions biologiques ou le score dans une partie de scrabble dont je parlais dans le billet précédent.

Sources:
Jared Diamond: De l'inégalité parmi les sociétés

Billets connexes:
Innovations, scrabble et logarithmes qui faisait un zoom sur l'enchainement exponentiel des innovations

Innovations, Scrabble et logarithmes

La Reine, le Fou et l'Arbre (3)
Rappel des épisodes précédents (ici): les innovations technologiques et les ramifications du vivant présentent d’étranges similitudes. Les délais entre deux évolutions majeures sont de plus en plus courts et semblent suivre une progression logarithmique. Quelle que soit la manière dont on représente de telles évolutions -graphe, arbre ou autre- la forme obtenue est toujours la même, quelque soit l'échelle choisie. Ce sont donc des fractales! De quoi combler les amateurs de Da Vinci Code... Certes, ce n’est pas un scoop de dire que l’histoire du progrès technique s’accélère à mesure que le temps passe, mais c’est plus surprenant de faire le même constat pour les chronologies du vivant:

Source : Chaline, Nottale et Grou (ici)

Je viens de trouver une explication plus simple à ce phénomène que celle des lapins-sauteurs de mon précédent billet, en lisant un excellent bouquin de Jared Diamond dont je vous reparlerai dans un prochain billet.

L'imprimerie, inventée il y a 3700 ans...
La réflexion de Diamond prend comme point de départ la découverte d’un disque d’argile, à Phaïstos en Crète, daté de 1700 av. JC (la photo vient de Wikipedia). Ce disque est recouvert de plus de deux cents hiéroglyphes (dont 45 différents) imprimés à l’aide de poinçons. Ces poinçons en relief sont si minutieusement conçus qu’on suppose qu’ils ont servi plusieurs fois. On serait donc en présence de la première inscription réalisée avec des caractères mobiles et réutilisables. Un vrai travail d’impression, 2500 ans avant l’invention de l’imprimerie en Chine et 3000 ans avant celle de l’Europe! Cette trouvaille est une énigme : pourquoi a-t-il fallu attendre autant de temps pour que cette invention soit enfin exploitée par d’autres peuples ?

La réponse de Diamond est finalement assez évidente : aucune innovation, aussi géniale soit-elle, ne peut se diffuser si elle ne se s’articule pas avec les technologies existantes. Il n’y avait en Crète ni encre, ni papier, ni presse, ni métal, ni écriture alphabétique pour que cette invention « prenne ». Et comme seuls quelques scribes jaloux de leur pouvoir savaient à l’époque lire et écrire, il n’y avait pas besoin de diffuser massivement de l’information. L’imprimera attendra donc que tous les ingrédients soient réunis dans l’Europe de Gutenberg pour trouver son essor en 1455 et modifier considérablement le cours de l’histoire occidentale.

Derrière chaque invention, une armée de précurseurs méconnus 
A l’appui de cette règle, il suffit de constater que les grandes découvertes sont rarement le fruit d’un seul homme. La plupart des inventeurs ont surtout peaufiné et adapté des trouvailles que des précurseurs avaient imaginées avant eux. La première machine à vapeur date non pas de James Watt, son inventeur officiel, mais de Héron d’Alexandrie et son étonnante Eolipyle!
Thomas Edison a breveté la version moderne de l’ampoule électrique et Samuel Morse celle du télégraphe électrique mais dans les deux cas, leurs inventions ont été précédées de nombreux procédés similaires ou concurrents (voir par exemple cette histoire de l’éclairage et celle du télégraphe). Bien entendu il n’est pas question de nier l’apport de ces grands inventeurs, mais il faut bien admettre que leur succès tient surtout au fait que leur société était mûre pour exploiter leurs innovations. Les vrais génies qui, comme ce proto-imprimeur de Phaïstos, ont des idées vraiment en avance sur leur époque sont très probablement voués à l’oubli. Si Léonard de Vinci n’avait pas été célèbre pour ses peintures, qui saurait qu’il avait imaginé l’ancêtre de l’hélicoptère?

Une innovation ne réussit donc que lorsqu’elle coïncide avec un bon contexte technologique, prêt à la faire fructifier. Un peu comme un nouveau réactif chimique, qui ne produit d'effet intéressant que lorsqu’il est incorporé aux bons ingrédients.


L'innovation: une affaire de combinatoire?
Innover serait donc l'art de combiner astucieusement des idées ou des technologies. D'ailleurs, la créativité n'est-elle pas précisément la capacité d'associer deux concepts qui n'ont pas l'habitude de l'être? Cette relation intime entre innovations et combinaisons pourrait expliquer le caractère cumulatif du progrès technique, dont les effets se multiplient plutôt qu’ils ne s’additionnent. Plus on a d’ingrédients à sa disposition, plus on a de chances de trouver le mélange adapté à un nouveau réactif. Plus une société a accumulé de technologies, plus elle a les moyens de tirer parti d’une innovation. Le progrès technique progresse donc en cascade, une innovation en amenant une autre dans des délais de plus en plus courts.

[Pour les sceptiques uniquement, essayons de modéliser ça. Supposons que l’on dispose de n technologies et que le champ des innovations soit proportionnel au nombre de combinaisons possibles entre ces technologies. Il y a alors 2ⁿ combinaisons possibles (voir la démonstration ici). Une technologie supplémentaire double le nombre de combinaisons donc le champ des innovations].

L’invention de l’internet par exemple, n’a pris son ampleur qu’avec l’avènement de l’ordinateur individuel et la démocratisation du haut-débit. A son tour, l’internet a permis l’invention de nouvelles formes de divertissement, de commerce, de communications, de moyens de paiement qui elles-mêmes ont induit d’autres innovations etc.

Le Scrabble du vivant
Il y a sans doute quelque chose du même genre dans le grand Lego du vivant. Lorsqu’une innovation anatomique réussit (un nouveau plan d’organisation au Cambrien par exemple), elle ouvre la voie à une floraison de recombinaisons qui chacune amène de nouvelles espèces.
Il y a pourtant une différence de taille avec le progrès technologique: au bout d’un certain temps, variable selon les familles ou les espèces, le rythme des innovations secondaires ralentit de plus en plus et puis s’arrête. Certaines espèces comme le Coelacanthe (source: cliff1066™) n’évolue plus de façon visible depuis des centaines de millions d’années. Que se passe-t-il ? Je livre à vos commentaires une élucubration Xochipillesque : 
Contrairement au progrès technologique qui ne connaît comme limite que celles que lui impose notre culture, l’évolution du vivant, est, elle, soumise à de nombreuses limites physiques: en termes de taille, de poids et de proportion par exemple, mais il y en a beaucoup d’autres. Il se passe donc à mon avis la même chose qu’au Scrabble: 

Au départ, les combinaisons disponibles sont très peu nombreuses, puis chaque mot posé augmente le champ des possibles. Mais comme le plateau de jeu n’est pas infini, le jeu « se referme » peu à peu et les occasions de faire des combinaisons fulgurantes se raréfient. Parfois même, certains mots mal placés «ferment le jeu» et réduisent brutalement les possibilités de jouer. Il arrive un moment où plus personne ne peut jouer, même s’il reste des lettres dans la pioche. De la même manière, on peut imaginer qu’une grande innovation anatomique démultiplie tout d’abord les possibilités d’évolutions d’une branche, puis que celles-ci se raréfient progressivement à mesure que toutes ses dérivées anatomiques viables aient été explorées. Le coelacanthe est pour ainsi dire le super "mot-compte-triple" collé en bas à droite du plateau...

Des Scrabbles partout...
L’innovation culturelle serait-elle plutôt Scrabble ou plutôt Légo? Paradoxalement, il me semble qu’elle est plutôt Scrabble, en raison des contraintes culturelles qui délimitent le plateau de jeu. Le jazz par exemple, a ouvert la voie à de nombreuses écoles qui se sont multipliées jusqu’à ce qu’on ait progressivement exploré toutes les combinaisons culturellement intéressantes. Sans doute faudra-t-il attendre un ingrédient supplémentaire (technologique ou culturel) pour que foisonnent (peut-être?) de nouveaux styles.
 

Source: article d'Ivan Brissaud (ici)

Si mon hypothèse tient la route, il n'est pas très étonnant de trouver autant de phénomènes humains, physiques ou biologiques obéissant à des lois log-périodiques: on en obtient chaque fois qu'une dynamique combinatoire est à l'oeuvre et que son développement est entravé par une contrainte. Cette "invariance d'échelle" omniprésente dans la nature est bien sûr fascinante et l'on peut être tenté d'y rechercher LA règle universelle de l'ordre naturel comme le font certains chercheurs. C'est à mon avis faire beaucoup d'honneur à l'analyse combinatoire. Je reste en revanche toujours impressionné par la beauté du résultat, obtenu à partir de règles aussi élémentaires que celles du Scrabble.

Sources:
De l’inégalité parmi les sociétés de Jared Diamond

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Pourquoi "free beats fee"

Si l'économie comportementale vous intéresse ou si tout simplement nos bizarreries de consommateur vous amusent, je vous recommande le bouquin de Dan Ariel C'est (vraiment) moi qui décide. Un pur bijou d'humour, des expérimentations rigolotes et surtout une bonne leçon d'humilité dès qu'il s'agit de comprendre notre comportement de consommateur. Juste prix, choix rationnels, décisions dans l'incertitude, éthique: toute notre prétendue rationalité économique y passe et on ressort de son bouquin avec la délicieuse sensation d'être quand même un peu plus intéressants que les modèles simplistes auxquels la théorie économique tente de nous réduire.

Etes-vous Lindt ou Hershey?
Le thème de la gratuité m'a semblé particulièrement intriguant. Ariely observe avec malice que le gratuit nous rend un peu fous: il n'y a qu'à voir la foule compacte devant les musées, chaque premier dimanche du mois où l'entrée est gratuite à Paris. Pour économiser quelques euros, les gens sont prêts à perdre beaucoup de temps (comme si celui-ci n'avait aucune valeur) pour visiter des expositions saturées de visiteurs, alors qu'il n'y avait sans doute pas grand monde la veille ou la semaine suivante. Et pas besoin d'être un as du marketing pour connaître la puissance de séduction des formules illimitées. Les cartes de cinéma ou les forfaits de l'internet (fixe ou mobile) n'ont véritablement décollé que lorsque furent proposés des forfaits illimités.
Ariely a imaginé l'expérience suivante pour vérifier la différence entre un prix ridiculement bas et la gratuité totale: sur un stand, il proposa au choix un chocolat haut de gamme (des Lindt) à 15 centimes ou un bas de gamme (un Hershey) pour 1 centime. 73% des consommateurs ont préféré payer le Lindt à 15 centimes. Le jour suivant, il proposa le Lindt à 14 centimes et le Hershey gratuit. Au grand étonnement des chercheurs, cette fois les gens choisirent à 69% un Hershey! Or une ristourne de 1 centime sur les deux produits ne devrait normalement pas changer l'analyse bénéfice - coût entre les deux options et devrait donc n'avoir aucune influence sur les choix des consommateurs:

Supposons qu'un Lindt apporte 50  unités de plaisir contre seulement 5 pour un Hershey.
Payer 15 centimes pour un Lindt procure un bénéfice net de 50-15=35 contre 5-1=4 pour un Hershey. Avantage Lindt.
Le lendemain, le Lindt procure un bénéfice net de 50-14=36, contre 5-0=5 pour un Lindt. Avantage inchangé pour Lindt!

La même expérience lorsqu'on passe les Hershey de 2 à 1 centimes n'a pas du tout le même effet. L'irrésistible attractivité de la gratuité met donc en échec le modèle classique de l'analyse bénéfice-coût. Ariely explique cet effet psychologique par l'absence de prise de risque que signifie la gratuité. "A mon sens, écrit-il, c'est parce que l'être humain a une peur intrinsèque de la perte. En choisissant un produit gratuit, on n'a visiblement rien à perdre. En revanche si l'on s'intéresse à un article payant, alors là, oui, on risque de prendre une mauvaise décision - et de se retrouver perdant. Par conséquent, face à un choix, on préférera le produit gratuit."

Et si tout était une question de ratio?
Il y a sans doute du vrai dans cette thèse, mais je pencherais personnellement pour une explication plus directe. Si l'analyse classique du bénéfice calculé comme différence entre valeur perçue et coût est prise en défaut, c'est peut-être tout simplement qu'elle n'est pas la bonne. Je soupçonne que nous raisonnons en termes de "retour sur investissement" (gain/dépense) plutôt qu'en "bénéfice net" (gain-dépense). De sorte que lorsque la dépense est nulle le rendement devient infini et nos critères de décision s'affolent! C'est pour ça qu'on reprend de la mousse au chocolat au Bistrot Romain jusqu'à s'en rendre malade. Tant qu'aucun coût caché ne réintroduit un dénominateur non nul, "Free beats Fee" et l'on préfère le gratuit à n'importe quoi d'autre.

Cette hypothèse du rapport gain/dépense comme critère de décision me plaît bien pour plusieurs raisons. D'abord, elle est cohérente avec d'autres observations paradoxales. Selon la théorie classique on consomme tout ce qui nous semble intéressant, dès que l'utilité excède le coût. Si c'était le cas, on n'observerait pas autant d'écart entre les intentions d'achat mesurées dans les études marketing et la les ventes réelles des produits une fois mis sur le marché. Mon hypothèse explique cet écart très facilement: on n'achète que lorsque le rapport bénéfice/dépense nous paraît suffisamment élevé, au-delà d'un seuil de décision qui peut varier en fonction de notre humeur, du contexte... et de l'état de nos finances. Le gap entre intérêt et décision d'achat est tout à fait explicable.

Cette explication est également en ligne avec l'aversion à la perte qu'évoque Ariely. La théorie classique prédit qu'il revient au même de dépenser 10 000 euros pour quelque chose qui en vaut 10 100, que de dépenser 100 pour un bien qui en vaut 200. On  voit bien que ce n'est pas du tout naturel. Si au contraire le passage à l'acte dépend du rapport gain/dépense, plus la dépense est élevée, plus le bénéfice doit être important pour se décider à acheter, ce qui est conforme à l'intuition.

Mon hypothèse expliquerait au passage le paradoxe de l'autoradio dont j'avais parlé dans ce billet: ça ne nous dérange pas d'aller à l'autre bout de la ville pour économiser 30 euros sur un autoradio qui en vaut 100, mais pas question de faire la même chose pour économiser 30 euros sur l'achat d'une voiture (avec autoradio) valant 30 000 euros. Le rendement du déplacement est de 30% dans le premier cas mais tombe à 30/30000=0,1% dans le second. Notre réaction instinctive est on ne peut plus rationnelle vue sous cet angle. Et 30 euros n'égalent pas 30 euros dans toutes les circonstances!

La loi de Weber-Xochipilli en économie
Le meilleur argument en faveur de mon hypothèse est qu'elle est cohérente avec le reste de notre système d'évaluation inné. On l'a vu dans ce billet, que ce soit pour la hauteur des sons, le volume sonore (les décibels), l'intensité lumineuse, le poids, la douleur, le plaisir, les durées, le nombre etc. on compare deux grandeurs en évaluant leur rapport et non pas en mesurant leur différence. Notre système physiologique n'est pas très sensible aux valeurs absolues (l'oreille musicale absolue est exceptionnelle). Conformément à la loi de Weber nous ne percevons que des valeurs relatives et n'estimons les grandeurs qu'en proportion les unes des autres. Aussi bizarre que ça puisse paraître, notre sens de la mesure est nativement "logarithmique". A l'inverse, la "soustraction" ne nous est pas naturelle. L'addition et la soustraction sont des inventions arithmétiques récentes, datant tout au plus de quelques milliers d'années, lorsque l'essor de l'agriculture imposa de compter précisément plutôt que d'estimer grossièrement les quantités. Supposer que le consommateur évalue ses préférences avec les mêmes outils cognitifs que le reste de ses sensations ne me paraît finalement pas déraisonnable du tout. Après tout Homo Economicus reste un Homo Sapiens!

Sources:
Dan Ariely C'est (vraiment?) moi qui décide (Flammarion 2008)

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Les certitudes de l'incertitude

Avez-vous remarqué la connotation négative de tous les termes qui ont trait au hasard? "L'aléa" est synonyme de mauvaise surprise, comme le "risque" d'ailleurs. "Hazardous" signifie dangereux en anglais et en français tout ce qui est "hasardeux" n'a pas franchement la cote non plus. Il faut croire qu'on n'est pas très à l'aise avec l'incertitude en général. Mais comme il faut bien faire avec, on tente de domestiquer les phénomènes aléatoires en les réduisant à leur moyenne, agrémentée de leur "écart-type" si on veut faire pro (qui indique la dispersion typique des mesures autour de la moyenne). Et l'on se représente mentalement la série des valeurs aléatoires gentiment dispersée autour de la moyenne et de plus en plus rares à mesure qu'on s'en éloigne. Cette distribution dite "normale" (les mots ne sont pas neutres) est la fameuse courbe en cloche de Gauss, extraordinairement pratique, mais qui nous induit souvent en erreur comme on va le voir...

Tapons-nous la cloche
La fréquence des tailles au sein d'une population adulte donne une bonne idée de l'allure d'une telle distribution:

Dans ce type de distribution règne la tyrannie de la moyenne:
- l'immense majorité de l'échantillon se concentre autour de la moyenne, à la pointe de la cloche: 68% des valeurs sont à moins d'un écart-type de la moyenne (entre 1m75 et 1m90 dans notre exemple);
- la proportion des valeurs extrêmes diminue exponentiellement quand on s'éloigne de la moyenne: il y a une chance sur un milliard de tomber sur un géant de plus de 2m30.
Les extrêmes sont donc à la fois modérés, rares et de peu d'influence. La loi des grands nombres prédit que la moyenne mesurée à partir de n'importe quel (grand) échantillon donne une très bonne approximation de la moyenne théorique, car aucun individu de l'échantillon n'aura un poids suffisant pour biaiser significativement la mesure. Dans ce Médiocristan comme l'appelle Nassim Nicholas Taleb [1] figure la statistique de l'âge d'une population, du nombre de côtés "pile" quand on lance une pièce de monnaie, du nombre de personnes par foyer, etc.

Pareto: voyage dans le royaume de l'Ekstremistan
En étudiant la répartition des richesses de la population italienne à la fin du XIXeme siècle, Vilfredo Pareto découvrit une tout autre distribution aléatoire, où 20% de la population gagne 80% des revenus d'un pays. Depuis cette époque, les 20% les plus riches gagnent plutôt 40% des revenus en France et aux Etats-Unis parce que les inégalités se sont un peu réduites (ou est-ce parce que les revenus déclarés au fisc reflètent mal la valeur réelle des hauts revenus? ;-) mais on continue d'appeler ça la loi des 80-20:

source: d'après le site de Daniel Martin

Ce type de distribution "sauvage" comme l'appelle Benoît Mandelbrot, a cours dans beaucoup de domaines, comme ceux qu'on trouve par exemple sur le site de Gérard Villemin:
- Moins de 1% des loueurs de voitures comptent pour plus de 25% des heures de location;
- 30% des sites Web concentrent 90% des visites;
- 17% de la population mondiale (celles des pays riches) consomment 80% des médicaments etc.
- En biologie les insectes représentent un million des 1 800 000 espèces décrites à ce jour, suivis de loin par les plantes supérieures (270 000) qui elles-mêmes devancent les mollusques (85 000). Mais tout ça n'est rien par rapport aux bactéries qui battent à plate couture toutes les autres formes de vie sur l'arbre du vivant (sur la figure empruntée à Wikipédia, les bactéries sont en bleu) et représenteraient plus de la moitié de la biomasse sur Terre!

La loi des grands nombres: abrogée!
Ici, c'est l'inverse du Médiocristan. Les valeurs extrêmes sont certes rares, mais elles sont tellement spectaculaires que leur présence n'est plus du tout négligeables sur la moyenne. Prenez par exemple la taille des 36 500 communes en France métropolitaine: 1722 habitants en moyenne. Si vous écartez les valeurs extrêmes des 113 villes de plus de 50 000 habitants, votre moyenne tombe à 1324 habitants! 0,35% des données pèsent donc pour 25% de la moyenne. Plus question donc d'appliquer la loi des grands nombres car vous avez de grandes chances que votre échantillon ne soit pas bien représentatif des valeurs extrêmes. Idem pour l'écart-type.

Je me suis amusé à regarder l'historique du Nasdaq depuis 1971 (les données sont téléchargeables ici). Les différences sautent aux yeux quand on compare la distribution des fluctuations quotidiennes du Nasdaq avec celles d'une Gaussienne ayant la même moyenne (0,27) et le même écart-type (27):

1) Les très grandes fluctuations, sur lesquelles j'ai fait un zoom, sont beaucoup plus fréquentes. Il y a eu 64 jours "noirs" où l'indice a chuté de plus de 108 points (4 écarts-types), soit une chance sur 150. Si la distribution était "normale", il aurait fallu attendre plus de 10 ans pour qu'une telle chute se produise (une chance sur 31 000)! L'allure de la queue de la courbe de distribution est donc beaucoup plus "épaisse" que pour une courbe gaussienne, d'où son surnom de "fat tail"...
Pour donner une idée de l'impact de ces journées de folie: depuis quarante ans le Nasdaq a oscillé entre 5060 points (valeur maximale en mars 2000) et 54 (valeur minimale en octobre 1974). Or les 11 jours les plus chahutés de l'histoire du Nasdaq représentent à eux tout seuls une variation cumulée de plus de 3000 points, soit 60% de la variation nette globale!

2) A l'autre bout de l'échelle, il y a beaucoup plus de jours en Bourse où il ne se passe rien du tout ou presque: 2000 jours sans aucune variation là où une Gaussienne n'en compterait que 150. A tel point que j'ai dû raboter le haut de l'échelle des ordonnées pour qu'on puisse voir le reste de la courbe. Paradoxalement, on s'ennuie beaucoup plus fréquemment en Ekstremistan! Les évolutions se passent un peu au rythme d'une veste qu'on ouvre en écartant ses pans, sans prendre le soin de la déboutonner: de longues périodes d'immobilité succèdent à de violents a-coups, chaque fois qu'il y a un bouton à passer.

Avec tout ça, on comprend qu'il soit aussi difficile de faire la moindre prédiction sur la Bourse en extrapolant à partir des valeurs passées. La distribution normale sur laquelle s'appuient encore bon nombre de modèles financiers est manifestement peu adaptée à des évolutions aussi chaotiques.

Hasard fractal...
Ces distributions extrêmes ont une autre caractéristique: leurs règles étranges sont valables quelque soit l'échelle à laquelle on les regarde. Pour reprendre l'exemple des communes, 23% de la population est concentrée dans 0,34% des communes (les 113 plus grandes villes), mais cette hyperconcentration se vérifie aussi dans la taille des 60 plus grandes villes dont 40% de la population se concentre sur les 6 premières. Et Paris pèse à lui tout seul près de la moitié de ces 6 mégapoles.

Idem pour le Nasdaq, dont l'évolution est étrangement similaire, qu'on l'observe sur 15 ans ou sur 12 mois:

Qui dit invariance d'échelle dit...fractales! Alors que dans une distribution gaussienne, les variations deviennent imperceptibles dès qu'on prend de la hauteur, il n'en est rien pour ces distributions qui conservent la même apparence très irrégulière quelque soit l'échelle à laquelle on les regarde (2).

La raison profonde au fait que la règle des 80-20 reste vraie à toutes les échelles, tient à ce qu'il y a dans toutes ces distributions un effet de renforcement pour les valeurs extrêmes, du type "le gagnant rafle tout": la richesse appelle la richesse (pour la répartition des revenus), la notoriété renforce la notoriété (pour le trafic sur le Web), les grandes villes attirent la population et la Bourse est connue pour ses comportements moutonniers en période de panique ou d'euphorie.

Quand l'ordre dicte la taille...
On a déjà rencontré cette invariance d'échelle dans ce billet sur la loi de Benton: elle suppose que la distribution suive une loi de puissance de type p(x≥h)=h^-α, α étant un paramètre fixe. Lorsque cette distribution concerne des phénomènes que l'on peut classer par ordre de grandeur (la longueur des fleuves par exemple), il existe toujours une relation directe entre le rang et la dimension du phénomène. Le phénomène numéro r aura une dimension proportionnelle à (K/r)^1/α, K et α étant des constantes caractéristiques de cette distribution.

[Pour les matheux-curieux: si la probabilité qu'un phénomène x ait une amplitude ≥ h vaut p(x≥h)= h^-α alors sur un échantillon de grande taille K, le nombre de phénomènes de taille ≥ h vaut Kh^-α
Un phénomène d'amplitude h aura donc le rang r=Kh^-α
Le phénomène de rang r aura donc pour taille h=(K/r)^1/α ]

Un tas de phénomènes naturels ou sociaux vérifient ce lien géométrique entre classement et amplitude:
- la magnitude des séismes, c'est la loi de Gutemberg-Richter:

- la fréquence des mots dans un texte: c'est la loi de Zipf:

- les dimensions des fleuves, des lacs ou des montagnes et de manière générale tout ce qui a trait à la topologie des paysages. C'est d'ailleurs pas très surprenant dans la mesure où la côte Bretonne est LA figure fractale par excellence: son aspect déchiqueté est similaire quelque soit l'échelle à laquelle on l'observe.

Graphique à partir des statistiques disponibles pour les lacs d'Europe.
La très belle corrélation linéaire entre logarithmes équivant à une loi de puissance puisque:
Log(surface)=-1,2Log(rang)+4,67 revient à S=47000r^-1,2.
En supposant les lacs circulaires, leur largeur vaut donc L=122r^-0,6

Le petit conte des Lacs
Mais n'allez pas croire qu'un tel déterminisme aide en quoique ce soit à prévoir la taille des phénomènes extrêmes. La statistique sur les lacs a inspiré un joli conte sur ce sujet à Mandelbrot, le pape des fractales (3). L'histoire se passe dans une contrée brumeuse à la conquête de laquelle se lancent des explorateurs. Ce pays est jonché d'étendues d'eau, certaines immenses (on dit même qu'il y a un océan de 300 km de large, d'autres réduites à de simples lacs d'un kilomètre de largeur. Nos explorateurs n'ont pas de carte, mais sont des bêtes de statistiques (ou alors ils ont lu le Webinet). Ils savent donc que les lacs font en moyenne 2,5km et que le lac numéro r est large de 122 r^-0.6

Une fois qu'on s'engage en bateau sur un lac, le brouillard empêche de distinguer l'autre rive si celle-ci est à plus d'un kilomètre. L'équipage en est alors réduit à spéculer sur la probabilité d'arriver prochainement. Si, au bout de cinq kilomètres on n'a toujours pas vu la rive opposée, les calculs indiquent qu'il reste en moyenne cinq autres kilomètres à couvrir. S'il ne voit toujours rien au bout de dix kilomètres, il lui faut s'apprêter à en parcourir dix de plus.

"Le fait même d'avoir couvert quelques kilomètres sans rien rencontrer fait taire tout espoir d'être tombé sur un petit lac et augmente celui d'être tombé sur un lac moyen ou grand, et augmente même le risque terrifiant de s'être engagé sans le savoir sur un Océan."

[Pour les algébristes seulement: on peut démontrer cette propriété bizarre d'un accroissement géométrique de l'espérance à mesure qu'on s'éloigne du bord:

Si p(L≥x)=x^-α (c'est l'hypothèse de départ, souvenez-vous) la probabilité conditionnelle p(L≥x) sachant que L≥h s'écrit :
p(L≥x / L≥h) = p(L≥x)/p(L≥h) = (x/h)^-α
Si l'on fixe h (5km par exemple), la densité de probabilité vaut
p(x / x≥h)= αh^α x^-α-1 (c'est la dérivée de la fonction de répartition qu'on vient d'écrire)
et l'espérance E(x / x≥h) est l'intégrale entre h et +∞ de l'expression: αh^α x^-α-1xdx
Le calcul donne
E(x / x≥h) = hα/(α-1) c'est-à-dire: E(x-h / x≥h)=h/(α-1)
Cette équation barbare se lit de la façon suivante: la distance restant à parcourir quand on a déjà parcouru une distance h est proportionnelle à cette distance h [avec un facteur 1/(α-1) ]

Dans le monde des fractales, tout se joue donc au départ. Si un projet planifié sur un an au total, met initialement deux mois au lieu d'un seul pour passer son premier jalon, ce n'est pas un mois de retard qu'il risque d'avoir à l'arrivée, mais un an! Du côté des bonnes nouvelles, si le jour de sa sortie en salle un film fait cinq fois plus d'entrées qu'un autre, il a de bonnes chances d'avoir cinq fois plus de succès globalement. C'est sans doute la raison pour laquelle Apple concentre autant d'efforts promotionnels au lancement de son iPad, même s'il est certain du succès de celui-ci.

Principe d'incertitude en version macroscopique
Sauf que... le conte de Mandelbrot nous indique aussi qu'on est toujours certain d'être surpris, paradoxe qui ne manque pas de saveur:

"Et puis tout d'un coup, les arbres émergent de la Brume, et on arrive au but. "Haro sur le mauvais faiseur de prévision!" Se moque-t-il de nous, ou commet-il une faute de calcul? Le premier voyageur (bien sûr) l'avait cru, mais il dut se rendre à l'évidence mathématique. C'est curieux, mais c'est ainsi: pendant que l'explorateur abat du travail, la valeur probable de la tâche restante s'allonge à mesure. L'on s'exclame, l'on s'étonne, et les vétérans expliquent patiemment qu'il ne s'ensuit en aucune façon que l'autre rive du lac soit un mirage. Elle existe bel et bien, et les esprits fantasques des Brumes, non seulement finissent toujours par s'attendrir, mais en général s'attendrissent fort rapidement(...) L'autre rivage apparaît juste au moment où rationnellement il paraissait plus éloigné que jamais. Dès lors toutes sortes de clichés s'appliquent de la façon la plus textuelle. Il ne faut pas lâcher pendant le dernier quart d'heure..."

Bref, si les extrapolations gaussiennes sont hors de propos, les prédictions de la statistique fractale ne parviennent pas à faire beaucoup mieux. Elles ne parviennent qu'à nous montrer à quel point tous nos efforts de prédictions sont vains dans beaucoup de domaine. Ce principe d'une "inévitable surprise" -analogue à l'indétermination quantique?- est finalement la seule certitude positive qu'il nous reste. Remarquez, je trouve ça déjà pas mal d'être certain par avance que la nature nous réserve beaucoup d'autres sujets d'étonnement.

Sources:

[1] Nassim Nicholas Taleb, Le Cygne Noir (2007): un excellent bouquin que je vous recommande, même si Taleb a manifestement des comptes à régler avec les économistes!
(2) ...jusqu'à un certain point, mais le problème est qu'on ne sait jamais lequel.
(3) Benoît Mandelbrot, Fractales, hasard et finance (1997). J'ai changé les données du conte original car elles ne collent pas avec mes propres statistiques (tirées de Wikipedia sur les lacs d'Europe) et en plus il me semble qu'elles sont incohérentes (la loi T=100/racine(r) de Mandelbrot ne colle pas avec la taille moyenne de 5km qu'il indique dans son livre).

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Comme un lapin qui sauterait partout (source de la photo ici) en espérant se percher le plus haut possible, notre organisme mutant a deux stratégies possibles:
- soit il la joue "prudent" en bougeant un tout petit peu autour de lui (ce qui correspond à une micro-mutation). Il a alors de bonnes chances de grimper, mais pas très vite.
- soit il la joue "Banzaï" et fait un saut de la mort au hasard dans le paysage. C'est risqué, mais il a une petite chance de tomber pas loin d'un pic et de gagner le jackpot en termes d'évolution.

Au moment du Cambrien, c'est le bonheur pour les rares organismes multicellulaires qui apparaissent par mutation: ils n'ont pas de prédateurs et se prélassent dans un océan de nourriture sans défense. Les anatomies complexes ont donc une "fitness" énorme pour peu qu'elles soient viables, ce qui correspond à des pics très escarpés dans le paysage de Kauffman. La stratégie "Banzaï" est du coup très payante car en faisant de grands bonds, nos lapins ont une certaine chance pas complètement nulle de tomber sur une anatomie hyper avantageuse. Avec cette tactique tous les plans d'organisation viables sont très vite explorés par nos lapins: c'est la phase d'explosion créatrice du Fou où dominent les macromutations.

Au fil du temps, la situation se complique: Kaufman a montré sur un petit modèle que chaque fois qu'un lapin-organisme réussit par hasard une macro-mutation avantageuse, ses chances d'en réussir une seconde sont diminuées par deux. Autrement dit, le temps entre deux macro-mutations double à chaque fois. Et assez rapidement, plus aucune macro-mutation viable n'est statistiquement possible. Vient alors le temps des évolutions graduelles -les petites mutations qui conservent le plan d'organisation d'origine- qui font grimper le lapin doucement sur son pic en adaptant finement sa morphologie au nouvel environnement. A mesure que le temps passe, les évolutions se font de plus en plus mineures et la Reine Rouge reprend ses droits.

Un arbre fractal?
Sur la base de ce raisonnement, certains paléontologues comme Jean Chaline généralisent la statistique de ce modèle: selon eux le rythme d'apparition d'un niveau supplémentaire de ramification dans l'arbre du vivant augmenterait de manière proportionnelle dans le temps. Et comme vous êtes maintenant familiers avec les logarithmes, vous savez qu'une telle périodicité logarithmique traduit une invariance d'échelle dans la géométrie de l'arbre, autrement dit sa structure fractale!

Source: Chaline, Nottale et Grou (ici)

C'est rigolo non? D'autant qu'on a souvent remarqué l'aspect fractal de certains arbres en vrai dans la nature.

Images du site mathcurve.com (à droite c'est un vrai arbre!)

Bien entendu cette théorie est très contestée car comment s'assurer, par exemple, que les étapes évolutives retenues sont les "bonnes"? Vous me direz ce que vous en pensez.

Application aux progrès technologiques?
En tous cas, on a souvent relevé le parallèle entre les bizarreries de l'explosion Cambrienne et celle du progrès technologique. Lorsque la bicyclette a été inventée, on a vu apparaître sur le marché toutes les formes possibles et imaginables de vélo, avant que le marché ne porte finalement son choix sur un modèle qui n'a plus beaucoup varié depuis 1880!

Idem pour l'invention de l'automobile: on a oublié que la lutte a été rude au départ entre les partisans de la propulsion à vapeur (les machines de Bollée ci-dessous) et les moteurs à gaz naturel ou à essence, avant que ces derniers ne s'imposent définitivement.

la Mancelle d'Amédée Bollée (1878)

Pareil pour l'invention du Web: souvenez-vous de l'explosion des start-up de tous poils qui n'ont pas résisté à l'explosion de la bulle internet en 2000. Dix ans après, ce sont souvent les mêmes business modèles qu'au départ, même si les acteurs ont changé. Exit les Netscape, Altavista, et autres Degriftour: pour survivre il faut innover mais ça ne suffit pas! L'innovation échevelée cède progressivement la place à une recherche plus méthodique d'une meilleure efficacité. Comme dans l'évolution, après le Fou, la Reine Rouge reprend du service.

L'analogie a été poussée à tel point que l'on a été jusqu'à rechercher la structure log-périodique de ces révolutions technologiques. Avec des variantes, car comme l'a remarqué Roland Moreno: « Dans les secteurs classiques (bâtiment, automobile…) le progrès évolue de façon logarithmique : il tend vers l'infini mais de plus en plus lentement. Dans les sciences de l'information au contraire, il donne l'impression d'être exponentiel ». Et quand on cherche des structures étranges, on les trouve. Même l'histoire du jazz n'y couperait pas, regardez:

Source: article d'Ivan Brissaud (ici)

La différence entre biologie et technologie
Plaisanterie à part, il y a quand même une vraie différence entre biologie et révolution technologique. La biologie, c'est hiérarchique! Dans le domaine du vivant les mutations les plus radicales - celles qui déterminent les classifications taxonomiques supérieures (règne, ordre, famille etc)- sont aussi celles qui affectent les stades précoces du développement embryonnaire. Une mutation touchant la formation de la colonne vertébrale est bien plus pathogène qu'une mutation plus tardive correspondant à la formation des doigts par exemple. Mais on a vu que ces mutations radicales n'avaient de chance d'être viables qu'aux premières périodes de l'évolution. Il parait donc logique de trouver des mutations développementales de plus en plus tardives à mesure que l'on avance dans l'histoire du vivant. Plus le temps passe, plus les formes initiales du développement embryonnaire sont "figées". Au point qu'à la fin (actuellement?) seules les mutations intervenant en toute fin de développement embryonnaire sont (éventuellement) viables, autorisant de temps en temps la formation d'une nouvelle espèce. On justifierait ainsi l'ordre implacable dans lequel seraient apparus d'abord les règnes, puis les ordres, puis les familles, etc. jusqu'aux espèces, de manière non réversible.

Il n'y a, me semble-t-il, rien de tel dans l'histoire du progrès technologique, car je ne lui connais aucune contrainte équivalente à celles du développement embryonnaire. N'importe quelle révolution technologique est susceptible d'engendrer l'équivalent de nouveaux "plans d'organisation": les motos à trois roues par exemple (source ici) . Il n'est même pas besoin d'une nouvelle technologie pour bouleverser un secteur:traditionnel: les compagnies "low cost" dans la distribution ou les transports, les Kapla dans le secteur des jouets en bois par exemple. Bref, l'innovation technologique me semble diablement plus anarchique que l'évolution naturelle...

PS du 10 janvier: A l'occasion d'un nouveau record dans le calcul des décimales de pi, El Jj vient de publier une très bonne chronologie des découvertes de ces décimales. Pour le plaisir, je me suis amusé à regarder si par hasard elle suivait une certaine régularité logarithmique (comme l'histoire du jazz). Voici ce que ça donne (cliquez pour aggrandir l'image):

Ca marche... presque. On voit une bonne régularité jusque vers 1950, mais avec l'invention de l'informatique on change de braquet. Le dernier point (celui de 2010) est totalement à côté de la plaque, mais on sait que les logarithmes n'aiment pas trop les petits nombres. Patience, donc jusqu'à la prochaine découverte pour savoir si ça se confirme ou si l'on a changé de vitesse une seconde fois...

Source et articles intéressants pour aller plus loin:
Un modèle plus sophistiqué de Kauffman (2003)
L'arbre de la vie a-t-il une structure fractale de Chaline, Nottale et Grou (1989)
A noter que Laurent Nottale tente à présent de faire de sa théorie de l'invariance d'échelle une théorie universelle, unifiant la mécanique quantique, la relativité, la cosmologie, la biologie etc. C'est... original!

Billets connexes:
Le Fou, la Reine et l'arbre (part 1), le billet précédent sur les surprise de l'explosion Cambrienne.
Logarithmes: again?! pour comprendre le lien entre invariance d'échelle et log-périodicité.