Géométrie des corps célestes

– Pourquoi les planètes sont-elles toujours aussi rondes?

– Parce que sinon ce ne seraient pas des planètes! répondis-je, un peu énervé par les questions de ce petit bonhomme. J’avais lu quelque part que seuls les corps en forme de sphère ont droit au titre de planète quand ils tournent autour d’une étoile. Mais comme toujours, il continua comme s’il ne m’avait pas entendu.
– Un monde où la gravité dominerait toutes les autres forces serait trop triste, reprit-il. Jamais elle n’aurait laissé fleurir ma rose ni grandir mon mouton sur ma planète. Elle déteste les formes biscornues. La seule chose qu’elle supporte ce sont des sphères, des horribles boules toute rondes et sans aspérité.
– Elle n’avait pas l’air bien ronde, pourtant ta planète, Petit Prince?
– Oh, non alors! Elle était bien trop petite. Et il partit d’un grand éclat de rire…[1]

Ce n’est que bien plus tard, en fouillant sur internet que je réalisai à quel point il avait raison… Jusque là je croyais que la forme ronde d’une planète venait du fait qu’elle s’était formée à l’état liquide et que la tension de surface y avait agi comme sur une goutte d’eau ou une bulle de savon: pour un volume donné la sphère correspond à la forme de surface (donc de tension) minimale. Pas d’histoire de gravité ou d’effet de taille là-dedans. Mais c’est là bien sûr où mon explication cloche: il suffit de regarder le zoo des corps célestes en fonction de leur taille [2]…

(source ici)

Il y a effectivement un rapport direct entre la taille des corps célestes et leur forme:
– En dessous de cinquante kilomètres toutes les formes sont permises, même les plus étranges.
– Entre cinquante et trois cents kilomètres ce sont des patatoïdes.
– Au-delà de 300 km on ne trouve que des boules.

Quelle est la hauteur des montagnes?
Et puis on s’aperçoit aussi que contrairement à l’intuition, plus la planète est grande, moins ses montagnes sont hautes! Alors que Mars est deux fois plus petite que la Terre, le Mont Olympe fait trois l’altitude de l’Everest. D’accord c’est difficile de parler d’altitude sur une planète où il n’y a pas d’eau. Mais même en tenant compte de la partie immergée des volcans, le recordman terrestre, Mauna Kea (Hawaï) n’arrive qu’à mi-hauteur de son homologue martien:

Si l’on y réfléchit bien, cette histoire de montagnes est moins paradoxale qu’il n’y paraît. Sur une planète plus petite, la gravité est moindre et les choses peuvent plus facilement monter haut. Une montagne peut s’élever tant que sa base supporte son propre poids. Si elle est trop haute, il s’exerce une telle pression à sa base que celle-ci “fond” et la montagne n’est plus stable. La hauteur maximale d’une montagne est donc celle pour laquelle le poids de la montagne exerce une pression limite sur sa base.

Un petit calcul [3] montre que cette hauteur maximale varie à l’inverse de la taille de la planète:

Une planète deux fois plus petite doit donc avoir des montagnes deux fois plus hautes (si sa composition, sa densité, tout ça sont pareilles): exactement les proportions qu’on observe entre Mars et la Terre!Plus c’est gros, plus c’est rond…

Maintenant que le mystère des montagnes est élucidé, on est en mesure de comprendre la forme des planètes. La gravité attire toute la matière vers le centre de la planète, elle a donc tendance à créer des formes rondes, qui sont les plus compacts qui soient (celles qui minimise la distance entre les points les plus lointains). Mais cette quête de rotondité est sans arrêt perturbé par les chocs avec d’autres corps célestes, l’activité volcanique, l’érosion etc. La planète n’a une forme de sphère que si elle réduit en poussière toute irrégularité trop grande par rapport à sa propre taille.

Supposons qu’on considère comme sphérique une boule dont les irrégularités de surface ne dépassent pas 50% de son rayon par exemple. On peut réutiliser le petit modèle qu’on a fait plus haut en imposant que hmax = 0,2 x R (la montagne la plus élevée fait 50% du rayon de la planète).
Cela impose que R² soit plus grand que  3Pmax/(0,5 x 4 G²)

En prenant pour Pmaxla pression limite des silicates (10 000 bar soit 109 Pa) et pour ρ une densité moyenne de 3 (soit 3000 kg/m3), on trouve qu’une planète est ronde si son rayon est supérieur à quelques centaines de kilomètres: pile le bon ordre de grandeur alors que le modèle est vraiment très primitif!

Force électrique contre gravitation
Reste à comprendre ce qui se passe en dessous de cette taille critique. Qu’est-ce qui donne sa cohésion à la matière et lui donne des formes stables dans le temps? Ecartons déjà les interactions nucléaires fortes ou faibles, qui n’ont d’effet qu’à l’échelle de l’atome (10-9m). Il n’y a que deux candidats sérieux à notre échelle (entre disons 1 cm et 1km): la force de gravité dont on vient de parler, et l’attraction électrique qui « accroche » les molécules les unes aux autres. Ces deux forces décroissent de la même façon avec le carré de la distance. Mais leur différence d’intensité est colossale. On peut pour s’en faire une idée comparer leur effet respectif sur une particule élémentaire comme le proton, servant d’étalon pour l’unité de masse et pour l’unité de charge:

L’attraction gravitationnelle entre deux protons distants de un mètre l’un de l’autre vaut
Fgrav ~ Gm² = 10-10 (10-27)2=10-64N, pas grand chose donc.

A côté de ça, leur répulsion électrique  vaut Felec=q2/4πε ~ 1010(10-19)2= 10-28 N, pas grand chose non plus mais infiniment plus que la force de gravité! Le rapport entre ces deux forces est de 1036, c’est-à-dire à peu près le même qu’entre entre la taille d’un atome (10-10m) et celle de l’univers observable (10 milliards d’années lumière soit 1026m)!

« Unitairement », la gravitation ne pèse donc RIEN (si j’ose m’exprimer ainsi) par rapport aux forces électriques. Mais alors pourquoi la gravitation deviendrait-elle prépondérante sur la force électrique à l’échelle d’une grosse planète? La réponse vient du fait que les forces électriques sont certes très puissantes, mais elles peuvent être soit attractives ou soit répulsives suivant le signe des charges. Dans un morceau de matière électriquement neutre, la force électrique exercée par les milliards d’électrons qui s’y trouvent est certes monstrueuse, mais elle est très exactement compensée par une force inverse, créée par les milliards de protons qui s’y trouvent aussi. Comme deux frères jumeaux très costauds qui tireraient une corde chacun dans un sens opposé. « L’équilibre est si parfait, expliquait Feynman dans une de ses conférences, que lorsque vous vous tenez près de quelqu’un d’autre, vous ne sentez aucune force. S’il y avait un très léger déséquilibre vous le sauriez. Si vous vous teniez à un bras de distance de quelqu’un et que chacun de vous ait un pour cent d’électrons de plus que de prodtons, la force de répulsion serait incroyable (…) La répulsion serait suffisante pour soulever une masse égale à celle de la Terre entière.” 

C’est un peu la même histoire que pour la pression atmosphérique, dont on a du mal à croire qu’elle représente une force de 1kg sur chaque cm2 de notre corps.

Echelle arithmétique contre échelle géométrique
Du fait de ces effets de masquage, la force électrique se réduit donc à une portée très locale: elle ne se fait sentir qu’au niveau moléculaire pour accrocher les atomes les uns aux autres. C’est donc elle qui donne sa cohérence aux objets qui nous entourent, à la matière ordinaire. Mais en l’absence d’effet cumulatif, la « force de cohésion » d’origine électrique est indépendante de la taille des objets. La force qu’il faut déployer pour arracher un clou à son support est indépendante des dimensions du mur et il n’est pas plus dur de puiser de l’eau dans un grand lac que dans un petit.

Il en va tout autrement de la force de gravitation car l’attraction gravitationnelle étant toujours attractive, ses effets se cumulent de façon exponentielle. Certes la force exercée par un proton sur un autre est ridicule, mais si regardons ce qui se passe quand on considère non pas deux mais n protons [4]:
L’énergie de liaison entre deux protons vaut Eij=Gm/rij, rij étant la distance entre les deux.
Il y a n² couples de protons , n(n-1) pour être précis, donc l’énergie globale vaut ∑Eij=n²Gm/r², r étant la distance moyenne entre deux protons. Cette distance moyenne est proportionnelle à r~n1/3 car le volume occupé par les protons est proportionnel à leur nombre.

L’énergie de liaison totale vaut donc ~ n²/n1/3~n5/3, soit un peu moins vite que le carré du nombre de protons dans le système. On n’est pas très habitué aux systèmes non linéaire comme celui-ci, où l’effet n’est pas proportionnel à la cause. Pour vous en donner une idée, prenez une grande feuille de papier et pliez-la en deux, puis encore en deux etc. Sans faire de calcul, à quelle hauteur de papier imaginez-vous que l’on atteindrait au bout de trente pliages? Perso j’aurais dit quelques mètres… et j’étais complètement à côté de la plaque. Au bout de trente pliages, en prenant une feuille de 0,1 mm d’épaisseur, la couche de papier atteint plus de 100km de haut! L’énergie gravitationnelle augmente d’une façon très similaire: insignifiante au départ, elle s’accroît très vite jusqu’à éclipser toutes les autres forces à l’échelle astronomique…

Toutes? Non, bien sûr. Certains grands objets célestes refusent de se soumettre au dictat de la gravitation, même à très grande échelle: une galaxie, par exemple ou le disque de Saturne. Ou bien encore les nébuleuses gigantesques qu’on confond parfois avec des galaxies.

source ici

Si le zoo cosmologique conserve autant de diversité dans ses formes c’est qu’à chaque fois d’autres sources d’énergie encore plus colossales que la gravitation parviennent à contrecarrer les effets arrondissant de la gravitation. La force centrifuge, crée par la rotation très rapide des corps en orbite, est suffisamment puissante pour aplatir les galaxies et les disques d’accrétion. Quand aux nébuleuses, c’est une température folle qui agite les molécules de gaz et les empêche de se laisser capturer par l’attraction gravitationnelle. La concurrence est rude dans l’espace!

NB. J’ai utilisé dans ce billet indifféremment le mot de gravité et de gravitation. Grave erreur, mea maxima culpa, mais vous corrigerez de vous-même…

Sources:
[1] Cette image m’a été inspirée par une phrase de Trinh Xuan Thuan (“Le chaos et l’harmonie” (très bon livre!) que j’ai mis du temps à comprendre:
“A l’échelle des choses de la vie, la force électromagnétique a toujours le dernier mot. Et heureusement pour nous, car un monde où la gravité dominerait serait bien morne et triste: la sphère serait la seule force permise, et les délicats contours d’un pétale de rose, les formes parfaites d’une statue de Rodin, la dentelle de fer de la tour Eiffel nous seraient inconnus”.
[2]  Lineweaver & Norman “The Potato Radius:  a Lower Minimum Size for Dwarf Planets” (2010)
[3] Le calcul est détaillé dans le site sciences.ch et sur le livre “Astronomie et astrophysique: cinq grandes idées pour explorer et comprendre “ de Séguin et Villeneuve
[4] Voir le cours de Roland Lehouq “La masse en astrophysique” (2002) ou la conférence de Lévy-Leblond “Pourquoi les planètes sont rondes” (2002) (…avec l’image du Petit Prince à la fin ;-))

Elémentaire mon cher Newton

Richard Feynman, prix Nobel de Physique est un des rares scientifiques à être aussi connu pour ses découvertes en physique quantique (voir par exemple le billet de Benjamin au sujet de ses fameux "diagrammes") que pour son génie de la pédagogie. Ses cours de première année à l'Université Caltech étaient de véritables shows et leur recueil reste la référence de tous les étudiants américains en physique. David Goodstein, qui fut un de ses assistants raconte [1] qu'il lui demanda un jour de lui expliquer pourquoi les particules de spin 1/2 obéissent à la statistique de Fermi-Dirac (le truc simple, hein!):

Mesurant son public, il me répondit: "Je vais préparer un cours de première année là-dessus". Mais il revint quelques jours plus tard pour me dire: "Je n'ai pas pu. Je n'ai pas pu le réduire au niveau d'une première année. Ça veut dire qu'on ne comprend pas vraiment pourquoi."

Son grand plaisir était de trouver des explications simples pour expliquer des trucs compliqués. Au cours d'une célèbre séance télévisée Feynman expliqua par exemple les causes de l'explosion de la navette Challenger, en jetant négligemment (en fait son numéro était finement rôdé) un morceau de joint des boosters de l'engin dans un verre d'eau glacée. Il montra comme ça comment un simple changement de température faisait perdre son élasticité au joint et avait pu provoquer l'accident de 1986.

Galilée avait raison!
On vient de publier en français un de ses cours de 1964, qu'on a retrouvé un peu par hasard trente ans plus tard, et dans lequel Feynman explique comment Newton s'y est pris dans ses Principia de 1687 pour démontrer les lois de la gravité et la forme elliptique des orbites. Cette démonstration est historique car c'est l'un des tous premiers moments de l'histoire des sciences où l'on démontre les lois de la nature par la seule force de la géométrie. Preuve que Galilée avait vu juste quand il disait que "[l'univers] est écrit en langage mathématique et ses caractères sont les triangles, les cercles et autres figures géométriques, sans lesquels il est absolument impossible d'en comprendre un mot." Le cauchemar des étudiants allergiques aux maths date de là!

Comme toute démonstration géométrique, c'est un petit bijou d'élégance car ses arguments sont tous à la portée de tout (bon) lycéen. Il n'est pas étonnant que Feynman ait eu à cœur de la retrouver juste pour le fun et je ne résiste pas au plaisir de vous la présenter sous une forme encore plus simple que celle de Goodstein-reprenant Feynman-reprenant Newton. Si vous aimez les maths, vous ressentirez peut-être comme moi une vraie émotion face au déroulé implacable de sa logique à la fois simple et efficace, qui démasque l'une après l'autre les énigmes millénaires des lois célestes. Amis jipigequeudal passez prudemment votre chemin; mon prochain billet sera moins hard, promis!

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L'histoire se passe au XVII° siècle. Kepler avait bien remarqué que les trajectoires des planètes n'étaient pas des cercles: ses calculs ne collaient pas avec ses observations. A force d'y travailler il publia trois lois empiriques déduites de ses mesures:
K1: Un segment de droite imaginaire, reliant le soleil à une planète, balaye toujours la même surface dans un temps donné.
K2: Le carré d'une année planétaire est proportionnel au cube du rayon de son orbite. Autrement dit T²~R³
K3: Toutes les orbites planétaires sont des ellipses dont le soleil occupe l'un des foyers.

Le génie de Newton fut de trouver l'explication de ces observations par la seule force du raisonnement, en partant juste des trois lois fondamentales qu'il postulait et que vous avez (normalement!) tous appris au lycée
N1: Tout corps persiste dans son repos, ou son mouvement uniforme en ligne droite, à moins que des forces ne l'obligent à changer cet état. C'est le principe d'inertie, que Galilée et Descartes avaient supputé avant lui et que le parti socialiste applique avec méthode.
N2: Le mouvement change proportionnellement à la force motrice appliquée, et dans la direction de la ligne droite dans laquelle cette force est appliquée.
C'est la fameuse deuxième loi de Newton, qu'on écrit maintenant par ΔV = F Δt (je mets en gras chaque fois qu'il s'agit de vecteurs, c'est-à-dire de "flêches") et qui exprime simplement que plus on tape fort dans le ballon, plus il part vite.
N3: A toute action s'oppose une réaction égale. Cette loi traduit juste le fait que les forces internes d'un corps isolé se compensent les unes les autres quelque soit la forme du corps en question. On peut donc raisonner sur une planète comme si elle se réduisait à un point géométrique, localisé en son centre de gravité, ce qui simplifie le paysage.

Newton démontra d'abord pourquoi si la force de gravitation est dirigée vers le centre du soleil, les planètes balayent des surfaces égales en des temps égaux (K1).
Ensuite, il exploita l'observation K2 de Kepler dans le cas des orbites quasi-circulaires qu'on observe souvent. Grâce à sa deuxième loi de la dynamique (N2) il conclut que la force de gravitation est inversement proportionnelle au carré de la distance au soleil (F~1/R²).
Enfin, sans faire d'hypothèse supplémentaire, il démontra géométriquement pourquoi les orbites célestes sont des ellipses (K3).
Suivez-le guide!

1) Pourquoi les planètes balayent des surfaces égales en des temps égaux si la force est dirigée vers le soleil.
Un petit schéma aide à comprendre ce qui se passe. Le soleil est en S et la planète part du point A avec une vitesse V_A.
En rouge les vitesses, en noir les trajectoires.

Raisonnons sur deux intervalles de temps très petits et égaux et comparons ce qui se passe:

- en l'absence de force,
- si la planète subit une force dirigée vers le centre du soleil.

Avec ces résultats, calculons les aires balayées durant les deux intervalles de temps (égaux) si la force que subit la planète est effectivement dirigée vers le soleil:

Newton vient de démontrer que si la force d'attraction est dirigée vers le soleil, quelque soit son amplitude, une planète "balaye" toujours la même aire durant un intervalle de temps donné. Autrement dit, l'aire qu'elle dessine est proportionnelle au temps.

C'est ce qui explique qu'un patineur tournoyant sur lui-même, va de plus en plus vite à mesure qu'il se ramasse sur lui-même: la force centrifuge étant toujours dirigée vers son axe de rotation, ses bras sont comme les planètes, condamnés à balayer une surface égale pour des temps égaux. Donc à tourner plus vite quand ils sont près du centre de rotation. Passons à l'étape suivante:

2) Pourquoi la force de gravité est-elle inversement proportionnelle à la distance au soleil?
Newton raisonne sur une orbite circulaire parce que bon nombre de planètes ont des trajectoires quasi circulaires. Si la loi de la gravitation est universelle, il suffit de démontrer sa forme dans le cas le plus simple: Isaac l'attrape donc par son point faible, le cercle et commence par calculer la variation de vitesse ΔV correspondant à un intervalle de temps fixe Δt.

ΔV est donc proportionnel à R/T² et à Δt.
Or Kepler a observé que T² est proportionnel à R³ et d'après la deuxième loi de Newton, F=ΔV/Δt
F est donc proportionnel à R/R³= 1/R².
Voilà, Newton venait de montrer que la loi de la gravité est inversement proportionnelle au carré de la distance de la planète au soleil. Tan tan!

3) Pourquoi les planètes parcourent des trajectoires elliptiques
Reste le morceau de choix. Celui sur lequel Feynman a dû se concocter sa propre démonstration car celle de Newton était incompréhensible.
Il s'y prend en quatre étapes:

a) Il démontre d'abord que la variation de vitesse ne dépend que de l'angle "balayé" par la planète. Propriété fondamentale dont découle tout le reste.
b) Il montre ensuite que le "diagramme des vitesses" est un cercle et comment les vecteurs vitesses tournent dans ce cercle lorsque la planète se déplace sur son orbite.
c) Il explique comment réciproquement, en se donnant un cercle quelconque comme "diagramme des vitesses" a priori, on peut construire géométriquement une position "candidate" de la planète, à un changement d'échelle près.
d) Il montre enfin que l'ensemble des positions ainsi construites forme une ellipse et qu'elle respecte toutes les propriétés des orbites célestes.

Première étape:
Au lieu de découper l'orbite de la planète en petits temps égaux, Newton la découpe en petits angles égaux (parcourus en des temps différents donc) et il montre que la variation de vitesse est alors constante pour un angle donné:

L'aire balayée par la planète est proportionnelle au carré de la distance au soleil. Or d'après la loi des surfaces balayées de Kepler (K1), le temps que met la planète à balayer cette aire est proportionnelle à son aire. Ce temps est donc lui aussi proportionnel au carré de la distance au soleil.

Δt~R²

Or F~1/R²

Comme ΔV=FΔt, ΔV~R²/R²

ΔV est constant en tout point de l’orbite pour un angle α donné.

Deuxième étape:
Avec ce résultat, Feynman montre que le diagramme des vitesses (je crois qu'on appelle ça un "hodographe") est un cercle!

Troisième étape:
On a maintenant tout ce qu’il faut pour essayer de tracer une trajectoire pour notre planète, en partant d'un cercle représentant le diagramme des vitesses.

On commence par construire le diagramme des vitesses:

- un cercle d’une longueur arbitraire R

- un point O à l’intérieur, différent du centre S.

On sait que toutes les vitesses dans ce diagramme auront pour origine O et pour extrémité un point du cercle (ici p).

Dernière étape:
Pour faire durer le suspense, regardons d’abord les propriétés géométriques de "l'ensemble des points P" qu'on vient de construire.

Puisque P est sur la médiatrice de [O,p], OP = Pp

donc SP + OP = SP + Pp = Sp

Or par construction, p est sur un cercle de centre S, donc Sp est une constante.

SP + OP = constante est la définition d’une ellipse (l'animation vient de Wikipedia):

P est donc sur une ellipse dont O et S sont les foyers.
On chauffe!

Vérifions maintenant que la médiatrice de [O,p] est bien tangente à l’ellipse.

Quels sont les points Q appartenant à la fois à cette médiatrice et à l’ellipse?

Si Q appartient à l’ellipse, SQ + OQ = Sp

Si Q appartient à la médiatrice de [O,p], OQ = Qp

On a donc SQ + Qp = Sp

Or SQ + Qp est toujours inférieur à Sp sauf si Q appartient à [S,p].

La médiatrice de [O,P] ne coupe donc l’ellipse qu’en son point d’intersection avec (Sp).

Autrement dit, en P la tangente de l’ellipse est bien perpendiculaire à (Op) et la propriété 1
est vérifiée. Une trajectoire elliptique est donc tout à fait compatible avec la force de gravitation. CQFD! (Ce Qu'il Fallait Démontrer). Feynman aurait plutôt dit QED (Quod Erat Demonstrandum) pas parce qu'il aimait le latin mais parce qu'il avait aussi inventé l'électrodynamique quantique, QED en anglais.

Les coniques
En fait la trajectoire elliptique n'est qu'une des trajectoires possibles:
Si l'origine des vitesses est au centre du cercle, la figure formée est un cercle.
Si l'on prend l'origine pile sur le cercle, la trajectoire est une parabole.
Si on l'avait prise à l'extérieur du cercle, la trajectoire aurait la forme d'une hyperbole, formant des branches à l'infini... C'est typiquement ce qui arrive à la comète de Halley... et aussi aux particules chargées quand les bombarde selon certains angles sur une fine feuille d'or (les forces électromagnétiques entre particules chargées sont aussi proportionnelles à l'inverse de la distance). En 1910, Rutherford démontra grâce à cette propriété que la masse des noyée est concentrée dans un tout petit volume et que les atomes sont surtout faits... de vide.

Dans une de ses notes de cours, Feynman avait écrit: "Les choses simples ont des démonstrations simples". Et puis il avait barré le deuxième "simples" pour le remplacer par "élémentaires". Cette démonstration de Newton, prouve s'il en était besoin la nuance entre les deux termes. La géométrie c'est un peu comme la cuisine: pas besoin d'ingrédients très compliqués pour faire une recette sophistiquée: pour réussir un soufflé ou une mayonnaise, tout est dans le tour de main!

Sources:
[1] Le mouvement des planètes autour du soleil (Richard Feynman, David Goodstein et Judith Goodstein, 2009) avec ce fameux cours perdu de 1964.
- La nature de la physique (Richard Feynman, 1980): un recueil de textes très simples sur les mystères des symétries en physique. Passionnant!
- Lumière et matière - Une étrange histoire (Richard Feynman, 1987): l'explication aussi simple que mystérieuse des interactions lumière-matière au moyen des petits diagrammes de Feynman.

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