Le théorème de Noether: couteau suisse de la physique

Il y a des trucs qu'on apprend à l'école et qu'on admet une bonne fois pour toutes parce qu'ils tombent sous le sens. Par exemple "l'énergie se conserve" ou encore "les lois de la nature sont les mêmes pour tous, partout et tout le temps" etc. On ne sait plus trop d'où sortent ces règles mais ce n'est pas bien grave, elles sont tellement évidentes... Sauf qu'au début du XXeme siècle ces tétrapilectomanes de mathématiciens ont fini par s'interroger à leur sujet. Il faut dire que remettre les évidences en question était à la mode: la relativité restreinte venait tout juste de montrer que le temps s'écoule différemment selon que l'on se déplace ou pas. A défaut de pouvoir prouver le bien-fondé de ces lois fondamentales (on l'a fait plus tard), on pouvait en particulier se demander s'il était nécessaire de postuler toutes ces lois ou si certaines découlaient des autres. Que doit-on postuler au minimum pour que nos lois physiques tiennent encore debout, se demandait-on, un peu comme Euclide l'avait fait pour la géométrie dans ses Eléments.

L'indifférence de la nature envers nos références spatiales ou temporelles
C'est une mathématicienne allemande, Emmy Noether, qui résolut brillamment cette question en 1918 juste après que le célèbre Hilbert eut réussi à la faire venir à Gottingen, le temple des maths de l'époque, où avaient officié des stars comme Gauss, Dirichlet et Riemann. Hilbert avait dû batailler ferme pour faire accepter une femme comme professeur. " Je ne vois pas pourquoi le sexe de la candidate serait un argument contre son admission comme privatdozent. Après tout nous sommes une université, pas des bains publics" avait-il lancé pour faire taire ses critiques. Il n'eut pas à regretter son choix: aussitôt arrivée à Gottingen, Emmy Noether démontra un superbe théorème établissant une étrange correspondance entre les lois de l'esthétique et celle de la physique.

Einstein qualifia son théorème de "monument de la pensée mathématique". Je vais tenter de vous expliquer pourquoi, mais rassurez-vous, amis jipigequeudal, ça se comprend facilement.

D'un côté vous avez les symétries que l'on observe dans les lois de la nature:

• Si vous lâchez une pièce de monnaie du haut d'un pont, la durée de sa chute ne change pas selon la date à laquelle vous la lâchez: en jargon de physicien cette évidence traduit l'indépendance des lois de la physique par rapport à l'instant de référence (celui où vous lâchez la pièce).
• Les boules de billard rebondissent de la même façon que vous jouiez à Paris ou à Nouakchott. Les joueurs remercieront pour ça l'invariance des des lois par rapport à l'espace ou dit plus simplement l'homogénéité de l'espace.
  
• Votre vitesse de pointe ne dépend normalement pas de la direction dans laquelle vous courez, car il n'y a pas de direction privilégiée par la nature: on appelle ça la symétrie des lois par rotation dans l'espace.
• Votre balance indique le même poids que vous vous pesiez sur la terre ferme ou sur un tapis roulant, car les lois de la mécanique (classique) sont identiques entre deux référentiels ayant une vitesse constante l'un par rapport à l'autre: tous les programmes Weight Watcher sont redevables à la relativité Galiléenne.

On a comme ça une ribambelle de symétries: par reflet dans un miroir (symétrie par parité), par inversion des charges électriques, par renversement du temps etc. Si vous y regardez de près, chaque exemple illustre le fait que la valeur absolue d'une variable (le temps, l'espace, la direction etc) n'a aucune importance. Chaque symétrie exprime ainsi l'indifférence des lois de la nature vis-à-vis de ce que nous choisissons comme point de référence pour cette variable.

Sous la symétrie, cherchez l'invariant
Le génie de Noether a été de découvrir que derrière chaque symétrie des lois de la nature se cache la conservation d'une certaine quantité physique.

Prenons l'exemple de l'homogénéité de l'espace et raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il y ait un lieu privilégié dans l'espace où une force d'attraction (électrique ou autre) entre deux objets s'exerce avec plus d'intensité qu'ailleurs. Plaçons un objet A en cet endroit magique et un autre objet B ailleurs. D'après ce qu'on vient de dire, la force que B exerce sur A est plus forte que celle de A sur B: Adios l'égalité entre action et réaction! Initialement immobiles, les deux objets vont se déplacer l'un vers l'autre, mais l'accélération de A étant plus forte que celle de B, leur quantité de mouvement totale cesse d'être nulle. Exit donc la conservation de la quantité de mouvement totale!
Dit dans l'autre sens, l'homogénéité de l'espace équivaut au principe d'égalité entre action et réaction et à la conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé.

Continuons notre exploration et imaginons maintenant que la pesanteur varie dans le temps et soit plus faible la nuit que le jour. On pourrait monter une charge en haut d'un immeuble à minuit, attendre le lendemain pour la jeter dans le vide. On pourra alors récupérer de cette chute plus d'énergie qu'on en a dépensé: on aura alors violé la conservation de l'énergie. L'invariance des lois dans le temps traduit donc la conservation de l'énergie! Comme le dit élégamment Etienne Klein, "la loi de la conservation de l'énergie a une signification qui dépasse largement sa formulation habituelle: elle exprime rien de moins que la pérennité des lois physiques, c'est à dire leur invariance au cours du temps. Sous sa coupe, le temps devient le gardien de la mémoire du monde physique et le support même de son avenir." C'est beau!

Réciproquement, le théorème de Noether montre qu'à chaque fois qu'une quantité physique se conserve, il y a une symétrie des lois naturelles dans le coin, avec une variable dont la valeur absolue n'a aucune importance. Autrement dit chaque propriété géométrique du système est indissociable d'une loi fondamentale de la nature. Ce théorème purement mathématique associe l'esthétique et la loi. Comme dit le poète, "Beauté est vérité et vérité beauté. Voilà tout ce qu'on sait sur Terre et ce qu'il faut savoir".

On peut représenter ce résultat sous forme de tryptique:
- le type de symétrie (par exemple l'homogénéité de l'espace <=> les lois sont invariantes par "translation spatiale").
- la variable relative, associée à cette symétrie (en l'occurence la localisation <=> Il n'existe pas de référentiel "absolu", de lieu privilégié).
- la quantité qui se conserve (la quantité de mouvement dans notre exemple).

Symétrie des lois de la physique	Ce qui est relatif	La quantité conservée
Homogénéité de l'espace (Les lois sont les mêmes partout)	Le lieu de référence	La quantité de mouvement (ou l'impulsion)
Homogénéité du temps (Les lois sont les mêmes tout le temps)	L'instant de référence	L'énergie totale du système
Isotropie de l'espace (Il n'y a pas de direction privilégiée dans l'espace)	L'orientation dans l'espace	Le moment cinétique

Un théorème chasseur de lois
Savoir que toute loi de conservation est associée à une symétrie sous-jacente et inversement s’est révélé extrêmement fructueux en physique. En électricité par exemple, la tension est une valeur relative: le monde serait identique si on ajoutait 100V partout. Cette "invariance de jauge" correspond à une loi naturelle toute simple: la conservation de la charge électrique.

Évident direz-vous? OK alors faisons le même raisonnement pour les quarks, ces petites particules élémentaires qui constituent les protons et les neutrons. Leur cohésion est assurée par une interaction forte, analogue à l'interaction électromagnétique. L'invariance de jauge associée à cette interaction forte implique l'existence d'une "charge forte" du quark, qui se conserve et qu'on appelle sa couleur car elle a trois dimensions, comme les trois couleurs primaires rouge, vert et bleu. Le théorème de Noether a suffi à justifier théoriquement l'existence et la structure d'une caractéristique fondamentale des quarks. De même il permet de déterminer les attributs propres à chaque particule élémentaire: le nombre baryonique, l'isospin, la saveur, l'hypercharge. Un vrai détecteur de propriétés ce théorème!

Pour la petite histoire, la conservation de la couleur des quarks peut s'illustrer... avec des couleurs justement. Si on imagine qu'une couleur est un pixel à l'écran (rouge, vert ou bleu), l'invariance de la couleur signifie qu'on peut permuter localement les pixels autant qu'on veut, tant qu'on respecte la proportion de rouges, de verts et de bleus (source des illustrations ici):

On peut imager cette invariance par le fait qu'on qu'on peut mélanger localement tous les pixels d'une image à l'écran, sans que ça change quoique ce soit au rendu globale de l'image:

Au tableau de chasse du théorème de Noether figure naturellement la symétrie CPT dont le Dr Goulu a raconté la merveilleuse histoire dans un très bon billet. Cette symétrie affirme que les lois de la physique ne changent pas lorsque toutes les particules sont remplacées par leur antiparticule (inversion de charge C), qu'on inverse la droite et la gauche comme dans un miroir (changement de parité P) et qu'on renverse le temps (T). Cette invariance est le dernier bastion de résistance de notre bon sens, car on a déjà réussi à violer à la fois la symétrie par inversion de charge (C) et par changement combiné de charge et de parité (CP). La symétrie CPT tiendra-t-elle le coup? Il vaut mieux pour notre santé mentale car d'après Etienne Klein "dès 1940, Wolfgang Pauli avait pu démontrer que l'invariance par CPT de la dynamique des phénomènes physiques doit être postulée dans toute théorie physique "raisonnable" car elle exprime de la façon la plus formelle qui soit... le bon vieux principe de causalité! Elle constitue donc le socle de la physique moderne. En conséquence, si une violation de l’invariance CPT venait à être observée, les fondements mêmes du modèle standard s’effondreraient". Gloups!

Incertitude et relativité: tout est Noetherisable!
Regardez maintenant les couples que forment pour chaque symétrie, la quantité conservée et la variable associée: impulsion et position, énergie et temps etc. Ces couples sont tous liés par le principe d'incertitude d'Heisenberg qui limite la précision théorique avec laquelle on peut mesurer les deux membres du couple en même temps. Par exemple on ne peut connaître parfaitement à la fois la vitesse d'une particule et sa position (ce qui s'exprime par la formule Δp.Δx ≥ h); de même, plus on veut mesurer l'énergie d'une particule avec précision, plus le délai pour y parvenir est grand (formalisé par l'expression ΔE.Δt ≥ h/2).
Quand je vous dis que ce théorème est puissant: on y retrouve la plupart des fondements théoriques de la physique quantique!

Notre théorème sert aussi à l'autre extrémité de l'échelle physique, dans le domaine de la relativité. L'invariance par transformation de Lorentz correspond par exemple à la conservation de l'intervalle d'espace temps s²=x²+y²+z²-ct². Au moment où Einstein et Hilbert s'arrachaient les cheveux sur la relativité générale, Fräulein Noether les a considérablement aidés à formaliser et à justifier proprement les équations et ses théorèmes constituent aujourd'hui encore des outils fondamentaux de cette théorie.

Paradoxalement cet apport est moins connu du monde de la physique théorique. Ce n'est pourtant pas le moindre de ses mérites que d'avoir fourni un support théorique à la fois en mécanique quantique et relativiste, deux branches souvent irréconciliables de la physique moderne.

Récapitulons: le théorème de Noether prédit toutes les lois d'invariance de la Nature juste en contemplant ses symétries, il réconcilie théorie quantique et relativiste, détermine les caractéristiques des particules élémentaires et permet même de retrouver le principe d'incertitude d'Heisenberg. C'est le Victorinox de la physique moderne!


Sources:
Le site de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg d'où j'ai tiré ces jolies illustrations est particulièrement intéressant
Le site Mathéphysique de Fabien Besnard, pour l'explication sur l'invariance de jauge
Pour une démonstation compréhensible du théorème de Noether, je vous suggère la traduction d'un article de vulgarisation de John Baez, plus simple que la démonstration de Wikipedia

Les théorèmes de Noether, d'Yvette Kosmann Schwarzbach aux Editions de l'Ecole Polytechnique, raconte notamment sa contribution aux équations de la relativité générale.
Les tactiques de Chronos, d'Etienne Klein (2004)

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Photon ou vraie prise de tête?

Les drôles de paradoxes de la mécanique quantique sont normalement des friandises réservées à ceux qui ont déjà assimilé des équations barbares ou des notions étranges comme celle des "fonctions d'ondes". Pour réparer cette injustice et permettre à tout le monde de goûter aux mystères de l'infiniment petit, voici l'un des plus mystérieux paradoxes, dépouillé de toute théorie quantique et de presque tout calcul (juste un petit cosinus pas méchant...).

Les mille et une nuits, version fatale
Bagdad, vers 950. Le sultan Schahriar un peu vexé de s'être laissé embobiner par les contes de la belle Sheherazade vous impose, ainsi qu'à tous les logiciens de la ville, l'épreuve dite de la "suprême coordination".

Vous êtes enfermé dans une cellule avec un camarade de détention pendant 100 jours et 100 nuits (je vous fais la version courte). Chaque soir chacun de vous sortira de la cellule par une porte différente, donnant sur une cellule contiguë. Une fois seul, vous devrez piocher une carte au hasard dans un jeu composé uniquement de valets, de dames et de rois en nombres égaux. En fonction de la carte tirée vous avez le choix entre:
- regagner immédiatement votre cellule collective (choix A)
- dormir sur place et ne rentrer que le lendemain matin (choix B)

Une fois votre choix fait, vos geôliers comparent votre carte et votre décision avec celle de votre camarade d'infortune (qui a subi le même sort) et inscrivent tout ça sur le Grand Registre du sultan. La "suprême coordination" consiste à remplir les trois conditions suivantes:
Condition 1: chaque soir où vous avez pioché la même carte que votre camarade, vous avez fait le même choix que lui (A ou B peu importe);
Condition 2: les soirs où vos deux cartes se suivent (valet+dame ou dame+roi) vous avez fait le même choix que lui trois fois sur quatre;
Condition 3: les soirs où l'un a pioché un valet et l'autre un roi, vous avez fait le même choix que lui une fois sur quatre.

Si au bout de 100 nuits, on constate que vous avez rempli ces trois conditions, vous serez relâchés vous et votre collègue. Sinon, couic! C'est la mort.

Evidemment, vous avez tout loisir de vous concerter sur la stratégie à tenir avec votre malheureux partenaire. Mais une fois dans l'isoloir de la cellule voisine vous n'avez aucun moyen de savoir quelle carte il a pioché de son côté, ni quel choix il a fait et vos gardiens sont totalement incorruptibles. Comment faites-vous pour échapper à la mort?

Pas de panique, pensez-vous, il suffit de réfléchir un peu...

- La condition 1 vous impose d'avoir la même stratégie que votre partenaire. Puisque vous devez faire toujours le même choix quand vous piochez la même carte, il faut vous mettre d'accord ensemble chaque soir sur le choix correspondant à chaque carte. Par exemple si c'est un valet, vous convenez de faire le choix A (regagner votre cellule), si c'est une dame le choix B (découcher pour la nuit, c'est humain après tout), si c'est un roi le choix A. On notera cette stratégie [A,B,A];

Chaque soir vous devez donc convenir avec votre copain d'une des 8 stratégies suivantes:
[A,A,A]; [A,A,B]; [A,B,A]; [A,B,B];
[B,A,A]; [B,A,B]; [B,B,A]; [B,B,B]

- Par contre si vous tenez à la vie il vaudrait mieux que vous changiez de stratégie de temps en temps. Car si vous choisissez toujours la même stratégie, [A,B,A] par exemple, vous serez certes toujours en phase si vous tombez sur la même carte que votre partenaire, mais si vous piochez un valet (choix A) et lui une dame (choix B) vous ferez toujours des choix contraires, alors que la coordination suprême exige que vous fassiez le même choix trois fois sur quatre!

Le tableau suivant résume ce qui se passe dans chaque cas:

type de stratégies	Proportion de ce type de stratégie	Mêmes cartes tirées	Cartes tirées: valet/dame	Cartes tirées: dame/roi	Cartes tirées: valet / roi
type I [A,A,A] ou [B,B,B]	a	choix identiques	choix identiques	choix identiques	choix identiques
type II [A,B,A] ou [B,A,B]	b	choix identiques	choix opposés	choix opposés	choix identiques
type III [A,A,B] ou [B,B,A]	c	choix identiques	choix identiques	choix opposés	choix opposés
type IV [A,B,B] ou [B,A,A]	d	choix identiques	choix opposés	choix identiques	choix opposés

Pour respecter les conditions 2 et 3, vous avez donc intérêt à trouver le bon dosage de stratégies de type I (proportion a), de type II (proportion b), de type III (proportion c) et de type IV (proportion d), avec a+b+c+d=1 (1)

La condition 2 vous impose que chaque fois que l'un tire un valet et l'autre une dame, vous faites le même choix trois fois sur quatre.
Donc avec les notations du tableau, il faut que a+c=3/4 (2)
De même quand l'un tire une dame et l'autre un roi, la condition 2 exige que a+d =3/4 (3)

La condition 3 vous impose que si l'un tire un valet et l'autre un roi, vous faites des choix identiques une fois sur quatre, donc a+b=1/4 (4)

En additionnant (2) et (3), on trouve 2a +c+d= 3/2.
En soustrayant (1) et (4) on obtient c+d=3/4
Et en soustrayant ces deux équations, on trouve a=3/8
En remplaçant a par sa valeur dans (4), on trouve ainsi b=1/4-3/8=-1/8

Là y'a comme un p'tit problème parce que au cas où vous l'auriez oublié "b" c'est une proportion, donc un nombre positif en général...
Une sueur froide glisse le long de votre échine car vous comprenez maintenant que l'épreuve à laquelle le sultan vous a soumis est insoluble. Aucune stratégie ne permet de coordonner vos actions avec celle de votre codétenu dans les conditions qu'il vous a imposées: vous allez donc mourir!!!

Pourtant, cette énigme dont aucun cerveau ne peut venir à bout, n'importe quel photon (ce fameux "grain" de lumière) vous la résout, les doigts dans le nez si tant est que ce photon ait un nez et des doigts, ce qui est une hypothèse hardie, je vous l'accorde. Je m'explique.

Et la lumière fut
Evidemment, un photon ne pioche pas dans un jeu de cartes à jouer, alors il faut un peu adapter l'expérience: au lieu de cartes à jouer on utilise des polariseurs, vous savez comme ces filtres photographiques qui laissent passer la lumière dans une seule "direction" de polarisation. Prenez un rayon de lumière tout ce qu'il y a de plus banal et envoyez-le sur un filtre polariseur. Derrière ce filtre le champ électrique est orienté (filtré) dans la direction du filtre.

Si vous placez un second filtre faisant un angle α avec le premier filtre, l'onde ressort atténuée de ce second filtre. Si la trigonométrie ne vous fait pas trop peur, le facteur d'atténuation est le cosinus de α.

Son énergie (proportionnelle au carré de l'amplitude) est atténuée du carré de cette atténuation.
Si α vaut 0°, l'énergie lumineuse est conservée.
Si α vaut 30°, elle est diminuée d'un quart.
Si α vaut 60°, elle est diminuée des trois quarts.
Si α vaut 90°, aucune lumière ne passe par le second filtre.

Que se passe-t-il si on diminue l'intensité du rayon lumineux jusqu'à ce qu'il soit réduit à un photon émis de temps en temps? En faisant l'expérience, on se rend compte que l'énergie de chaque photon n'est pas diminuée au passage du filtre, mais en contrepartie c'est sa probabilité de passer ce filtre qui est diminuée (elle vaut cos²(α)). Jusque là tout va bien, les comportements des photons sont simples à comprendre.

C'est alors que les physiciens ont eu l'idée de faire passer aux photons l'épreuve de la "suprême coordination". On sait fabriquer des paires de photons "jumeaux" (les physiciens diraient plutôt "intriqués") ayant la même polarisation et qui s'éjectent sitôt créés, chacun dans une direction opposée. On a donc placé dans chacune de ces deux directions des polariseurs dont les angles varient à chaque instant.

Appelons α la différence entre les angles des deux polariseurs à gauche et à droite: puisque les deux photons ont la même polarisation, si un des deux photons passe un polariseur, l'autre passera son polariseur avec la probabilité cos²(α). Et si le premier ne le passe pas, la probabilité que le second ne passe pas non plus est également de cos²(α)*.

Dans l'expérience réalisé par Alain Aspect en 1980, le polariseur de gauche ne peut prendre que deux valeurs 0 ou 30°, et celui de droite 30° ou 60°. On peut facilement faire l'équivalence entre ces valeurs et nos cartes: l'angle 0° correspond au valet, l'angle 30° à la dame et l'angle 60° au roi:

Angle des polariseurs gauche/droite	Différence entre les deux angles (α)	Situation équivalente avec le jeu de cartes	Probabilité que les photons aient le même comportement (absorption ou passage)
0° / 30°	30°	valet + dame	cos²(30°) = 3/4
0° / 60°	60°	valet + roi	cos²(60°) = 1/4
30° / 30°	0°	valet+valet (ou 2 cartes identiques)	cos²(0)= 1
30° / 60°	30°	dame + roi	cos²(30°) = 3/4

Regardez: les paires de photons intriqués réussissent parfaitement l'épreuve de "suprême coordination"!
- Chaque fois qu'ils tirent la même carte (α=0) ils ont toujours le même comportement.
- S'ils tirent deux cartes successives (α=30°), ils sont coordonnés 3 fois sur 4.
- Si l'un tire un valet, l'autre un roi (α=60°), ils sont coordonnés 1 fois sur 4.
C'est pas beau, ça?

Trop forts ces photons intriqués
Nos petits photons arrivent à faire ce qu'aucun humanoïde ne pourrait jamais faire! Et ils ne trichent pas: on a pris soin d'éloigner suffisamment les polariseurs l'un de l'autre pour qu'aucun signal n'ait le temps matériel de passer de l'un à l'autre pour "avertir" le photon de ce qui se passe pour son camarade à l'autre bout de la salle.

Comment font-ils? A vrai dire on n'en sait rien. On peut imaginer que chaque photon soit en permanence informé de ce que l'autre fait au même instant, sans qu'on sache comment. Sauf que cela suppose que cette information voyage plus vite que la lumière, ce qui n'est pas très cohérent avec la théorie de la relativité. Faire cette hypothèse revient à imaginer qu'un effet puisse précéder sa cause: pas très orthodoxe, comme explication...

Vous voyez ce qu'il y a de révolutionnaire dans cette expérience: d'habitude l'état d'une particule dépend des conditions locales de son environnement, c'est-à-dire des influences qui lui arrivent à la vitesse de la lumière (ou moins vite), comme les interactions électromagnétiques par exemple. Or cette expérience-ci viole sans qu'on sache comment cette idée de localité sur laquelle s'appuie toute la physique. Voilà qui est plus que troublant!

Et n'allez pas croire que seuls les photons peuvent faire ce genre de prouesse, on peut refaire une expérience équivalente avec un électron, un proton... Elémentaires mais fortiches, nos particules!

*Si le premier photon ne passe pas son polariseur, le second photon passera le sien selon la probabilité cos²(α+90°)=sin²α. Donc le second photon ne passera pas, avec la probabilité 1-sin²α=cos²α.

Sources:
Quantum non-locality and relativity (Tim Maudlin, 2002) dont j'ai adapté l'illustration sous forme de jeu de cartes.
A lire aussi les billets de Tom Roud sur le sujet, où les chats sont à l'honneur.

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