Cosmologie fastoche (3/3)

Part 3: à l'assaut du principe anthropique

Source: ici

Récapitulons: L'univers s'est sans doute formé il y a un peu plus de 13 milliards d'années; il est homogène, isotrope et respecte bien les règles de géométrie du genre "la somme des angles des ses triangles fait 180°" et "le périmètre d'un cercle vaut son diamètre fois pi", bref il est "euclidien". Son avenir est de s'agrandir de plus en plus vite et indéfiniment mais on notre univers observable, lui, est de taille finie et constante. L'exploration du passé est bien plus spéculative et pleine de surprises...

Le fonds diffus cosmologique ou pourquoi les métaux sont toujours opaques
Aussi loin qu'on le regarde, l'univers s'étend de plus en plus vite. Si l'on remontait dans le temps, on le verrait donc se contracter de plus en plus et devenir de plus en plus dense et chaud, comme un gaz qu'on comprime dans un piston. Or au-dessus d'une certaine température, vers 3000K environ, le gaz se transforme en plasma, sorte de soupe brûlante dans lequel tous les atomes sont ionisés et où les électrons se promènent librement comme dans un métal conducteur. Et comme le métal, le plasma est complètement opaque à la lumière: tout photon tentant de le traverser est immédiatement absorbé par un électron passant dans le coin. Impossible de voir au travers de la surface du soleil, même avec des filtres sophistiqués, car sa surface est justement à l'état de plasma. Notre jeune univers n'est donc devenu "transparent" que lorsque sa température est passée en dessous de 3000 degrés.

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Cosmologie fastoche (2)

Part2: Comment faire parler l'équation FLRW

Vous savez maintenant comment on trouve l’équation de l’univers (baptisée FLRW du nom de ses découvreurs) en écrivant simplement que l'énergie se conserve dans un univers homogène, isotrope et qui se dilate dans le temps. Mais je ne suis pas sûr que vous éprouviez encore une profonde jubilation intérieure en songeant que H² = (å/a)² = 8πGρ/3 -K/a² où H est la constante de Hubble, a(t) le facteur d'échelle (å sa dérivée), ρ la densité de matière de l'univers et K une constante. Au cas -très improbable- où vous ne voueriez pas un culte fervent à cette formule, il me faut vous en expliquer les merveilleux secrets.

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Cosmologie fastoche (1)

Leonard Susskind n'est pas seulement un des grands physiciens du moment, ténors de la théorie des cordes et des "multivers", c'est aussi un extraordinaire pédagogue. En particulier son cours de cosmologie (disponibles en podcast) est un petit bijou de vulgarisation. Cette semaine voici par exemple comment il retrouve l'équation de l'univers (rien que ça!) en n'utilisant que des notions de physique classique (niveau Lycée).

Chapitre 1: l'équation de l'univers
L'histoire commence au début des années 1920, lorsque l'astronome Edwin Hubble découvre avec les tout nouveaux téléscopes de l'époque, que ce que l'on appelait des nébuleuses (celle de Trifide à gauche) correspondaient en réalité à d'autres galaxies que la nôtre, à des centaines de millions d'années lumière de nous.

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Si la relativité générale m'était contée...

Science et Vie Junior consacre ce mois-ci un article sur quelques phénomènes étranges dus à la relativité. Un très bel exercice de pédagogie qui prouve qu'on peut sans équations et avec des expériences de pensée rigolotes expliquer l'idée d'une théorie pourtant compliquée. Je ne résiste pas au plaisir de vous raconter l'histoire à ma sauce.

Première étape: atterri ou pas? L'équivalence entre gravité et accélération
Bob est un astronaute envoyé en mission intergalactique pour y explorer la mystérieuse planète Zorglub. Pour lui éviter l'ennui d'un long voyage, on l'a endormi après le décollage pour plusieurs années. Mais suite à une panne quelque part, Bob se réveille avant d'être arrivé. Du moins le suppose-t-il car tout est noir dans l'habitacle. Les hublots sont obturés, les appareils de mesure éteints et il règne un silence profond. Que se passe-t-il? Est-il arrivé? Bob se détache, pose un pied par terre et réalise qu'au lieu de flotter dans l'habitacle il peut se tenir debout sur le sol de la fusée. Son cerveau se met à carburer: "Serait-on déjà arrivé sur Zorglub dont je sens l'effet de la gravité? A moins que ce ne soit simplement l'effet de l'accélération de la fusée? Impossible de savoir car je n'ai aucun indice extérieur: les moteurs sont silencieux et les cache-hublots fermés!"

Interlude1: c'est grâce à cette expérience de pensée qu'Einstein raconte avoir eu la meilleure idée de sa vie (avec un ascenseur car les fusées n'existaient pas à l'époque). Vous avez appris en classe de Seconde qu'un objet dans un champ de gravité g est soumis à une force égale à sa masse fois son accélération a. Autrement dit a = g, on ne peut différencier une accélération d'un champ de pesanteur. Il n'en serait pas de même si notre objet était soumis à un autre type de force, électrique, magnétique ou autre car la force de gravité est la seule qui dépende directement de la masse. L'équivalence entre accélération et gravité explique le désarroi de notre ami Bob: sans indice extérieur il est incapable de savoir s'il est posé sur le sol d'une planète ou si son vaisseau est en pleine accélération. Le coup de génie d'Einstein est d'avoir étendu cette équivalence à toutes les lois de la physique. Il a postulé qu'elles se comportaient toutes de la même manière, que l'on soit soumis à la gravité ou en train d'accélérer au beau milieu de l'espace. Mais poursuivons les aventures de Bob...

Deuxième étape: la lumière déviée par la gravitation?
A tâtons, Bob cherche à ouvrir les cache-hublots pour regarder ce qui se passe dehors. Damned c'est bloqué! Bob essaie de faire un trou dedans avec son couteau mais il ne réussit qu'à percer une minuscule entaille. Un fin rayon de lumière entre dans le vaisseau. "Ouf! se dit-il, en examinant attentivement la trajectoire de la lumière je vais enfin savoir si oui ou non je suis arrêté:
- si je suis posé sur le sol d'une planète, le rai de lumière à l'intérieur de mon vaisseau dessinera une ligne droite parfaite.
- si par contre, je suis en train d'accélérer, le rayon dessinera une (très) légère parabole dans mon vaisseau."

Le raisonnement de Bob (qui ne lit pas Sciences et Vie Junior!)

Faux, archi-faux! dirait Einstein dont le principe d'équivalence postule que toutes les lois de la physique doivent être identiques, qu'on soit soumis à la gravité ou à une accélération. A l'en croire, la trajectoire d’un rayon lumineux doit être déviée par la gravité exactement comme elle le serait si la fusée accélérait! On peut dire à Bob d'arrêter d'essayer de mesurer la courbure du rayon lumineux dans sa fusée, ça ne lui donnera aucune information sur sa situation.

Interlude2: Aussi fou que ça puisse paraître, plus une planète est massive, plus elle courbe la trajectoire des rayons lumineux qui passent à proximité exactement comme l'air surchauffé par le sol dévie la lumière et provoque des mirages d'eau dans le désert. Il y a pourtant une différence entre les deux situations. Dans l'air, la vitesse de la lumière varie en fonction de la température, on conçoit donc que pour un rayon lumineux, le chemin le plus rapide entre deux points soit courbé. A l'inverse, la vitesse de la lumière est toujours la même dans le vide. Pourquoi dans ses conditions le chemin optique le plus court entre deux points serait-il courbe? La seule explication possible serait qu'un champ de gravité déforme l'espace lui-même, comme si l'on posait une boule au milieu d'une nappe tenue par ses quatre coins. Dans de tels espaces courbes, la ligne droite n'est plus forcément le plus court chemin entre deux points et il est possible que la trajectoire de la lumière soit courbée. Comme le décrit l'excellent blog de Science étonnante, la déviation de la lumière au voisinage de galaxies très massives peut même provoquer d'impressionnants mirages astronomiques: la fameuse croix d'Einstein et ses quatre étoiles fantômes ou encore ce qu'on verrait si un trou noir se trouvait entre nous et un galaxie (source: Wikipedia)

Troisième étape: le temps passe plus vite sans la gravité
Bob est désespéré. Ca fait plusieurs heures qu'il essaie de savoir si oui ou non il est posé sur la satanée planète. La communication avec la Terre est quasiment HS: Bob n'arrive qu’à transmettre passer des signaux en morse Bip Bip Bip… Pas pratique pour causer, mais peut-être est-ce suffisant ? Bob se fait le raisonnement suivant. Zorglub est quasiment immobile par rapport à la Terre. S’il est posé dessus, le temps à sa montre s’écoulera au même rythme que sur Terre: une minute à sa montre correspondra exactement à une minute à Houston. Si par contre, son vaisseau est en mouvement par rapport à la Terre, une minute à sa montre correspondra à plus de 60 secondes sur Terre: ce sont les lois de la relativité restreinte qui l'affirment. « Donc, se dit-il, il suffit que je fasse transmette le tic-tac de ma montre par la radio pour que sur Terre ils sachent si je suis en mouvement ou posé sur Zorglub. Ils trouveront bien un moyen de me renvoyer l’info… »

Interlude 3 : Pour ceux que ça intéresse voici une explication simple du phénomène de dilatation du temps (empruntée au blog d'Alexandre Moatti). Les lecteurs pressés se rendront directement au paragraphe suivant sans toucher 20 000F.
Au lieu d’une horloge, raisonnons sur le temps qu’il faut à un rayon lumineux pour traverser le vaisseau spatial dans les deux sens. Si la fusée est en mouvement par rapport à la Terre, Bob situé à l'intérieur de la fusée mesurera une durée plus courte qu'un observateur qui chronomètrerait ce phénomène depuis la Terre:

C'est l’un des résultats les plus paradoxaux de la relativité: une horloge qui bouge semble ralentie pour un observateur immobile. Langevin en a tiré un paradoxe célèbre: si l’on envoie quelqu'un voyager dans l'espace à très grande vitesse, il reviendra sur Terre en étant plus jeune que son frère jumeau resté sur place!

Malheureusement pour Bob, son stratagème est encore voué à l'échec car il vient encore une fois d’oublier le principe d’équivalence d’Einstein. Les lois physiques sont les mêmes en situation de pesanteur et en situation d’accélération. La montre de Bob, vue de la Terre, semblera ralentie dans tous les cas de figure, qu’il soit posé sur une planète ou en pleine accélération. Autrement dit la gravité ralentit aussi le temps ! La seule possibilité qui reste à Bob pour savoir où il en est dans son odyssée spatiale est d’ouvrir un hublot et de trouver un repère extérieur.

Ces phénomènes de dilatation du temps ont été souvent mis en évidence avec des horloges de très haute précision embarquées dans des jets. Mais en septembre dernier, le physicien américain James Chou a mis en évidence l’effet de la gravité sur le temps sans même bouger de son laboratoire. Comme la gravité décroit avec l'altitude, il a réussi à comparer le rythme de deux horloges ultra précises disposées à des hauteurs différentes de 30cm seulement. Et comme le prédit la relativité générale, la plus haute des deux a une infime avance sur la plus basse.

Conclusion: bougez, remuez, gigotez! Ca vous permettra de rester jeune (un chouïa) plus longtemps. Par contre bizarrement on vieillit dans sa tête plus vite que dans ses jambes. Certes, pas de beaucoup : au bout de 79 ans, notre tête est plus vieille de 83 milliardièmes de secondes que nos pieds. Pas de quoi devenir Paresseux pour si peu!

source ici

Sources: Science et Vie Junior, Janvier 2011 dont sont tirées les infographies.

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Le principe de moindre action, un bijou de la physique.

Bon, voilà je savais qu'un jour ou l'autre je n'y couperais pas et c'est arrivé ce week-end. Je me préparais à la question depuis longtemps, collectionnant les explications pédagogiques, les démonstrations plus ou moins compréhensibles et les exégèses historiques sur le sujet. Ce week-end, donc, mon numberone m'a posé LA question qui tue: "d'où ça sort la loi avec les sinus sur la réfraction de la lumière?". Je m'attaque donc à la réponse aujourd'hui et en profite pour vous présenter le "principe de moindre action", une loi physique aussi méconnue que fascinante qui explique aussi bien les lois de l'optique que celle de la mécanique classique, relativiste ou quantique, rien que ça! Billet classé X bien sûr, mais si vous êtes allergiques aux maths vous pouvez quand même suivre ce billet (j'espère!) en sautant simplement les paragraphes réservés aux furieux. C'est parti!

Un peu de réflexion pour commencer.
On sait depuis toujours ou presque (depuis Héron d'Alexandrie au moins) qu'un rayon de lumière se réfléchit sur une surface selon un angle de réflexion (i2 sur la figure) égal à son angle d'incidence (i1), exactement comme une boule de billard rebondit sur une surface perpendiculairement à celle-ci.

 

La règle semble évidente, mais comment l'expliquer? Un indice: la trajectoire obtenue correspond comme par hasard à la plus courte possible, une fois qu'on s'est imposé le point de départ et le point d'arrivée. La démonstration de cette propriété n'est pas trop compliquée (Xochipillette est morte de rire):

Le rayon choisirait-il toujours le chemin le plus court pour relier deux points? Il faut voir, mais ça pourrait expliquer pourquoi il se déplace en ligne droite entre deux obstacles. Tiendrait-on là une loi universelle?

Comment ça, le maître-nageur n'est pas une lumière?

Quand un bâton est plongé dans l'eau il l'air brisé comme sur l'image (source ici) Au XVIIeme siècle, les savants se battaient pour trouver une explication rigoureuse de ce phénomène de réfraction. On se doutait bien que la vitesse de la lumière était différente dans l'air et dans l'eau et Pierre de Fermat se mit en tête de démontrer proprement ce phénomène en partant de l'hypothèse que la lumière suit toujours la trajectoire la plus rapide. Pour comprendre le problème, on prend d'habitude l'image suivante: imaginez un maître-nageur sur la plage, qui aperçoit une personne dans l'eau en train de se noyer. Quelle trajectoire doit-il prendre pour la secourir le plus vite possible, sachant qu'il va plus vite en courant sur la plage qu'en nageant dans la mer?

S'il choisit le parcours en ligne droite, il perdra du temps en nageant trop longtemps. Mieux vaut qu'il coure un peu plus loin pour avoir moins à nager. Pas trop quand même, car sinon il perdra trop de temps à courir! Pas triviale comme question, mais c'est du gâteau pour un génie comme Pierre de Fermat. "Un peu de géométrie pourra nous tirer d'affaire" comme il dit (je reprends ici la solution proposée en commentaire d'un billet d'Alexandre Moatti sur le sujet):

(Pour les furieux seulement) Dans les triangles rectangles OFH et OFK, on a HF= OF sin i et OK= OF sin r On en déduit que HF/OK= sin i / sin r = Vair/Veau  Si on note {XY} le temps de parcours de X à Y on a donc {HF}={OK} Par ailleurs AL>AO et LF>HF (car les triangles ALO et HLF sont rectangles) donc AF>AO+HF qu'on peut réécrire en termes de temps de parcours {AF}>{AO}+{HF} De même {FB} > {KB} En additionnant ces deux inégalités on obtient {AF}+{FB}>{AO}+{HF}+{KB} Or on a vu que {HF}={OK} cette inégalité s'écrit donc {AF}+{FB}>{AO}+{OK}+{KB} donc {AF}+{FB}>{AO}+{OB}ce qui correspond à ce qu'on voulait montrer…

Le raisonnement est exactement le même si vous remplacez le maître-nageur par un rayon lumineux traversant dans deux milieux différents (eau et verre par exemple) en suivant le trajet le plus rapide. Ce qu'on appelle l'indice d'un milieu (noté n) est une quantité inversement proportionnelle à la vitesse de la lumière dans ce milieu. Si la lumière est aussi intelligente que le maître-nageur, elle adoptera le trajet le plus rapide, et passera donc par le même point O défini par la règle n1 sin(i) = n2 sin(r). C'est la loi de réfraction de Snell-Descartes!

Quand Fermat réussit à démontrer ce résultat en 1661 à partir du seul principe de "moindre temps" de la lumière il en est fasciné: "Le fruit de mon travail a été le plus extraordinaire, le plus imprévu et le plus heureux qui fût jamais". Il sent qu'il tient là une loi de la physique très générale qu'il appelle "principe d'économie naturelle", selon lequel "la nature agit toujours par les voies les plus courtes"*. L'histoire allait lui donner raison au-delà de tout ce qu'il pouvait imaginer...

De l'optique à la mécanique: le principe de moindre action
L'approche de Fermat est évidemment troublante pour un esprit rationnel: comment la lumière sait-elle que tel chemin est le le plus court et pas tel autre? Son principe semble par ailleurs violer le principe de causalité: comment le rayon connaît-il le chemin à prendre à partir de sa destination finale? Les esprits pieux de l'époque virent dans ce principe très simple et un peu magique l'expression d'une certaine perfection divine qui gouvernait toutes les lois de la physique. Comme l'écrivait Leibniz par exemple:

"Car étant donné, que la facture du monde tout entier est la plus parfaite qui soit et qu’elle a été exécutée par le créateur le plus sage, il n’arrive absolument rien dans le monde, dans lequel ne se manifeste pas un certain procédé de maximum ou de minimum ; c’est pourquoi on ne peut pas douter que tous les effets du monde puissent être déduits aussi facilement des causes finales, au moyen de la méthode des maxima et des minima, que des causes efficientes elles-mêmes" (cité par Jacques Bouveresse ici).

Autrement dit, Leibniz défendait un argument téléologique, c'est-à-dire qu'on pouvait expliquer les phénomènes naturels non plus à partir de leurs causes (les forces subies etc.) mais à partir de leur finalité. Le principe étant que le résultat obtenu sera obligatoirement le "meilleur" possible, c'est-à-dire un maximum ou un minimum.
Cette explication à l'envers fit sortir Voltaire de ses gonds et lui inspira la fameuse tirade sur Pangloss dans Candide (source de l'image: ici):

"Pangloss enseignait la métaphysico-théologo-cosmolonigologie. Il prouvait admirablement qu'il n'y a point d'effet sans cause, et que, dans ce meilleur des mondes possibles, le château de monseigneur le baron était le plus beau des châteaux et madame la meilleure des baronnes possibles. "Il est démontré, disait-il, que les choses ne peuvent être autrement : car, tout étant fait pour une fin, tout est nécessairement pour la meilleure fin. Remarquez bien que les nez ont été faits pour porter des lunettes, aussi avons-nous des lunettes. Les jambes sont visiblement instituées pour être chaussées, et nous avons des chausses." (Candide, chap1)

Bon, mais il en fallait plus pour arrêter nos scientifiques dans leur quête d'un principe métaphysique. Après tout, les boules de billard se comportent comme des rayons lumineux quand elles roulent en ligne droite ou qu'elles rebondissent contre les parois; Maupertuis généralisa donc l'approche de Fermat à la mécanique et postula en 1744 ce qu'il appela un "principe de moindre action":
"Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'être suprême: lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible."
Plutôt que d'expliquer comme Newton le mouvement d'un corps en décrivant à chaque instant ses variations de vitesse et de position avec des lois du genre accélération= force / masse, Maupertuis conjecturait que l'on peut trouver directement sa trajectoire globale dès lors qu'on en connaît les points de départ et d'arrivée. Sa méthode est audacieuse: parmi toutes les trajectoires possibles et imaginables entre ces deux points, la seule que choisit la nature est celle qui maximise (ou minimise) sa fameuse "action". Un petit schéma vaut mieux qu'une longue explication:

Optimiser oui... mais quoi exactement?
Quelle était cette "action" que la nature s'efforce de rendre extrêmale? Pour Maupertuis, c'était l'accumulation de la quantité de mouvement de la particule, le long de sa trajectoire. De son côté, Euler, qui aida Maupertuis à formaliser proprement sa théorie, penchait plutôt sur l'accumulation d'énergie potentielle (celle que confère l'altitude par exemple), tous les corps cherchant spontanément à se mettre dans l'état d'énergie potentielle la plus faible. Ce fut Lagrange qui mit  tout le monde d'accord  en 1788 avec une formulation générale encore en vigueur aujourd'hui. Dans le cas particulier d'un corps soumis à un potentiel (la gravité, les forces électromagnétiques par exemple), la quantité que la trajectoire réelle minimise à intervalle de temps donné, est la moyenne de la différence entre énergie cinétique (T) et énergie potentielle (U).

Pour les furieux: L'action de Lagrange s'écrit: S= action entre les points a (au temps ta) et b (au temps tb) £= Lagrangien du système, fonction de la position, la vitesse et du temps T=Energie cinétique (½mv²) U=Energie potentielle (fonction de la position) Pour Maupertuis, l'action s'écrivait plutôt:    Dans le cas où l'énergie totale est constante et peut s'écrire E=T+U, les deux approches coincident. On peut en effet écrire que T-U = 2T -E = E+T-U = E-2U Puisque E est une constante, il revient au même de chercher l'extrêmum de T-U (comme le fait Lagrange), de 2T (comme Maupertuis) ou de U (comme Euler)! On peut aussi démontrer le principe de Fermat en partant de l'action de Lagrange, mais c'est beaucoup plus compliqué!

Non seulement ça marche, mais il montra en plus l'équivalence parfaite entre son principe reformulé de moindre action et toutes les lois (causales) de Newton. (voir la démonstration ici par exemple). Fortiche ce Lagrange. Seulement voilà, je ne sais pas pour vous, mais moi cette histoire de minimisation de la "différence entre énergie cinétique et potentielle" ne me parle pas du tout. Autant je vois bien à quoi correspond la somme de ces énergies -l'énergie totale (E) qui se conserve- autant le sens physique de leur différence (T-U) m'échappe. D'ailleurs  je ne dois pas être le seul, car ce principe de moindre action est souvent vu comme une espèce d'artifice mathématique plus ou moins abscons.  A force de chercher, j'ai pourtant fini par trouver une interprétation physique à chacune des trois expressions de ce principe de moindre action tel qu'exprimé par Lagrange, Maupertuis et Euler. A vous de choisir celle qui vous parle le plus!

Une certaine répugnance à changer de vitesse
L'expression de Maupertuis à base de quantité de mouvement me semble finalement la plus simple à comprendre: pour changer la quantité de mouvement d'un corps il faut une force, il paraît logique que la trajectoire "choisit" soit celle qui évite au maximum de subir l'action de ces forces. J'y voit l'analogue d'une loi du moindre effort, de la résistance au changement etc. Je sollicite par avance l'indulgence du lecteur si je dis une ânerie, mais j'y vois aussi la raison pour laquelle la balle au golf a la facheuse tendance à contourner le trou plutôt que d'y rentrer et d'en ressortir éventuellement.

Selon le principe de Maupertuis la bille emprunte la trajectoire accumulant le moins d'énergie cinétique moyenne en un temps donné (le calcul est dans l'encadré ci-dessus). Or l'énergie cinétique varie avec le carré de la vitesse, donc entre le point de départ et d'arrivée, sa moyenne sera toujours supérieure au carré de la distance parcourue (AB sur le schéma) divisée par le carré du temps imparti (t). Plus la vitesse variera, plus l'énergie cinétique moyenne sera grande.D'après le principe de Maupertuis, la bille "répugnera" donc à emprunter les trajectoires où la vitesse varie dans tous les sens. Si elle doit passer par le trou puis en ressortir, sa vitesse va augmenter brutalement quand elle y plonge puis diminuer quand elle en sort. Pas bon en termes d'action ça! Mieux vaut qu'elle contourne gentiment le trou sans accoups dans sa vitesse et tant pis pour le joueur...

Pourquoi la différence entre énergie cinétique et potentielle?
Laissez une balle verticalement et laissez la retomber dans votre main. Elle monte très vite, ralentit, s'arrête, puis redescend en accélérant. Si on mesure l'évolution de son altitude en fonction du temps, on obtient une courbe parabolique qui ressemble à ça:

La balle passe peu de temps aux basses altitudes (U est alors faible), lorsque sa vitesse est grande (donc T aussi). Comme ces phases de décollage et d'atterrissage sont courtes, elles contribuent peu à la moyenne de T-U sur la durée totale de la trajectoire. Ca tombe bien puisqu'à ce moment là T-U est grand. A l'inverse, la balle passe beaucoup plus de temps à hautes altitudes (quand U est grand), et à faible vitesse (quand T petit). Pas bête la balle, car du coup la faible valeur de T-U contribue pour beaucoup à la moyenne. Bref, la trajectoire de la balle semble bien optimisée. Vous pouvez essayer toutes les autres formes de courbes tarabiscotées, dès lors que départ, arrivée et durée sont fixés, la parabole décrite effectivement par la balle est la courbe qui minimise le plus la moyenne de T-U.

Evidemment ces considérations n'ont pas beaucoup d'intérêt si on reste dans des cas aussi simples. Mais dans la vraie vie, on a souvent affaire à des formes de champs (électromagnétiques notamment) affreusement compliqués dont on peut éventuellement connaître la valeur approchée en tous point de l'espace mais certainement pas l'équation globale. Impossible donc d'appliquer les lois de Newton si on ne connaît pas l'équation du champ! Par contre, l'approche précédente de recherche de trajectoire optimale est super simple: il suffit de simuler informatiquement différentes trajectoires de durée fixe et de calculer pour chacune la quantité totale T-U. accumulée. La trajectoire réelle sera celle qui minimise cette quantité : fastoche!

Des géodésiques dans l'espace?
Revenons un instant sur l'approche de Fermat. La lumière minimise son temps de parcours dans le milieu, autrement dit elle suit une géodésique: une droite quand l'indice du milieu est constant, une courbe lorsqu'il varie. Comme le temps de parcours est proportionnel à l'indice, le trajet réellement emprunté par la lumière est celui qui minimise la moyenne de l'indice le long de la trajectoire. Pour la lumière, un indice élevé a donc exactement le même effet qu'une distance plus grande, autrement dit les variations d'indice indiquent une déformation de la métrique de l'espace pour le rayon lumineux.

Dans le cas d'un corps soumis à des forces dérivant d'un potentiel  (gravité, champ électrique ou magnétique...), on a vu que le principe de moindre action peut s'exprimer comme la minimisation de la moyenne de l'énergie potentielle le long de la trajectoire réelle (c'est l'approche d'Euler). Il y a donc une analogie formelle entre l'indice du milieu pour la lumière et l'énergie potentielle U pour le corps en mouvement. On peut du coup considérer les trajectoires physiques comme des géodésiques d'un espace déformé par un champ d'énergie potentiel. Autrement dit selon le principe de moindre action à la sauce d'Euler, il y a équivalence entre le mouvement d'une particule soumise à un potentiel indépendant du temps dans un espace euclidien et la trajectoire d'une particule libre dans un espace courbe. D'après  Jean-Louis Basdevant (dans son cours sur le sujet) Einstein aurait bien eu cette idée en tête dès 1908 lorsqu'il construisit sa théorie de la relativité générale, théorie qui conclut justement que la gravitation courbe la trajectoire de la lumière de la même manière qu'un changement d'indice optique.

Cela étant, Jacques Léon avec qui j'ai eu le plaisir d'échanger sur ce sujet m'a indiqué les limites de cette analogie dans le cas des corps physiques. L'intensité de l'énergie potentielle pour un objet dépend non seulement de sa position mais aussi de sa masse. Donc le simili-"indice de réfraction gravitationnel" n'est pas une propriété intrinsèque de l'espace puisqu'il dépend de la masse du corps en mouvement. Ce problème-là ne se pose pas avec la lumière car les photons ont une masse nulle: les trajectoires de la lumière sont de vraies géodésiques d'espace-temps alors que les trajectoires des corps massifs n'en sont pas vraiment.

Un principe unificateur fascinant
Depuis que Hamilton et Jacobi lui ont donné sa formulation moderne, le principe de moindre action a trouvé des applications dans tous les domaines.  Le formalisme lagrangien est très pratique car il s'applique à n'importe quel système de coordonnées (sphériques, cylindriques ou composite). Et lorsque le mouvement est contraint par des obstacles ou des liaisons entre éléments d'un système, c'est un jeu d'enfant  que d'intégrer ces contraintes dans les équations de Lagrange (sous forme de multiplicateurs de Lagrange pour ceux que ça intéresse).

Il n'existe à ma connaissance pas un seul domaine de la physique dont l'évolution ne puisse être décrite comme une maximisation ou de minimisation de quelque chose: la forme des bulles de savon, des alvéoles des nids d'abeilles, des spirales de la nature etc. peuvent toujours s'expliquer par la maximisation d'une certaine fonction du système. Le principe de moindre action est la seule théorie qui n'ait pour l'instant jamais été pris en défaut. Mieux, elle permet de retrouver à peu près toutes les lois de la physique! Grâce à lui, Emmy Noether a montré que derrière chaque symétrie des lois de la nature se cache une loi de conservation d'une certaine grandeur physique. David Hilbert a retrouvé les équations de la relativité générale à l'aide de ce principe. Enfin ce principe étrange s'est avéré parfaitement compatible avec les bizarreries de la physique quantique. Au point que Richard Feynman en a fait, avec son concept "d'intégrale de chemin", le fondement de son électrodynamique quantique, théorie qui permet selon lui "de décrire tous les phénomènes du monde physique, à l'exclusion des effets gravitationnels".

Bref, depuis 300 ans le principe de moindre action n'a  cessé d'inspirer toute l'histoire de la physique et je suis fasciné par la quantité et la puissance de ses applications à partir de son énoncé tout simple, voire simpliste. Est-ce parce que son pouvoir d'unification continue de nous effrayer un petit peu qu'il n'est enseigné ni au lycée ni en prépa? A une époque où l'on déplore le désintérêt des jeunes pour la science, on ne perdrait rien à leur montrer ce petit bijou des lois de la nature.

* Pour être exact, la lumière suit toujours un trajet dont la durée est extrêmale: minimale le plus souvent mais il arrive que ce trajet soit maximal. Pour simplifier ce billet qui est déjà bien assez compliqué comme ça, chaque fois que je parle de "minimum" ou de "maximum" il faut lire "extrêmal"...

Sources:
R Feynman: The principle of least Action, special lecture (pdf)
L'article de Wikipedia sur le sujet
Une excellente synthèse (en format ppt) sur le sujet
La conférence de Florence Robine en 2007 (pdf)
Le cours de Jean-Louis Basdevant et Christoph Kopper: Principes variationnels et mécanique analytique (également en pdf)

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Billet classé (puissance) X: pourquoi on retrouve toujours la suite de Fibonacci dans le cœur des tournesol, les pommes de pin etc...

Cascade électrique, cascades évolutives

Si comme moi, vous imaginez qu’un générateur électrique ressemble forcément à une espèce d’usine à gaz, pleine de turbines, de trucs qui tournent, d’aimants ou de réactifs chimiques, je vous invite à jeter un coup d’oeil sur celui qu’a inventé Lord Kelvin en 1857. Il s’agit simplement d’eau qui coule paisiblement dans des récipients en métal après être passé au travers de tubes métalliques tout aussi immobiles:

(source de la photo ici)

Bon, vous ne risquez pas l’électrocution, mais cette drôle marchine à eau arrive quand même à faire naître de belles étincelles, regardez:


Magique? Pas du tout, le principe est même étonnamment simple. Les deux récipients en métal et leur tube correspondant sont normalement neutres. Mais il y en a toujours un qui est très légèrement chargé. Supposons que ce soit le récipient de droite et son  tube de gauche qui soit chargés positivement:

Dans la goutte en train de se former, il y a quelques particules chargées (les ions). Pas beaucoup, seulement une molécule sur 10 millions (10-7) quand l’eau est pure et de PH neutre, mais cela suffit pour enclencher le phénomène. Les ions négatifs (OH-) présents dans l’eau sont attirés par le tube chargé positivement. Lorsque la goutte d’eau tombe dans le récipient de gauche, elle emporte avec elle ces ions négatifs. Le récipient de gauche se charge donc négativement et le tube de droite à son contact également.

Cette fois, le tube de droite attire à lui les ions positifs (H30+) de l’eau au dessus de lui et les gouttes qui tombent à droite sont chargées positivement. Le récipient de droite se charge positivement et à son contact le tube de gauche également. Un cycle s’amorce ainsi qui accroît progressivement la différence de charges entre les deux récipients jusqu’à ce que la tension provoque une décharge électrique.

A mesure que l’appareil se charge, le jet éclabousse de plus en plus tout autour de lui et les gouttelettes suivent des trajectoires de plus en plus bizarres au point de défier les lois de la gravité!


 Là encore, tout est logique: les gouttelettes chargées sont attirées par le tube (de charge opposé) et la force électrostatique s’ajoute à la gravité. Les très petites gouttes finissent par suivre simplement les lignes de champs électrostatiques

source: ici

Si un goutte touche le tube qui l’attire, elle le décharge un petit peu: c’est ce phénomène (entre autres) qui limite la puissance électrostatique de ce type de montage...

La simplicité du montage est bluffante, mais ce qui me fascine le plus c’est la rupture spontanée dans la symétrie du montage. Dans l’état initial les deux récipients sont indistinguables alors qu’à la fin l’un des deux se charge positivement sans qu’on puisse prédire lequel. La cascade d’eau (symétrique) provoque une cascade électrostatique totalement asymétrique.

 D’une cascade à l’autre...
Ce phénomène de cascade-briseuse-de-symétrie me fait penser à l’énigme de “l’homochiralité du vivant”: Pasteur a le premier découvert que tous les acides aminés de la matière vivante présentent la même configuration en hélice droite (comme celle d’un tire-bouchon pour droitier). Pourtant lorsqu’on synthétise en laboratoire ces mêmes molécules, on obtient en général les deux types d’hélices en quantité égale. Cette découverte faite par hasard est fondamentale puisqu’elle marque la frontière entre le monde du vivant et celui de l’inerte: dans le monde du vivant il n’existe qu’un seul format de molécule organique parmi les deux possibles.

Les molécules artificielles ont pourtant des propriétés chimiques rigoureusement identiques en termes de densité, de température de fusion, etc: pourquoi diantre n’existe-t-il qu’une seule configuration dans la nature? Le mystère est loin d’être élucidé et la littérature abonde d’hypothèses possibles des plus simples aux plus compliquées (certaines renvoient à la brisure spontanée de symétrie CP des interactions faibles ou encore à l’effet des rayonnements de l’espace).

Une chose est sûre: les organismes vivants, eux-mêmes constitués d’acides aminés en hélice droite uniquement, réagissent différemment aux deux format de molécules. Pasteur avait par exemple remarqué que seule la forme naturelle de l’acide tartrique était digérable par les micro-organismes. On sait qu’il en est de même avec la molécule de la vitamine C. L’aspartame est doux, mais son jumeau en miroir a un goût amer. On pourrait multiplier les exemples à l’infini.

Formes gauche (S, tératogène) et droite (R, sédatif) de la thalidomide (source CNRS)

Cette seconde découverte a inspiré à Pasteur une explication simple à l’étrange uniformité des configurations du vivant: notre monde vivant fonctionnerait comme une gigantesque usine de vis et d’écrous, dont seules les pièces ayant le même sens de filetage sont compatibles entre elles.

Même si les deux types de configuration moléculaires ont pu exister dans la soupe initiale du vivant, la machine de Kelvin permet de se faire une idée de se qui a pu se passer à l’origine de la vie: exactement comme pour le générateur à eau, un infime déséquilibre entre les proportions des deux types de molécules a pu déclencher un effet de cascade évolutive, aboutissant à la disparition totale d’une des deux formes.
Si cette hypothèse est correcte, il ne faut pas chercher de cause particulière à l’hélice droite, pas plus qu’on ne doit chercher à comprendre pourquoi c’est le récipient de droite qui à un moment donné se charge positivement dans la machine de Kelvin. Les deux types de cascades physique et évolutive brisent la symétrie initiale de manière à la fois inexorable et aléatoire.

Tiens d’ailleurs, je viens de me rendre compte que le terme de “chiralité” (la propriété d’une molécule pouvant exister sous deux formes miroir l’une de l’autre) a été justement inventée par Kelvin...

 Sources:
Le cours MIT 8.02 de Walter Lewin sur l’electromagnétisme, un modèle de pédagogie!
L’univers ambidextre de Martin Gardner
Une excellente synthèse de Jean Philibert sur la symétrie dans la nature (pdf)

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Lois physiques:1 Abeilles: 0

La régularité extraordinaire des nids d'abeille est l'une des curiosités naturelles qui a le plus excité les esprits. Par exemple, le mathématicien Pappus d'Alexandrie avait remarqué dès l'Antiquité que ces structures hexagonales permettaient aux abeilles d'aménager le maximum d'alvéoles pour un minimum de cire. En ce jour de rentrée, voilà de quoi rendre jaloux les cancres en maths. Comment ces petits bêtes n'ayant pas deux grammes de cervelle peuvent-elles élaborer des constructions aussi optimales qu'élégantes? Deux mille ans plus tard, les fausses explications ont toujours la vie dure...


Un peu de géométrie pour commencer (promis: pas d'équation!)
Vous êtes une abeille et vous devez fabriquer un maximum d'alvéoles en cire destinées à recevoir les larves. Pour ne pas faire de jaloux, toutes les alvéoles doivent avoir la même surface. Quelle forme avez-vous intérêt à choisir pour consommer le moins de cire possible? Si vous manquez d'imagination et que vous n'utilisez que des polygones, vous n'avez que trois choix: le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone. Tous les autres polygones laisseront des "trous" entre eux quand vous les collerez les uns aux autres.
Utiliser le moins de cire possible revient à chercher la forme qui donnera la plus grande surface pour un périmètre donné. Or plus un polygone a de côtés, plus sa surface est grande (à périmètre constant): Ça paraît logique puisque sa forme se rapproche de plus en plus de celle d'un cercle qui est justement la figure de plus grande surface.
Des trois polygones possibles (triangle, carré, hexagone), c'est donc l'hexagone qui  permet de faire le plus d'alvéoles avec le moins de cire. Les sceptiques peuvent vérifier avec cette formule qu'il offre le meilleur rapport surface sur périmètre.

Bon tout ce raisonnement est bien joli mais il n'y a aucune raison de n'envisager que des polygones, sacrebleu! Pourquoi pas des formes plus rigolotes, comme celles qu'imaginait Escher par exemple:

Se pourrait-il que certaines de ces figures permettent de "paver" plus économiquement le plan? On sent bien que non, mais c'est incroyablement dur à prouver. Cette conjecture du nid d'abeille qui consacre l'hexagone régulier comme THE champion du pavage a dû attendre plus de 2300 ans avant d'être démontrée rigoureusement en 1999!


Œuvre divine ou effet de la sélection naturelle?
Comment ne pas voir la preuve de l'intervention de Dieu dans cette magnifique optimalité? "Les abeilles, par inspiration et de par la volonté divine, sont capables d'appliquer aveuglément les mathématiques les plus raffinées ", écrivait le scientifique Fontenelle au XVIIe siècle. Pour Kepler les abeilles "sont douées d'une âme et de ce fait capables de faire de la géométrie". Même Jean-Henri Fabre, le pape de l'entomologie moderne, renvoyait dans leurs buts toutes les tentatives d'explication rationnelles: "Dans ses ouvrages, écrivait-il, la Puissance créatrice toujours géométrise (...) disait Platon. Là vraiment est la solution du problème des Guêpes". Aujourd'hui encore, les nids d'abeilles inspirent toutes sortes d'explications mystiques (ici ou là par exemple).

L'argument divin était si percutant que Darwin s'est lui-même longuement penché sur le sujet dans l'Origine des Espèces. Il était embêté car à part ces structures hexagonales, on ne trouve chez les guêpes et les abeilles que des alvéoles cylindriques plus ou moins grossières, notamment pour les espèces solitaires. Comment l'abeille a-t-elle pu "apprendre" à fabriquer des hexagones à partir de cylindres? Evidemment il a cherché la réponse du côté de la sélection naturelle (p 304):

Ainsi, à mon avis, le plus étonnant de tous les instincts connus, celui de l'abeille, peut s'expliquer par l'action de la sélection naturelle. La sélection naturelle a mis à profit les modifications légères, successives et nombreuses qu'ont subies des instincts d'un ordre plus simple ; elle a ensuite amené graduellement l'abeille à décrire plus parfaitement et plus régulièrement des sphères placées sur deux rangs à égales distances, et à creuser et à élever des parois planes sur les lignes d'intersection. Il va sans dire que les abeilles ne savent pas plus qu'elles décrivent leurs sphères à une distance déterminée les unes des autres, qu'elles ne savent ce que c'est que les divers côtés d'un prisme hexagonal ou les rhombes de sa base. La cause déterminante de l'action de la sélection naturelle a été la construction de cellules solides, ayant la forme et la capacité voulues pour contenir les larves, réalisée avec le minimum de dépense de cire et de travail. L'essaim particulier qui a construit les cellules les plus parfaites avec le moindre travail et la moindre dépense de miel transformé en cire a le mieux réussi, et a transmis ses instincts économiques nouvellement acquis à des essaims successifs qui, à leur tour aussi, ont eu plus de chances en leur faveur dans la lutte pour l'existence.

Sans rien savoir des maths, les abeilles seraient (à force d'essais et d'erreurs? la théorie ne le dit pas) tombées par hasard sur une structure optimale leur procurant une économie de cire décisive pour leur survie et leur multiplication en plus grand nombre. Cette explication remporte un tel succès que les nids d'abeilles ont changé de camp idéologique: d'argument divin ils sont devenus l'illustration classique des effets spectaculaires de la sélection naturelle, que l'on retrouve sur la plupart des sites traitant de la question (ici ou là par exemple).

Une explication purement mécanique?
Il y a pourtant un problème évident avec l'explication Darwinienne: elle est indémontrable. Pourquoi imaginer des histoires aussi alambiquées, fulmine D'Arcy Thompson (dont j'ai déjà parlé dans ce billet ou celui-ci) alors que la forme hexagonale des nids d'abeilles peut s'expliquer par les simples lois de la physique? Profitez des derniers beaux jours pour regarder la mousse de votre bière: vous verrez que pressées les unes contre les autres, les bulles adoptent elles aussi une forme plus ou moins hexagonale (schéma de droite, source ici).

En deux dimensions, le mécanisme est simple à comprendre (à gauche): au départ chaque bulle est circulaire et touche ses voisines en six points. Sous l'effet de la pression, ces six points de contact se transforment en six lignes droites et les cercles se changent en hexagones serrés les uns contre les autres

Quand on est en trois dimensions, les choses sont un peu plus compliquées car on ne peut paver une surface courbe uniquement avec des hexagones. C'est ce qui explique la forme un peu biscornue des bulles dans la mousse de bière qui alternent hexagones et pentagones, comme sur un ballon de foot.

On retrouve ces formes hexagonales partout dans la Nature, dès que des disques, des sphères ou des cylindres sont comprimés les uns contre les autres. Essayez par exemple avec des jaunes d'œuf dans une soucoupe:

Lorsque ce sont des cylindres de magma en fusion qui se pressent les uns contre les autres en refroidissant, ça donne ces extraordinaires formations de la Chaussée des Géants en Irlande:

(source: ici)

Dans le domaine du vivant, les réseaux d'hexagones apparaissent chaque fois que de très nombreuses cellules -rondes au départ- se pressent les unes contre les autres sous l'effet de leur croissance. Ici, ce n'est pas un nid d'abeille mais les cellules de l'oeil du taon américain. Les hexagones sont irréguliers car la surface de l'oeil est sphérique:

(source ici)

Même explication pour la magnifique géométrie de certains diatomées. Les vésicules molles qui les constituent prennent la forme d'hexagones lorsqu'elles grossissent. La silice s'accumule au niveau des parois entre les vésicules et finit par former un squelette rigide finement maillé:

.

(source ici)

Il y a plein d'exemples comme ça dans tous les domaines, de la chimie à la biologie et à toutes les échelles, de la molécule à l'hexagone de Saturne.

Comment l'abeille s'y prend-elle?
Se pourrait-il que les nids d'abeilles ne doivent leur beauté ni au génie des abeilles, ni à la main de Dieu, ni même à la sélection naturelle, mais à de simples effets mécaniques sur les alvéoles de cire molle? L'idée n'est pas nouvelle: déjà au XVIIe siècle, Erasmus Bartholin, un mathématicien danois doutait que la recherche d'économie soit à l'origine de ces jolies motifs. Il proposa que la forme hexagonale des alvéoles était simplement le résultat de l'effort de chaque abeille pour agrandir au maximum l'alvéole qu'elle construit, par analogie avec la pression dans chaque bulle de savon. D'ailleurs la cire des abeilles est au départ très liquide, exactement comme un film savonneux. Cette hypothèse expliquerait pourquoi la forme hexagonale des cellules n'existe qu'entre les alvéoles et pas sur les bords du nid. J'ai pu constater moi-même cet été sur un nid de guêpes en cours de formation (que ne ferait-on pas pour la science!) que les parois extérieures sont en forme d'arc de cercle, exactement comme le prédit l'hypothèse de Bartholin:

 Si Darwin avait eu raison, les abeilles auraient dû être sélectionnées pour leur aptitude à construire des parois planes partout, y compris sur les bords.

Bon, mais on peut quand même être sceptique sur l'hypothèse "des abeilles qui poussent". Comment des efforts aussi intermittents que ceux des abeilles sur les alvéoles peuvent-ils aboutir à des constructions aussi régulières? D'Arcy Thompson a une explication beaucoup plus simple (p133): "Il me semble bien plus vraisemblable qu'il s'agisse en réalité d'un problème de tension: les parois adopteraient en fait leur configuration lorsqu'elles sont dans un état semi-fluide, sous l'effet de la présence d'eau résiduelle dans la pulpe végétale, ou sous l'effet du ramollissement de la cire provoqué par la chaleur dégagée par toutes les abeilles au travail dans la ruche." Trop fort D'Arcy: en 2004 des chercheurs semblent lui donner raison en reconstituant artificiellement la structure hexagonale d'un nid d'abeille sans abeilles, en faisant simplement couler de la cire liquide autour de cylindres chauds et serrés les uns contre les autres (qui figurent les abeilles dans la vraie vie). Il suffirait donc simplement aux abeilles de répandre la cire liquide autour d'elles pour que celle-ci finisse par prendre la forme d'hexagones quasiment parfaits sous le seul effet des lois physiques:

Et l'optimum de cire, qu'en reste-t-il?
En face à ces résultats, l'hypothèse d'une sélection naturelle des abeilles économes en cire tient-elle encore la route? D'après les chercheurs de cette même étude ((L’étonnante abeille, p175) "si l’on devait intégrer dans le calcul l’ourlet de cire qui recouvre le bord des cellules, ces 30% de cire supplémentaires réduiraient à néant tout bilan d’optimisation". D'ailleurs, comme le relève D'Arcy Thompson (p 131), "l'abeille n'est pas économe de son travail; celui-ci ne revêt ni la finesse ni la précision suffisantes pour qu'elle puisse tirer partie d'une quelconque économie de cire en construisant son alvéole selon ces normes théoriques (...) Quand une abeille construit une alvéole isolée, ou un petit groupe d'alvéoles destinées aux oeufs qui donneront naissance à des reines, l'édifice est de piètre qualité. Les alvéoles des reines sont de petits amas de cire brute, où la cavité à peine ébauchée est marquée de grands coups de mâchoires, comme un tronc d'arbre grossièrement équarri qui porterait les traces d'un outil émoussé."

La sélection naturelle n'a donc manifestement pas sélectionné les spécimens d'abeilles les plus économes en cire. Cela étant, quand on pense à l'énergie qu'il leur faut dépenser pour produire toute cette cire, comment imaginer que la parcimonie n'ait joué aucun rôle dans l'évolution des abeilles? Je me demande s'il ne faut pas carrément inverser l'argument de la sélection naturelle classique. Est-ce la nécessité de fabriquer plein de nids adossés, qui aurait développé chez les abeilles l'instinct d'économie? Ou ne serait-ce pas plutôt l'économie de cire que procure mécaniquement un nid collectif qui aurait favorisé le succès évolutif des espèces sociales?

Dans le fond, tout cela est plutôt rassurant: les abeilles ne sont ni des génies des maths, ni des acharnées de l'économie et les lois de la physique suffisent probablement à expliquer leurs prodigieuses constructions. La sélection naturelle jouerait bien un rôle, mais pas forcément celui qu'on décrit généralement. Une chose reste déroutante dans cette histoire: pourquoi malgré ses incohérences et son caractère invérifiable, l'hypothèse d'une sélection naturelle des abeilles économes en cire est-elle toujours aussi répandue, y compris dans les livres ou les sites scientifiques? Et à l'inverse pourquoi trouve-t-on aussi rarement l'explication mécanique à ces structures, explication pourtant ancienne, cohérente, étayée par l'expérience et en phase avec des phénomènes comparables dans d'autres domaines? Je suppose qu'une telle explication a du mal à se populariser car elle contredit la représentation classique de l'évolution darwinienne et parce qu'elle n'est sous-tendu par aucune théorie plus globale, mécanique cette fois, de l'évolution. "You can't beat something with nothing", en sciences comme ailleurs.

Sources:
Ce billet du blog Culture Générale
Cet article de Science News sur la conjecture du nid d'abeilles et cet autre de l'université de Montreal.
Ce site sur les diatomées et celui-ci sur l'hexagone dans la nature.
Et bien sûr Forme et croissance de D'Arcy Thompson...

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PS. On a également tenté d'expliquer la forme du fond des alvéoles (photo de droite, source Wikipedia) par des arguments d'économie de cire. Les alvéoles sont empilées les unes dans les autres sur plusieurs couches et chacune est fermée par trois faces planes (appelées rhombes) qui se rejoignent, comme un crayon hexagonal dont la pointe serait taillée par trois coups de couteau (figure de gauche). Cette forme permet aux alvéoles de s'emboîter parfaitement les unes dans les autres. Elle est certes plus économe en cire qu'un fond plat hexagonal, mais en 1964 le mathématicien Hongrois Fejes Toth montra qu'elle l'est moins qu'un fond formé de deux hexagones et deux petits losanges (schéma de droite). Cela se joue à pas grand chose (l'économie ne serait que de 0.35%) mais pourquoi la sélection naturelle aurait-elle méprisé cette petite optimisation? Des chercheurs ont voulu vérifier s'ils pouvaient articiellement faire émerger une telle forme par les seules lois de la physique. En emprisonnant des bulles de savon entre des plaquettes de verre, ils ont obtenu deux couches d'alvéoles hexagonales et ont observé la manière dont elles s'emboîtaient l'une dans l'autre. Bingo! En fonction de la quantité de liquide emprisonné, le fond de ces alvéoles était tantôt celui des trois rhombes, tantôt celui décrit par Toth. Décidément, les mécanismes physiques sont loin d'être clairs et l'économie de matière n'en est pas la seule variable.

Le Jabulani se prend-il pour une banane?

Le ballon de la Coupe du Monde - le Jabulani- semble être un cauchemar pour les gardiens de but, tant ses trajectoires sont imprévisibles. Sur les frappes de loin, il lui arrive de “flotter” en l'air, hésitant dans sa trajectoire avant de prendre le gardien par surprise comme sur ce but de la Chine contre la France.


La plupart des explications au sujet de ces tirs flottants (par exemple ici ou chez Tom Roud) font appel à "l'effet Magnus”, connu pour être à l'origine de très illustres tirs "en banane":


J'avoue que le parallèle entre les deux types de tirs ne m'a pas paru évident: la trajectoire de la balle flottante est beaucoup moins courbe que celle des "tirs en banane" et la balle semble y être beaucoup moins “brossée”. S’agit-il vraiment du même effet? Le Webinet mène l’enquête sur cette question cruciale qui a au moins le mérite de ne pas parler des frasques de l'équipe de France. Et cette semaine, promis: pas d'équation!

Le tir en banane
Pour éplucher la banane, rien ne vaut le légendaire coup franc de Roberto Carlos contre l'équipe de France en 1998:

Regardez comme le ballon tourne très vite sur elle-même. L'effet donné à la balle entraine l’air à son contact, accélérant le flux d’un côté et le ralentissant de l’autre. Or la vitesse d'un gaz est liée à sa pression (souvenez-vous de Bernoulli et de son théorème): si sa vitesse augmente sa pression diminue et vice versa. La différence de pression induite de part et d’autre de la balle crée une poussée latérale qui incurve sa trajectoire. C'est ça le fameux effet Magnus:

L'effet Magnus (l'illustration est adapté de ce site)

Cet effet est accentué par la déviation de la trainée d'air derrière la balle. Sous l'effet de la rotation, le sillage turbulent est décalé par rapport à l'axe de déplacement de la balle:

(source: ici)

Par réaction, la balle subit une seconde poussée latérale qui s'ajoute à la force de Magnus:

(illustration tirée et adaptée de ce site):

L’effet sera d’autant plus marqué que la balle “accroche” l’air autour d’elle. C’est la raison pour laquelle les balles de tennis neuves ont plus d’effet que les balles usées ou mouillées et que les balles de base-ball ont de drôles de couture.
La vitesse de rotation de la balle sur elle-même accentue également l’effet: il faut bien “brosser” la balle avec son pied ou sa raquette, surtout au ping pong où la balle est très lisse. Au football l’effet est plus facile à obtenir par temps sec: la chaussure donne plus d’effet à la balle et la balle entraine mieux l’air autour d’elle.
A ces effets en l'air s'en ajoutent d'autres encore plus diaboliques au moment du rebond lorsque la balle est légère. Cela permet de faire des services redoutables au ping-pong:

Le deuxième effet kiss-cool de la banane
Au foot le véritable magic touch du tir en banane de Roberto Carlos, ne vient pas du rebond mais du changement subit de la trajectoire du ballon, une fois qu'il a passé le mur des joueurs. La balle qui semblait mal cadrée oblique brusquement vers le but, prenant tout le monde de court.

Que se passe-t-il? Lorsque la balle ralentit un peu, l’écoulement de l’air autour d’elle change subitement de régime, et passe d’un mode “turbulent” c’est-à-dire chaotique à un mode beaucoup plus stable (“laminaire”) où les effets de la viscosité de l'air sur la balle (et donc la poussée latérale qu'elle subit) sont beaucoup plus marqués. Si la balle a gardé suffisamment de rotation quand elle entre dans ce régime la courbure de sa trajectoire est donc brutalement accentuée et prend tout le monde de court.

source ici

Bref, pour réussir un beau tir en banane il faut un coup de pied très puissant et très brossé. La balle suit alors une trajectoire arrondie dont la courbure s’accentue subitement quand la balle passe du mode turbulent au mode laminaire. On obtient cet effet plus facilement par temps sec et avec une balle qui "accroche" bien l'air.

La balle flottante
Venons-en aux tirs flottants. C’est au volley que l’on parle le plus volontiers de “service flottant”. On obtient cet effet quand on frappe fort dans une balle de plage très légère. Même sans vent, on dirait que la balle fait n'importe quoi. Faute d’une belle vidéo sur un bon service flottant, voici l’animation qu’en donne Wikipedia:

L'explication est plus subtile que celle de l'effet Magnus. Ici c'est l'absence de rotation de la balle qui provoque l'instabilité de la trajectoire. Et oui! En aérodynamique, la rotation joue le même rôle stabilisateur qu'un gyroscope en mécanique, même si les mécanismes sont très différents. Ce n'est pas un hasard si tous les fûts d'armes à feu sont rayés. Quelque soit sa nature -torpille, flêche ou balle- un projectile qui tourne en vrille pendant sa course voit toujours sa trajectoire stabilisée, car les turbulences de l'air sont canalisées derrière lui.

Si au contraire la balle part très vite sans tourner, l'écoulement turbulent de l'air à son contact crée des mini-tourbillons à sa surface. Ces petites perturbations réparties aléatoirement autour d'elle sont autant de micro-dépressions qui attirent ou repoussent la balle d'un côté ou de l'autre. Sa trajectoire devient alors imprévisible et c'est justement cet effet qui est recherché dans les jeux de balle. L'effet est plus facile à obtenir avec une balle llisse et légère ce qui explique qu'il soit plus connu au ping-pong et au volley qu'au foot. Pour bien réussir un tir flottant, il faut frapper sèchement la balle au centre (pour éviter la rotation) et très fort (pour qu'elle passe en régime "turbulent").

Verdict...
Récapitulons: effets Magnus et flottants ont bien des points communs (tir puissant, frappé de loin et trajectoire imprévisible) mais ces similitudes cachent des mécanismes très différents: l'effet Magnus recquiert une balle qui tourne très vite sur elle-même et devient redoutable s'il se prolonge au moment où la balle ralentit. A l'inverse un tir devient flottant lorsque la balle est en pleine vitesse et qu'elle ne tourne pas sur elle-même. Le Jabulani, plus lisse et plus léger que les autres modèles de ballons (surtout quand il est joué en altitude) est un candidat idéal pour des tirs "flottants", surtout quand il pleut. En revanche si mon explication est la bonne il se prête moins beaucoup moins bien aux effets Magnus. Bref une banane ne flotte pas et un tir flottant ne se banane pas...

Source:
L'excellent travail des lycéens de Strasbourg sur le sujet
The science of soccer sur le site de l'Université de Hong Kong
La conférence "Balles et Ballon" d'Etienne Guyon
L'article de Wikipedia sur le service flottant au volley

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