Le Jabulani se prend-il pour une banane?

Le ballon de la Coupe du Monde - le Jabulani- semble être un cauchemar pour les gardiens de but, tant ses trajectoires sont imprévisibles. Sur les frappes de loin, il lui arrive de “flotter” en l'air, hésitant dans sa trajectoire avant de prendre le gardien par surprise comme sur ce but de la Chine contre la France.


La plupart des explications au sujet de ces tirs flottants (par exemple ici ou chez Tom Roud) font appel à "l'effet Magnus”, connu pour être à l'origine de très illustres tirs "en banane":


J'avoue que le parallèle entre les deux types de tirs ne m'a pas paru évident: la trajectoire de la balle flottante est beaucoup moins courbe que celle des "tirs en banane" et la balle semble y être beaucoup moins “brossée”. S’agit-il vraiment du même effet? Le Webinet mène l’enquête sur cette question cruciale qui a au moins le mérite de ne pas parler des frasques de l'équipe de France. Et cette semaine, promis: pas d'équation!

Le tir en banane
Pour éplucher la banane, rien ne vaut le légendaire coup franc de Roberto Carlos contre l'équipe de France en 1998:

Regardez comme le ballon tourne très vite sur elle-même. L'effet donné à la balle entraine l’air à son contact, accélérant le flux d’un côté et le ralentissant de l’autre. Or la vitesse d'un gaz est liée à sa pression (souvenez-vous de Bernoulli et de son théorème): si sa vitesse augmente sa pression diminue et vice versa. La différence de pression induite de part et d’autre de la balle crée une poussée latérale qui incurve sa trajectoire. C'est ça le fameux effet Magnus:

L'effet Magnus (l'illustration est adapté de ce site)

Cet effet est accentué par la déviation de la trainée d'air derrière la balle. Sous l'effet de la rotation, le sillage turbulent est décalé par rapport à l'axe de déplacement de la balle:

(source: ici)

Par réaction, la balle subit une seconde poussée latérale qui s'ajoute à la force de Magnus:

(illustration tirée et adaptée de ce site):

L’effet sera d’autant plus marqué que la balle “accroche” l’air autour d’elle. C’est la raison pour laquelle les balles de tennis neuves ont plus d’effet que les balles usées ou mouillées et que les balles de base-ball ont de drôles de couture.
La vitesse de rotation de la balle sur elle-même accentue également l’effet: il faut bien “brosser” la balle avec son pied ou sa raquette, surtout au ping pong où la balle est très lisse. Au football l’effet est plus facile à obtenir par temps sec: la chaussure donne plus d’effet à la balle et la balle entraine mieux l’air autour d’elle.
A ces effets en l'air s'en ajoutent d'autres encore plus diaboliques au moment du rebond lorsque la balle est légère. Cela permet de faire des services redoutables au ping-pong:

Le deuxième effet kiss-cool de la banane
Au foot le véritable magic touch du tir en banane de Roberto Carlos, ne vient pas du rebond mais du changement subit de la trajectoire du ballon, une fois qu'il a passé le mur des joueurs. La balle qui semblait mal cadrée oblique brusquement vers le but, prenant tout le monde de court.

Que se passe-t-il? Lorsque la balle ralentit un peu, l’écoulement de l’air autour d’elle change subitement de régime, et passe d’un mode “turbulent” c’est-à-dire chaotique à un mode beaucoup plus stable (“laminaire”) où les effets de la viscosité de l'air sur la balle (et donc la poussée latérale qu'elle subit) sont beaucoup plus marqués. Si la balle a gardé suffisamment de rotation quand elle entre dans ce régime la courbure de sa trajectoire est donc brutalement accentuée et prend tout le monde de court.

source ici

Bref, pour réussir un beau tir en banane il faut un coup de pied très puissant et très brossé. La balle suit alors une trajectoire arrondie dont la courbure s’accentue subitement quand la balle passe du mode turbulent au mode laminaire. On obtient cet effet plus facilement par temps sec et avec une balle qui "accroche" bien l'air.

La balle flottante
Venons-en aux tirs flottants. C’est au volley que l’on parle le plus volontiers de “service flottant”. On obtient cet effet quand on frappe fort dans une balle de plage très légère. Même sans vent, on dirait que la balle fait n'importe quoi. Faute d’une belle vidéo sur un bon service flottant, voici l’animation qu’en donne Wikipedia:

L'explication est plus subtile que celle de l'effet Magnus. Ici c'est l'absence de rotation de la balle qui provoque l'instabilité de la trajectoire. Et oui! En aérodynamique, la rotation joue le même rôle stabilisateur qu'un gyroscope en mécanique, même si les mécanismes sont très différents. Ce n'est pas un hasard si tous les fûts d'armes à feu sont rayés. Quelque soit sa nature -torpille, flêche ou balle- un projectile qui tourne en vrille pendant sa course voit toujours sa trajectoire stabilisée, car les turbulences de l'air sont canalisées derrière lui.

Si au contraire la balle part très vite sans tourner, l'écoulement turbulent de l'air à son contact crée des mini-tourbillons à sa surface. Ces petites perturbations réparties aléatoirement autour d'elle sont autant de micro-dépressions qui attirent ou repoussent la balle d'un côté ou de l'autre. Sa trajectoire devient alors imprévisible et c'est justement cet effet qui est recherché dans les jeux de balle. L'effet est plus facile à obtenir avec une balle llisse et légère ce qui explique qu'il soit plus connu au ping-pong et au volley qu'au foot. Pour bien réussir un tir flottant, il faut frapper sèchement la balle au centre (pour éviter la rotation) et très fort (pour qu'elle passe en régime "turbulent").

Verdict...
Récapitulons: effets Magnus et flottants ont bien des points communs (tir puissant, frappé de loin et trajectoire imprévisible) mais ces similitudes cachent des mécanismes très différents: l'effet Magnus recquiert une balle qui tourne très vite sur elle-même et devient redoutable s'il se prolonge au moment où la balle ralentit. A l'inverse un tir devient flottant lorsque la balle est en pleine vitesse et qu'elle ne tourne pas sur elle-même. Le Jabulani, plus lisse et plus léger que les autres modèles de ballons (surtout quand il est joué en altitude) est un candidat idéal pour des tirs "flottants", surtout quand il pleut. En revanche si mon explication est la bonne il se prête moins beaucoup moins bien aux effets Magnus. Bref une banane ne flotte pas et un tir flottant ne se banane pas...

Source:
L'excellent travail des lycéens de Strasbourg sur le sujet
The science of soccer sur le site de l'Université de Hong Kong
La conférence "Balles et Ballon" d'Etienne Guyon
L'article de Wikipedia sur le service flottant au volley

Billets connexes
Le vélo c'est physique sur les bizarreries d'une roue qui tourne

L'évolution c'est de la dynamique!

Le Darwinisme classique explique très bien comment, grâce à la sélection naturelle ou sexuelle, une variation a pu se conserver chez une espèce. Typiquement, si les chauve-souris ont des ailes, c'est parce que ces ailes leur ont permis à un moment donné, de voler efficacement, donc de survivre en plus grande proportion que celles qui étaient moins bien loties. Mais il ne dit rien sur l'origine des premières ailes: qu'est-ce qui a rendu possible l'apparition de cette forme très particulière de membres? A cette question de l'origine des changements morphologiques, les mutations génétiques aléatoires (et dans une moindre mesure l'épigénétique) sont aujourd'hui la seule réponse admise par les biologistes, surtout depuis qu'on a réussi à faire pousser une antenne supplémentaire dans le dos d'une mouche rien qu'en lui changeant un gène.

Dans son dernier bouquin, "La Chose Humaine ou la physique des origines", Vincent Fleury propose une explication alternative à cette vision purement génétique. Ce physicien tente d'expliquer les formes du monde animal par la simple application des lois de la mécanique durant le développement de l'embryon. Il poursuit ainsi l'ambition de D'Arcy Thompson qui s'émerveillait de la manière dont on passe très simplement de la forme d'une espèce à l'autre, en jouant sur une simple transformation (transformation affine pour les matheux):

La physique de la matière molle appliquée...

... à la tête!
Chez Fleury, toutes les formes animales tirent leur origine des déformations que subit l'embryon, "matière molle" soumise à un formidable jeu de tensions et de contraintes mécaniques lors de sa croissance. Il explique par exemple la forme du crâne des mammifères par le simple effet du gonflement de la cavité crânienne (sous l'effet de la pression interne) contrainte d'un côté par l'os de l'orbite et de l'autre par ceux de l'oreille interne. Sous l'effet de ces deux contraintes, plus le crâne gonfle plus la mâchoire rapetisse et "rentre" sous la verticale de l'orbite. On obtient ainsi toute une gamme de crânes dont le développement est inversement proportionnel à celui de la mâchoire. Dans cette galerie, l'homme moderne (et le bébé chimpanzé!) occupe une position extrême avec un cerveau très développé et une mâchoire ridiculement petite, garnie de toutes petits dents par rapport à sa taille (toutes les illustrations sont tirées de son livre, sauf mention contraire):

... et au jambes!
La tentative d'explication la plus osée -et aussi la plus ancienne, Tom Roud avait déjà écrit un billet à ce sujet- concerne l'émergence des quatre membres chez les tétrapodes. Pour comprendre l'idée, il suffit de regarder la forme d'une bouteille de Mir liquide, compressée au milieu. Ou un morceau de chambre à air qu'on étire au deux bouts.

Les excroissances sur les côtés sont les germes des membres, lorsque l'embryon subit très tôt dans son développement à la fois une élongation et une compression en son centre.

... et aux mains!
Plus la contrainte latérale (celle qui s'exerce sur le nombril de l'embryon) est forte, plus les membres seront grands et inversement. Ce qui expliquerait pourquoi les animaux ayant des corps très allongés, avec un grand nombre de vertèbres (les lézards par exemple) ont des pattes plus petites, voire plus de pattes du tout pour les serpents. Ces considérations mécaniques (rhéologiques pourrait-on dire) expliquerait aussi la forme des doigts, nés au contact des vertèbres puis emportés latéralement par un flux de matière molle qui forme le futur membre:

... et au dos!
La forme du dos et des fesses chez les primates serait aussi le résultat automatique d'une compression latérale et d'une extension de la face dorsale de l'embryon:

... alouette!
Les déformations mécaniques des tissus influent à la fois sur les mouvements des cellules et sur leur croissance (de la même manière que la peau du ventre des femmes enceintes se distend en réponse à la tension qu'elle subit). Dans le cas du tissu embryonnaire en pleine croissance, les champs de tension et de compression qu'il subit influencent à la fois la concentration des cellules embryonnaires et la manière dont elles prolifèrent (pour soulager la contrainte), se différencient et disparaissent [1]:
- L'absence prolongée de sollicitation mécanique entraine la mort des cellules ce qui expliquerait par exemple la disparition de la membrane qui "palme" les doigts des mammifères.
- Ces mécanismes biomécaniques expliqueraient la prolifération des alvéoles dans les poumons, ou l'apparition et la forme des réseaux sanguins (j'y reviendrai dans un futur billet).
- Ils permettraient de comprendre l'incroyable imbrication des os entre eux:

"Les articulations, quand elles apparaissent sont complètement plates. Des travaux ont montré qu'il suffit de pousser l'une contre l'autre des articulations plates, pour qu'elles deviennent arrondies, et merveilleusement emboîtées, comme on les observe (col du fémur, genou, etc.)" [2].

- Ils expliqueraient enfin l'incroyable enchevêtrement des tissus autour de notre squelette:

Lorsque le plan d'ensemble du corps embryonnaire est en place mais n'est encore qu'une "pâte molle" certaines cellules, sous l'effet de ces contraintes mécaniques, se différencient en muscles, d'autres en nerfs ou en ligaments et certaines en cartilage avant de s'ossifier en dernier. L'origine commune de tous ces tissus s'illustre spectaculairement dans certaines pathologies où cartilages, ligaments ou même des muscles se calcifient et se transforment en os.

"Toute cette complexité, écrit Fleury, n'est qu'une cascade, un toboggan géant, qui s'enchaine simplement à partir de disques de tissu feuilleté; cela n'a rien de calculé, cela n'a rien de compliqué non plus (et des travaux récents montrent que les nerts suvient également les champrs de force dasn ces "mèches" de matière vivante.)" [2]

Trois conséquences intéressantes
La thèse m'a paradoxalement à la fois enthousiasmé et déçu.

Ce qui m'a enthousiasmé dans ce bouquin, c'est la proposition (implicite) de Fleury, de rechercher davantage les contraintes mécaniques qui restreignent le champ des variations morphologiques possibles. On "sent bien", en regardant autour de soi que l'évolution n'a pas à sa disposition une infinité de modèles morphologiques possibles. Comme le dit Fleury, le vol battu est vraiment une piètre solution pour s'élever dans les airs. Seulement voilà: au rayon "vol" il n'y a que cette morphologie qui soit disponible dans le vivant. Les contraintes de la physique du développement constitue une élégante explication à l'énigme de la convergence évolutive. Si les marsupiaux ressemblent tellement aux mammifères, si les épines de l'echnidé sont aussi semblables à celles du Porc epic et du hérisson, c'est peut-être tout simplement qu'il n'y a pas 36 solutions possibles pour faire évoluer un membre, une morphologie ou une excroissance épidermique. Au fil des évolutions, on retrouve forcément toujours les mêmes formes, de même qu'un ivrogne qui marche aléatoirement dans un couloir fermé aux deux bouts passe et repasse toujours aux mêmes endroits. L''évolution peut ainsi combiner à la fois une part d'aléatoire (les mutations) et de déterminisme (les contraintes physiques du développement).

La seconde chose qui me séduit dans la démarche de Fleury, c'est qu'elle explique -mieux: elle prédit!- l'analogie entre les figures de Chladni (qu'on a décrites ici) avec certaines formes vivantes! Ces figures sont celles que l'on obtient en faisant fait vibrer une goutte de liquide. En faisant varier la fréquence des vibrations on découvre comme par magie toute une galerie de formes vivantes et notamment cette carapace de tortue plus vraie que nature [source ici]. Le phénomène m'a bluffé quand je l'ai découvert, car je n'ai jamais trouvé la moindre explication à ces correspondances étranges, sauf les habituelles élucubrations ésotériques.
A partir du moment où l'on considère l'embryon comme une espèce de gelée soumise -à cause de sa propre croissance- à une cascade de tensions mécaniques, ces analogies perdent tout leur mystère puisque c'est le même phénomène physique dans les deux cas! De façon générale la biomécanique explique et prédit une foule de ressemblances entre les formes du monde animal et celles du monde minéral ou végétal.

Troisième motif d'intérêt pour eette théorie: chaque fois qu'une forme particulière est imposée principalement par des lois de la mécanique, on peut supposer qu'elle dépend finalement dans une moindre mesure de la chimie des gènes. Voilà qui permettrait de comprendre pourquoi les plantes présentent autant de variations génétiques (plus de 45 génotypes différents trouvés sur treize figuiers étrangleurs) sans que ça les affecte le moins du monde. Autrement dit, le déterminisme mécanique induirait une certaine liberté dans la nature des gènes formateurs. Ce déterminisme pourrait aussi expliquer que l'on découvre régulièrement que tel gène tiré d'un petit ver d'un millimètre comme C Elegans peut remplacer au pied levé son homologue chez une souris alors que les deux espèces sont génétiquement distants de plusieurs centaines de millions d'années. La stabilité des lois mécaniques du développement serait-elle un contrepoint essentiel de la variabilité génétique? La suggestion est pour le moins originale.

Ce qui m'a déçu
L'idée de Fleury m'a semblé lumineuse... et pourtant le bouquin m'a un peu déçu. D'abord je suis resté sur ma faim pour la démonstration détaillée des phénomènes physiques décrits. Pour le béotien, les explications sont un peu courtes et les dessins pas toujours lisibles (même ceux du site me laissent parfois perplexes). Et pour l'amateur s'intéressant au sujet, à peine deux ou trois références bibliographiques appuyant les thèses avancées. Je n'ai trouvé aucune référence précise à des simulations numériques ou expérimentales, montrant -comme l'ont fait Couder et Douady pour la forme des spirales de tournesol- qu'on peut recréer fidèlement une forme anatomique avec de la matière inerte, ferrofluides ou autres. J'ai eu l'impression d'en rester au niveau de l'intuition, mais peut-être est-ce dû au parti-pris de vulgarisation du livre?

Une deuxième chose m'a gêné: Fleury réduit le rôle des gènes à de simples paramètres ajustant la forme finale (longueur de membre, courbure d'un organe etc) sans en changer la géométrie générale. Les gènes sont au système embryonnaire ce que la vitesse initiale est à la trajectoire d'un boulet de canon: un paramètre qui détermine le point d'impact mais ne change pas la forme parabolique de la trajectoire. Et il évacue les conclusions montrant l'influence de certains gènes Hox sur la croissance de membres supplémentaires: "Ce n'est pas, objecte-t-il, parce que je suis capable de produire une patte, mettons, sur le dos, en injectant un produit de force à cet endroit, que la nature serait capable de le faire." L'objection me semble un peu courte: si l'on admet l'origine purement mécanique des membres, on ne devrait en aucun cas pouvoir faire pousser quoique ce soit avec de simples produits chimiques en l'absence de cette fameuse dynamique.

Une théorie stimulante

Même si les démonstrations pourraient être plus convaincantes et que la conclusion me paraît un peu trop radicale à notre stade de connaissance, le bouquin de Fleury a le mérite de proposer une vision renouvelée des mécanismes de l'évolution alliant déterminisme, matérialisme et auto-organisation. Sa thèse me semble être un bon point de départ pour un programme de recherche qui permettrait à la théorie de l'évolution de marcher enfin sur deux jambes: la génétique et la biomécanique.

Pourquoi est-ce important? La théorie classique de l'évolution postule le hasard comme unique source de variabilité naturelle des espèces, et ne s'intéresse pas trop aux contraintes bordant ce hasard. Du coup, lorsqu'elle tente d'expliquer les formes parfaites du requin ou celle du guépard, elle sous-entend (enfin, c'est ce que je comprends) que ces formes sont celles qui ont eu un avantage parmi des milliers, voire des millions d'autres formes moins parfaites, moins adaptées qui sont toutes apparues au hasard. Cette explication me fait penser à l'histoire des Shadoks qui voulaient partir sur la Terre. Les Shadoks s'étaient mis à fabriquer des fusées, mais comme chacun sait, ils ne sont pas doués. Lorsqu'ils apprirent qu'avec leur manière de s'y prendre, ils avaient une chance sur un million de faire décoller leur fusée, ils ne se découragèrent pas et se mirent à fabriquer à toute vitesse 999 999 fusées pour pouvoir enfin décoller.

Si la nature s'y prenait comme les Shadoks, nous devrions être cernés d'animaux mutants franchement mal fichus, équivalents des fusées sans queue ni tête (c'est le cas de le dire) des Shadoks. Mais on a beau chercher autour de nous et dans les fossiles, tous les animaux qui arrivent à l'âge adulte paraissent toujours assez bien adaptés à leur environnement y compris dans les temps géologiques les plus reculés. Les lois -et les contraintes- de la physique sont plutôt de bonnes candidates pour résoudre ce paradoxe. Après tout le principe de moindre action ne fait-il pas des miracles dans l'univers non-vivant?

PS. du 3/12/2009: l' article de Fleury, paru dans The European Physical Journal en juin dernier et qui reprend en gros les mêmes thèses que son livre, a suscité un violent rejet de la part de certains biologistes et de spécialistes en embryologie. Dire que les arguments sur les "écoulements hyperboliques" dans les tissus embryonnaires ne les ont pas du tout convaincu est un doux euphémisme (voir ici et là par exemple).

[1] J'ai pris la liberté d'ajouter ce lien entre contrainte mécanique et mort des cellules que Jean-Claude Ameisen décrit très bien dans sa "Sculpture du Vivant".
[2] Voilà typiquement le genre d'explication de Fleury qui manque de référence précise.

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Devinette: quelle différence entre un canard...

... et un supertanker, un porte-avion ou une planche à voile? Amis lézards des plages qui avez terminé votre sudoku, cette question est pour vous. Quel est l'angle du V que forme le sillage des bateaux qui croisent à l'horizon?

"Ca dépend de leur vitesse!" répondront les plus impulsifs. Mmhhh... si vous faites du ski nautique, vous savez bien que ce fameux V si difficile à passer, reste le même quand le bateau accélère...

Ca dépend du tonnage alors? Bof. Regardez les photos ci-dessous: un porte-avion laisse le même sillage qu'un escorteur beaucoup plus léger que lui.











Etrange non?

Il faut vous rendre à l'évidence: quelque soit le truc qui avance (du moment qu'il va suffisamment vite et en eau profonde) son sillage en V fait toujours 39° à peu près, qu'il s'agisse d'un bateau, d'un canard ou de la ligne qu'un pêcheur ramène (à droite).













Il a fallu attendre 1885 pour que Lord Kelvin, l'inventeur du zéro absolu, comprenne cette bizarrerie qu'on appelle un sillage de Kelvin, en tout seigneur tout honneur. Mais ses calculs sont diablement compliqués alors je vous propose une explication beaucoup un peu un tout petit peu plus simple, à partir des sources que j'ai trouvées sur le sujet... Ames sensibles, si le X vous choque passez la suite!

Le sillage d'un avion
Commençons par un problème plus simple: la forme du sillage laissé par un avion supersonique
En fendant l'air, l'avion crée sur son passage une onde de pression qui se propage dans l'espace à la vitesse du son c. S'il va plus vite que le son, l'avion laisse derrière lui une ribambelle d'ondes sphériques qui se dilatent progressivement, un peu comme si on tirait une rafale de cailloux dans l'eau. Ces ondes se combinent -interfèrent disent les physiciens- les unes avec les autres. Or ce qu'on perçoit comme l'onde de choc est le lieu est le lieu où elles s'additionnent au maximum (c'est pour ça que quand elle touche le sol, elle libère son énergie et fait "bang"): c'est donc l'enveloppe de ces petites sphères, qui forme donc un cône derrière la queue de l'avion. Vu du sol, ça forme un sillage en V.

Raisonnons dans un plan: lorsque l'avion passe du point A à B dans un laps de temps t à la vitesse v, il parcourt la distance vt. De son côté, l'onde initialement créée en A est maintenant devenue un cercle de rayon ct et de centre A. Pour trouver l'angle du sillage, il suffit de remarquer que l'onde de choc cherchée est la tangente à ce cercle qui passe par le point B. AM (rayon) et MB (tangente) sont perpendiculaires donc la pente du cone fait un angle b tel que sin(b)=ct/vt=c/v.

Pour les méticuleux, choisissons le passage de l'avion en B comme origine du temps et des abscisses et appelons -α l'abscisse de A. L'équation de l'onde circulaire autour de A est f(x,y,t,α)=(x+α)²+y²-c²(t+α/v)²=0 (1)
L'enveloppe de ces ondes est par définition l'ensemble des points qui vérifient à la fois cette équation et ∂f/∂α=0
Cette dernière condition s'écrit (x+α)=c²/v(t+α/v)
En éliminant t dans l'équation (1), on obtient y=±(x+α)/c√(v²-c²) ce qui représente deux séries de droites
de pentes ±1/c√(v²-c²), c'est-à-dire l'angle d'un triangle rectangle dont un côté mesure c et l'hypothénuse vaut v.

L'angle du cône de l'onde de choc varie donc en fonction de la vitesse de l'avion. A la vitesse du son (Mach1), ce cône est un plan perpendiculaire à la trajectoire de l'avion. Et plus l'avion va vite, plus le cône est profilé... Votre première intuition était donc la bonne pour les avions: l'angle de leur sillage dépend effectivement de leur vitesse. Mais dans le cas d'un bateau ou d'un canard, les choses se compliquent!

Passons à l'eau dispersante...
D'abord, la vitesse de propagation d'une onde dans l'eau dépend maintenant de sa longueur d'onde.
Alors que la vitesse des ondes électromagnétiques ou sonores dans l'air est constante, dans l'eau les grandes longueurs d'ondes courent plus vite que les petites. On appelle ça un milieu dispersif, car des longueurs d'ondes différentes s'y séparent rapidement, tout comme un prisme décompose la lumière en faisceaux colorés divergents.

Le bateau crée à chaque instant toute une série d'ondes de longueurs d'onde différentes λ₁, λ₂, λ₃... qui se propagent à des vitesses différentes en cercles concentriques le long de sa trajectoire. Ne nous laissons pas abattre et reprenons la méthode précédente (sans les calculs promis!) avec un bateau qui va de A en B: une longueur d'onde quelconque λ_i émise en A a donné l'équivalent de notre onde de choc en un point M_i tel que AM_i et BM_i sont perpendiculaires. L'ensemble de ces points M (j'arrête avec les indices, vous avez compris le principe) forme donc le cercle de diamètre AB.

Les ronds dans l'eau
L'autre particularité des ondes qui se propagent dans l'eau profonde, c'est que contrairement aux ondes sonores ou électromagnétiques, leur maximum d'énergie se déplace deux fois moins vite en moyenne que les ondes elles-mêmes. Pour avoir une idée du phénomène regardez de plus près la surface de l'eau après y avoir jeté un caillou: le "rond" extérieur dans l'eau est en fait constamment alimenté par les crêtes des petites vagues, qui proviennent du centre, se propagent plus vite que lui (deux fois plus vite) et meurent aussitôt après qu'elles l'atteignent. L'anneau que l'on voit n'est pas l'une de ces vagues, mais l'endroit où elles se combinent à leur maximum: c'est un paquet d'onde et non pas une onde particulière.

On voit bien ce phénomène sur cette simulation empruntée au site de Robert:

Pour simplifier on n'a représenté que deux longueurs d'ondes en interférence: vous voyez qu'il se forme des "paquet d'ondes", des fuseaux bien visibles aux endroits où les ondelettes sont maximales et ces paquets avancent plus lentement que les ondes qui les traversent. Dans la vraie vie, il y a beaucoup d'ondelettes de différentes longueurs d'ondes mais elles disparaissent toutes sitôt qu'elles passent le paquet d'ondes.

Retour à bord du bateau (ou du canard)
Pour revenir à notre bateau qui va de A à B, les points M_i que l'on vient de déterminer sur le cercle de diamètre AB correspondent donc au front d'onde des petites ondelettes rapides et non pas à celui des paquets d'ondes. A chaque point M_i correspond un maximum d'énergie en N_i, situé à mi-course entre A et M_i (figure ci-dessous). C'est la collection des points N et non pas celle des points M, qui forme à chaque instant la limite du remous créé par le bateau au point A. D'autant que se trouvant au-delà des points N, le front des ondes aux points M est imperceptible.

Si vous êtes arrivés jusqu'ici ne zappez pas, vous avez presque fini! Le lieu de ces points N est le cercle rouge, deux fois plus petit que le cercle AB en pointillé, de rayon R= vt/4 si l'on garde la même notation que pour l'avion.
Pour les sceptiques, chaque point N est défini par AN=1/2 AM (en notation vectorielle); avec les notations de la figure de gauche,
O'N= O'A + 1/2 AM = O'A + 1/2 AO +1/2 OM = 1/2 OM
Comme les points M décrivent le cercle de centre O et de rayon 2R,les points N décrivent le cercle de centre O' et de rayon R.

Comment la simplicité naît de la complexité
Nous nous retrouvons donc avec des paquets d'onde en forme de cercles de rayon vt/4 qui parsèment la trajectoire de notre bateau entre A et B. Donc quelque chose comme ça:

Ca vous rappelle quelque chose? A nouveau le sillage est la tangente de tous ces cercles formés par les points N.
Mais cette fois, si vous regardez bien la figure de droite, le demi-angle du sillage au point B vaut sin b= R/3R=1/3, qui est une constante correspondant à un demi-angle de 19,5° c'est à dire à un sillage d'angle 39° environ.

Miracle!! La complexité de la propagation des ondes dans l'eau a littéralement neutralisé toutes les autres variables de sorte que l'angle du sillage ne dépend ainsi ni de la vitesse des ondes dans l'eau, ni de celle du bateau, ni de sa taille ni de l'âge du capitaine... C'est pas magique ça?

Si la complexité de tous ces calculs ne vous a pas neutralisé à votre tour, sachez qu'il faut quand même nuancer tout ça:
- Ce raisonnement ne tient qu'à condition de naviguer suffisamment vite et en eau profonde. Si vous tirez un bouchon dans une flaque, l'angle du sillage dépendra bien de sa vitesse et sera plus aigu si vous le faites avancer rapidement. A faible profondeur, l'eau est en effet peu dispersive: votre intuition initiale n'était donc que partiellement fausse.
- La valeur de l'angle du sillage est simple, mais l'ensemble des perturbations ne l'est pas du tout! On n'a fait qu'effleurer la complexité du phénomène du sillage. Si on simule complètement les turbulences, voilà ce que ça donne:

Ça jette, non? Mais bon, j'arrête là sinon ma femme me tue, déjà que ça fait quatre jours que j'essaie de comprendre cette histoire de canards!

Sources:
Le site de Robert, une mine d'infos intéressantes sur des phénomènes physiques insolites. Allez voir pourquoi les cheveux mouillés semblent plus sombres, et pourquoi quand on remue son infusion la cuillère fait d'abord "tong" puis "ting". Génial!
Elimentary derivation of the wake pattern of a boat, Frank Crawford (American Journal of Physics, 1984)
Le livre "Deux cent cinquantes réponses aux questions du marin curieux" de Pierre-Yves Belly (Editions Gerfaut, 2004)