(image de techno-science.net) Gasp! En feuilletant les cours de mon numbertwo je réalise qu'une bonne partie de ce qu'on nous apprend en géométrie en CM2 est à revoir depuis que l'on sait que la la Terre est ronde!
- Une droite est le plus court chemin entre deux points prolongé de part et d'autre à l'infini (NB: ça m'énervait de pas trouver de démonstration simple alors je m'y suis essayé en fin de billet, à vos stylos rouges!) A la surface de la Terre, une droite est donc un grand cercle passant par ces deux points: "grand" cercle car il a le même centre que la Terre et donc de même périmètre que celle-ci. Arf, donc une droite sur Terre n'est jamais infinie!
- Deux droites parallèles ne se coupent jamais? Ben, faut voir à voir, puisque tous nos grands cercles se coupent toujours et en deux points (situés aux antipodes l'un de l'autre). En fait des droites parallèles ça n'existe pas sur Terre. De même, deux droites non parallèles ne se coupent pas en un seul point, mais en deux (situés aux antipodes l'un de l'autre)...
- La somme des angles d'un triangle fait 180°? Que nenni: si l'on prend par exemple un triangle avec pour sommet le pôle Nord, et deux points situés aux antipodes de l'équateur, regardez bien ça fait 180°+90°+90°=360°! Adios du coup le théorème de Pythagore, puisqu'on peut imaginer un triangle équilatéral et avec des angles droits partout (deux extrémités sur l'équateur à 90° d'écart de longitude et une extrémité au pôle)!
- La circonférence d'un cercle sur Terre fait 2πr? Bah faites le calcul, moi je trouve plutôt 2πR cosθ, θ étant la latitude du cercle en question (en le supposant parallèle à l'équateur).
Toutes ces belles certitudes envolées, ça donne le vertige. ----------------------------------------------------------------------------------------------
Pour démontrer que le plus court chemin entre deux points d’une sphère est la portion du grand cercle qui les relie, prenons… deux points qu’on appellera A et B pour pas être trop original quand même sur une spère de rayon 1. Pivotons la sphère une première fois pour que les points soient sur la même latitude, puis une seconde fois pour qu’ils soient situés de part et d’autre symétriquement par rapport au pôle de la sphère. Nos deux points sont maintenant situés sur un même méridien et leur latitude est égale, c’est plus joli.
On postulera que la courbe recherchée est plane (je suis preneur de justification!). Comme notre figure est symétrique par rapport à l’axe Nord-Sud (0z), son plan-support doit l’être aussi. Il n’y a donc que deux « candidats »: le plan horizontal portant la parallèle joignant A et B (c’est l’arc C1 en bleu sur la figure) et le plan vertical portant le méridien passant par A et B (arc C2, en rouge). Comparons ces deux arcs :
C1 est un demi-cercle (puisque A et B sont sur le même méridien) et si θ est l’angle entre Oz et OA, le rayon du cercle support de C1 vaut sinθ. La longueur de l’arc C1 est donc π sinθ.
C2 est un arc de cercle passant par le pôle donc sa longueur vaut 2θ.
Comme θ prend ses valeurs entre 0 et π/2, on vérifie que sur cet intervalle 2θ< π sinθ: le verdict est sans appel, c’est le méridien (donc l’arc C2 du grand cercle) qui est le plus court chemin entre A et B.
Ce n’est pas très intuitif car on est habitué aux projections cylindriques de la Terre qui représentent les parallèles comme des lignes droites alors que les grands cercles sont projetées comme des courbes. Deux étudiants sur ce site ont démontré comment calculer la différence entre les deux trajets : entre Poitiers et Seattle il y a 8000km de distance à vol d’avion, mais 1000 de plus si l’on suit un parallèle!
Quelle est la taille de votre visage lorsque vous vous regardez dans le miroir? Taille réelle? C'est sûr? Et lorsque vous vous éloignez de ce miroir, cette taille diminue. Evidemment?
Faites l'essai ou lisez cet article du New York Times: Munissez-vous d'un double décimètre, mesurez la hauteur de votre crâne (c'est sans doute le plus ardu, mais ça devrait tourner autour des 20-25 centimètres) puis regardez vous dans le miroir de votre salle de bain, en plaquant le double-décimètre sur le reflet de votre visage pour le mesurer. Si vous faites ça bien, vous verrez que votre reflet ne mesure que la moitié de votre taille réelle (dans les 12 centimètres). Et ceci quelque soit votre distance au miroir (la position du reflet change mais pas sa taille). Scroumpf, comment se fait-ce?
Pour le comprendre, imaginez que vous êtes face à votre jumeau, de l'autre côté d'un mur dans lequel se trouve une ouverture modulaire. Quelle est la taille minimale de l'ouverture permettant de le voir en entier des pieds à la tête? S'il (ou si elle) se trouve très près de l'ouverture, il faut que l'ouverture soit pratiquement de sa taille. A l'inverse, si l'ouverture se trouve très près de vous, un trou de serrure suffira pour le (ou la) voir en entier. Et si l'ouverture se trouve exactement entre vous deux, il faudra qu'elle soit de la moitié de la taille de votre jumeau.
Un miroir n'est jamais qu'une espèce "d'ouverture" placée exactement entre vous et votre reflet. La taille qu'y occupe votre reflet est donc la moitié de votre taille réelle, et ceci quelque soit la distance à laquelle vous vous trouvez du miroir. Et oui!
(image du New York Times) Autrement dit, vous voyez votre frimousse dans le miroir deux fois moins grande que sa taille réelle et cette taille ne change pas si vous vous approchez ou si vous vous reculez du miroir. En revanche, la taille du reflet de quelqu'un d'autre s'approchant (ou s'éloignant) du miroir augmente (ou diminue). On peut donc se définir grâce à l'invariance de la taille de son reflet dans un miroir: cette image dans le miroir est la mienne parce qu'elle ne change jamais de taille...
1) Compter les intersections est hautement instructif L'aiguille de Buffon On doit au Comte de Buffon d'avoir mis en évidence l'étonnante relation entre le nombre pi et la statistique. Mode d'emploi: prenez une après-midi pluvieuse et bien ennuyante, munissez-vous d'une épingle et placez vous sur un beau parquet aux lattes bien parallèles. Faites tomber l'aiguille sur le parquet et notez pour chaque lancer si l'aiguille touche ou non l'interstice entre les lattes. Recommencez 2000 fois. Quand vous êtes très fatigué par ce jeu idiot, calculez la fréquence à laquelle l'aiguille a touché l'intervalle entre les lames. Votre résultat devrait se rapprocher de 2a/πI où a est la longueur de l'aiguille et I l'intervalle entre les lattes du parquet. Sautez au paragraphe suivant si une jolie démonstration de ce résultat ne vous intéresse vraiment pas.
Il y a 36 manières de démontrer ce résultat, mais la plus élégante me semble être celle qu'à trouvé Emile Borel en 1860: l'astuce pour ne pas se fouler avec des sinus et des cosinus, c'est de remarquer qu'une aiguille de longueur a1+a2 touchera l'intersection -avec une espérance E(a1+a2) - si et seulement si sa partie a1 la touche -espérance E(a1) - ou si sa partie a2 la touche -espérance E(a2). Les probabilités s'additionnant, ça s'écrit E(a1+a2)= E(a1)+ E(a2). On en tire deux choses:
1) L'espérance est proportionnelle à la longueur de l'aiguille. E(a)=a E(1) 2) E(a1) + E(a2) se lit aussi comme le résultat du lâcher de deux aiguilles (a1 et a2) indépendamment l'une de l'autre, donc dans n'importe quelle position relative (en triangle, alignées, croisées entre elles etc). L'équation E(a1+a2)=E(a1)+E(a2) indique donc aussi que l'espérance de croisement d'une aiguille avec le parquet ne dépend pas de la forme de l'aiguille.
Borel a donc eu l'idée géniale de prendre pour forme particulière une aiguille circulaire de diamètre égal à l'écartement des lattes (sa longueur vaut donc πI ). Une telle aiguille coupera l'interstice en deux points, sauf si elle tombe pile au milieu des lattes: elle touchera alors à la fois la latte au dessus et celle au dessous. Dans tous les cas E(πI)=2 Et comme l'espérance est proportionnelle à la longueur, E(a)=a/(πI )E(πI ) donc E(a)=2a/(πI).
On peut se servir de ce résultat pour approximer π (essayez par exemple ce simulateur). J'admets qu'il y a plus pratique pour approximer πque de balancer des aiguilles sur un parquet pendant des heures. En plus il faut lancer l'aiguille 900 000 fois pour obtenir une précision d'un millième... Mais bon, pas de mauvais esprit, continuons plutôt...
Estimation des longueurs
L'autre intérêt de cette formule est qu'elle permet d'estimer la longueur L d'un tracé quelconque simplement en comptant le nombre N de fois qu'il s'intersecte avec une grille de maille I: L=πIN/4. Cette formule bizarre est à la base de la stéréologie, science bizarre dont le but est d'approximer statistiquement les dimensions d'un objet que l'on ne peut pas mesurer directement, par exemple une racine enfouie, la longueur d'un nerf ou encore des filaments microscopiques. Ou comme on le verra plus loin, pour estimer la surface ou le volume d'une cellule à partir de mesures partielles de dimension 1 ou 2.
Je n'ai pas trouvé la démonstration de cette formule, donc ceci est un essai. A vos stylos rouges! Reprenons notre expérience de lâcher d'épingle, mais remplaçons cette fois le parquet par une grille de maille I. L'épingle croisera la grille si elle croise soit une ligne horizontale soit une ligne verticale. L'espérance de croisement de la grille vaut donc deux fois celle de l'expérience de Buffon: E(a)=4a/(πI) pour la grille.
Peignons notre épingle et regardons la trace L laissée sur la grille en plastique par tous les lancers d'épingle (l'arrière-arrière-arrière petite fille du Comte Buffon vous remercie au passage pour son beau parquet). Pour n lancers, L=a x n
Par ailleurs si on a obtenu N lancers avec intersection: E(a)=N/n=Na/L.
Donc N=4L/(πI). Le nombre d'intersections est proportionnel à la longueur du tracé aléatoire!
En reprenant le raisonnement dans l'autre sens, on peut estimer la longueur L d'un tracé aléatoire en comptant le nombre d'intersections qu'il forme avec une grille: L=πIN/4 où I est la maille de la grille. Et voilà!
Estimation des surfaces Encore plus fort: En dessinant deux tracés aléatoires de longueur S et L dans une surface fermée A, on peut estimer cette surface en comptant le nombre N d'intersections entre les deux tracés. A= 2SL/N
Je n'ai réussi à montrer ce résultat qu'en postulant que N ne dépend que de la longueur des tracés et pas de leur forme particulière. Je suis preneur d'une justification de ce postulat ou d'une autre démonstration de cette formule. En appliquant ce postulat, c'est facile: remplaçons le tracé S par un quadrillage régulier de la surface A. La grille obtenue, de maille I, contient A/I2 cellules et sa longueur totale vaut environ S=2A/I (chaque cellule a un périmètre de 4I et chaque cellule est contiguë à une autre cellule). Comme on a montré plus haut que le nombre d'intersection du tracé L avec une grille vaut N=4L/(πI) on obtient la formule cherchée en remplaçant I par S/2A.
2) Pourquoi les fourmis aiment bien Buffon
La fourmi Leptothorax albipennis fait son nid dans les anfractuosités rocheuses. Quand la colonie grandit ou que le nid devient inhabitable, parce qu'il prend l'eau par exemple, elle envoie éclaireurs chercher un autre emplacement propice. Il faut que le futur nid ait une surface suffisante pour y accueillir toute la petite famille. Pas facile quand on n'a pas de mètre à couture sur soi... On a observé attentivement comment les éclaireurs s'y prennent: lorsqu'il découvre une surface propice, chaque éclaireur y entre plusieurs fois et décrit des circuits très alambiqués à l'intérieur. Si la cache est plus petite que le nid initial il cherche un autre emplacement. Sinon il court indiquer à ses congénères qu'il a trouvé ZE bon plan pour ce soir.
L'équipe du Pr Franks, de l'Université de Bath s'est intéressé au cas de ces fourmis et s'est livrée à tout un tas d'expériences en laboratoires, avec des anfractuosités artificielles faites dans des boites de Petri: - Tout d'abord ils ont constaté que la fourmi ne se fie pas au périmètre des contours des caches: les nids artificiels construits avec de grands périmètres mais avec de petites surfaces sont rejetés. Ils ont vérifié également que les fourmis ne préféraient pas spécialement les nids où l'on pouvait faire de grands déplacements sans collision contre un obstacle. C'est donc bien les surfaces des nids que sont capables de comparer ces satanées bestioles. - Les chercheurs ont ensuite découvert que la fourmi éclaireur déposait lors de sa première visite, une trace de phéromones qui lui est propre tout le long de son passage. Lorsqu'elle effectue son second passage, elle marque un petit temps d'arrêt chaque fois qu'elle croise sa première trace. Par contre elle ne s'arrête pas lorsqu'elle croise la trace d'un autre éclaireur, preuve qu'elle sait reconnaître son marqueur parmi tous les autres. - Les chercheurs ont vérifié que le nombre de croisements avec la première trace était déterminant dans la prise de décision de notre amie fourmi. Pour ça, ils ont placé un cache perforé sur le sol de la cache avant son premier passage puis, une fois qu'elle vait fini sont petit tour, ils ont ôté le cache avant son second passage. Grâce à cette ruse de la mort, ils ont diminué de moitié la trace odorante de la fourmi et donc divisé par deux le nombre de fois où l'éclaireur croise sa première trace. Et devinez quoi? Les fourmis acceptent ainsi des caches qu'elles avaient jusqu'ici rejetées, trompées par un si faible nombre de croisement... - Nos chercheurs ont filmé les passages des fourmis et constaté qu'une fourmi éclaireur effectuait une parcours à peu près toujours de la même longueur dans les différents caches et lors de ses différentes visites.
Mais alors: si les fourmis font des tracés aléatoires de longueur constante et sont sensibles au nombre de croisements entre deux tracés, ne seraient-elles pas en train d'appliquer instinctivement la formule de Buffon, qui prédit que la surface est inversement proportionnelle au nombre de croisements entre deux tracés aléatoires?
Pour le vérifier, nos chercheurs ont filmé les visites dans deux caches artificielles, l'une deux fois plus grande que l'autre. Ils ont compté le nombre de croisements trouvés par les fourmis lors de leurs secondes visites. Et ils ont effectivement constaté qu'en appliquant la formule de Buffon, on retrouvait assez précisément le rapport de surface entre les deux caches! Autrement dit, l'application de cette formule mathématique semble pouvoir expliquer l'incroyable capacité des fourmis à comparer assez précisément les surfaces qu'elles rencontrent.
Les boîtes représentent la distribution des deux surfaces (la simple et la double) recalculées avec le trajet et le nombre d'intersection de chaque fourmi. Les points représentent les valeurs réelles des deux nids. Le trait intérieur horizontal est la médiane, le fond et le sommet de la boîte représentent les 1ers et 3eme quartiles des données. On voit à quel point les approximations sont proches des valeurs (relatives) réelles...
Comment faire une multiplication sans connaître ses tables de multiplication?
Magique, non?
En fait pas vraiment: pour trouver combien font 8 *7, il suffit de compter le nombre d'intersection entre 8 lignes parallèles croisant 7 lignes. En représentant astucieusement un nombre à plusieurs chiffres en groupes de traits parallèles -un groupe par chiffre-, on reconstitue la multiplication terme à terme des deux nombres. Easy!
C'est pratique pour les nombres dont les chiffres sont petits: jusqu'à 5. 122 * 232 ne pose pas de problème. Par contre dès qu'on a des chiffres au-delà de 6 ou 7, compter les intersections devient coton... Méthode des paysans russes Les paysans russes avaient trouvé une méthode beaucoup plus astucieuse, qui marche quelque soit la taille du nombre. Il suffit de savoir additionner, multiplier par deux et diviser par deux.
Méthode: Ecrivez les deux nombres l'un à côté de l'autre En dessous multipliez le premier par deux et divisez le second par deux (sans décimale) Recommencez comme ça jusqu'à tomber sur 1 dans la deuxième colonne Barrez toutes les lignes dont le second nombre est pair Additionnez la première colonne dont les chiffres ne sont pas barrés Vous avez le résultat!
Démonstration avec 538 x 248
538
248
1076
124
2152
62
4304
31
8608
15
17216
7
34432
3
68864
1
133424
Et donc 538*248 = 133 424 Evidemment ça aurait marché en mettant 248 dans la première colonne et 538 dans la seconde.
Décryptage Cette méthode utilise astucieusement le fait que tout nombre entier se décompose (de manière unique) en somme de puissances de deux, propriété bien connue des Egyptiens qui avaient d'ailleurs trouvé une méthode de multiplication très semblable mais moins simple.
En l'occurence: 248= 8+16+32+64+128=23+24+25+26+27 Du coup 538*248=538*23+538*24+538*25+538*26+538*27 On reconnaît la somme des nombres non barrés dans la colonne de gauche.
Mais, direz-vous, pourquoi suffit-il de barrer les nombres pairs dans la colonne de droite pour trouver les bons facteurs de 2? Et comment on trouve la décomposition d'un nombre en puissances de 2, d'abord? C'est là toute l'astuce...
Décomposer un nombre en puissance de 2, revient à l'écrire en base 2. Prenons un nombre au hasard, en base 2, par exemple 1110. Divisons-le par 10 successivement et observons les restes: ce sont les chiffres qui composent ce nombre en base 2! 1110:10=111 reste 0 => c'est bien l'unité 111:10=11 reste 1 => c'est bien la dizaine 11:10=1 reste 1 => c'est bien la centaine 1:10=0 reste 1 => c'est bien le millier
Sur la base de cette observation, on obtient la décomposition d'un nombre en puissance de deux en le divisant successivement par 2 (2 s'écrit 10 en base 2): les restes de chaque division donnent les décompositions cherchées.
En l'occurrence 1110 en base 2 vaut: 23+22+21=14 Faisons le calcul: 14:2=7 reste 0 =>0 est l'unité en base 2 7:2=3 reste 1 => 1 est la dizaine en base 2 3:2=1 reste 1 => 1 est la centaine en base 2 1:2=0 reste 1 => 1 est le millier en base 2 14 s'écrit bien 1110 en base 2, autrement dit 14= 23+22+21
C'est bien cette même succession de divisions par 2 dans la méthode russe qui permet de retrouver la décomposition en puissances de 2. Barrer les nombre pairs revient à éliminer de la décomposition finale en puissances de 2, celles pour lesquelles le reste de la division par 2 vaut 0.
On reprend tout depuis le début (en gras les colonnes de la division à la russe):
Allez si tout ceci vous a fait mal à la tête, voici une méthode beaucoup plus simple que toutes les autres qui marche même sans connaître les additions...
Références:
L'excellent site du Dr Math (en anglais) sur l'arithmétique et d'autres méthodes de calcul (en particulier la multiplication égyptienne). Un cours d'ethno-mathématique (pdf en anglais) sur un tas de systèmes très différents et parfois très rigolos pour compter ou calculer.
Dernières nouvelles d'Afrique de l'Est (3): la hyène...
Ouh, casier chargé! "Couard", "glouton", "cruel", "idiot", "sale" et "puant": l'animal dit crocuta crocuta ou hyène tachetée traîne une sale réputation depuis des lustres. Une charognarde soupçonnée d'hermaphrodisme. Le diable en somme. Il suffit d’entendre son rire trop humain dans la nuit pour s’en convaincre. Et quand vous êtes recroquevillé dans votre tente igloo aux zips qui ferment mal, en plein milieu de la savane, le rire n'est pas forcément communicatif. Et puis cette forme bizarre, avec des pattes arrières trop courtes qui lui donne une course pataude de dahut horizontal, ses oreilles de Mickey mité, son cou trop long : un mélange de chien, d’ours, de singe, de guépard et de girafe… Il semble qu'il n'y ait eu que les Egyptiens pour le prendre en affection et l’élever comme animal domestique. D’ailleurs ils l’aimaient tendrement... puisqu’ils l’engraissaient pour la manger.
Aujourd’hui la hyène n’a toujours pas la cote. Essayez donc d’en trouver dans un zoo (j’exagère, on en trouvait dans onze zoos parmi les 164 que Gary Noble, du zoo de St Louis, a visités aux Etats-Unis). Pas d’association pour la préservation des hyènes. Pas UNE SEULE carte postale à leur effigie, alors que même ces abrutis de gnous jouent les vedettes dans les boutiques spécialisées. Et le Roi Lion de Disney n’a guère arrangé les choses.
La pauvre bête est-elle à ce point dé-hyénérée pour mériter tant de mépris? Reprenons un à un les chefs d'accusations...
Hy-hyène alimentaire
Gloutonne: oui, certes. C’est même probablement le plus gourmand des carnivores terrestres : chaque hyène tachetée est capable d’ingurgiter 10 à 20 kg de viande à chaque repas. Et vite en plus : en moins de trente minutes, un clan de deux douzaines de hyènes fait disparaître un zèbre adulte, selon le Dr. Laurence G. Frank de Berkeley. Il lui faut se dépêcher si elle ne veut pas se faire chiper son casse-croûte par les lions. Et puis c’est un bon nettoyeur, elle mange tout : la chair, les dents, la fourrure, même les os qu’elle broie et avale avec le reste. Elle en mange tellement que ses excréments sont facilement reconnaissables à leur couleur blanche. Il faut dire que ses mâchoires sont surpuissantes: trois tonnes de pression au cm² ! A comparer avec les 150 kg au cm² du loup. Ca calme tout de suite.
Charognard? Bien sûr quand on a faim, on ne rechigne pas devant une belle carcasse faisandée, mais bon, les lions font pareil. Le zoologue Hans Kruuk a suivi des hyènes tachetées dans le Serengeti (Nord de la Tanzanie) et a montré que dans plus de la moitié des cas, les carcasses que se disputent les lions et les hyènes ont été tuées par des hyènes (et 33% par des lions, le reste étant tué par d’autres animaux). Pas besoin de compter pour s’en rendre compte: dans le cratère du Ngorongoro par exemple, qui abrite une variété incroyable d'animaux sur un territoire grand comme Paris intra-muros, les hyènes sont bien plus nombreuses que les lions, les guépards et les léopards. Impossible dans ces conditions de compter sur les félins pour nourrir tout le monde. En fait, la hyène est un excellent chasseur. Comme son coup de patte n’a évidemment pas la puissance de celui du lion, elle épuise sa proie en la poursuivant pendant des heures: une vraie marathonienne. Pour les gros gibiers, un gnou ou un zèbre par exemple, les hyènes chassent en meute très bien organisées, isolant, harcelant et terrorisant leur proie avant de lui faire un sort.
In-hyénieuse...
Idiote ? Certainement pas. Le Dr Kay E. Holekamp qui s’est intéressée au sujet leur a découvert une intelligence hors du commun. Elle a par exemple trouvé que les hyènes tachetées savent identifier à l’oreille chacune de leur congénère de meute. L'organisation sociale des meutes, extrêmement complexe, est bien plus proche de celle des primates que de celle des lions. Les meutes peuvent compter jusqu’à quatre-vingt individus selon une stricte hiérarchie sociale dans laquelle chaque individu connaît la place de chacun. Les rejetons héritent le niveau social de leur parents presque automatiquement. Comme chez les babouins, les alliances se font et se défont rapidement entre clans, que ce soit pour défendre un territoire ou conquérir le pouvoir. Cette complexité sociale semble étroitement corrélée au développement du cortex frontal de ces animaux: beaucoup plus développé chez les hyènes tachetées que chez les autres espèces de hyènes, dont les structures sociales sont beaucoup plus simples.
Les filles font la loi: grâce à un taux d'hormones masculines au moins aussi important que chez les mâles, les femelles sont plus lourdes et plus agressives et elles occupent les positions hiérarchiques les plus importantes.
Pour les nouveaux-nés, cette bizarrerie hormonale a de drôles de conséquences, d'autant que la gestation est particulièrement longue (110 jours soit deux semaines de plus que le lion par exemple). Durant sa longue incubation, le fœtus a le temps de mûrir: les bébés-hyènes (les hyénons?) naissent déjà grands, les yeux ouverts et avec toutes leurs dents. Comme ils ont reçu de fortes doses d'hormones masculines dans le placenta, ils comptent parmi les nouveaux-nés mammifères les plus agressifs, s’entredéchirent entre frères et sœurs, souvent jusqu’à la mort.
Les petits dépendent du lait de leur mère durant au moins un an, un record pour des mammifères de cette taille. Après le sevrage, ils comptent encore longtemps sur elle pour se servir, lors des festins collectifs. C'est peut-être grâce à cette longue dépendance que les règles sociales se transmettent aussi bien entre générations...
Un drôle d'appareil hyé-nital... Hermaphrodite? C'est vrai que l'apparence sexuelle des hyènes est probablement leur trait le plus étonnant. Impossible de distinguer à l’œil nu le sexe d’une jeune hyène: le clitoris de madame est exactement de la même taille et au même endroit que le pénis de monsieur. Il entre fréquemment en érection et pour parachever le tout, les lèvres vaginales sont soudées à la base et forment un renflement qui ressemble étrangement à des testicules. La confusion est totale, d’autant que l’orifice génital se réduit à une toute petite ouverture au sommet du clitoris. A mesure que la femelle se développe, cette fente s’allonge progressivement -il faut bien qu’elle puisse s’accoupler et mettre bas. Lorsqu’elle allaite, ses tétines poussent et la voilà un peu plus féminine : on comprend que les premiers observateurs aient pu croire qu'un même animal changeait de sexe au cours de sa vie.
La raison d’une telle ressemblance reste une énigme pour les biologistes : l’évolution a-t-elle favorisé ce type de ressemblance entre mâles et femelles ? Pour quel avantage évolutif, sachant que cette drôle de morphologie pose un vrai problème: au moment de sortir de l'utérus, les nouveaux-nés déchirent au passage le clitoris et beaucoup meurent étouffés dans ce pseudo-pénis trop étroit.
Les tenants du "tout-adaptatif" ont proposé de nombreuses hypothèses pour justifier l'intérêt direct de cette ressemblance. L'éthologue Kruuk pensait dans les années 70 que ces similitudes servaient de signal de reconnaissance lors du rituel de rencontre entre animaux de clans différents. Une autre hypothèse serait que les voies génitales internes de la femelle, particulièrement tortueuses forment un véritable labyrinthe dans lequel seul le sperme le plus vaillant est capable de se frayer un chemin jusqu'à l'ovule. Une espèce de sélection naturelle spermatique en somme. D'autres biologistes supputent que les femelles seraient moins susceptibles d’être agressées par d'autres rivales, leurrées par ces attributs masculins. Bref ça élucubre beaucoup du côté des chercheurs, sans qu'on ait le moyen de vérifier quoique ce soit.
Face à ces orthodoxes de la sélection naturelle, façon Dawkins, le vénéré Stephan Jay Gould a résumé et défendu une autre thèse: la ressemblance ne serait qu'un produit dérivé d'une particularite hormonale qui, elle, est adaptative. Petit détour par l'embryogenèse: lors du développement fœtal des mammifères, les mêmes ébauches d’organes génitaux externes se développent différemment chez le mâle et chez la femelle sous l’action des hormones. Les deux lèvres qui chez la femelle terminent le vagin, se replient et se soudent sur elles-mêmes chez le mâle pour former le scrotum. Le même organe se développe tantôt en clitoris, tantôt en pénis. Or chez les hyènes, il y a autant d’hormones masculines chez les femelles que chez les mâles et ces hormones passent la barrière placentaire: pas étonnant du coup que les appareils génitaux des deux sexes se ressemblent comme deux gouttes d’eau.
Pour Gould la cause est entendue:
"On peut envisager un autre scénario, beaucoup plus vraisemblable à mon sens. Je ne doute pas que la particularité fondamentale de l’organisation sociale chez les hyènes –grande taille et dominance des femelles- soit une adaptation à quelque chose. Le moyen le plus aisé de parvenir à une telle adaptation serait une augmentation marquée de la production d’hormones androgènes par les femelles [avec] des conséquences automatiques –parmi celles-ci, un clitoris péniforme et un faux scrotum. Une fois que ces effets sont là, ils peuvent acquérir, par évolution, une utilité comme pour le rituel de rencontre. Mais leur utilité actuelle ne doit pas sous-entendre qu’ils ont été directement mis en place par la sélection naturelle dans le but qu’ils remplissent à présent."
Organismes hyén-étiquement modifiés
C'est une illustration de sa théorie de l'exaptation, où les organismes vivants exploitent leurs particularités physiques en y adaptant leur modes de vie (le fameux pseudo-pouce du Panda par exemple, utilisé pour manger commodément les pousses d'eucalyptus):
"Nous n’habitons pas un monde perfectionniste où la sélection naturelle examinerait impitoyablement toutes les structures organiques et les modèleraient en vue de leur utilité optimale (...) Dans de nombreux cas les voies de l’évolution traduisent des modes héritées plus que des exigences du milieu. Ces héritages imposent des limites, mais ils peuvent également offrir des occasions nouvelles. Un changement génétique potentiellement mineur – l’élévation du taux d’androgènes dans le cas présent – s’accompagne d’une foule de conséquences complexes et non adaptatives. La flexibilité essentielle de l’évolution pourrait bien découler de sous-produits non adaptatatifs permettant occasionnellement aux organismes de se développer dans des directions nouvelles et imprévisibles (...) On pourrait dire que l’évolution est 'l’art de transformer le possible.' "
Je dois avouer ma préférence pour cette vision, remettant le rôle actif des organismes vivants au cœur des mécanismes de l'évolution. Malheureusement pour ce qui concerne les hyènes, il faut bien admettre que l'hypothèse de l'héritage non adaptatif est mis à mal par les récentes expérimentations:
‘Even when pregnant female spotted hyenas are treated throughout pregnancy with drugs that block the action of androgenic hormones on the fetus, each female offspring of these treated females nevertheless develops a full-size pseudopenis (Drea et al 1998).'
Autrement dit, lorsqu'on diminue artificiellement le taux d'hormones masculines dans le placenta, les nouveaux-nés femelles continuent de présenter des pseudo-penis, ce qui contredit l'hypothèse de Gould: les théories hyé-niales ne s'appliquent pas partout...
Allez, pour vous consoler, je vous recommande la superbe galerie photo de Mark Holdefehr, sur la Tanzanie.
Dans ses cours au collège de France que l'on peut podcaster avec bonheur, Stanislas Dehaene nous entraine cette année dans un magnifique voyage au pays des processus mentaux à l'œuvre dans l'arithmétique élémentaire. Il y décortique patiemment les origines et les mécanismes cérébraux de ce "sens du nombre" pour y différencier ce qui relève de la pure invention culturelle et ce qui s'enracine dans des processus mentaux très primitifs. Attachez vos ceintures, ça décoiffe... Un sens inné du nombre "On pourrait penser que l’arithmétique n’est qu’une invention culturelle récente de l’humanité. Pourtant, un sens du nombre est présent chez le nourrisson et de nombreuses espèces animales".Les perruches, les rats ou les chimpanzés savent par exemple co mparer deux quantités d'objets et estimer assez correctement laquelle est la plus grande:
Les singes savent additionner (approximativement) des quantités. En 2006, Jessica Cantlon et Elisabeth Brannon, de l'Université de Duke, ont pratiqué le même test d'addition élémentaire avec des singes macaques et avec des étudiants: on présentait aux sujets deux nuages de points (3 points suivis de 5 points par exemple) et il s'agissait de choisir ensuite entre deux propositions, celle qui correspondait le mieux au total. Les performances des deux espèces se sont révélées extrêmement proches, avec un léger avantage quand même pour les étudiants sur le plan de la précision. Mais pas de quoi pavoiser non plus: on a observé plus de différence entre le meilleur étudiant et le moins bon qu'entre la moyenne des étudiants et la moyenne des singes...
Cantlon & Brannon, Psychological Science 2006
La loi de Weber et notre perception logarithmique des quantités
Pour les deux espèces, les résultats présentaient des analogies intéressantes: plus les deux propositions étaient différentes, plus les réactions étaient rapides et les réponses statistiquement correctes (dans les graphiques on a du coup représenté ces performances en fonction du rapport entre les deux nombres proposés). Cet effet de distance, ou loi de Weber, se retrouve chaque fois que l'on estime une quantité: la précision de l'estimation (ou son écart-type) est proportionnelle à la grandeur du nombre, comme si nous percevions le nombre non pas sous forme linéaire mais logarithmique. (Moyenne et écart-type des estimations sur une échelle logarithmique tirés de Izard et Dehaene, Cognition 2007) De nombreuses expériences ont montré que les bébés de moins d'un an peuvent également estimer et comparer les quantités. Tout comme les singes, pour discriminer entre deux grands nombres, ce n’est pas le nombre absolu qui compte, mais le rapport entre ces nombres (la fraction de Weber). A six mois les bébés sont capables de différencier deux quantités dans un rapport de 1:2 (entre 8 et 16 objets par exemple mais pas entre 8 et 12 objets). A 10 mois ils font la différence entre 8 et 12 objets (rapport de 2:3), au même niveau que les primates.
Certes, direz-vous, mais cet effet de distance n'est-il pas simplement la traduction d'une imprécision de l'estimation? Pour le vérifier, on a demandé à des adultes volontaires de comparer des nombres présentés sous forme de chiffres arabes. Et devinez quoi? Plus les nombres à comparer sont proches, plus la réponse des sujets est lente et leur taux d'erreurs important. Vous avez dit bizarre?
C'est que notre perception "naturelle" des quantités est plutôt logarithmique que linéaire. Autrement dit, il y a instinctivement plus de différence entre les quantités "2" et "3" qu'entre "9" et "10". Un test pour s'en rendre compte consiste à demander à un enfant où il placerait la quantité 5 sur un segment dont les extrémités sont marquées 1 et 10. L'enfant a tendance à placer le 5 tout près de l'extrémité marquée 10 (parce que "1 c'est pas beaucoup, mais 5 c'est beaucoup et 10 aussi"). A mesure de leur développement, les enfants qui font ce test placent le 5 de plus en plus vers le milieu du segment, comme si leur échelle de représentation des nombres se "linéarisait" (excusez mon jargon, mais c'est vraiment ça).
Le même test pratiqué sur des indiens Mundurucus -qui ont des mots pour les petits nombres mais pas de système de calcul développé- révèle qu'ils ont la même représentation "logarithmique" des quantités que les enfants occidentaux. Dehaene avait déjà émis l'hypothèse qu'apprendre à lire exige que l'on "désapprenne" la symétrie horizontale (p et q ne sont pas équivalents, de même que b et d etc.). Il récidive avec l'arithmétique pour laquelle on peut supposer que l'on troque notre vision logarithmique des quantités pour celle, linéaire, qui sied aux calculs précis.
Estimation et subitisation
Mais la loi de Weber - la perception logarithmique des quantités- n'est pas universelle: elle ne s'applique pas aux toutes petites quantités. Jusqu'à trois objets, on n'estime pas, on "subitise". Traduction: on capture instantanément le nombre exact d'objets d'un simple coup d'oeil avec un très faible taux d'erreur, bien plus faible que ce que prédit la loi de Weber (graphique de Mandler & Schébo, 1982).
Pour vérifier que "subitisation" et "estimation" ne pouvaient se confondre, Suzanna Revkin a accoutumé des volontaires à regarder des nuages toujours composés de dizaines d'objets (10, 20, 30... jusqu'à 90 objets), et leur a demandé d'estimer le nombre de dizaines qu'ils voyaient. Puis elle a comparé leurs performances avec celles obtenues sur des nuages de 1 à 10 points. Si la "subitisation" suivait la loi de Weber, on aurait dû retrouver la même différence de précision entre l'estimation de 1, 2 ou 3 dizaines qu'entre 1, 2 ou 3 points. Et ce n'est pas du tout ce qu'on a observé! La "subitisation" de 1, 2 ou 3 points est bien plus précise que "l'estimation" de dizaines de points et relève donc probablement de mécanisme cérébral assez différent.
Revkin et al, Psychological Science, sous presse
Les deux processus de subitisation et d'estimation se complètent chez l'adulte, mais ils pourraient être antagonistes chez le tout jeune enfant. Une expérience amusante menée en 2002 avec des enfants de moins d'un an, consistait à placer des gâteaux dans des tasses devant eux, et à les laisser se diriger vers la tasse de leur choix (une fois les gâteaux introduits dans les tasses, l'enfant ne voyait plus combien chaque tasse en contenait). L'enfant -motivé pour aller chercher le plus grand nombre de gâteaux- sait bien faire la différence entre 1, 2 et 3 gâteaux. Mais ses performances s'écroulent dès qu'il y a 4 gâteaux, y compris s'il s'agit de comparer 1 et 4 gâteaux. Tout se passe comme si l'enfant confiait entièrement sa décision à un processus de subitisation, et se retrouvait totalement destabilisé par la quantité "4", inaccessible par subitisation. Autrement dit, l'enfant -qui sait par ailleurs estimer les grands nombres- semble avoir des difficultés dans cette expérience à passer de la subitisation à l'estimation, comme si ces deux processus étaient antagonistes au lieu d'être complémentaires l'un de l'autre (graphique tiré de Feigenson, Carey et al, Psych Science 2002; TICS 2004)
Nombres et espace De manière assez stupéfiante, notre représentation des quantités est étroitement liée à notre perception de l'espace (les zones du cortex impliquées dans ces deux fonctions sont d'ailleurs très voisines). Les grands nombres sont par exemple systématiquement associés à une direction privilégiée: vers la droite pour les cultures européennes, vers la gauche pour les cultures écrivant de droite à gauche. Cet effet SNARC (pour Spacial Numerical Association of Response Codes) a été mesuré statistiquement dans de nombreuses expériences: on réagit plus vite aux grands nombres avec la main droite, on les repère plus vite s'ils apparaissent dans notre champ visuel droit etc. Et symétriquement pour les petits nombres, associés au côté gauche.
Cette correspondance mentale entre nombre et espace est particulièrement frappante chez les personnes atteintes "d'hémi-négligence spatiale". Une personne atteinte de cette pathologie bizarroïde n'accorde aucune attention à l'une des deux moitiés de son champ visuel: elle ne recopiera par exemple que la moitié droite d'un dessin qu'on lui aura demandé de reproduire. Si on lui demande de couper un segment en son milieu, elle la coupe près de son extrémité droite. Découverte incroyable: cette héminégligence spatiale va de pair avec une héminégligence numérique. Si on demande à cette personne quel nombre tombe au milieu de 11 et 19, elle répondra par exemple 17! Comme si pour notre cerveau, couper mentalement un nombre en deux revenait exactement au même que couper un segment en son milieu...
Cette association inconsciente entre nombre et espace influence également les estimations des sujets sains: nous tendons instinctivement à surestimer le résultat des additions de nuages de points et à sous-estimer celui des soustractions, y compris -même si c'est dans une moindre mesure- pour les opérations avec des symboles numériques.
A l'inverse, on peut tirer parti de cette association entre nombre et espace: les jeux de plateaux avec des dés s'avèrent par exemple être de précieux auxiliaires pour les enfants ayant des difficultés scolaires. Peut-être, suggère Dehaene, parce qu'ils favorisent l'apprentissage d'une ligne numérique mentale, très utile en arithmétique.
Les différents circuits cérébraux de calcul Depuis 1992, Dehaene a fait l'hypothèse d'un triple code mental pour représenter et manipuler les nombres en fonction de la tâche à réaliser: - une représentation conceptuelle de la quantité, associée aux ordres de grandeur des nombres et localisée dans les régions pariétales bilatérales du cerveau. Ce sont ces régions qui réagissent de manière inconsciente en fonction de la distance entre deux nombres. - un codage visuel du nombre, associé à son écriture en chiffres arabes, qui permet par exemple de poser des opérations en colonnes ou de faire des soustractions. Comme pour la reconnaissance des lettres et des formes, ce codage est plutôt localisé dans la zone occipito-temporale gauche du cerveau. - un codage verbal des nombres, où l'on retiendrait les faits arithmétiques appris par coeur (comme les tables de multiplication), exactement comme on mémorise les poèmes ou les proverbes et pris en charge par les régions du cerveau dédiées au langage.
Elizabeth Spelke en 1999 a illustré la plausibilité de ce modèle en enseignant à des sujets bilingues des faits exacts (par exemple 24+37=61) et des faits approchés (24+37 font environ 60) dans une seule langue. Puis elle a interrogé ces sujets sur les mêmes faits, mais dans l'autre langue: le résultat est que ce changement de langue ralentit considérablement le temps de réponse des personnes sur les faits exacts. Par contre changer de langue n'est pas du tout gênant pour restituer des approximations que l'on a apprises dans une autre langue.
Dans un deuxième temps, on posait aux mêmes sujets une question très voisine de celle apprise. Si la question voisine portait sur un problème exact (par exemple "combien font 25+36?") proche d'un fait appris (24+37=61), la réponse était lente et pas forcément juste. Par contre les sujets n'avaient aucun problème pour faire une approximation voisine d'une approximation apprise.
Tout se passe donc comme si il y avait un découplage presque parfait entre deux systèmes. L'un qui permet d'approximer les quantités et est indépendant du langage. L'autre qui permet de mémoriser des faits arithmétiques exacts -indispensables au calcul mental- et est très dépendant du langage. C'est probablement la raison pour laquelle les immigrés de longue date dans un pays calculent toujours mentalement dans leur langue natale, même s'ils ne la pratiquent plus du tout par ailleurs.
Ce modèle est purement occidental. En Chine par exemple, les opérations de calculs mentaux semblent plutôt associées à des circuits neuronaux touchant la motricité des mains. Ce que l'on peut interpréter comme une mémoire gestuelle de la manipulation extrêmement efficace des bouliers et des abacques, qui dans cette culture servent couramment d'outils pédagogiques dans l'apprentissage de l'arithmétique. Les différentes formes d'acalculie L'existence de ces trois processus mentaux distincts (visuel, verbal et sémantique) explique peut-être que l'on rencontre de nombreuses formes différentes d'acalculie en fonction des zones cérébrales lésées. Certains malades sont incapables de multiplier mais peuvent tout à fait soustraire des nombres, les comparer ou les estimer. Ces malades présentent en général des troubles profonds du langage. A l'inverse d'autres malades, dont le cortex intrapariétal a été touché, ont préservé leur capacité de multiplier, mais ont toutes les peines du monde à manipuler les quantités et à dire par exemple quel nombre se trouve entre 2 et 4.
Dehaene et Cohen ont étudié en 2000 le cas d'une patiente atteinte d'alexie (dont les capacités de lecture sont fortement diminuées) se trompant neuf fois sur dix dans la lecture des nombres à 2 chiffres. La patiente, quand on lui présente la soustraction "8-7" lit par exemple "6-4" mais donne le résultat correct "1". Idem pour l'addition ou la division: elle lit mal l'énoncé mais donne le résultat correct de l'opération. En revanche, si on lui présente "5 x 9", elle lit "4 x 6" et donne le résultat "24", comme si le cerveau réagissait prioritairement au problème de multiplication verbalisé, contrairement à ce qui se passe avec les autres opérations. Le modèle du triple code présente le mérite de rendre compréhensible ce type de résultats.
Physiologie du cerveau Les méthodes d'imagerie médicale par IRM confirment l'activation de différentes zones du cerveau en fonction de la tâche numérique demandée, et particulièrement le rôle de la zone intrapariétale bilatérale, où semble résider le "sens du nombre" quelque soit la forme sous laquelle celui-ci est présenté (symbole numérique, nuage de points, signaux auditifs etc).
Chez l'animal, dès les années 1980, on avait trouvé chez un chat anesthésié (!) des neurones s'activant spécifiquement pour tel ou tel nombre lorsqu'on lui présentait la quantité visuelle ou sonore correspondante. Andreas Nieder -le pape de la neurologie chez l'animal- a, depuis, identifié chez le singe certains neurones déchargeant préférentiellement autour d'une certaine quantité, avec une précision toujours proportionnelle au nombre: revoilà notre fameuse loi de Weber, mais au niveau du neurone maintenant. On trouve ainsi des neurones situés dans la zone homologue à notre sillon intrapariétal, codant autour de 1, d'autres autour de 2, de 3 etc.
La compilation statistique des réactions de tous ces neurones fournit un modèle tout à fait cohérent pour expliquer nos capacités d'estimation numérique. Avec Diester, Nieder a récemment étudié ce qui changeait quand on enseignait au singe les chiffres arabes jusqu'à 6. Les deux chercheurs ont observé que certains neurones codent aussi bien pour 5 points et pour le chiffre 5. Par contre leur courbe de réponse est beaucoup plus "pointue" autour du nombre lorsqu'il est présenté sous forme symbolique.
On ne peut vérifier directement ce phénomène chez l'homme à moins de lui implanter des électrodes dans le crane. Mais on a des indices qu'un phénomène similaire serait à l'œuvre: la présentation de chiffres arabes modifierait et affinerait notre réponse neuronale aux quantités. Cette sélectivité limiterait l'effet de distance et permettrait ainsi une plus grande précision pour les grands nombres. L'acquisition du symbole transformerait ainsi notre conception originellement approximative, continue et logarithmique des quantités, en une représentation des nombres sous formes d'unités discrètes et distribuées linéairement.
Et c'est comme ça que le symbole nous a fait passer d'un monde analogique à un monde numérique...
Le roi de la jungle est un sacré machiste. Certes il protège son clan contre les hyènes et tous les autres mâles qui voudraient lui piquer sa place. Mais soyons juste : sauf s’il faut attraper un buffle ou un autre gros gibier, c'est la lionne qui se tape l’essentiel des courses. Monsieur se contente donc de regarder de loin sa belle faire ses emplettes. Mais sitôt le cabat rempli, c’est lui qui se baffre en premier. La lionne se sert après lui, et les lionceaux se contentent de ce qui reste... quand il en reste Ensuite il glandouille, vingt heures par jour couché dans l’herbe ou perché sur un arbre.
Contrairement à la légende le lion est tout aussi charognard que la hyène, surtout les jeunes mâles, chassés de la horde lorsqu’ils arrivent à mâturité. Mais aussi on n'a pas idée d'aller à la chasse aux bestioles quand on a une tignasse pareille! Pas étonnant qu'elles filent au quart de tour. Et comme en plus, nos lions sont daltoniens on comprend la difficulté. Du coup, contrairement à la légende, ce sont semble-t-il au moins autant les lions qui volent leurs proies aux hyènes que l’inverse. Et qui s'entre-dévorent leurs petits: une vraie belle histoire d'amour.
Pour être sûr de déjeuner à sa faim et avec des produits frais mieux vaut donc mettre sa pilée au chef de la horde pour prendre sa place, d’autant que c’est souvent la seule position sociale qui permet de se reproduire. Lorsqu’un mâle prend la place d’un autre à la tête du clan, il commence par tuer impitoyablement tous les petits de son prédécesseur. Et de plaider non coupable sous prétexte que sinon, il aurait fallu attendre que les lionceaux soient grands pour que les lionnes soient capables de lui assurer sa propre descendance. Quel sauvage !
Même au lit, le lion est très boarderline. D’abord il expédie son affaire en trente secondes chrono. Mais surtout et tout comme les autres félins, son pénis est doté de petites protubérances épineuses qui pointent vers l’arrière et écorchent douloureusement la femelle lors de l’accouplement. A sa décharge, Madame doit aimer l’amour vache puisque c’est ce qui provoque son ovulation.Le couple SM fait comme ça zizi-panpan entre vingt et quarante fois par jour pendant plusieurs jours d’affilée, sans manger…
Pour supporter de tels balourds de maris, les lionnes sont bien obligées de s’organiser, ce qui est d’autant plus facile qu’elles sont toutes de la même famille dans le clan. Elles mettent bas toutes en même temps, ce qui est bien pratique pour s’occuper collectivement de la nurserie et (essayer de) protéger leur progéniture contre les mâles d’autres clans, contre les hyènes etc. Pas évident puisque quand les temps sont rudes, 2 lionceaux sur 10 seulement parviennent à l'âge adulte.
Pour chasser, les lionnes se coordonnent magnifiquement bien, chacune ayant comme dans un ballet bien rôdé un rôle très précis et toujours le même, les plus légères rabattant la proie au centre, la plus massive la saisissant par l’arrière-train, une autrel’exécutant à la gorge... Et même comme ça elles échouent trois fois sur quatre, tellement l’exercice est difficile. C'est dur d'être le roi de la jungle!
Vous êtes prisonnier avec deux autres compagnons et condamnés tous les trois à mort. Bon c'est pas très folichon comme perspective, mais au moins vous verrez qu'elle stimulera vos neurones, même si c'est peut-être pour la dernière fois.
Le gardien vous indique que le chef de l'Etat, dans sa grande mansuétude, a décidé de gracier l'un de vous trois (et un seul). Lui-même sait lequel de vous trois est le petit veinard, mais il a interdiction de vous le révéler.
Vous réfléchissez un instant et lui proposez malicieusement de vous indiquer discrètement, parmi vos deux compagnons, l'un de ceux qui sera condamné (et il y en aura au moins un). Il accepte à condition que vous ne le disiez pas à vos petits camarades. Marché conclu. Il vous désigne le numéro 2.
Vous le remerciez chaleureusement de cette précieuse information. Vous avez maintenant une chance sur deux d'être gracié au lieu d'une chance sur trois la minute d'avant. Quel soulagement! Le gardien hoche la tête d'un air dubitatif (voire navré) et se retire en grommelant que vous perdez les pédales.
Vous êtes pris d'un doute: avez-vous réellement gagné en espérance de vie?
Le paradoxe de Monty Hall* Pour le savoir , je vous emmène faire un petit détour par une situation plus glamour. Cette fois vous n'êtes pas condamné, mais invité à un jeu télévisé "Qui veut gagner une cadillac?". C'est mieux, non? Un sympathique animateur, vous montre trois portes fermées et vous explique que derrière l'une d'elles se trouve une cadillac tandis que les deux autres dissimulent chacune une chèvre (car l'animateur Jean-Pierre Caufoult déteste les chèvres, allez savoir pourquoi).
Vous devez choisir une des trois portes et vous repartirez avec ce qui se trouve derrière, chèvre ou cadillac. Vous désignez donc une porte au hasard, la première par exemple.
Coup de théâtre! Avant de vous dévoiler votre lot, l'animateur -qui sait où se trouve la cadillac- veut vous aider un petit peu en vous montrant parmi les deux autres portes restantes celle qui dissimule une chèvre. Supposons que ce soit la deuxième. Puis il vous offre la possibilité de choisir de nouveau la porte que vous voulez.
Voulez-vous maintenir votre premier choix? Ou changer d'avis et choisir la troisième porte? Est-ce que cela revient au même?
Dilemme... Vous vous dites que maintenant qu'une chèvre est dévoilée porte 2, il y a autant de chance que la cadillac soit porte 1 ou porte 3. Donc que ça ne sert à rien de changer votre choix initial: ce maudit animateur ne cherche qu'à vous embrouiller! D'ailleurs, poursuivez-vous, puisque l'information sur la porte 2 vous a été donnée après que votre choix initial de la porte 1, cela ne modifie pas la probabilité que la porte 1 soit la bonne. Donc ça ne change pas non plus celle de la porte 3. ... Vous êtes sûr? ... Vous avez le droit de réfléchir. ... La solution de Monty Hall Pour en avoir le cœur net, comparons l'espérance de gain des deux stratégies ("ne pas changer" ou bien "changer de porte") :
1ere stratégie: vous ne changez pas de porte Avec cette stratégie, vous avez une chance sur trois de repartir en cadillac. L'information sur la porte 2 n'y change rien puisqu'elle a eu lieu après votre choix.
2eme stratégie: vous changez de porte. Deux cas de figure sont possibles: - soit la porte 1 que vous aviez initialement choisie était celle de la cadillac (probabilité 1/3) et en changeant d'avis vous êtes sûr de repartir avec une chèvre. Lose totale. - soit la porte 1 était une porte à chèvre (probabilité 2/3) et en changeant d'avis, bingo! Vous êtes sûr de repartir avec la voiture! Donc finalement en changeant de porte vous avez deux chances sur trois de tomber juste. Deux fois mieux qu'en ne changeant pas de porte!
Aussi bizarre que cela puisse paraître la bonne stratégie consiste donc à changer de porte après que l'animateur vous ait montré où était la chèvre.
Vous avez même la démonstration en vidéo (en anglais):
Si vous vous grattez encore la tête, rassurez-vous: les mathématiciens de tous poils se sont écharpés lorsque ce problème a été proposé pour la première fois en 1990 dans un supplément dominical de journaux américains. Mais l'expérience confirme qu'il est payant de changer son choix (essayez la simulation ici par exemple -c'est en anglais).
L'explication du paradoxe me semble être la suivante: l'information sur la porte 2 n'a pas changé la probabilité que la première porte soit la bonne. Mais elle a doublé les chances que la troisième porte soit gagnante, et ça c'est très troublant.
Mais en même temps c'est logique: la somme des probabilités de chacune des portes de cacher la cadillac vaut 1. Donc si la première a une probabilité de 1/3, la seconde de 0, la troisième probabilité est nécessairement 2/3...
Retour à nos trois prisonniers. La situation des trois prisonniers est tout à fait similaire. Le "gracié" sans le savoir joue le même rôle que la porte derrière laquelle se trouve une cadillac (une chance sur trois).
Vous "êtes" la porte numéro 1. Vous avez une chance sur trois d'être gracié et, comme avec les chèvres, l'information que vous donne le gardien sur votre camarade numéro 2, n'augmente pas cette probabilité. Dommage pour vous.
Par contre c'est le condamné 3 qui est verni: il a maintenant deux chances sur trois d'être gracié (de même que la porte 3 était passée à 2 chances sur 3 d'être la bonne). C'est sans doute la raison pour laquelle le gardien - plus malin qu'il n'en avait l'air- vous avait fait jurer de ne rien dire à vos compagnons de cellule...
* Du nom de l'émission américaine (adapté par TF1 sous le nom "Le Bigdil") qui a inspiré le problème.
Gasp! En feuilletant les cours de mon numbertwo je réalise qu'une bonne partie de ce qu'on nous apprend en géométrie en CM2 est à revoir depuis que l'on sait que la la Terre est ronde!
On postulera que la courbe recherchée est plane (je suis preneur de justification!). Comme notre figure est symétrique par rapport à l’axe Nord-Sud (0z), son plan-support doit l’être aussi. Il n’y a donc que deux « candidats »: le plan horizontal portant la parallèle joignant A et B (c’est l’arc C1 en bleu sur la figure) et le plan vertical portant le méridien passant par A et B (arc C2, en rouge). Comparons ces deux arcs :
Les tenants du "tout-adaptatif" ont proposé de nombreuses hypothèses pour justifier l'intérêt direct de cette ressemblance. L'éthologue Kruuk pensait dans les années 70 que ces similitudes servaient de signal de reconnaissance lors du rituel de rencontre entre animaux de clans différents. Une autre hypothèse serait que les voies génitales internes de la femelle, particulièrement tortueuses forment un véritable labyrinthe dans lequel seul le sperme le plus vaillant est capable de se frayer un chemin jusqu'à l'ovule. Une espèce de sélection naturelle spermatique en somme.
