Jeu de réflexion

- T'es-tu déjà demandé pourquoi les miroirs inversent la gauche et la droite et non pas le haut et le bas par exemple?
... Silence même pas troublé par l'ambulance qu'on aimerait voir rappliquer dare dare pour traiter ce qui ressemble fort à une attaque de delirium tremens.
- Ce n'est pas une question aussi idiote que ça en a l'air: mon reflet dans un miroir, c'est moi mais à l'envers; ma main gauche est devenue ma main droite. Pourquoi dans ce sens et pas le haut en bas?
- Bon d'accord, je donne ma langue au chat d'Alice
- Et bien je crois qu'il n'y a pas de raison, tout simplement parce que les miroirs n'inversent pas gauche et droite mais l'avant et l'arrière.
- ... !!!
- Mets toi devant un miroir placé au Nord. Lève ta main droite: elle pointe vers l'Est. La main levée de ton reflet indique aussi l'Est. Par contre si tu pointes ta main devant toi (vers le Nord donc), ton reflet pointe la sienne vers le Sud. Ce qui est inversé c'est donc la direction de l'axe perpendiculaire au miroir, ton "avant" et ton "arrière", et non pas la gauche et la droite comme on le croit intuitivement. Si tu colles le miroir au plafond...
- Là, mon reflet aura la tête en bas et les pieds en haut: ce qui est maintenant inversé c'est les pieds et la tête.
- ...Autrement dit toujours l'axe perpendiculaire au miroir qui cette fois est vertical.
- Ca choque pourtant le sens commun.
- Oui parce que nous avons tendance à nous identifier mentalement avec notre reflet. Or de l'autre côté du miroir placé au Nord, puisque l'axe Nord-Sud est inversé c'est ma main gauche qui pointe vers l'Est...
- Fascinant!
- Effectivement. Je crois que cette fascination tient au fait que le miroir est une porte vers une dimension supérieure....
- Allons bon, je rappelle l'ambulance.

Le miroir, indice d'une dimension supérieure?
- Je m'explique: regarde ce dessin plein de mains droites et de mains gauches.
- Magnifique... Alors?
- Suppose que ces mains droites et gauches soient des êtres plats vivant dans le dessin et ne pouvant s'en échapper. Chaque main droite voit bien qu'elle est semblable à un tas d'autres mains droites, mais qu'elle ne peut se superposer aux mains gauches quelque soient ses efforts. Comment peut-elle s'y prendre pour "réaliser" qu'elle est quand même analogue avec les mains gauches?
- Il suffirait de la découper et de la retourner: elle se superposerait alors avec n'importe quelle main gauche...Mais ce serait supposer qu'elle "sorte" du dessin, ce qui est interdit. Comme les reptiles de Escher qui sortent du dessin pour y retourner.
- Tout juste. Il a pourtant une parade: si l'on trace une ligne droite sur le dessin et que la main imagine...
- L'imagination au bout des doigts!
- ... imagine, disais-je qu'elle se projette symétriquement par rapport à cette ligne. Elle verrait que son image projetée est une main gauche!
- J'ai compris! La ligne qui sert d'axe de symétrie, joue le rôle du miroir de tout à l'heure!
- Ce qui est bien normal puisqu'un miroir n'est jamais qu'une symétrie sur pattes si je puis dire... Le retournement que l'on ne peut pas réaliser quand on est "prisonnier" de son dessin, la symétrie-miroir permet de le faire.
- Ca me rappelle ce dessin d'Escher où une main gauche dessine une main droite qui lui est symétrique. Les deux mains sont obligées de sortir du dessin pour pouvoir se dessiner l'une l'autre....

- Tout à fait: et voilà pourquoi je te disais que se refléter dans un miroir c'est un peu comme opérer un retournement dans la dimension supérieure: pour notre dessin (dimension 2), un miroir-ligne (dimension 1) permet de faire un retournement dans l'espace (dimension 3) pour identifier un dessin et son inverse. Dans notre espace (à trois dimensions), c'est grâce à un miroir imaginaire (un plan, donc de dimension 2) que l'on associe intuitivement des hélices ou des spirales inversées les unes par rapport aux autres, une chaussure droite avec une chaussure gauche etc.
- Ce que tu es en train d'expliquer c'est qu'en dimension 4, un objet et son reflet dans un miroir sont superposables. Fichtre... Et à part ça, ça ressemble à quoi un objet en dimension 4?
- Pas facile à dire car on a l'habitude de percevoir les choses en trois dimensions, pas en quatre... Pour ma part j'imagine le retournement qui consiste à retourner un gant droit en transformant l'intérieur à l'extérieur (inside-out diraient les Anglais).
- Effectivement on transforme comme ça un gant droit en un gant gauche. Sauf que l'intérieur ne ressemble pas à l'extérieur!
- C'est toute la limite de l'analogie, je te le concède bien volontiers. Le gant "à moitié retourné" serait le gant dans la quatrième dimension, mais ça devient vite très compliqué à s'en faire une image correcte... Regarde ce petit extrait du film "dimensions" qui est une petite promenade dans la quatrième dimension...


Les nombres complexes: un simple jeu de miroir!
- Grmfff, un peu compliqué quand même... Il y a d'autres promenades plus accessibles de l'autre côté des miroirs?
- Et bien par exemple, il y a la promenade au pays des nombres imaginaires.
- Ah oui???
- Au XIXe siècle, Robert Argand eut l'idée de représenter géométriquement ce que signifie additionner, multiplier etc sur une droite graduée. Par exemple pour multiplier 2 par -1, il suffit de prendre le symétrique 2 par rapport au O; on tombe sur -2.
- "2 x (-1)= -2", jusque là je te suis (sauf qu'avec les tirets de notre conversation on n'y comprend rien)
- Prendre son symétrique, c'est comme lui faire faire une rotation d'un demi-tour. Que se passerait-il si au lieu d'un demi-tour on on ne faisait qu'un quart de tour?
- Ca nous sort de la droite des nombres réels!
- Tout juste. On tombe sur un nombre bizarre à la verticale de 0, dans une autre dimension que celle des nombres réels dont on a l'habitude. C'est pour cette raison qu'on a appelé ce nombre i comme "imaginaire".
- Autrement dit, faire un quart de tour, c'est "multiplier par i", même si on ne sait pas très bien encore ce que ça veut dire...
- Exact. Et si on renouvelle cette opération deux fois, on tombe sur -1. Autrement dit 1 x i x i = i² = -1
- Je comprends! i est la racine (imaginaire bien sûr) de -1!

- L'une des racines, l'autre étant -i, qui se trouve sur l'axe vertical, symétrique de i par rapport à 0. En combinant nombres réels et imaginaires, on obtient ce qu'on appelle les nombres "complexes": 1+2i par exemple est le point qui sur notre graphique vaut 1 en abscisse et 2 en ordonnée. Adrien Douady explique joliment dans cet autre épisode de Dimensions, toutes les jolies choses qu'on peut faire avec ces nombres complexes, par exemple de très jolies fractales.
- Ca donne à réfléchir tous ces miroirs.
- Celle-la, je n'aurais pas osé, même comme chute pour un billet de blog...





Références
Le site du films "Dimensions"

Les écureuils perdent-ils toujours leurs noisettes?

Prémonitoire cette campagne de publicité l'an dernier? "Les écureuils ne se souviennent pas où ils ont caché leurs noisettes. Ils ne cherchent pas là où ils devraient. Mais vous pouvez avec le système de gestion de l'information de SAS." SAS, au secours de notre Ecureuil national!

Oui et non. Effectivement il semble que les écureuils ne se souviennent pas trop de l'endroit où ils ont enterré leurs noisettes pour l'hiver. Du coup ils perdent environ 70% de leurs réserves. Pas très efficace comme stratégie de survie, mais bon il n'y en a pas pour 600 millions d'euros. Et puis ça permet aux forêts de s'agrandir.

Pourtant, la publicité est un poil mensongère: dans la nature au moins, les écureuils ne s'en tirent pas trop mal malgré leur mauvaise mémoire car ils retrouvent leurs cachettes à l'odeur, même sous une épaisse couche de neige. Et comme ce sont des animaux souvent très territoriaux, il y a de grandes chances que personne ne leur pique leurs noisettes. Simple et suffisamment efficace pour leur éviter de mourir de faim: pas de quoi fouetter le conseil d'administration de l'espèce...

La communication au doigt et à l'œil

Une collègue me confiait récemment qu'un jour où son Blackberry n'affichait pas de nouveau message depuis dix minutes, elle avait éprouvé une sorte d'accès de panique et envoyé compulsivement un mail de test pour s'assurer qu'il fonctionnait bien et que la Terre tournait toujours. Ce "syndrome Blackberry" me paraît symptomatique de nos dérives de cadres-sup'. Décortiquons un peu...

Tous les jours je reçois une centaine de mails: trop, beaucoup trop par rapport à l'information qui me serait réellement utile, on en a déjà parlé dans un billet précédent. Mais l'angoisse de mon amie renvoie également à un statut associé à cette surabondance: si on m'envoie tant de mails, n'est-ce pas la preuve que l'on pense qu'il est important que je sois informé DONC que je compte dans l'organisation? Ne plus recevoir de mails pourrait signaler une mise au placard. Derrière la consultation frénétique de sa messagerie pourrait aussi se cacher le besoin de se rassurer sur sa place réelle dans l'organisation.

Le mail, assassin de la productivité individuelle?
Traiter ses mails, une corvée digne de Sisyphe? Allons donc! Il faut imaginer Sisyphe heureux dirait Camus. Car même si l'on s'en plaint, ce rite quotidien peut aussi apporter son lot de micro-satisfactions:
- on se sent propre, avec le sentiment du devoir accompli: votre maman vous a appris qu'il est mal de laisser s'accumuler le courrier
- on se sent réactif: répondre vite c'est montrer à ses interlocuteurs (et à soi-même) que l'on est "à la barre" en permanence.
- on est rassuré sur la manière de s'y prendre: il suffit de traiter les mails les uns derrière les autres sans trop se poser de questions sur ce qu'on est en train de faire;
- on se sent gratifié à chaque mail, valorisé par l'impression de l'avoir traité, même si on n'a fait que le transférer, y répondre ou l'archiver.

Ces petites gratifications -à peine conscientes et souvent masquées par l'impression laissée par le contenu de tel ou tel mail, en font une activité addictive, un mode de travail haché et facile auquel on s'accoutume facilement. On perd peu à peu sa capacité à se concentrer. On se surprend à procrastiner quand il faut traiter un dossier de fond, puis -une fois qu'on s'y est mis- à s'interrompre pour se lever ou consulter ses mails toutes les cinq minutes. Normal: travailler sur un dossier compliqué prend du temps et n'est pas forcément valorisé par son environnement professionnel. Et puis on a tellement de mails urgents en attente qu'on a un alibi en béton pour ne pas s'y mettre. Et voilà comment de polluant des organisations, le mail devient source d'improductivité personnelle...

Rendre la parole aux doigts
Parallèlement, la messagerie instantanée s'est invitée au bureau. Voilà enfin LE moyen ludique-mais-pro, intrusif-mais-acceptable d'obtenir une réponse de quelqu'un qui ne répond ni au mail ni au téléphone. La rapidité avec laquelle se déploient spontanément tous les modes (et toutes les modes) de communication par écran interposé a quelque chose de fascinant. Surtout que par ailleurs les innovations touchant la communication vocale font presque toujours long feu (la visiophonie, la téléphonie en son hi-fi, le skypecast pour n'en citer que quelques unes).

La différence de succès entre ces deux modes de communication tient à une raison simple selon moi: avez-vous déjà essayé de parler au téléphone tout en lisant vos mails ou en écoutant en même temps une émission de radio? C'est pratiquement impossible: tenir une conversation monopolise toute votre attention. Parler ou écouter quelqu'un suppose qu'on n'écoute rien en même temps. Or pour la communication comme pour le reste, il est devenu frustrant de ne devoir faire qu'une chose à la fois. Et c'est justement la grande force de la communication écrite que de permettre de zapper très vite d'une communication à l'autre de manière tout à fait acceptable socialement. Pour preuve: recevoir un SMS lorsqu'on est déjà en conversation avec quelqu'un se fait naturellement alors que consulter sa messagerie vocale dans la même situation est une muflerie impardonnable. Avec en prime une plus grande rapidité pour lire un message que pour l'écouter: idéal en temps de sur-sollicitation "communicationnelle" (berk ce mot)!

Grâce à cette capacité à mener simultanément plusieurs communications (ou à traiter plusieurs sources d'informations), l'œil et les doigts sont devenus LES outils de communication par excellence, bien plus adaptés que la bouche et l'oreille pour faire face à l'avalanche de sollicitations. On troque ainsi la communication pour l'échange. La richesse et la lenteur du dialogue font place à l'instantanéité aride des phrases courtes, parfois agrémentées de petits échantillons d'émotions précalibrées (les smileys). Les timides y trouvent leur compte, à l'abri des confrontations directes derrière leur écran. Et les grands bavards se consolent comme ils peuvent en monologuant sur leur clavier.

On peut parier que comme les SMS et la messagerie instantanée, les écrans tactiles virtuels et 3D sont assurés d'un bel avenir... ainsi que tout ce qui, d'une manière ou d'une autre, donne encore un peu plus la parole aux doigts.

Consanguin... ou presque

Le billet de Tom sur un niveau optimal de consanguinité constatée chez les Islandais m'a donné à penser: alors quoi? Chez les humains, un peu de consanguinité (pas trop quand même) serait plus efficace du point de vue reproductif que pas de consanguinité du tout? Moi qui croyais que rien ne valait un vrai grand brassage génétique...

Le résultat est intéressant car prendre un partenaire proche génétiquement, un cousin par exemple, est le moyen le plus efficace pour maximiser la transmission de son propre patrimoine génétique (l'inclusive fitness ou succès reproductif global dont je parlais dans mon billet précédent): en effet plus les parents partagent de gènes, plus leur progéniture -qui hérite de la moitié des gènes de chacun- leur sera génétiquement proche.

Une stratégie évolutive payante devrait donc consister à rechercher une bonne dose de proximité familiale: suffisamment pour maximiser les chances de transmettre son patrimoine génétique mais pas trop pour éviter les effets délétères d'une trop forte consanguinité (inbreeding): c'est effectivement la théorie de l'hybridisation optimale ou optimal outbreeding.

Mais cela suppose que les êtres vivants sexués soient capables d'évaluer correctement la proximité génétique d'un partenaire potentiel. On a vu dans le billet précédent que c'était le cas pour les insectes eusociaux. Mais pour les autres? Petit tour du côté des vertébrés cette fois...

La caille des blés
Notre caille domestique (coturnix coturnix japonica) est un bon cobaye pour tester cette théorie car les marques sur la tête sont déterminés génétiquement et sont donc de bons indicateurs de la proximité génétique entre deux volatiles. Par ailleurs la caille est très sensible aux effets de la consanguinité puisque quatre générations de croisements entre frères et sœurs amènent la stérilité des descendants. En 1978 Patrick Bateson de l'Université de Cambridge a étudié les préférences sexuelles de ces oiseaux, en fonction de leur lien de parenté. Les oisillons ont été élevés en groupes de deux frères et soeurs jusqu'à l'âge de 30 jours où ils furent isolés jusqu'à atteindre leur maturité sexuelle.

A deux mois, il leur a fait jouer l'Ile de la Tentation, version oiseau: il a présenté à Monsieur (ou Madame) plusieurs partenaires potentiels posant langoureusement et dans leur plus simple appareil derrière une vitre sans tain, comme à Amsterdam. Il (ou elle) avait le choix entre un sœur (ou un frère) du même élevage, d'un élevage différent, un cousin au premier degré, un autre au troisième degré et enfin un oiseau non apparenté. Systématiquement, le sujet testé s'intéressait davantage à l'oiseau moyennement différent (cousin germain) de lui.

[Apparté linguistique, votre cousin est "germain" non pas parce qu'il a des origines "germaniques" mais parce que vous partagez les mêmes "germes". Comme votre "hermano" de frère d'ailleurs.]

Patrick Bateson émet l'hypothèse que la caille apprend dans le nid à reconnaître visuellement le plumage de ses frères et sœurs et utilise ensuite cette mémoire pour choisir des partenaires ni trop différents ni trop semblables.

Chez les poissons?
Il semble que ce soit parfois la même histoire. Du moins dans la famille des Pelvicachromis taeniatus, un joli petit poisson d'eau douce qui vit en Afrique de l'Ouest et "élève" en couple la progéniture dans ses premiers jours. En procédant un peu de la même façon qu'avec les cailles, Timo Thünken de l'Université de Bonn a mis en évidence en 2007 leur nette préférence pour des partenaires apparentés. Ce choix -risqué en termes de consanguinité - est probablement lié au coût d'un conflit entre parents. Le choix d'un partenaire proche génétiquement constitue une petite garantie d'une meilleure coopération entre futurs parents.

Pour ou contre la proximité génétique?
Mais soyons justes, la littérature scientifique regorge surtout d'exemples démontrant comment les animaux ont tendance à éviter des partenaires trop proches génétiquement: les souris par exemple, chez qui la reconnaissance de parentèle ne se voit pas, mais se sent. Dans leur génome on a identifié un petit groupe de gènes (le CMH pour Complexe Majeur d'Histocompatibilité) qui mutent tellement qu'il y a toutes les chances pour que deux individus non apparentés aient des CMH différents. Par ailleurs, le CMH détermine également l'odeur caractéristique de chaque individu, son passeport olfactif en quelque sorte: pratique pour repérer ses cousins! On a observé que les souris choisissent de préférence des partenaires avec des CMH différents, probablement dans un souci d'éviter les risques de consanguinité. A l'inverse, on a constaté que les nids collectifs étaient partagés plutôt par des souris femelles de même CMH car probablement plus intéressées à la coopération.

Et chez les hommes alors? Et bien ce n'est pas très net. En 1995, Claus Wedekind de l'Université de Berne, a demandé à des étudiantes de renifler (en aveugle) des tee-shirts portés par des hommes qu'elles ne connaissaient pas et d'indiquer si l'odeur leur était agréable et sexy. L'expérience (vidéo) a montré que les femmes préféraient l'odeur d'hommes différents d'elles sur le plan de leur CMH , sauf en période de grossesse (ou lorsqu'elles prenaient la pilule): dans ce cas elles préféraient l'odeur d'hommes génétiquement proches. Comme les souris!!!.

Alors bientôt une rubrique "Histocompatibilité" sur Meetic? Bah pas vraiment: Raphaelle Chaix, chercheur en génétique du CNRS, vient de publier une étude statistique sur l'histocompatibilité des couples, aux Etats-Unis et chez les Yoruba du Nigeria. Les couples américains sont effectivement différents génétiquement mais pas les couples africains. La sociobiologie humaine a manifestement encore du pain sur la planche avant d'expliquer clairement nos préférences sexuelles avec des arguments génétiques...

L'haplo-diploïdie au secours de l'eusocialité

En français: pourquoi les insectes ont le sens de la famille.

Evolution et égoïsme font normalement bon ménage: après tout, la théorie darwinienne suppose la supériorité des organismes les plus doués pour disséminer leur patrimoine génétique, même au détriment de leurs congénères. Et l'histoire naturelle regorge de fratricides atroces. Les bébés requins-tigre par exemple s'entraînent dès leur séjour dans le ventre de leur mère: d'abord ils mangent les œufs non fécondés de leur maman, puis ils s'entre-dévorent les uns les autres jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'un seul par utérus. Les biologistes ont été tellement habitués à ce genre d'histoires abominables qu'ils sont longtemps restés perplexes devant l'extraordinaire altruisme à l'œuvre chez les invertébrés: comment expliquer par exemple que la sélection naturelle ait pu favoriser chez les fourmis l'émergence d'êtres stériles, dévoués corps et âmes à leur communauté? Des individus très doués pour transmettre leurs propres gènes ne devraient-ils pas prendre le dessus dans ces espèces? Darwin lui-même considérait cette bizarrerie comme une faille dans sa théorie de l'évolution.

Hamilton, ou la reproduction sans (nécessairement) faire d'enfant
L'explication la plus cohérente de ce paradoxe a été brillamment trouvée au milieu des années soixante par un tout jeune thésard anglais sorti de nulle part, William Donald Hamilton. Son intuition géniale a été de remarquer que, pour disséminer son patrimoine génétique ,un individu peut s'y prendre de deux manières: soit en se reproduisant lui-même par filiation directe (c'est la vision classique de la sélection naturelle), soit en favorisant la reproduction de sa famille proche, qui possède en partie les même gènes que lui! Le succès évolutif d'un individu doit prendre en compte ces deux modes de reproduction, directs et indirects (ce qu'Hamilton appelle "l'inclusive fitness").

Par exemple si un individu partage la moitié de ses gènes avec ses frères, il aura un meilleur "succès reproductif global" s'il accepte de sacrifier sa propre vie pour sauver celle de trois de ses frères (puisque ceux-ci représentent en moyenne une fois et demi son propre patrimoine génétique).

Petit tour chez nos cousins les hyménoptères

C'est ce phénomène qui semble être à l'oeuvre chez tous les insectes sociaux: les ouvrières femelles acceptent de ne pas se reproduire et d'élever avec amour et abnégation leurs larves de sœurs -issues comme elles de la même reine.

Le phénomène est accentué par un mode de reproduction tout à fait particulier chez les abeilles, les fourmis et le guêpes (pas les termites, on y reviendra): la reine peut pondre des œufs fécondés ou non: un œuf fécondé donne naissance à une femelle "diploïde" c'est-à-dire possédant deux jeux de chromosomes, chacun hérité d'un des parents. Un œuf non fécondé produit un mâle "haploïde" c'est-à-dire n'ayant qu'un seul jeu de chromosomes, issu de sa mère.


Ce mode de reproduction mixte (haplo-diploïdique) a des conséquences très amusantes. Regardez: chaque mère partage avec ses filles 50% de gènes en commun (la moitié des gènes qu'elle lui a légués). Idem avec ses fils.

En revanche, chaque femelle partage avec ses sœurs 100% des gènes paternels (puisqu'il a transmis son unique jeu de chromosomes) et 50% en moyenne des gènes maternels (puisque la mère ne transmet que la moitié de ses gènes à sa descendance). Au total, les frangines ont en moyenne 75% de gènes identiques entre elles.

La proximité génétique entre soeurs est donc plus grande qu'entre une mère et sa descendance: en suivant le raisonnement d'Hamilton, les ouvrières ont donc un bien meilleur succès reproductif global en élevant leurs sœurs qu'en procréant elles-mêmes! En renonçant à pondre et en se dévouant à leurs sœurs, elles font preuve d'un altruisme tout à fait avantageux pour elles.

Du rififi entre mères et filles
Cette asymétrie entre garçons et filles a d'autres conséquences étranges: les mâles n'ont que la moitié des gènes de leur mère, on l'a vu. Comme leurs sœurs ont également la moitié des gènes de leur mère, il y a en moyenne 25% de gènes commun entre eux. Du coup, les ouvrières sont génétiquement plus proches de leurs sœurs que de leur frères: très exactement trois fois plus proches. Leur intérêt génétique sera donc de s'occuper trois fois plus de leurs sœurs que de leurs frères.

Les reines ont, elles, un intérêt génétique identique pour leurs filles et pour leurs fils (50% de proximité génétique). Contrairement aux ouvrières qui tendraient à favoriser les larves de femelles, elles ont "intérêt" à maintenir un équilibre entre les deux sexes; Pour cela elles peuvent avoir recours à des stratagèmes diaboliques:

• la surponte d'œufs mâles, non fécondés: en pondant beaucoup plus d'œufs mâles, les reines peuvent contrebalancer la ségrégation sexuelle naturelle de leurs ouvrières. Pas très efficace comme stratégie, car ces dernières ont souvent le dernier mot en négligeant ou même en dévorant les œufs mâles en surplus. Généralement les ouvrières ont le dernier mot et chez la plupart des espèces la masse des femelles représente environ trois fois celle des mâles, conformément aux "préférences" des ouvrières.
• l'esclavagisme: certaines fourmis utilisent d'autres espèces comme esclaves leur servant de nounous. Les esclaves n'ayant de lien génétique ni avec les oeufs mâles, ni avec les œufs femelles, s'occupent des deux sexes avec la même diligence. Dans ce cas on a observé autant de jeunes femelles que de mâles.
• le polyandrisme: les reines peuvent varier les plaisirs avec plusieurs amants différents. La proximité génétique entre sœurs tombe à 50% si elles sont nées de pères différents. Par contre elle reste de 50% entre une sour et son frère. Les ouvrières ont alors autant d'intérêt à élever des mâles que des femelles.
  

Il peut également arriver -surtout lorsque la reine donne des signes de faiblesse - que les ouvrières soient tentées de se reproduire elles-mêmes, toutes seules: après tout, mieux vaut élever un fils avec lequel on partage 50% du génome plutôt qu'un frère avec lequel on n'a que 25% de gènes communs. En temps normal, cependant ça ne marche pas, car les autres ouvrières font le même raisonnement: ne partageant que 37% des gènes de leur neveu, elles auront tendance à dévorer les œufs de leurs frangines. Cette "police des ouvrières" a été observée notamment chez les abeilles.

Comment reconnaître son degré de parenté?
Toute cette belle théorie suppose que les individus sont capables de percevoir leur degré de parenté avec un œuf. Ouvrez votre réfrigérateur, faites l'essai avec un œuf: vous verrez, ce n'est pas évident. Chez les fourmis, les œufs de la reine sont semble-t-il protégés par une phéromone, qui les protège contre le cannibalisme des ouvrières.

(Extrait des Sociétés animales,
de Aron&Passera)
Chez les abeilles, on a explicitement mis en évidence leur capacité à évaluer le degré de parenté entre individus: la petite abeille Lasioglossum zephyrum vit dans des galeries souterraines où normalement ne sont admises que les descendants de reine-mère. L'entrée du nid est une ouverture étroite, bien gardée par des sentinelles qui refoulent impitoyablement les étrangers du nid. On a réalisé toutes sortes de croisement avec ces abeilles et observé les réactions des gardiennes quand on leur présentait des individus plus ou moins apparentés aux habitants légitimes du nid. Bingo! La probabilité d'être accepté à l'entrée est directement proportionnelle à la proximité génétique des visiteurs.

Il peut arriver que le phénomène s'enraye. En 1994, on a découvert en Australie des ruches d'abeilles avec beaucoup trop de mâles. Il s’est avéré que le phénomène provenait d'une mutation génétique permettant aux oeufs pondus par les ouvrières d'échapper aux autres ouvrières. Une catastrophe pour les apiculteurs, car comme la "fitness" des ouvrières mutantes est supérieure à la normale, la mutation risque de se propager de ruche en ruche, déséquilibrant profondément l'équilibre des sexes.

Acrasiales, ces amibes!
L'influence de la parenté génétique sur l'altruisme a été mis en évidence dans pas mal de cas, y compris chez les unicellulaires: Luc Passera rapporte par exemple le cas des amibes acrasiales: ces drôles de bestioles monocellulaires gélatineuses et pas très ragoûtantes qui rampent dans le sol et le sous-sol en se nourrissant de bactéries.

(Extrait des Sociétés animales, de Aron&Passera)
Quand les conditions deviennent défavorables, elles ne s'enkystent pas comme les autres amibes: elles s'agglutinent les unes sur les autres et forment une espèce de limace de quelques millimètres qui se déplace comme si c'était une vraie limace! Au bout de quelques jours, ce machin prend la forme d'un champignon, composé d'une boule dure formée d'amibes enkystées, supportée par un pied qui l'élève à l'air libre. La capsule surélevée a toutes les chances d'être entraînée (par le vent, un animal ou autre) dans un autre endroit plus favorable où les amibes de la capsule pourront se désenkyster et se disperser. Les amibes qui constituent le pied restent sur place et meurent, les pauvres, héroïnes sacrifiées pour la survie de leurs copines (puisque, c'est bien connu, les amibes de mes amibes sont aussi mes amibes).

Conformément à la théorie de Hamilton, on a montré que plus la population d'amibes est génétiquement homogène, plus il y a d'amibes prêtes à se sacrifier en restant dans le pied. Plus il y a d'amibes dans le pied, plus il est long et plus la capsule est surélevée avec plus de chance de fructifier. A l'inverse, avec plus de diversité génétique, les amibes ont tendance à adopter un comportement "égoïste" et à s'enkyster dans la capsule. Le pied est alors relativement petit par rapport à la capsule. Les chances de s'envoler vers un monde meilleur sont amoindries.

L'hyper-socialité chez les autres espèces
D'autres espèces, à commencer par les termites, ne bénéficient pas du coup de pouce génétique "d'haplodiploïdie" qui favorise le dévouement des sœurs nourricières. Que se passe-t-il dans ces cas-là? Pour être honnête, le mystère ne me semble pas complètement résolu. Une chose est sûre, c'est que, dans ces sociétés, la consanguinité est extrêmement forte entre frères et sœurs. Le couple de termites reproducteur dans un terrier fournit des armées de termites en exclusivité pendant plusieurs centaines de générations. Lorsque le roi ou la reine termite meurt, ils sont remplacés par un de leurs enfants. Du coup, l'affinité génétique est très proche de 1 entre frères et sœurs termites. L'avantage évolutif de se reproduire directement devient très réduit pour le peuple termite qui a de ce fait plus intérêt à œuvrer pour sa communauté.

Ce type de dévouement se retrouve chez les rats-taupes nus, souvent élus animaux-les-plus-moches-du-monde . Ces petits rongeurs sans poils forment d'immenses colonies souterraines en Afrique, s'étendant sur des kilomètres. Ça ressemble à un gigantesque Larzac où tout est réalisé collectivement: recherche de nourriture, élevage des bébés, recherche et aggrandissement du terrier etc. Seule la reine peut se reproduire: les autres femelles se dédient aux tâches ménagères uniquement, sans jamais se reproduire. Si la reine meurt, c'est la révolution et elles se transforment en véritables harpies, se battant jusqu'à la mort pour prendre sa place.

Là aussi la consanguinité dans les nids est telle (80% environ) qu'il y a plus de proximité génétique entre frères et sœurs qu'entre parents et enfants. Et comme chez les fourmis, les femelles de la plèbe ont tout intérêt à consacrer leur énergie aux soins de leurs sœurs plutôt qu'à se reproduire directement. Du moins tant que la place de la reine n'est pas à prendre. Pourquoi une telle consanguinité n'a-t-elle pas plus d'effet délétères? Mystère...

(Photo: oiseaux.net)

Je vous recommande, si le sujet vous intéresse, de jeter un œil sur ce cours d'Ethologie de l'université de Genève qui regorge d'autres exemples intéressants. Chez le geai à gorge blanche de Floride par exemple, il est fréquent que des couples bénéficient d'aides ménagères à domicile de la part d'individus très apparentés génétiquement. Ces auxiliaires renoncent provisoirement à se reproduire et participent à la défense du nid et au nourrissage des petits. Les couples bénéficiant de l'aide sociale à domicile ont plus de succès reproductif (davantage de petits vivant plus longtemps) que les autres et ce succès est d'autant plus fort que l'aide ménagère est une proche parente des deux oiseaux.

Dans ce cas, les motivations des aides sont complexes. Bien sûr ils bénéficient d'un gain reproductif indirect. Mais ils ont également des gains plus directs: comme les territoires disponibles pour se reproduire sont rares, il est probable que ces oiseaux n'auraient pas pu se reproduire durant cette saison. Faisant contre mauvaise fortune bon cœur, ils acquièrent peut-être de l'expérience (comment défendre un nid, nourrir un petit etc) qui leur sera directement utile la saison suivante lorsqu'ils se reproduiront eux-mêmes...

Références
Aron Serge et Passera Luc – Les sociétés animales. Évolution de la coopération et organisation sociale (DeBoeck Université, 2000)
Luc Passera - La véritable histoire des fourmis (Fayard, 2006)
Cours d'éthologie de l'université de Genève (2007)
Stephen Jay Gould - Darwin et les grandes énigmes de la vie (in "un animal doué de bienveillance") (Points, 1997)

Born again Thalès

La légende
- Rolala, le prof nous a dit que la semaine prochaine on allait apprendre Thalès. Rien que le nom, ça a l'air compliquéééééééé!!! me dit mon numberone.
Pas de panique, fiston. Thalès c'est d'abord une légende: l'histoire veut que
ce savant grec du VIe siècle avant JC, arrivé à Khéops se trouva mis au défi par le pharaon de l'époque de mesurer la hauteur de la gigantesque pyramide, sans autre instrument qu'une simple corde. Il s'assit par terre, et se mit à songer devant l'ombre de la pyramide: cette ombre est bien proportionnelle à la hauteur de ma pyramide, se dit-il, mais dans quelle proportion? Contemplant alors sa propre ombre, notre savant réalisa qu'à une heure donnée, toutes les ombres étaient proportionnelles à la hauteur des objets! Il mesura alors sur le sol la taille de son ombre et en la comparant avec sa propre hauteur, il calcula ce facteur de proportionnalité pour obtenir la hauteur cherchée. C'est ainsi qu'il pu estimer la hauteur de la pyramide à 67 fois sa propre hauteur.

Une élégante démonstration du théorème de Thalès pour un triangle rectangle

Cette histoire est sans doute une légende mais elle a le mérite d'être facile à retenir. Elle constitue également une élégante manière de démontrer le fameux théorème du même nom, sans calcul et sans connaître grand chose à part le théorème de Pythagore. Presque pas de calculs, c'est promis!

Reprenons notre bonhomme Thalès, sa pyramide et leurs ombres et symbolisons-les, de profil bien sûr (on est en Egypte) par des triangles. Si ce n'est pas Numérobis qui a construit la pyramide, et si Thalès se tient droit, nos triangles sont rectangles. Les hypoténuses de ces triangles sont les rayons du soleil qui sont tous parallèles entre eux. Nos deux triangles rectangles ont donc deux de leurs angles égaux entre eux (on dit qu'ils sont semblables).

Dessinons-les maintenant (triangles I et II), mais en les disposant comme sur la figure ci-contre. Construisons les rectangles dans lesquels ils s'inscrivent: on a appelé I' l'aire du triangle complémentaire de I (en blanc), et II' le complémentaire de II. III est le rectangle en bas à droite et III' le petit rectangle qui ferme le grand triangle blanc en haut à gauche.

Par construction, on a I'=I; II'=II et l'aire du grand triangle bleu est égale à celle du grand triangle blanc s'écrit I+II+III=I'+II'+III'
On en déduit donc que III'=III
Comme III=xb (l'aire d'un rectangle vaut le produit de ses côtés) et III'=ay, alors xb=ay
Egalité qui s'écrit encore y/x=b/a.

Ce rapport est le facteur de proportionnalité entre les objets et leurs ombres, celui qui a permis à Thalès de calculer la taille de la pyramide (y) à partir de son ombre (a), sa propre taille(b) et l'ombre de la pyramide (x) par la relation y=xb/a.

Traditionnellement, le théorème de Thalès s'exprime sous l'autre forme:
y/b=x/a

En appliquant la relation de Pythagore (x²+y²=z² et a²+b²=c²), on a également
z²=x²+y²=x² (1+b²/a²)=x²c²/a²
z=xc/a

D'où la relation z/c=x/a=y/b qui traduit simplement le fait que deux triangles rectangles semblables (=ayant les mêmes angles) ont leurs côtés proportionnels deux à deux. Voilà le théorème de Thalès démontré pour un triangle rectangle. Le plus dur est fait!

Généralisation à un triangle quelconque

Et pour des triangles quelconques, ça marche aussi, dis?







Procédons de la même façon pour les deux triangles ABC et AB'C' d'angles égaux. On décompose chaque triangle en une somme de deux triangles rectangles (ABD et BCD d'un côté, AB'D' et B'C'D' de l'autre). Les triangles rectangles sont semblables deux à deux et on peut leur appliquer à chacun les formules de proportionnalité que l'on vient de trouver. En rassemblant les égalités indiquées sur la figure, et en mélangeant très fort on obtient: AB'/AB=B'C'/BC. En décomposant différemment le triangle ABC (par deux triangles rectangles coupant le côté AB perpendiculairement par exemple), on obtient finalement:

AB'/AB=B'C'/BC=AC'/AC

Moralité: deux triangles semblables quelconques (c'est à dire ayant les mêmes angles) ont leurs côtés proportionnels deux à deux. Le théorème de Thalès ne dit rien d'autre:

Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC) (comme indiqué sur la figure ci-contre). Alors on a :

Quelques applications amusantes

Que veulent dire ces drôles d'égalités: c'est archi simple! Si A est un vidéo-projecteur et DE l'écran sur lequel on projette le film, le théorème de Thalès dit simplement que si l'on double l'éloignement de l'écran (AB=2AD), la taille de l'image doublera aussi (BC=2DE)...

On peut se servir du théorème de Thalès pour faire des divisions, comme sur la figure ci-contre: pour savoir combien vaut y/x, on place B sur l'axe horizontal tel que AB=y, puis un segment vertical BC de longueur x. On trace ABC et l'on repère le point C' tel que B'C'=1. En appliquant nos formules, on trouve bien que AB'=y/x



Pour faire des multiplications, c'est presque pareil, sauf qu'on trace d'abord AB'=y, puis B'C'=1. On trace la droite AC' sur laquelle on repère le point C tel que CB=x. En appliquant nos formules, on trouve AB=xy...

Thalès est l'inventeur de la première règle à calcul!

Pour la petite histoire, il semble que bien avant Thalès, Euclide avait déjà démontré ces formules et que la proportionnalité des longueurs de triangles semblables soit une propriété découverte par les Égyptiens et les Babyloniens plus de mille ans avant. Mais ils n'avaient probablement pas une aussi belle histoire à raconter que celle des pyramides...

Références:
le site de Wikipedia sur Thalès et son théorème, démontré de manière plus classique en calculant l'aire d'un triangle à partir du produit de sa hauteur par sa base.
Une autre démonstration tout en image ici.

La relativité lumineuse même sans lumière

Ordinairement pour expliquer la relativité on commence par des histoires de lumière: comment au XIXeme, on est d'abord arrivé à mesurer sa vitesse dans le vide, puis son drôle de comportement: qu'elle provienne d'une étoile s'approchant de la Terre ou s'en éloignant, la vitesse apparente de la lumière est toujours exactement la même. Cette violation patente de la loi de composition des vitesses (qui exprime simplement le fait que quand vous marchez dans un train, votre vitesse par rapport au sol est la somme de la vitesse du train et de votre vitesse par rapport au train) a bien entendu plongé les scientifiques dans la perplexité. C'est principalement pour expliquer ce phénomène qu'Einstein a reconstruit les bases de la mécanique relativiste, en prenant pour postulat de base que la vitesse de la lumière dans le vide est une constante.

Bien sûr, cette loi a été vérifiée maintes fois expérimentalement et la théorie de la relativité est maintenant totalement admise en dehors de quelques hurluberlus; il y a pourtant dans cette démarche quelque chose qui me laisse sur ma faim: admettre comme postulat une propriété aussi bizarroïde m'a toujours semblé un peu gênant intellectuellement . Certes, cela ne m'empêche pas de dormir la nuit, mais ne peut-on donc retrouver par le seul jeu de l'esprit et des expériences imaginaires la logique de la relativité restreinte? Faut-il vraiment avoir connaissance de l'expérience de Michelson (mettant en évidence pour la première fois l'invariance de la vitesse de la lumière) ou les équations de Maxwell (qui font appel implicitement à cette vitesse constante, sans pour autant la justifier) pour envisager une alternative aux lois de la mécanique Galiléenne?

J'ai fini par trouver mon bonheur dans le livre de Jean Hladik (pour comprendre simplement la théorie de la relativité). Remontant aux publications de Poincaré (de 1904!), Hladik décortique son raisonnement et montre comment Poincaré avait trouvé les équations de la relativité restreinte dès 1904, sans devoir faire appel à l'hypothèse bizarre de l'invariance de la vitesse de la lumière. Je ne peux résister au plaisir de vous livrer une version simplifiée du raisonnement, tant pis si c'est un peu technique, mon prochain billet le sera moins, promis.

Recette de la transformation de Lorentz (préparation: 5 minutes, cuisson:10 minutes):
[Edit du 22/9/2008: je remercie Michel Chrysos, professeur de Physique à l'Université d'Angers et co-inventeur de cette recette, de m'en avoir proposé une amélioration considérable (en rouge dans le texte), permettant de se passer du 4eme postulat.]
Prenez quatre trois postulats tout à fait raisonnables, sur lesquels l'honnête homme ne fera pas (trop) de débat:
1) On postule que les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels en translation uniforme les uns par rapport aux autres (=se déplaçant à vitesse constante l'un par rapport à l'autre). C'est le bon vieux principe de la relativité galiléenne qu'on reprend, car c'est dans les vieilles casseroles qu'on fait les meilleures sauces;
2) Ensuite, pour rester dans le classique, on suppose que l'espace est homogène dans toutes les directions: pas de direction privilégiée.
3) Plus original: on postule que l'on sait synchroniser toutes les horloges d'un même référentiel: à un instant donné elles indiquent toutes la même heure.
4) La touche du chef: "La cause d'un événement précède son effet" dans tous les référentiels. Ce qui signifie que si un événement a lieu avant un autre dans un référentiel, l'ordre des deux événements sera le même dans tous les référentiels. Cela revient finalement à dire qu'on ne peut remonter le temps sous peine de tomber dans les paradoxes classiques du type "je tue mon arrière-grand-père, donc je ne peux naitre, donc je ne peux l'avoir tué etc".
Voilà, c'est tout ce qu'il faut postuler.

Pas d'histoire de lumière là-dedans, ni d'invariance de quoique ce soit, vous remarquez? Et pourtant rien qu'en faisant bouillir à feux doux ces quatre petits ingrédients de rien du tout, on a la recette de la relativité. C'est parti pour une petite gymnastique mathématico-culinaire, n'hésitez pas à m'interrompre si je dis une bêtise!

Comme plan de travail, on considère deux référentiels R et R' plans justement, d'origine O et O' et dont les axes Ox et O'x' coïncident. On ne raisonne que sur cet axe, les deux autres directions de l'espace sont supposées communes pour simplifier. Leurs horloges marquent respectivement un temps t et t' et O' s'éloigne de O à la vitesse V constante (vue de O): nos deux référentiels sont bien en translation uniforme l'un par rapport à l'autre.

Le but est d'exprimer x' et t' en fonction de x et de t et de (re)trouver la fameuse transformation de Lorentz assez simplement.

1) Linéarité de la transformation cherchée

Comme l'espace et le temps sont homogènes, la loi reliant ces variables est linéaire et ne peut dépendre que de V:

x'=a(V)x + b(V)t (1)
t'=c(V)t+ d(V)x (2)

où a(V), b(V), c(V) et d(V) sont des fonctions de V uniquement.

2) O' a une vitesse V par rapport à O:

O' a pour coordonnées x'=0 et t'=0 dans son référentiel R', et x=Vt dans le référentiel R. En remplaçant tout ça dans l'équation (1) on obtient V=-b(V)/a(V)
En mettant a(V) en facteur et en changeant le nom des fonctions dans (2), les équations ci-dessus deviennent:

x'= a(V)[x-Vt]
t'= a(V)[C(V)t+D(V)x]

3) Invariance par réflexion dans un miroir:

Le postulat d'homogénéité de l'espace suppose que si l'on gradue Ox et Ox' en sens inverse, on passe des coordonnées (-x') aux coordonnées (-x) par les mêmes équations. V devient -V mais t et t' ne changent pas. On obtient ainsi:
-x'=a(-V)[-x+Vt]
t'=a(-V)[C(-V)t-D(-V)x]

On en conclut que a(-V)=a(V); C(-V)=C(V) et D(-V)=-D(V)

4) Transformation inverse:

Les lois étant les mêmes dans tous les référentiels en translation uniforme, on doit retrouver x et t en appliquant nos formules à x' et t'
x=a(-V)[x'+Vt']=a(V)[x'+Vt']
t=a(-V)[C(-V)t'+D(-V)x']=a(V)[C(V)t'-D(V)x']
En remplaçant x' et t' par leur expressions en fonction de x et t on obtient (j'omets les "(V)" pour alléger):
x=a²[x-Vt+VCt+VDx]=a²[(1+VD)x+V(C-1)t]
t=a²[C²t+CDx-Dx+DVt]=a²[(C-1)Dx+(C²+DV)t]

On en déduit que C(V)=1 et que a²[1+VD(V)]=1

Nos équations deviennent:

x'=a[x-Vt]
t'=a[t+Dx]

5) Composition des transformations (au passage on note que toutes ces hypothèses ne font que traduire l'appartenance de la transformation cherchée à un "groupe", notion chère à Poincarré)

On considère maintenant un troisième référentiel R", d'axe 0"x" aligné sur O'x', mais dont l'origine O" se déplace à la vitesse U par rapport à 0'.
x"=a(U)[x'-Ut']=a(U)a(V)[(1-UD(V))x-(U+V)t]=a(U)a(V)(1-UD(V))[x-(U+V)/(1-UD(V))t]
t"=a(U)[t'+D(U)x']=a(U)a(V)[(1-VD(U))t+(D(U)+D(V))x]

Mais si W est la vitesse de O" par rapport à O, on doit avoir x"=a(W)(x-Wt) et t"=a(W)(t+D(W)x)
En ordonnant et en identifiant terme à terme, on vérifie que l'on a nécessairement

D(V)=kV où k est une constante

et que W=(U+V)/(1-kUV) (3)

Ce qui traduit une loi de composition des vitesses beaucoup plus complexe que celle que nous connaissons en mécanique classique où W=U+V!
Du coup on en déduit que a²(V)=1/(1+kV²) en retenant pour a la valeur positive car a(0)=1
Nos équations deviennent:

x'=a[x-Vt]
t'=a[t+kVx]

6) Quel signe pour k? C'est là qu'intervient le principe du "respect de la causalité"
La constante k à la dimension de l'inverse du carré d'une vitesse. Intéressons nous à son signe.

• Si k=0, D(V)=0 et a(V)=1 Les équations que l'on obtient sont tout simplement x'=(x-Vt) et t'=t.
  On retrouve les lois galiléennes de passage d'un référentiel à l'autre. Ces lois sont UNE des solutions de notre problème, qui fonctionne pour les petites vitesses. Mais si nous sommes actuellement en train de faire tous ces calculs, c'est pour trouver une formule qui marche aussi pour les grandes vitesses!
  

• si k >0,
  Cela signifie que la vitesse composée W de deux vitesses U et V toutes deux positives , est plus grande que la somme des deux vitesses puisque W=(U+V)/(1-kUV). W n'a pas de limite si U et V sont très grands.
  Montrons que dans ce cas, on ne respecte plus le principe de causalité [ceci est une démonstration de mon cru, goûtez-la pour voir si elle vous convainc, je suis preneur de recettes alternatives!].
  Soit deux événements E'1 et E'2, associés respectivement aux coordonnées (x'1, t'1) et (x'2,t'2) dans R' (respectivement sans les ' dans R).
  Si E'1 est la cause de E'2 dans R', alors il lui est antérieur et Δt'=t'2-t'1 est positif dans R'. On suppose que Δx' est également positif.
  Le principe de causalité impose que Δt>0 également. Dans le référentiel R, Δt=a(V)(Δt'-kVΔx') avec a(V) positif.
  Or si V est très grand, rien n'empêche V d'être supérieur à Δt'/(kΔx') ce qui entrainerait dans ce cas que Δt<0.>
  
  La somme de deux vitesses U et V s'écrit toujours W=(U+V)/(1-kUV).
  Si k>0, cette égalité implique que deux vitesses U et V toutes deux positives et très grandes, peuvent s'additionner pour donner une vitesse négative: il suffit pour cela que UV>1/k... Résultat absurde.
  Pour éviter cette impossibilité, on peut imaginer que l'on ne puisse jamais avoir UV>1/k, en faisant l'hypothèse qu'il existe une vitesse limite Vmax telle que Vmax²<1/k,>
  Mais dans ce cas, pour U et V=Vmax, W=2Vmax/(1-kVmax²) max
  En simplifiant on obtient kVmax<-1 ce qui est impossible puisque Vmax et k sont positifs.
  Conclusion: k ne peut pas être positif...
  
  
• Donc k est nécessairement négatif, comme il a la dimension inverse du carré d'une vitesse, on peut écrire k=-1/c², c étant une constante ayant la dimension d'une vitesse.
  
  Voilà, c'est fini! les équations s'écrivent maintenant:

x'=g(x-Vt)
t'=g(t-V/c²x)
avec g=√(1/(1-V²/c)

La loi de composition des vitesses (3) s'écrit W=(U+V)/(1+UV/c²) et donc W est toujours plus petit que U et V. Dans cette formule, on voit que c est la vitesse limite de tout référentiel par rapport à un autre.

Il ne reste qu'à trouver la valeur de c. La vitesse de la lumière est une bonne candidate à cette valeur, car justement, on n'a jamais trouvé jusqu'ici de particule dépassant cette vitesse et elle ne change pas, quelque soit le référentiel.

Vous pouvez servir: on retrouve avec ces valeurs, la fameuse transformation de Lorentz, dont découle toute les équations de la relativité restreinte, et notamment celle de E=mc².

La démonstration de Poincaré permet ainsi assez facilement de trouver les équations relativistes:
1) sans avoir à postuler a priori l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide. Si un jour on découvrait que cette invariance n'était pas vraie, cela ne remettrait pas en cause ce modèle;
2) en postulant le respect de la causalité (toute cause précède son effet dans le temps);
3) elle permet d'expliquer pourquoi les très grandes vitesses ne s'additionnent pas "classiquement" mais tendent vers une limite indépassable qui semble bien être celle de la lumière dans le vide. La transformation de Lorentz permet de comprendre pourquoi la vitesse de la lumière ne change pas par changement de référentiel sans postuler cette propriété au départ.

La relativité retrouvée par la pure expérience de pensée, je trouve ça bluffant!

Parallèles mais presque

(image de techno-science.net)
Gasp! En feuilletant les cours de mon numbertwo je réalise qu'une bonne partie de ce qu'on nous apprend en géométrie en CM2 est à revoir depuis que l'on sait que la la Terre est ronde!

- Une droite est le plus court chemin entre deux points prolongé de part et d'autre à l'infini (NB: ça m'énervait de pas trouver de démonstration simple alors je m'y suis essayé en fin de billet, à vos stylos rouges!) A la surface de la Terre, une droite est donc un grand cercle passant par ces deux points: "grand" cercle car il a le même centre que la Terre et donc de même périmètre que celle-ci. Arf, donc une droite sur Terre n'est jamais infinie!

- Deux droites parallèles ne se coupent jamais? Ben, faut voir à voir, puisque tous nos grands cercles se coupent toujours et en deux points (situés aux antipodes l'un de l'autre). En fait des droites parallèles ça n'existe pas sur Terre. De même, deux droites non parallèles ne se coupent pas en un seul point, mais en deux (situés aux antipodes l'un de l'autre)...

- La somme des angles d'un triangle fait 180°? Que nenni: si l'on prend par exemple un triangle avec pour sommet le pôle Nord, et deux points situés aux antipodes de l'équateur, regardez bien ça fait 180°+90°+90°=360°! Adios du coup le théorème de Pythagore, puisqu'on peut imaginer un triangle équilatéral et avec des angles droits partout (deux extrémités sur l'équateur à 90° d'écart de longitude et une extrémité au pôle)!

- La circonférence d'un cercle sur Terre fait 2πr? Bah faites le calcul, moi je trouve plutôt 2πR cosθ, θ étant la latitude du cercle en question (en le supposant parallèle à l'équateur).

Toutes ces belles certitudes envolées, ça donne le vertige.
----------------------------------------------------------------------------------------------

Pour démontrer que le plus court chemin entre deux points d’une sphère est la portion du grand cercle qui les relie, prenons… deux points qu’on appellera A et B pour pas être trop original quand même sur une spère de rayon 1. Pivotons la sphère une première fois pour que les points soient sur la même latitude, puis une seconde fois pour qu’ils soient situés de part et d’autre symétriquement par rapport au pôle de la sphère. Nos deux points sont maintenant situés sur un même méridien et leur latitude est égale, c’est plus joli.

On postulera que la courbe recherchée est plane (je suis preneur de justification!). Comme notre figure est symétrique par rapport à l’axe Nord-Sud (0z), son plan-support doit l’être aussi. Il n’y a donc que deux « candidats »: le plan horizontal portant la parallèle joignant A et B (c’est l’arc C1 en bleu sur la figure) et le plan vertical portant le méridien passant par A et B (arc C2, en rouge). Comparons ces deux arcs :

C1 est un demi-cercle (puisque A et B sont sur le même méridien) et si θ est l’angle entre Oz et OA, le rayon du cercle support de C1 vaut sinθ. La longueur de l’arc C1 est donc π sinθ.

C2 est un arc de cercle passant par le pôle donc sa longueur vaut 2θ.

Comme θ prend ses valeurs entre 0 et π/2, on vérifie que sur cet intervalle 2θ< π sinθ: le verdict est sans appel, c’est le méridien (donc l’arc C2 du grand cercle) qui est le plus court chemin entre A et B.

Ce n’est pas très intuitif car on est habitué aux projections cylindriques de la Terre qui représentent les parallèles comme des lignes droites alors que les grands cercles sont projetées comme des courbes. Deux étudiants sur ce site ont démontré comment calculer la différence entre les deux trajets : entre Poitiers et Seattle il y a 8000km de distance à vol d’avion, mais 1000 de plus si l’on suit un parallèle!

Miroir, ô mon beau miroir...

Quelle est la taille de votre visage lorsque vous vous regardez dans le miroir? Taille réelle? C'est sûr? Et lorsque vous vous éloignez de ce miroir, cette taille diminue. Evidemment?

Faites l'essai ou lisez cet article du New York Times:
Munissez-vous d'un double décimètre, mesurez la hauteur de votre crâne (c'est sans doute le plus ardu, mais ça devrait tourner autour des 20-25 centimètres) puis regardez vous dans le miroir de votre salle de bain, en plaquant le double-décimètre sur le reflet de votre visage pour le mesurer. Si vous faites ça bien, vous verrez que votre reflet ne mesure que la moitié de votre taille réelle (dans les 12 centimètres). Et ceci quelque soit votre distance au miroir (la position du reflet change mais pas sa taille). Scroumpf, comment se fait-ce?

Pour le comprendre, imaginez que vous êtes face à votre jumeau, de l'autre côté d'un mur dans lequel se trouve une ouverture modulaire. Quelle est la taille minimale de l'ouverture permettant de le voir en entier des pieds à la tête? S'il (ou si elle) se trouve très près de l'ouverture, il faut que l'ouverture soit pratiquement de sa taille. A l'inverse, si l'ouverture se trouve très près de vous, un trou de serrure suffira pour le (ou la) voir en entier. Et si l'ouverture se trouve exactement entre vous deux, il faudra qu'elle soit de la moitié de la taille de votre jumeau.

Un miroir n'est jamais qu'une espèce "d'ouverture" placée exactement entre vous et votre reflet. La taille qu'y occupe votre reflet est donc la moitié de votre taille réelle, et ceci quelque soit la distance à laquelle vous vous trouvez du miroir. Et oui!


(image du New York Times)
Autrement dit, vous voyez votre frimousse dans le miroir deux fois moins grande que sa taille réelle et cette taille ne change pas si vous vous approchez ou si vous vous reculez du miroir. En revanche, la taille du reflet de quelqu'un d'autre s'approchant (ou s'éloignant) du miroir augmente (ou diminue). On peut donc se définir grâce à l'invariance de la taille de son reflet dans un miroir: cette image dans le miroir est la mienne parce qu'elle ne change jamais de taille...

Les vampires ne savent pas ce qu'ils ratent!

Fourmis matheuses

1) Compter les intersections est hautement instructif

L'aiguille de Buffon
On doit au Comte de Buffon d'avoir mis en évidence l'étonnante relation entre le nombre pi et la statistique. Mode d'emploi: prenez une après-midi pluvieuse et bien ennuyante, munissez-vous d'une épingle et placez vous sur un beau parquet aux lattes bien parallèles. Faites tomber l'aiguille sur le parquet et notez pour chaque lancer si l'aiguille touche ou non l'interstice entre les lattes. Recommencez 2000 fois. Quand vous êtes très fatigué par ce jeu idiot, calculez la fréquence à laquelle l'aiguille a touché l'intervalle entre les lames. Votre résultat devrait se rapprocher de 2a/πI où a est la longueur de l'aiguille et I l'intervalle entre les lattes du parquet. Sautez au paragraphe suivant si une jolie démonstration de ce résultat ne vous intéresse vraiment pas.

Il y a 36 manières de démontrer ce résultat, mais la plus élégante me semble être celle qu'à trouvé Emile Borel en 1860: l'astuce pour ne pas se fouler avec des sinus et des cosinus, c'est de remarquer qu'une aiguille de longueur a1+a2 touchera l'intersection -avec une espérance E(a1+a2) - si et seulement si sa partie a1 la touche -espérance E(a1) - ou si sa partie a2 la touche -espérance E(a2). Les probabilités s'additionnant, ça s'écrit E(a1+a2)= E(a1)+ E(a2). On en tire deux choses:

1) L'espérance est proportionnelle à la longueur de l'aiguille. E(a)=a E(1)
2) E(a1) + E(a2) se lit aussi comme le résultat du lâcher de deux aiguilles (a1 et a2) indépendamment l'une de l'autre, donc dans n'importe quelle position relative (en triangle, alignées, croisées entre elles etc). L'équation E(a1+a2)=E(a1)+E(a2) indique donc aussi que l'espérance de croisement d'une aiguille avec le parquet ne dépend pas de la forme de l'aiguille.

Borel a donc eu l'idée géniale de prendre pour forme particulière une aiguille circulaire de diamètre égal à l'écartement des lattes (sa longueur vaut donc πI ). Une telle aiguille coupera l'interstice en deux points, sauf si elle tombe pile au milieu des lattes: elle touchera alors à la fois la latte au dessus et celle au dessous. Dans tous les cas E(πI)=2
Et comme l'espérance est proportionnelle à la longueur, E(a)=a/(πI )E(πI ) donc E(a)=2a/(πI).

On peut se servir de ce résultat pour approximer π (essayez par exemple ce simulateur). J'admets qu'il y a plus pratique pour approximer π que de balancer des aiguilles sur un parquet pendant des heures. En plus il faut lancer l'aiguille 900 000 fois pour obtenir une précision d'un millième... Mais bon, pas de mauvais esprit, continuons plutôt...

Estimation des longueurs

L'autre intérêt de cette formule est qu'elle permet d'estimer la longueur L d'un tracé quelconque simplement en comptant le nombre N de fois qu'il s'intersecte avec une grille de maille I: L=πIN/4. Cette formule bizarre est à la base de la stéréologie, science bizarre dont le but est d'approximer statistiquement les dimensions d'un objet que l'on ne peut pas mesurer directement, par exemple une racine enfouie, la longueur d'un nerf ou encore des filaments microscopiques. Ou comme on le verra plus loin, pour estimer la surface ou le volume d'une cellule à partir de mesures partielles de dimension 1 ou 2.

Je n'ai pas trouvé la démonstration de cette formule, donc ceci est un essai. A vos stylos rouges!
Reprenons notre expérience de lâcher d'épingle, mais remplaçons cette fois le parquet par une grille de maille I. L'épingle croisera la grille si elle croise soit une ligne horizontale soit une ligne verticale. L'espérance de croisement de la grille vaut donc deux fois celle de l'expérience de Buffon: E(a)=4a/(πI) pour la grille.

Peignons notre épingle et regardons la trace L laissée sur la grille en plastique par tous les lancers d'épingle (l'arrière-arrière-arrière petite fille du Comte Buffon vous remercie au passage pour son beau parquet). Pour n lancers, L=a x n

Par ailleurs si on a obtenu N lancers avec intersection: E(a)=N/n=Na/L.

Donc N=4L/(πI). Le nombre d'intersections est proportionnel à la longueur du tracé aléatoire!

En reprenant le raisonnement dans l'autre sens, on peut estimer la longueur L d'un tracé aléatoire en comptant le nombre d'intersections qu'il forme avec une grille: L=πIN/4 où I est la maille de la grille. Et voilà!

Estimation des surfaces
Encore plus fort: En dessinant deux tracés aléatoires de longueur S et L dans une surface fermée A, on peut estimer cette surface en comptant le nombre N d'intersections entre les deux tracés. A= 2SL/N

Je n'ai réussi à montrer ce résultat qu'en postulant que N ne dépend que de la longueur des tracés et pas de leur forme particulière. Je suis preneur d'une justification de ce postulat ou d'une autre démonstration de cette formule.
En appliquant ce postulat, c'est facile: remplaçons le tracé S par un quadrillage régulier de la surface A. La grille obtenue, de maille I, contient A/I² cellules et sa longueur totale vaut environ S=2A/I (chaque cellule a un périmètre de 4I et chaque cellule est contiguë à une autre cellule). Comme on a montré plus haut que le nombre d'intersection du tracé L avec une grille vaut N=4L/(πI) on obtient la formule cherchée en remplaçant I par S/2A.

2) Pourquoi les fourmis aiment bien Buffon

La fourmi Leptothorax albipennis fait son nid dans les anfractuosités rocheuses. Quand la colonie grandit ou que le nid devient inhabitable, parce qu'il prend l'eau par exemple, elle envoie éclaireurs chercher un autre emplacement propice. Il faut que le futur nid ait une surface suffisante pour y accueillir toute la petite famille. Pas facile quand on n'a pas de mètre à couture sur soi... On a observé attentivement comment les éclaireurs s'y prennent: lorsqu'il découvre une surface propice, chaque éclaireur y entre plusieurs fois et décrit des circuits très alambiqués à l'intérieur. Si la cache est plus petite que le nid initial il cherche un autre emplacement. Sinon il court indiquer à ses congénères qu'il a trouvé ZE bon plan pour ce soir.

L'équipe du Pr Franks, de l'Université de Bath s'est intéressé au cas de ces fourmis et s'est livrée à tout un tas d'expériences en laboratoires, avec des anfractuosités artificielles faites dans des boites de Petri:
- Tout d'abord ils ont constaté que la fourmi ne se fie pas au périmètre des contours des caches: les nids artificiels construits avec de grands périmètres mais avec de petites surfaces sont rejetés. Ils ont vérifié également que les fourmis ne préféraient pas spécialement les nids où l'on pouvait faire de grands déplacements sans collision contre un obstacle. C'est donc bien les surfaces des nids que sont capables de comparer ces satanées bestioles.
- Les chercheurs ont ensuite découvert que la fourmi éclaireur déposait lors de sa première visite, une trace de phéromones qui lui est propre tout le long de son passage. Lorsqu'elle effectue son second passage, elle marque un petit temps d'arrêt chaque fois qu'elle croise sa première trace. Par contre elle ne s'arrête pas lorsqu'elle croise la trace d'un autre éclaireur, preuve qu'elle sait reconnaître son marqueur parmi tous les autres.
- Les chercheurs ont vérifié que le nombre de croisements avec la première trace était déterminant dans la prise de décision de notre amie fourmi. Pour ça, ils ont placé un cache perforé sur le sol de la cache avant son premier passage puis, une fois qu'elle vait fini sont petit tour, ils ont ôté le cache avant son second passage. Grâce à cette ruse de la mort, ils ont diminué de moitié la trace odorante de la fourmi et donc divisé par deux le nombre de fois où l'éclaireur croise sa première trace. Et devinez quoi? Les fourmis acceptent ainsi des caches qu'elles avaient jusqu'ici rejetées, trompées par un si faible nombre de croisement...
- Nos chercheurs ont filmé les passages des fourmis et constaté qu'une fourmi éclaireur effectuait une parcours à peu près toujours de la même longueur dans les différents caches et lors de ses différentes visites.

Mais alors: si les fourmis font des tracés aléatoires de longueur constante et sont sensibles au nombre de croisements entre deux tracés, ne seraient-elles pas en train d'appliquer instinctivement la formule de Buffon, qui prédit que la surface est inversement proportionnelle au nombre de croisements entre deux tracés aléatoires?

Pour le vérifier, nos chercheurs ont filmé les visites dans deux caches artificielles, l'une deux fois plus grande que l'autre. Ils ont compté le nombre de croisements trouvés par les fourmis lors de leurs secondes visites. Et ils ont effectivement constaté qu'en appliquant la formule de Buffon, on retrouvait assez précisément le rapport de surface entre les deux caches! Autrement dit, l'application de cette formule mathématique semble pouvoir expliquer l'incroyable capacité des fourmis à comparer assez précisément les surfaces qu'elles rencontrent.

Les boîtes représentent la distribution des deux surfaces (la simple et la double) recalculées avec le trajet et le nombre d'intersection de chaque fourmi. Les points représentent les valeurs réelles des deux nids. Le trait intérieur horizontal est la médiane, le fond et le sommet de la boîte représentent les 1ers et 3eme quartiles des données. On voit à quel point les approximations sont proches des valeurs (relatives) réelles...

Fourmidable, non?

Références
L'article de Wikipedia sur l'aiguille de Buffon
Mallon& Franks, Royal Society (2000)
Mugford, Mallon & Franks, Behavioral Ecology (2001)
... et surtout l'extraordinaire livre de Luc Passera, La véritable histoire des fourmis.