Chaînettes aériennes

(source photos ici)
Quand en 1883, Gaudi reprend le projet de la grande cathédrale de Barcelone, son idée est de révolutionner l'architecture dont le modèle gothique dicte sa loi à toutes les églises d'Europe depuis 800 ans. Ras-le-bol des murs épais, des inévitables contreforts -qui n'empêchent pas la construction d'être fragile-, des toits trop légers pour résister au temps. L'heure de la révolté a sonné! La Sagrada Familia sera à la fois plus aérienne, plus légère et plus solide qu'aucune autre cathédrale. Comment diable Gaudi a-t-il réussi cet exploit? Il n'y a même plus de clef de voûte! Et en fervent admirateur de la Nature, Gaudi a choisi en plus d'éviter au maximum les formes artificielles comme l'arc de cercle ou le quadrilatère: de l'intérieur sa cathédrale ressemble à une forêt...

Son pari architectural a pu être tenu (en partie) grâce aux étonnantes propriétés de la figure que forme un câble ou un collier qu'on laisse pendre en le tenant par ses deux extrémités : celle des câbles électriques entre leurs poteaux de soutien par exemple. Si vous rigidifiez votre chaînette pendant qu'elle pend, et que vous la retournez ensuite avec son "arrondi" vers le haut, elle tient parfaitement: tout le poids de la chaînette est intégralement retransmis dans l'axe même de celle-ci. Plus besoin de contrefort, puisqu'il n'y a plus de poussée latérale! On peut alléger les murs et c'est ce qui a permis à Gaudi de concevoir ses colonnes de soutien comme de minces troncs d'arbres.

Un tout petit peu de physique explique pourquoi (amis physico-phobes, je vous retrouve un paragraphe plus bas).

A l'équilibre, chaque maillon de la chaînette pendante est soumis d'une part à son poids et d'autre part aux tensions de la part des maillons du dessus et du dessous. La résultante de ces tensions compense donc exactement le poids de chaque maillon. Quand on rigidifie la chaînette et qu'on la retourne tête en bas, ces tensions changent d'orientation et deviennent des compressions. Mais leur résultante compense toujours parfaitement le poids du chaînon en chaque point.

Cette étonnante propriété des "chaînettes pendantes renversées" a été depuis Gaudi souvent mise à profit dans de nombreux édifices modernes épris d'altitude et de légèreté: le Gateway Arch (St Louis, Missouri) de 200 mètres de haut en est un magnifique exemple, mais aussi le CNIT (à la Défense) ou les voûtes souterraines de la gare Haussmann à Paris.

Pourquoi ne pas y avoir pensé plus tôt? A première vue, c'était quand même plus simple et plus élégant que d'imaginer des clefs de voûte. A seconde vue pas du tout: la forme de la chaînette pendante est aussi simple à réaliser (à échelle réduite) qu'elle est compliquée à calculer. Car contrairement à ses apparences de bonne vieille parabole, son équation mathématique est coriace au point d'avoir trompé Galilée lui-même. Il fallu attendre que Jacques Bernoulli lançât un défi aux savants de son époque pour que simultanément Huygens, Leibniz et Jean Bernoulli (le frère de Jacques) ne découvrent sa formulation mathématique en 1691: un cosinus hyperbolique, rien que ça: (amis mathophobes, je vous retrouve pour la conclusion).

Pour trouver son équation, on écrit l'équilibre d'un morceau de chaînette de longueur l entre le point le plus bas (O) et un point quelconque (M). La tension en ces points vaut respectivement T(O) et T(M) et le poids de cette longueur de chaînette vaut P(l), vertical et proportionnel à la longueur l (en gras ce sont des vecteurs):
T(O)+T(M)+P(l)=0.
P est vertical et T(O) est horizontal, et T(M) est tangent à la courbe en M (c'est une tension qui s'exerce dans l'alignement de la chaînette). Notons â l'angle entre T(M) et l'horizontal:
T(O)+ T(M) cos(â)=0
T(M) sin(â)=-P(l)
On en déduit en éliminant T(M) et en prenant les constantes qui vont bien (T(O) en faisant partie): tg(â)=K l
Or tg(â)=dy/dx donc en dérivant cette expression par rapport à x, on trouve y"=K dl/dx
Comme dl= √[(dx)²+(dy)²]=dx √[1+(dy/dx)²]=dx √[1+y'²], on en déduit que dl/dx= √[1+y'²]
L'équation de notre chaînette est une équation différentielle : y"=K√[1+y'²]
Je vous passe les détails (Serge Mehl a tout bien détaillé ici), mais la solution de cette équation est sous la forme d'un cosinus hyperbolique, autrement dit,




Bref, la forme est peut-être naturelle, mais l'équation n'est pas ultra simple: c'est une courbe transcendante, impossible à tracer à la règle et au compas (à moins qu'El_Jj ne nous trouve une méthode révolutionnaire avec des pliages?) Et encore, là nous n'avons vu que la courbe en deux dimensions: dans la vraie vie on doit fabriquer des voûtes en trois dimensions! Pour la tracer précisément sur un plan, bon courage.

Le seul moyen qu'a trouvé Gaudi pour obtenir la forme recherchée, fut de retourner le problème: il laissait pendre des filets convenablement lestés, accrochées aux points hauts de sa structure (source de la photo ici). En rigidifiant le tout et en le retournant, il obtenait le modèle de ses voûtes, sans aucun calcul. La méthode est originale mais très laborieuse. Et en l'absence de plan, tout reposait entièrement sur ce que Gaudi avait en tête.

Lorsqu'il mourut en 1923, aucun document précis ne décrivait dans le détail ce qu'il restait à faire! Un vrai casse-tête pour les architectes qui ont repris le chantier et qui n'auront pas fini le boulot avant une ou deux décennies.

Cette histoire illustre une différence fondamentale entre sciences et techniques: les meilleures solutions techniques sont celles que l'on saura mettre en œuvre et non pas forcément les optimums qu'indiquent les calculs et que la Nature déploie couramment. Ces optimums "naturels" ont ceci de paradoxal qu'ils sont à la fois plus élégants, plus simples (en apparence) et plus "efficaces" que toutes nos constructions techniques, et en même temps très difficilement accessibles à nos moyens techniques. C'est sans doute la raison pour laquelle on trouve autant de cercles ou de polygones dans nos constrctions et aussi peu dans la Nature: ces figures emblématiques de l'intelligence humaine ne seraient-elles que des pis-aller technologiques? En tous cas, merci Monsieur Gaudi pour cette leçon d'humilité.

Pour ceux que ces drôles de courbes intéressent -on les appelle des courbes funiculaires ou des vélaires- sachez que c'est le support idéal si vous décidez de vous acheter un modèle de voitures à roues carrées (ou polygonales, très tendance). Je vous laisse regarder le pourquoi du comment sur le site de mathcurve...

Sources:
Le chapitre "principe des structures architecturales légères " de l'encyclopédie du futur , de Vahé Zartarian
Le site de mathcurve pour les propriétés mathématiques de ces courbes
Le chapitre que consacre Serge Mehl sur ce sujet
Une démonstration de l'équation des chaînettes sur le blog de Pierre Bernard

Mystérieux sablier

Vous êtes vous déjà demandé pourquoi c'est du sable qu'on met dans les sabliers, et pas de l'eau par exemple? La réponse est à la fois évidente et très étonnante: le débit en bas d'une colonne d'eau est plus important lorsqu'elle est pleine que lorsqu'elle est presque vide alors qu'un sablier s'écoule à vitesse constante, comme indifférent à la quantité restante dans le compartiment supérieur. S'il lui faut 6 minutes pour se vider entièrement, au bout de 2 minutes il se sera vidé du tiers de son sable, au bout de 3 minutes, de la moitié etc. Graduer un sablier cylindrique est donc un jeu d'enfant et c'est sans doute la raison pour laquelle les sabliers ont définitivement remplacé les clepsydres et autres horloges à eau.

Du sable irrespectueux des lois de la gravité
Une telle propriété est très contre-intuitive; car plus il y a de sable dans le compartiment supérieur, plus la colonne de sable devrait peser lourd, et plus la pression au niveau du goulet d'étranglement du sablier augmente, plus le débit devrait être élevé! Où est l'erreur?
Pour en avoir le cœur net, vous pouvez vous amuser à peser une colonne de sable dans un tube en plastique, long et fin. Ajoutez progressivement le sable dans le tube: au bout d'un moment, le poids indiqué sur la balance n'augmente plus, même si vous continuez à remplir le tube de sable. Il y a plus de sable, mais ça pèse toujours pareil! Pratique pour grossir sans prendre de poids.

Bien sûr la gravité n'a pas disparu. Elle a été déviée vers les parois, dont les forces de frottement permettent de "retenir" en partie le sable. On imagine facilement le truc si l'on pense à des billes empilées les unes sur les autres: si l'on appuie dessus, les billes vont se serrer les unes contre les autres et exercer une poussée autant sur la paroi que vers le bas. C'est comme ça qu'en voulant trop remplir sa valise on finit par en faire craquer les fermetures latérales. Pour en revenir à notre tube de plastique plein de sable, ce serait donc ce phénomène qui empêcherait le poids d'augmenter en bas de la colonne. Pour vous en convaincre, refaites l'expérience, mais avant de mettre le sable dans le tube, roulez-y un morceau de chemise en plastique transparent -vous savez de celles qui glissent tout le temps quand on veut les empiler. Une fois l'intérieur de votre tube tapissé de plastique, versez le sable (qui sera donc au contact avec le plastique et non plus avec le tube) et pesez-le en bas du tube: le poids que vous mesurez augmente régulièrement avec la quantité de sable versé. Ouf, on a retrouvé notre gravité! Le revêtement plastique très glissant n'a pas permis au sable de "s'accrocher" aux parois du tube. En l'absence de forces de frottement horizontal tout le poids du sable a du coup été répercuté jusqu'en bas de la colonne et notre sable a repris le même comportement qu'un liquide.

Voûtes romanes et ballasts du TGV: même combat!
On peut montrer que les grains de sable dans la colonne s'organisent naturellement sous forme de petites chaînettes, qui transmettent la poussée verticale sur les côtés. Un peu comme les voûtes des cathédrales, dont le poids est transmis aux contreforts latéraux. En fait on utilise tous les jours sans le savoir cette drôle de propriété du sable et des substances granuleuses en général:
- le ballast des voies ferrées, fait de graviers, permet de diffuser la pression des rails sur les côtés (et en plus, le gravier permet à l'eau de ruissellement de s'écouler sans stagner);
- la formation en triangle des boules de billard américain en début de partie permet de réaliser -au moins quand on sait s'y prendre- de magnifiques éclatements lorsqu'on percute le sommet avec la boule blanche. Là encore, la force de l'impact est répercutée dans toutes les directions et notamment sur les côtés.
- l'expérience du "bâton collé" dans le sable relève du même phénomène. Maintenez un bâton verticalement au centre d'un récipient que vous remplissez de sable en le tassant régulièrement. Une fois le récipient rempli, en tirant simplement sur le bâton vous soulevez l'ensemble comme si le bâton était soudé au sable. Succès garanti à la fête des sciences (source de la photo).

Quand la police provoque des embouteillages Même s'il peut enfler sans prendre de poids, notre sablier reste un grand sensible. Surtout s'il est gros, comme pouvaient l'être les sabliers de marine jadis utilisés en mer pour calculer la longitude (en fonction du décalage horaire observé avec le soleil). C'est bien simple, si vous posez votre main sur l'ampoule du bas, notre sablier hyperémotif s'arrête de fonctionner. Si vous l'enlevez, il reprend son écoulement. Pour comprendre pourquoi, il faut regarder de très près ce qui se passe au niveau de goulet d'étranglement du sablier: on y observe une espèce de voûte (celle dont je parlais plus haut) qui se forme et se détruit régulièrement, aussitôt remplacée par une autre. En temps normal, l'écroulement de la voûte se produit de manière un peu chaotique, comme un bouchon d'automobiles à un carrefour: deux ou trois voitures arrivent brusquement à s'en dégager puis le bouchon se reforme. Un rien trouble cet écoulement, et vous avez déjà bien dû remarquer que la simple présence d'un policier posté à l'angle du carrefour suffit à bloquer complètement la circulation. Il se passe exactement la même chose avec l'écoulement du sable. En l'occurrence ce n'est pas un policier qui perturbe notre sablier mais la très légère augmentation de pression qu'a provoquée la chaleur des mains qui se sont posées dessus.

L'expérience des "sabliers intermittents" illustre de manière spectaculaire cette sensibilité des sabliers aux variations de pression: en laissant une des ampoules ouvertes, le sablier s'arrête puis repart, à intervalles réguliers, oscillant dans son fonctionnement en fonction des changements de pression provoqués: un joli exemple d'auto-organisation, domaine du sable par excellence.

Si le sujet du sable vous inspire, je vous recommande l'excellent Sables Emouvants, de Jacques Duran (dont sont tirées les illustrations): un exemple de pédagogie.

Darwin reloaded (part 3)

Troisième et dernière partie de mes notes (très librement) inspirées du bouquin d'Ameisein. Cette semaine, on cause de l'origine évolutive de la bienveillance et de la morale.

L'évolution: guerre de tous contre tous?

On a tendance à assimiler la théorie de l'évolution de Darwin avec le fameux "struggle for life", la lutte sans pitié de chaque organisme pour survivre. Hobbes, qui ne devait pas être un grand optimiste, appelait ça "la lutte de tous contre tous" propre à l'état de nature, dont l'homme et sa culture seraient miraculeusement sortis. Ce hiatus entre Nature et Humanité a fini par aller de soi, jusque dans notre vocabulaire: le propre de l'homme? son "humanité", c'est à dire sa compassion pour son prochain. Le propre des bêtes? leur "bestialité", bien sûr.

Pourtant Darwin lui-même récusa cette vision simpliste lorsque dans sa "Généalogie de l'homme", il réfléchit à la place de l'homme dans l'évolution. "Beaucoup d'animaux, écrit-il, éprouvent certainement de la sympathie pour la détresse ou le danger [que ressent] l'autre". Darwin ne voit entre la sociabilité de l'homme et celle de l'animal, qu'une différence de degré et non de nature: "Les instincts sociaux ont sans doute été acquis par l'homme comme par les animaux inférieurs, pour le bien de la communauté" écrit-il avant de supposer que "n'importe quel animal doté d'instincts sociaux prononcés [...] acquerrait inévitablement un sens moral ou une conscience, dès que ses capacités intellectuelles seraient devenues aussi développées [...] que chez l'homme."

Alors quoi? La bienveillance sociale et la morale sont-elles solubles dans l'évolution? Petit tour d'horizon...

Empathie et solidarité

Il est maintenant à peu près reconnu que l'instinct social chez les animaux supérieurs provient de leur capacité de mimétisme émotionnel. Kézako? Souvenez-vous des neurones-miroirs, qui chez les singes et les oiseaux s'excitent à la fois lorsqu'un animal fait une action ou qu'il observe un autre animal faire la même action. Cet aller-retour mental entre soi et l'autre provoque une espèce de contagion émotionnelle qui est probablement à la source de l'instinct parental. Mais aussi d'une vraie solidarité.

Enfin soli-rat-dité en l'occurrence: en 1959, une expérience montra que des rats entrainés à presser un levier pour obtenir de la nourriture, s'abstenaient de le faire s'ils se rendaient compte que cela entrainait un choc électrique douloureux sur un autre rat, situé près d'eux. L'inhibition s'atténuait progressivement chez le rat, mais beaucoup moins chez les singes: dans une expérience similaire des macaques Rhésus ont refusé de s'alimenter pendant plusieurs jours pour ne pas faire de mal à leur compagnon d'infortune. Vous vous souvenez du film "I comme Icare" qui mettait en scène la fameuse expérience de Migram? Les humains dans pareilles circonstances avaient nettement moins de scrupules.

Certes les rats s'abstiennent de faire souffrir inutilement leur copain, mais ça reste une forme "passive" de solidarité. Les singes font mieux. Ils sont non seulement sensibles à l'émotion d'un des leurs, mais également capables d'en comprendre la cause et de tenter d'y remédier. Chez les bonobos, rapporte le primatologue Frans De Waal, cette "empathie cognitive" prend des formes spectaculaires:

"Un jour, le nettoyage [de la fosse] terminé et les bonobos relâchés, les gardiens s'apprêtaient à ouvrir la valve pour remplir à nouveau la fosse quand soudain, Kakowet, un vieux mâle, apparut à leur fenêtre: il poussait des cris aigus et perçants et agitait frénétiquement les bras comme pour attirer leur attention. Depuis toutes ces années, il connaissait bien la routine du nettoyage. Or il se trouve que ce jour-là, plusieurs jeunes bonobos étaient descendus dans la fosse, sans parvenir à en ressortir. Les gardiens mirent une échelle et tous remontèrent, sauf le plus petit que Kakowet tira lui-même de là."

C'est-y-pas une belle forme de solidarité active, ça?

De Waal insiste sur la séquence automatique perception-émotion-réaction que l'on observe chez l'animal dans toutes ces scènes. Et argumente de manière assez convaincante sur le rôle qu'elle joue chez l'homme dans des situations semblables, loin des contorsions cognitives tentant de justifier rationnellement sa réaction. "La détresse éprouvée face à la souffrance d'autrui relève d'une impulsion à peu près incontrôlable: elle nous saisit sur-le-champ comme un réflexe, sans nous laisser le temps de peser le pour et le contre". Bref quelque chose qui ressemble beaucoup plus à ce qui arrive à notre Kakowet, qu'à une décision mûrement réfléchie. Rien que de très naturel en somme.

Equité et machiavélisme.

Cette conscience de l'autre et de ses émotions a permis l'émergence de sociétés animales très sophistiquées (les meutes de loups, les clans des singes, etc) ainsi qu'un tas d'aptitudes sociales qu'on aurait pu croire inventées par l'homme:

- le sens de l'équité. De Walls a observé comment le singe capucin réagit, lorsqu'il est récompensé injustement par rapport à son compagnon de cage. Si son partenaire reçoit une récompense indue (ou supérieure à la sienne pour un travail équivalent), il réagit très mal, en refusant de travailler ou en manifestant bruyamment sa colère. On a montré que les chiens ont exactement le même comportement: à force de voir son coéquipier récompensé sans rien recevoir, le chien s'estimant lésé refuse de donner la patte! (Photo de Friederike Range).

D'où vient cette valeur morale? On ne peut que spéculer, mais une hypothèse plausible est que l'aversion à l'injustice a pu naître de l'habitude ancestrale de partager équitablement la nourriture entre les membres d'un même clan.

- la manipulation de l'autre.
L'ultime raffinement de l'empathie consiste à spéculer sur les intentions des autres et d'adapter son comportement en conséquence. La palme dans ce domaine revient aux corbeaux: lorsqu'ils cachent leur nourriture, ces Einstein à plumes savent s'ils sont observés ou pas. Si c'est le cas, ils feignent d'enterrer leur butin quelque part puis -dès que le voyeur s'est éclipsé- ils le déterrent pour le cacher ailleurs. En plus ils se rappellent parfaitement quel individu les a observés (lisez cet article)
Une telle capacité de spéculation (ce que de Walls appelle la théorie de l'esprit) chez ces oiseaux dénote une conscience de soi tout à fait précise, qui explique pourquoi les corbeaux sont parmi les rares animaux capables de se reconnaitre dans un miroir.

Les comportements sociaux: innés ou acquis?

Les néo-darwinistes, à l'instar de Dawkins, se sont longtemps contentés d'expliquer comment la socialité animale avait été sélectionnée par l'évolution à cause son efficacité constatée a postériori. En gros, la solidarité familiale favorise la survie de ses propres gènes, donc les caractéristiques génétiques qui "portent" ce type de comportement ont plus de chance de se propager. C'est la théorie de la sélection de parentèle, particulièrement efficace pour expliquer la socialité de certains insectes comme les fourmis ou les termites.

L'examen plus attentif des mécanismes de socialité et d'apprentissage révèle pourtant des mécanismes beaucoup plus riches qu'une simple sélection génétique, et surtout un inextricable mélange d'acquis et d'inné. Trois exemples:

• L'apprentissage du danger: les singes signalent la proximité d'un prédateur par différents cris caractéristiques, selon qu'il s'agit d'un serpent, d'un léopard etc. Or de jeunes singes rhésus macaques élevés en captivité n'ont aucune réaction de peur devant un serpent, tant qu'ils n'ont pas vu réagir leur mère -née dans la nature. Et si on leur montre une fleur au moment où leur mère réagit face à un serpent (qu'ils ne voient pas), ils peuvent apprendre à avoir peur de cette fleur! Idem pour certains oiseaux qui attaquent en groupe un ennemi lorsqu'ils entendent un cri d'alerte: on a réussi à conditionner de jeunes oiseaux à attaquer chaque fois qu'ils voyaient une bouteille! De quoi relativiser la notion d'ennemi "héréditaire"...


• Le choix des bonnes plantes. Darwin lui-même écrivait "nous ne pouvons être certains que les singes n'apprennent pas de leur propre expérience ou de celle de leurs parents quels fruits il faut sélectionner." Il avait raison, le bougre! Les singes se transmettent de génération en génération la connaissance des plantes qui soignent ou au contraire qu'il faut éviter. Mais j'accorde sans hésiter le prix Montessori au suricate. Cette espèce de peluche océanienne, apprend à ses petits à attraper des scorpions sans se faire piquer: il les approvisionne d'abord avec des scorpions morts, puis avec des scorpions sans dard avant de les laisser se dépatouiller tout seuls avec des-qui-piquent-pour-de-vrai. Ça c'est de la pédagogie, coco.
  
  
• Les langages. Les cris et les chants ne sont pas plus innés chez les animaux que le langage ne l'est pour nous. Les cris des singes Vervets, caractéristiques de tel ou tel prédateur sont totalement différents d'une région d'Afrique à l'autre. Vous ne faites pas la différence? Alors que dites-vous de ces oiseaux de Copenhague qui ont adopté pour hymne national le "Nokia Tunes" ?

Une forme rudimentaire de culture...

Mais au fait... Si les animaux se transmettent des savoirs ou des comportements, pourquoi ne pourrait-on pas parler de "culture animale"? C'est effectivement la question que l'on peut se poser face à l'incroyable variété de comportements différents, relevés chez les chimpanzés dans sept régions différentes d'Afrique, qu'il s'agisse d'utiliser des pierres pour casser des noix, des bâtons pour attraper des fourmis (miam!) ou de laver des patates douces dans l'eau. Chaque fois qu'un tel comportement est introduit dans un clan, il perdure de génération en génération même lorsque les inventeurs de ces comportements ont eux-mêmes disparu.


Bref, pas de quoi faire les fiers avec notre "humanité", notre "sens social" et même notre culture: il ne s'agit probablement là que du stade ultime de phénomène largement répandus dans la nature. Et ce sont plutôt nos émotions que notre raison qui les auraient façonnés et ancrés dans nos comportements. L'homme est effectivement un loup pour l'homme: c'est à dire un être sociable, coopératif (et parfois agressif).

Sources:
Frans de Waal, Primates et philosophes
Jean-Claude Ameisen, Dans la lumière et les ombres
Billets connexes:
Emotion, imitation et empathie, où il est question de neurones miroirs
Culture et nature, le retour de Lamarck, avec d'autres exemples de cultures chez les animaux

Petite énigme

Vous avez les yeux bandés, et devant vous sont disposés 64 pions du jeu d'Othello: blancs d'un côté, noirs de l'autre. On vous indique que 10 pions ont leur face noire visible et 54 montrent leur face blanche.

Votre mission: faire deux tas de pions, ayant tous deux le même nombre de pions noirs. Sans retirer le bandeau bien sûr.

Impossible? Pas du tout, la solution est même incroyablement simple...
Réponse demain dans les commentaires!

(énigme tirée du "Au pays des paradoxes" de JP Delahaye)

Billet classé (puissance) X

Avertissement: billet fortement déconseillé aux personnes sensibles, allergiques aux maths ou qui voient la main de Dieu partout.

Du grain à moudre pour les mystiques
La Nature présente de drôles de coïncidences. Je vous ai parlé dans un précédent billet de la suite de Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21 etc. - dont chaque terme est la somme des deux précédents (8=5+3, 13=8+5 etc).

On trouve ces nombres partout dans la nature, à commencer par le nombre de pétales des fleurs: 5, 8 ou 13. Regardez une pomme de pin par en dessous et repérez les spirales: vous en trouverez ou bien 3 dans un sens et 5 dans l'autre, ou 5 et 8 ou encore 8 et 13... Idem pour un ananas: les espèces d'écailles sur sa surface forment un réseau dont les lignes formentégalement 8 spirales dans un sens et 13 dans l'autre.
Mais le champion en matière de Fibo (restons simples) est sans doute le coeur des tournesols, qui comptent souvent 21 spirales dans un sens et 34 dans l'autre. Qu'arrive-t-il à nos plantes pour qu'elles deviennent subitement des championnes de la géométrie? Intervention divine diront certains...


L'ésotérisme brisé par l'expérimentation

En 1993, deux chercheurs à Normale Sup, Douady et Couder, ont coupé court aux élucubrations mystiques, grâce à un ingénieux dispositif: au centre d'un récipient immobile on fait tomber goutte après goutte un ferro-fluide (sensible au magnétisme). Sous l'effet d'un champ magnétique, les gouttes sont à la fois attirées vers l'extérieur du plateau et repoussées les unes par les autres. Dans ces conditions, les gouttes s'éloignent du centre en respectant un angle constant entre deux gouttes. La figure obtenue (ci contre) ne dépend que du rythme des gouttes: à partir d'une certaine fréquence, ô miracle, on retrouve très exactement les figures de spirales des cœurs de tournesol.
Autre bizarrerie: si l'on mesure l'angle entre deux gouttes consécutives on trouve très exactement le nombre d'or!
Ces jolies figures géométriques correspondent simplement à une occupation optimale de l'espace par les gouttes de fluides.


Voyage au cœur de la plante
Dans une plante il se passe un phénomène tout à fait comparable: les graines (ou les fleurs ou les écailles) émergent selon un rythme régulier à partir d'une zone particulière au cœur du bourgeon, appelée l'apex. Elles grossissent en s'éloignant de l'apex mais elles gardent toujours la même orientation radiale. Chaque graine garde donc le même angle par rapport à la précédente et la suivante:

Quel serait le meilleur angle entre deux graines?
Pour que chaque graine soit assurée d'avoir le maximum d'espace vital, elle doit en quelque sorte éviter d'être alignée avec ses copines, sinon à la fin ça donnerait comme résultat une étoile avec des branches pleines de graines et plein de vide autour.

Par exemple si chaque graine se place à un angle de 360° x 3/7 par rapport à la précédente, la 7^eme graine se trouve alignée avec la première, la huitième avec la deuxième etc. Chaque fois que l'angle entre deux graines est une fraction décimale de 360°, on obtient une étoile à n branches. Si la plante veut éviter ce genre de forme il faut donc que les graines fassent entre elles un angle qui ne s'écrive pas
φ=360° x p/q. L'angle optimal est donc un nombre irrationnel!

On voit sur l'exemple avec φ= 360° x √3 ( √3 est irrationnel) que les branches des étoiles ont été remplacées par des spirales courbes.

Comme pour l'étoile à branches, le nombre de spirales correspond au premier nombre entier q tel que q x φ soit proche d'un multiple de 360°. Plus on peut approximer φ par une fraction p/q, plus la figure ressemblera à une étoile et moins l'espace sera occupé de façon homogène.

Quel sera le nombre irrationnel qui donnera la répartition la plus homogène des graines? Ce sera celui qui sera le moins "facilement" approximé par une fraction décimale. On peut montrer que c'est justement le nombre d'or.

Pour le montrer il faut d'abord savoir que tout nombre α positif peut s'écrire sous la forme d'un développement de fractions du type

; où a₀, a₁, a₂ etc. sont des entiers positifs.
Si α est un rationnel, il y a un nombre fini de a_k.
Si α est irrationnel la série des a_k est illimitée.


Si l'on note les développements finis p₁/q₁= a₁+1/a₂ ; p₂/q₂= a₁+1/(a₁+1/a₂) etc. la suite des {pn/qn} est appelée la suite des "réduites" de α. On peut montrer que cette suite p_n/q_n est la "meilleure" approximation rationnelle de α pour tout dénominateur inférieur à q_n.
Autrement dit il n'existe pas d'entiers p et q tels que l'on ait à la fois
q < q_n et |p/q - α| < |pn/qn - α|. Pour trouver le ou les irrationnels les moins facilement approchables par une fraction rationnelle, il faut donc trouver le nombre α tel que |pn/qn - α| soit le plus grand possible. On peut montrer que pour tout n, |pn/qn - α| < '1/' a_n+1 qn² .

L'écart entre α et sa suite de réduites pn/qn est donc maximale pour tous les a_n=1. Le nombre cherché, "le plus irrationnel possible" s'écrit donc :


Drôle de bestiole ce nombre? Pas tant que ça.

Comme sa forme se répète à l'infini, on peut écrire τ=1+1/τ. En développant on obtient τ- 1 = 1/τ ou encore τ²-τ-1=0.
Donc τ=(1+√5)/2, le fameux nombre d'or! Qui se trouve être le nombre le plus "difficile à approcher" par des fractions de nombres entiers.

L'angle cherché vaut donc τ x 360° = (τ-1) x 360° (car pour une fraction de tour, seule compte la partie décimale).
Regardons à quoi ressemblent les réduites de 1/τ=τ-1. En appliquant la formule 1/(1+1/(1+... on trouve que les réduites de 1/τ valent 1 ; 1/2 ; 2/3 ; 3/5 ; 5/8 ; 8/13 ; 13/21 ; 21/34 ; 34/ 55 ...
Les numérateurs comme les dénominateurs forment une suite de Fibonacci! Remarquez, on aurait pu s'en douter puisque le rapport des termes consécutifs de cette suite converge vers le nombre d'or.

Vous êtes largué? Bon, retenez juste que pour avoir le maximum d'espace pour grandir, les graines divergent naturellement entre elles d'une fraction de tour égale au nombre d'or.

Pour illustrer ce résultat regardez la spectaculaire différence d'occupation de l'espace que l'on obtient en faisant varier très légèrement la fraction d'angle autour de la valeur exacte du nombre d'or au centre:

Pourquoi un nombre de spirales égal à un nombre de Fibonacci?
C'est bien beau ces histoires de nombre d'or, mais quel rapport avec le nombre de spirales observées? Et bien, on peut montrer que si chaque graine fait une fraction de tour égale au nombre d'or, on observe deux séries de spirales, dont les nombres sont deux termes successifs de la suite de Fibonacci.

Regardons la figure obtenue lorsque chaque graine dévie de la trajectoire de la graine précédente d'un angle égal à 360° x τ: on distingue deux types de spirales (on appelle ça des "parastiches"): les vertes qui tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre: il y en a 13; et les 21 rouges dans le sens des aiguilles d'une montre. Pourquoi 13 et 21 sont-ils forcément des Fibonacci successifs?

Numérotons les graines par ordre d'apparence. Les plus petits numéros sont donc à l'extérieur.
Soit i le nombre de spirales vertes (ici 13). Un peu de réflexion vous convaincra que la différence entre les numéros de deux graines consécutives sur une même spirale vaut aussi i (c'était vrai dans les premiers dessins avec des étoiles à 7 branches: les graines d'une même branche sont distantes de 7).

Derrière la graine numéro 0 sur la spirale verte se trouve donc la graine numéro i. Une spirale est l'équivalente géométrique de la "branche" de l'étoile, formée quand l'angle entre deux graines est une fraction décimale de 360°. De même que les graines d'une même branche étaient alignées avec le centre, on peut considérer en première approximation que que la graine i est "presque" alignée avec la graine 0 de la même spirale.
Par définition la graine i fait un angle de i x (360° /τ) par rapport à la graine 0. Donc i/τ est donc "presque" un entier q, ce qui revient à dire que i/q vaut "presque" τ; i/q est donc une des réduites de 1/τ! Donc i est un nombre de Fibonacci!

On raisonne de la même manière pour les spirales rouges: s'il y en a j (ici 21), la différence entre deux graines consécutives d'une spirale rouge vaut aussi 21=j. La graine j fait un angle de j/τ x 360° par rapport à la graine 0. En raisonnant à l'identique j/τ est aussi une réduite de 1/τ et donc j est aussi un Fibo.

Nous venons donc de montrer que les nombres de spirales (de parastiches pardon) sont des nombres de Fibonacci!Mais pourquoi des nombres de Fibonacci successifs?
Supposons que les nombres i et j de nos spirales correspondent à des rangs m et n (m < n) dans la suite de Fibonacci et notons les i=F(n) et j=F(m)

La graine numéro i+j se trouve à la fois sur la spirale rouge et sur la verte, presque alignée avec la graine 0: i+j = F(n)+F(m) est donc aussi un Fibo.
Supposons que m < n-1; on aura alors F(n) < F(n)+F(m) < F(n)+F(n-1) = F(n+1).
i+j=F(m)+F(n) serait alors un Fibo strictement compris entre F(n) et F(n+1) ce qui est impossible. Donc m=n+1. i et j sont bien des termes successifs de la suite de Fibonacci!

L'auto-organisation à partir des simples lois physiques et mathématiques
Avec ce petit modèle (il y en a bien sûr de bien plus raffinés) on a une explication purement mécanique à l'arrangement quasiment parfait de nombreuses structures végétales. Les gènes ne déterminent ces formes que très indirectement, en contrôlant la méthode de croissance de l'apex et en assurant que les graines se repoussent (chimiquement?) les unes par rapport aux autres. Un bel exemple d'auto-organisation, je trouve, où "la structure des objets mathématiques détermine celle des objets naturels" comme le dit je-ne-sais-plus-qui.

Sources:
Spirale Végétales, de Christiane Rousseau et Rediane Zazoun (Accromath été-automne 2008)
Le cours de biologie de Samuel Boissière (Université de Sophia Antipolis) et celui-ci (ppt) de l'Université de Laval dont j'ai tiré pas mal de figures.

Les meilleures recettes de Kaprekar

Tour de passe-passe numérique:
Prenez un nombre quelconque de quatre chiffres, et ne me le dites pas.
Réécrivez-le en ordonnant ses chiffres du plus grand au plus petit (sans oublier les éventuels 0)
Ensuite réécrivez le mais cette fois du plus petit au plus grand.
Soustrayez les deux nombres (pour les non-comprenants: si vous avez choisi au départ 4931, vous faites 9431-1349=8082)
Prenez le résultat (8082 dans mon exemple) et recommencez cette petite manipulation deux ou trois fois.

Laissez-moi réfléchir: je devine que vous obtenez soit 0, soit... 6174!
Magique, non?

Avec 4931 au départ, on obtient:

9431-1349=8082

8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174. Tan tan!

En procédant de la sorte avec un nombre à trois chiffres on tombe toujours sur 495 ou sur 0
Par exemple en partant de 234:

432 - 234 = 198
981 - 189 = 792
972 - 279 = 693
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495...

Avec des nombres à deux chiffres, on retombe soit sur 0, soit sur un cycle sans fin 63/27/45/09/81/63/27 etc.
Pour 48, par exemple:

84-48=36
63-36=27
72-27=45
54-45=09
90-09=81
81-18=63
63-36=27 etc...

109, le générateur de toutes les suites de Fibonacci

C'est Kaprekar, un mathématicien indien génial qui a découvert ce drôle d'algorithme et la constante 6174 porte maintenant son nom. Simple enseignant, Kaprekar était passionné par les nombres et a découvert sans ordinateur ni calculatrice des tas de trucs bizarres. Comme elles étaient d'un accès facile, ses trouvailles mathématiques ont fait les délices des revues de mathématiques dans la rubrique "récréations" (où je l'ai d'ailleurs découvert).

Sa trouvaille la plus incroyable reste l'étonnante relation entre le nombre 109 et les suites de Fibonacci. Si vous avez la patience de calculer 1/109, vous obtiendrez un nombre décimal ayant une période de 108 chiffres:
1/109 =0.[009174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211][009174311...

Ecrivez cette suite de 108 chiffres, à l'envers en commençant par la fin (112358326 etc): vous remarquez que chaque terme est la somme des deux précédents, en posant les retenues:
1+1=2, 2+1=3, 3+2 = 5, 5+8= 13 (je pose 3 je retiens 1), 3+8=11+1 de retenue=12 (je pose 2 je retiens 1) etc.

C'est ce qu'on appelle une suite de Fibonacci avec retenue, où chaque terme est la somme des deux précédents (plus la retenue éventuelle).

Définies au départ pour dénombrer la croissance des populations de lapins, les suites de Fibonacci ont des propriétés étonnantes, comme par par exemple le rapport entre deux termes successifs qui tend vers le nombre d'or. On retrouve ces suites de Fibonacci partout dans la nature, que ce soit le nombre de pétales des fleurs (le plus souvent 8, 13, 21, 34 ou 55) ou le nombre de spirales des ananas. J'y reviendrai bientôt, car c'est fascinant.

1/109 s'écrit donc comme l'envers d'une suite de Fibonacci (avec retenue). Mais ce qu'il y a de plus fou c'est que inversement 1/109 contient TOUTES les suites de Fibonacci possibles, quelque soient leurs deux premiers chiffres de départ!

En effet, n'importe quelle suite de Fibonacci (avec retenue) boucle toujours sur elle-même au bout de 108 itérations et du coup correspondra au développement décimal de 1/109, retourné et décalé d'un certain rang.

Par exemple si on commence par 6 et 7 on obtient 6, 7, 3, 1, 5, 6, 1, 8, 9, 7, 7, 5, 3... que l'on retrouve "retournée" dans la partie surlignée en jaune du développement décimal de 1/109 (voir plus haut).
Si vous commencez par 7 et 8, vous obtenez 7, 8, 5, 4, 0, 5, 5, 0, 6, 6 (surligné en vert dans les décimales de 1/109)

Kaprekar a ainsi démasqué le 109, qui sous une allure débonnaire, coincé entre les ennuyeux 108 et 110, cache un puissant "générateur" de suites de Fibonacci. Je trouve ça bluffant...

Source: Tangente HS n°33 Mai 2008

Darwin reloaded (part 2)

Deuxième épisode de mes notes de lectures du bouquin d'Ameizen (entre autres) sur les curiosités de l'évolution.

Part 2. Les symbioses ou comment évoluer sans trop se fouler.
Darwin rejetait l'idée que des organismes puissent fortement évoluer d'une génération à l'autre: "la Nature ne fait pas de saut" écrivait-il. Et pourtant on a vu dans le dernier billet que des changements brusques dans l'environnement peuvent mettre à jour de profondes mutations, restées jusque là "silencieuses" dans le génome. Il existe une manière encore plus spectaculaire d'évoluer par bonds: la symbiose entre organismes différents. Ameisen nous en propose quelques exemples particulièrement fascinants.

Quand une bactérie vous reste en travers de la gorge...
Le fonctionnement d'une cellule fascine par sa complexité: c'est une véritable petite usine munie de son micro-processeur (le noyau) capable à la fois de de dupliquer l'usine tout entière s'il le faut et de piloter toute la machinerie notamment un tas de petites machines spécialisées, l'une pour la production d'énergie (les mitochondries), l'autre pour la fabrication de de protéines (les ribosomes) etc. L'un des mystères de l'évolution -et une objection classique des créationnistes- est qu'il n'existe pas vraiment de forme ancestrale à cette cellule très complexe. Les seuls organismes autonomes qui soient plus "simples" (et encore il faut mettre des guillemets) sont les bactéries, qui ne contiennent que des brins d'ADN enfermés dans une membrane rigide.

Dans les années 1970, Lynn Margulis, une chercheuse américaine a émis l'hypothèse que les cellules eucaryotes (à noyau) seraient en fait nées de la digestion partielle d'une bactérie aimant l'oxygène, par une autre bactérie carnivore il y a un ou deux milliards d'années. Le scénario exact n'est évidemment pas connu, mais une possibilité serait que certaines bactéries vivant en milieu non oxygéné (les archéobactéries) se seraient spécialisées dans l'absorption des déchets organiques. Pour gagner en surface de contact, elles auraient d'abord troqué leur paroi rigide pour une membrane plus souple et plus grande, leur permettant finalement de gober d'autres bactéries, exactement comme le font maintenant les globules blancs ou les amibes. Jusqu'au jour où une bactérie plus gloutonne que les autres aurait boulotté une bactérie capable de vivre en milieu oxygéné. Gloups! Mais une fois "gobée", la petite bactérie-qui-sait-absorber-l'oxygène ne se serait pas laissée faire. Elle aurait perdu sa carapace rigide mais elle résisté tant bien que mal et continué à fonctionner à l'intérieur de la grande bactérie carnivore. Comme elle pouvait vivre au contact de l'oxygène, son hôte aurait fait contre mauvaise fortune bon cœur et en aurait profité pour vivre lui aussi en milieu oxygéné. Les deux bactéries auraient ainsi vécu heureuses et inséparables, la petite bactérie absorbée devenant un organe vital de la grande: la mitochondrie. Et voilà, la cellule animale serait née!
Cette hypothèse un peu hardie a finalement été confirmée dans les années 1990 lorsqu'on retrouva au sein de la mitochondrie des restes d'ADN bactérien. Le reste de l'ADN de la bactérie domestiquée aurait été intégré dans le noyau, dans lequel on trouve d'ailleurs également des restes d'ADN "parasite". Alexandre Meinez en a fait une petite BD dans son livre "Comment la vie a commencé":

Qui a dit que la salade n'était pas énergétique?
C'est exactement le même phénomène qui aurait été à l'origine des cellules végétales: une bactérie initialement capable de transformer la lumière en énergie aurait été absorbée par la cellule animale dont on vient de parler. Comme précédemment, la petite bactérie capable de photosynthèse n'aurait pas été digérée mais aurait perdu sa paroi rigide et serait devenu un plaste, contenant de la chlorophylle. Jackpot pour la cellule animale! Certes elle est devenue toute verte, mais elle n'a plus besoin de chasser, puisque son plaste lui fournit maintenant l'oxygène! De nombreux indices semble confirmer cette drôle d'histoire: par exemple les plastes de certaines algues ont conservé une paroi rigide de type bactérien. Et comme pour les mitochondries, on a retrouvé des restes d'ADN dans les plastes.

Au passage, c'est grâce semble-t-il à cette capacité des plastes et des mitochondries à "passer" des gênes au noyau que l'on expliquerait l'hérédité de certaines évolutions "acquises" chez les plantes et dont on parlait la dernière fois. Une modification sur le gène d'un plaste (par exposition à certaines substances, par exemple) peut en effet, lors de la phase de reproduction, se transmettre à l'ADN du noyau et ainsi "s'ancrer" dans le patrimoine génétique de la plante.

Ce genre de symbiose laisse rêveur... Comme si la salade que vous mangez vous servait de batterie solaire! Aussi incroyable que cela puisse paraître c'est pourtant bien ce que fait la limace Elysia Tomentosa, grande amatrice de la fameuse algue tueuse Caulerpa Taxifolia qui envahit actuellement la Méditerranée: cette petite limage suce les plastes de l'algue comme un petit vampire mais au lieu de tout digérer, elle en stocke une partie à fleur de peau et devient toute verte. Ces plastes ainsi stockés fonctionnent encore et lorsque notre limace n'a plus rien à manger, ils lui fournissent par photosynthèse l'énergie dont elle a besoin. Elysia passe ainsi du mode animal au mode végétal et peut survivre pendant plus d'un mois en se laissant dériver à la surface de la mer bien exposée au soleil.


Flagelles et sexe: même combat!
Mais revenons à nos moutons cellulaires. Cette capacité des organismes unicellulaires à absorber et domestiquer d'autres petits organismes en intégrant partiellement leur ADN pourrait expliquer de nombreuses fonctions de la cellule. Alexandre Meinez suppose par exemple que les cils et les flagelles cellulaires seraient le résultat de la domestication de certaines bactéries mobiles qu'on trouve encore à l'état "sauvage". Un tel mécanisme expliquerait que l'on retrouve la même structure interne complexe des flagelles dans toutes les lignées animales ou végétales.

De même la reproduction sexuée, pourrait être une autre forme de ce cannibalisme cellulaire:

"Imaginons la rencontre de deux cellules animales identiques indépendantes, prototypes voraces d'une même lignée (...) chacune dotée d'un noyau contenant un seul jeu de chromosomes. Au lieu s'entre-dévorer, les deux cellules fusionnent (...) Par la suite, dans la cellule unique issue du "mariage", les deux noyaux similaires se rapprochent et fusionnent. C'est ainsi que les deux lots de chromosomes en présence se mélangent sans s'éliminer ou se réduire: c'est le doublement du nombre de chromosomes. Ainsi doublement dotée, la cellule va vivre sa vie et prendre l'avantage sur ses semblables équipées d'un seul jeu de chromosomes. Face à une modification du milieu ou un stress, elle réagit en divisant tout par deux (cellule, noyau et chromosomes) ce qui conduit à la formation de cellules identiques portant un seul jeu de chromosomes. Dès lors il convient d'appeler ces dernières cellules sexuées, car elles n'ont qu'un seul salut et destin: trouver une cellule identique et compatible pour se "marier", recommencer en fait le scénario du cannibalisme avorté de ses ancêtres directs."

On n'a évidemment pas de preuve direct pour ce modèle d'évolution, mais on observe un phénomène de même nature chez les champignons: une fois en terre, les spores du champignon se développent sous forme de longs filaments souterrains (le mycelium), sorte de rubans de cellules n'ayant chacune qu'un seul jeu de chromosomes. Lorsque deux rubans compatibles se croisent, leurs cellules fusionnent pour former un troisième filament. Mais dans ce nouveau filament, les noyaux des cellules fusionnées restent indépendants et chaque cellule en contient donc deux. Cette drôle de conformation permet à ces filaments de fructifier hors de terre et donner le "champignon" tel qu'on l'imagine avec pied et chapeau. Arrivés au bout du voyage, les deux noyaux de chaque cellule fusionnent enfin, avant que la cellule ne se divise à nouveau pour former les spores, qui ne portent qu'un seul jeu de chromosomes et le cycle continue...


Nous sommes tous des corails ou des lichens!
Pourquoi s'arrêter en si bon chemin? Une fois les cellules équipées de tout l'attirail nécessaire à leur respiration, leur mobilité et leur sexualité, elles peuvent ensuite s'associer entre elles: les plus anciennes traces d'organismes pluricellulaires sont des algues constituées de longues files de cellules toutes identiques. A mesure que les organismes grandissent les cellules se différencient, se spécialisent mais en conservant la même capacité d'intégration entre elles. Comme des briques de Lego de plus en plus sophistiquées mais qui s'emboîtent toujours parfaitement. Les organismes pluricellulaires pourraient ainsi être vues plutôt comme des civilisations de cellules dépendantes les unes des autres et la symbiose serait la règle du monde animal ou végétal. Les êtres hybrides comme le corail (association d'algues et de polypes) n'auraient d'exceptionnel que le fait d'exposer leur mutualisme à l'oeil nu!

Les organismes bioluminescents fournissent un exemple encore plus fascinant de symbiose: les calamars vivant dans les abysses développent un organe lumineux grâce à sa colonisation par des bactéries vivant libres dans la mer. On a pu analyser de près le développement de cet organe et ses interactions avec ces bactéries. C'est un jeu très subtil entre évolution et développement: les bactéries n'émettent de la lumière que si elles sont en nombre suffisant. Tant que ce n'est pas le cas, l'organe du calamar ne se développe pas et les bactéries ne peuvent s'y implanter. Mais dès que les bactéries ont une densité suffisante pour devenir lumineuses, l'organe se développe et sa surface se modifie de sorte que les petites bactéries puissent s'y installer confortablement. Fascinant, non?

Et chez l'homme alors?
Nous-mêmes sommes le fruit de milliers de telles symbioses: des milliers d'espèces de bactéries différentes nous aident à digérer ou à nous protéger de maladies ou d'agressions extérieures. Ces cellules -plus nombreuses que nos propres cellules!- participent en permanence au bon fonctionnement de notre organisme au même titre que nos propres cellules.

Notre propre système immunitaire serait le résultat d'un très ancien parasitage: en 1998 on a découvert que nos lymphocytes fabriquent certains enzymes grâce à des gènes hérités d'un minuscule parasite génétique - un transposon, qui s'est incrusté il y a quatre cents millions d'années dans l'un de nos lointains ancêtres. D'une défaite est ainsi née une fonction d'auto-défense imprévue. De même, certains parasites génétiques -les plasmides- sont devenus de véritables "gènes de dépendance" de nos cellules: si on les désactive, la cellule meurt comme si l'on appuyait sur un bouton d'autodestruction cellulaire. Ameisen, en spécialiste de l'immunologie, voit dans cette capacité à l'autodestruction un autre facteur-clé de l'évolution et du développement des organismes complexes: ce sera l'objet d'un prochain épisode!

Pour patienter, je vous invite à regarder cette vidéo qui reconstitue en 3D la vie interne d'une cellule. Les commentaires sont en anglais mais même sans tout comprendre c'est bluffant...


Autres sources:
"Comment la vie a commencé" d'Alexandre Meinesz (dont sont tirées les illustrations rigolotes)

Darwin reloaded (part 1)

Pour bien commencer l'année, je vous recommande la lecture du bouquin de Jean-Claude Ameisen (Dans la lumière et les ombres, Darwin et le bouleversement du monde). Si comme moi, l'histoire de Darwin et ses opinions sur l'esclavage vous laissent froid, ne vous enrhumez surtout pas et sautez directement à la troisième partie du bouquin ("un futur distant") où Ameisen propose une remarquable mise en perspective des dernières avancées en matière d'évolution et bat en brèche quelques idées du néo-darwinisme. C'est un peu long alors je vous fais ça en plusieurs épisodes...

Part 1: l'hérédité de certains caractères acquis: le retour!
Qui a écrit:

"Il y a peu de doutes que, chez nos animaux domestiques, l'usage de certaines parties de leur corps a pour effet de les renforcer et de les agrandir, et que l'absence d'utilisation [de ces parties du corps] a pour effet de les amoindrir; et que de telles modifications sont héritées."

Un indice: c'est le même qui a écrit: "Je crois que les oiseaux presque dépourvus d'ailes qui habitent de nombreuses îles océanes [ont perdu leurs ailes] du fait qu'ils ont cessé de les utiliser"

Lamarck? Pas du tout! C'est Darwin lui-même dans l'Origine des espèces. Contrairement à ce que l'histoire des sciences a retenu, Darwin pensait que l'environnement et les conditions de vie pouvaient aussi jouer un rôle direct dans l'hérédité.
Pourtant, la théorie classique de l'évolution exclut formellement toute forme d'hérédité des caractères acquis: l'expression est même la marque de l'hérésie lamarckienne et sa réfutation fut probablement l'un des plus grands combats des néo-darwiniens. La découverte de l'ADN et des lois de Mendel n'a fait que transformer cette conviction en principe fondamental.

On aurait quand même dû se méfier avant d'être aussi définitif. Déjà en 1928, Griffith avait fait une découverte étonnante sur les bactéries: il avait montré qu'une variété inoffensive de pneumocoques pouvait acquérir le pouvoir infectieux de leurs cousines virulentes lorsqu'on mettaient les deux souches en contact. Y compris lorsque les bactéries virulentes étaient mortes! Cette expérience a mis en évidence la capacité des bactéries à muter en s'échangeant du matériel génétique et l'on a découvert, depuis, bien d'autres mécanismes de mutation étranges qu'ont inventés ces petites bestioles. En particulier, en cas d'environnement très défavorable, les bactéries sont capables de produire des enzymes qui réarrangent complètement leur ADN. Grâce à cette réaction baptisée "réponse SOS ", de nouvelles variétés génétiques de bactéries apparaissent et si l'une d'elles est particulièrement adaptée au nouvel environnement, cette modification génétique "acquise" sera transmise aux générations suivantes. On soupçonne ce mécanisme de faciliter leur résistance très rapide aux antibiotiques.

Il n'y a pas que chez les êtres simples que les choses sont complexes!

On sait depuis longtemps que l'environnement ou l'alimentation influencent fortement l'expression ou non de tels ou tels gènes: le sexe des tortues est déterminé par la température et rien ne différencie l'ADN d'une fourmi reine de celui d'une fourmi ouvrière (on en a parlé ici). Mais de là à penser que des modifications physiques puissent se transmettre il restait de la marge...

En 1998 Susan Lindquist soumet des asticots (mouches du vinaigre) à des changements brusques de température. Les pauvres chous, stressés, donnent naissance à des mouches avec de drôles formes, parfois des pattes en moins ou des ailes en plus. Probablement parce que de telles températures modifient l'expression de certains gènes au cours du développement embryonnaire (et à cause de drôles de protéines chaperonnes, je vous renvoie au billet de Tom qui explique ça très bien). Si l'on continue de faire varier la température, ces mouches mutantes donnent naissance aux mêmes asticots bizarres. Mais ce qui est incroyable, c'est qu'au bout de plusieurs génération, les mutants donneront naissance à des mouches qui leur ressemblent même si la température se stabilise. Comme si non seulement la partition de musique génétique (l'ADN) mais aussi la manière de l'interpréter (son expression, le phénotype) étaient héréditaires!

Chez les rats, certains gènes ont une influence directe sur l'anxiété de l'animal. En 1999 le chercheur canadien, Michael Meaney s'est amusé à tourner "La vie est un long fleuve tranquille chez les rats" en confiant un nouveau-né d'une lignée génétique "calme" à une mère adoptive de la lignée "anxieuse" et l'inverse. Les petits rats adoptés ont développé des comportements identiques à ceux de leurs parents adoptifs. L"'éducation" (en matière de rongeurs il vaut mieux beaucoup de guillemets) l'emporte sur la génétique: on a découvert que les câlins de la mère tranquille sur son nouveau-né génétiquement anxieux, inhibent l'expression du gène fatidique et le tranquillisent durablement -et inversement pour les mères anxieuses. Dans une expérience ultérieure en 2004, les chercheurs ont démontré le mécanisme biochimique sous-jacent: en empêchant artificiellement l'inactivation du gène, ils parvinrent à empêcher le "déconditionnement" du petit rat qui, malgré l'attention de sa mère adoptive, se comporta comme ses parents biologiques. Décidément la distinction entre culture et nature est subtile!

Mais le plus surprenant de tout ça, c'est que si le nouveau-né est une femelle, elle transmettra ce comportement acquis (tranquillité ou anxiété) à ses descendants: ses petits ressembleront alors à leurs grand-parents adoptifs et non à leurs grand-parents biologiques! L'épigénétique devient héréditaire là encore...

Comment cette hérédité épigénétique fonctionne, à vrai dire on n'en sait encore trop rien. Mais on commence à avoir des pistes: en 2006 des chercheurs de l'INSERM ont découvert un nouveau mode d'hérédité échappant aux règles de la génétique classique: chez la souris, la coloration du pelage est l'expression d'un gène bien identifié sur l'ADN des bestioles. Certains animaux, pourtant, déjouent cette fatalité génétique grâce à des "micro-ARN" qui inhibent l'expression de ce gène. Plus fort encore: comme ces micro-ARN sont présentes dans toutes les cellules, y compris dans les spermatozoïdes, cette désobéissance génétique se transmet de génération en génération! Autrement dit, ce qui est transmis héréditairement c'est un ordre d'inactivation du gène, d'origine non strictement génétique... Une espèce de "paramutation" en somme, qui a déjà été détectée chez les plantes.

En mettant bout à bout toutes ces données, on peut imaginer avec Claude Ameisen, que indépendamment des variations de l'ADN, des changements dans l'environnement peuvent révéler dans un embryon "une source préexistante de nouveautés qui s'est progressivement accumulée sous forme de discrètes mutations génétiques", qui peuvent parfois se transmettre de génération en génération grâce à des mécanismes héréditaires encore mal cernés et probablement multiformes. Ainsi pourrait-on au passage réconcilier les tenants du gradualisme -pour qui l'évolution ne fonctionne que par accumulation de petites mutations- et ceux des équilibres ponctués - selon lesquels l'évolution peut aussi procéder par "sauts".
L'autre grande méthode pour de tels sauts étant la symbiose entre organismes différents, mais ça ce sera pour un prochain épisode!

A l'infini et au-delà!

C'est assez facile de comparer les grandeurs des objets physiques autour de nous: un bâton est plus grand qu'un autre, si la longueur du plus petit tient dans la longueur du plus grand. Le tout est plus grand que ses parties, nous a appris Euclide, et on le vérifie avec un sac de billes rouges et bleues: il contient plus de billes que lorsqu'on lui retire toutes ses billes rouges. Evident non?




Pour les ensembles infinis, le tout est aussi grand qu'une de ses parties
Ce qui est vrai pour les sac de billes ne l'est pas pour les collections infinies d'objets. Comparons le sac des nombres entiers (0,1,2,3 etc) avec celui de tous les nombres entiers pairs (0,2,4,6 etc). Si l'on applique le raisonnement ci-dessus, l'ensemble des nombres entiers contient les nombres pairs, ergo il est plus grand... En fait les choses ne sont pas aussi simples quand on traite des ensembles infinis: pour savoir si deux ensembles infinis ont la même "taille", on regarde si on peut faire correspondre chaque élément de l'un avec un et un seul élément de l'autre (ce type de correspondance terme à terme s'appelle une bijection). Or on peut parfaitement faire correspondre chaque nombre entier avec un nombre pair et vice versa: il suffit d'associer chaque nombre entier n avec son double 2n (qui est pair). Donc il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers! Bienvenue dans les mystères de l'infini où le tout peut être exactement aussi grand qu'une de ses parties. Cette drôle de propriété signe d'ailleurs l'infinitude de l'ensemble (enfin, là je spécule...).

En raisonnant de la sorte on montre que l'ensemble des entiers ( de son petit nom: 0,1,2,3...) est de la même "taille" que tous ses sous-ensembles infinis: il y autant d'entiers que de nombres pairs (on l'a vu), de nombres premiers (divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes comme 1,3,5,7,11,13,17,19...), de carrés parfaits (1, 4, 9, 16...). L'hôtel de Hilbert qui possèderait une infinité de chambres toutes occupées, pourrait toujours accueillir des hordes de bus contenant chacun une infinité dénombrable de clients. Il suffirait de transférer chaque occupant d'une chambre n vers une autre chambre (de numéro 2n par exemple si l'on veut doubler la capacité de l'hôtel) et de loger les nouveaux arrivants dans l'infinité de chambres ainsi libérées.

Et de la même manière, a la même taille que des ensembles plus grands, par exemple l'ensemble des "entiers relatifs" (les nombres entiers positifs et négatifs:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 etc.) [Lecteurs non matheux: sautez les paragraphes en italiques comme ci-dessous, pour vous éviter les maux de tête...]

Pour le montrer il suffit d'attribuer à chaque entier relatif n l'entier 2n si n est positif et -(2n+1) si n est négatif: on a ainsi une correspondance terme à terme entre et : à 0,1,2,3 correspondent 0,2,4,6 et à -1,-2,-3 correspondent 1,3,5...

Rationnels et irrationnels: si proches et pourtant si différents...
Plus étonnant encore, il y a autant de fractions rationnelles (rapport entre deux nombres entiers relatifs) que d'entiers naturels!

Pour trouver la correspondance entre entiers et fractions, prenez n'importe quel entier n et divisez le par 2 autant de fois que vous pouvez. Quand finalement (au bout de p divisions), vous obtenez un reste impair (noté 2q+1), vous pouvez écrire n=2^p x (2q+1). Et voilà, vous venez de trouver comment associer à tout entier n deux entiers p et q de manière unique. On étend facilement cette méthode aux fractions relatives (positives et négatives) pour montrer qu'il y a autant d'entiers que de fractions.

Ces ensembles qui ont la même taille que sont dits "dénombrables". Le terme est un peu trompeur car il laisse imaginer qu'on peut toujours les compter sur un intervalle donné. Or quelque soit l'intervalle que vous choisissez (s'il ne se réduit pas à un point) vous y trouvez une infinité de fractions: on dit que l'ensemble des fractions noté , est "dense" dans l'ensemble des nombres réels .

Prenez un intervalle [a,b], de dimension b-a=ε très petit. Vous pouvez trouver un entier n tel que n>1/ε, puis le plus grand entier p tel que p/n≤a On peut écrire a < (p+1)/n <>

Alors tous les ensembles sont-ils dénombrables? Eh non, ce serait trop simple! L'ensemble des nombres réels (tous les nombres, y compris les irrationnels qui comme √2 ne peuvent pas s'écrire comme des fractions). Bien qu'étant de la même taille que l'intervalle ]0,1[, n'est pas dénombrable, ainsi que l'a découvert Cantor, l'inventeur de la théorie des ensembles.

Pour prouver que est de même taille que ]0,1[, il suffit de considérer la fonction qui associe à tout réel x, f(x)=1/2 [1+x/(1+|x|)]
Cette fonction "projette" tous les nombres réels entre O et 1...

On prouve ensuite que ]0,1[ n'est pas dénombrable grâce à la célèbre diagonale de Cantor, en raisonnant par l'absurde.

Supposons que ]0,1[ soit dénombrable: cela signifie qu'à tout réel x on peut associer un unique nombre décimal u_n.

Ecrivons les u_n les uns en dessous des autres en écriture décimale:

u_ij est la j^ième décimale du nombre rationnel u_i.

Considérons la diagonale des décimales u_ii (la fameuse diagonale qui a donné le nom à ce théorème) et imaginons le nombre x=0,x₁x₂x₃.... dont chaque décimale vaut x_i = 1 si u_ii≠1 et x_i = 2 si u_ii=1.

x diffère de u₁ au niveau de la première décimale (x₁≠ u₁₁), x diffère de u₂ au niveau de la seconde (x₂≠u₂₂) et de manière générale x diffère de u_n au niveau de la n^ième décimale (car x_n≠u_nn) .

x est bien un nombre décimal compris entre 0 et 1 et pourtant on ne peut le faire correspondre avec aucun des nombres de la collection des (u_n), ce qui est contradictoire avec l'hypothèse que ]0,1[ est dénombrable...

La taille des infinis
Récapitulons: est à la fois dense dans ( les deux ensembles sont inextricables en quelque sorte l'un de l'autre) et pourtant l'un est dénombrable et l'autre pas. La taille de est appelée ℵ₁ (c'est la lettre hébraïque Alef, les mathématiciens adorent les écritures anciennes), celle de et de tous les ensembles dénombrables est appelée ℵ_0.

Pour comparer la taille de et celle de , on peut comparer leur correspondance respective sur ]0,1[.
correspond exactement à ]0,1[, sa mesure vaut 1.
Pour mesurer , on représente chaque fraction par un point u_n dans l'intervalle ]0,1[. Définissons autour de ce point un petit intervalle, de longueur décroissante:
Pour u₁, on choisit un intervalle de taille 0,1
pour u₂, l'intervalle 0,01
pour u₃, l'intervalle 0,001
etc.
La taille de sera au plus égale à la somme des intervalles de tous les u_n, donc vaut au plus 0,111111 etc. On aurait pu commencer par un intervalle de 0,001 pour u₁ et la taille de aurait été majorée par 0,001111: la mesure de peut donc être rendue aussi petite que l'on veut et vaut donc 0!

L'une des grandes questions encore mal résolue est de savoir si est le plus petit ensemble non dénombrable ou s'il existe d'autres ensembles de taille intermédiaire entre et . Autrement dit existe-t-il des infinis de taille ℵ_0,5? Cantor émit l'hypothèse que non mais l'on a démontré en 1963 que cette question était en fait indécidable, à moins d'admettre même en admettant un axiome supplémentaire (l'axiome du choix) pour que ce type d'infini existe. Indécidable, c'est à dire qu'on ne pourra démontrer ni que c'est vrai ni que c'est faux: c'est bizarre mais c'est comme ça!

D'un autre côté existe-t-il des infinis plus grands que ? Oui bien sûr, plein!!! L'ensemble des parties de , ou plus simplement l'ensemble des fonctions de dans .

Considérons l'ensemble F des fonctions f : [0,1] {0,1} qui ne prennent comme valeurs que 0 et 1. Supposons qu'il y ait autant de telles fonctions f que de réels dans ]0,1[. A chaque réel x de ]0,1[, on peut faire correspondre une unique fonction f_x de F et vice versa. On procède comme pour la diagonale de Cantor: construisons la fonction g telle que : g(x) = 1 si f_x(x) = 0 et g(x) = 0 si f_x(x) = 1. g est bien une fonction de F prenant comme valeurs 0 et 1 et pourtant g ne coincide avec aucune des fonctions f_x puisque pour chaque valeur x, f_x(x)≠g(x) ce qui est contradictoire avec l'hypothèse d'une bijection entre F et ]0,1[... Le nombre de fonctions de F est donc supérieur au nombre de réels contenus dans ]0,1[, donc au nombre de réels de .

Par contre, n'allez pas croire que, étant semblable à une droite, une surface infinie (x) ou même l'espace infini (³) soient de tailles différentes de , pas du tout! De la même manière que l'on a montré ci-dessus l'équivalence entre et (qui s'écrit x), on peut construire des courbes infiniment tarabiscotées (qui ressemblent d'ailleurs furieusement à des fractales) correpondant à une surface ou à un volume. Je vous laisse découvrir ça là par exemple...


De manière générale on peut prouver qu'il n'existe pas de taille limite des infinis, car un ensemble est toujours plus "petit" que l'ensemble de ses parties: c'est LE théorème de Cantor, qui a d'ailleurs démontré que l'ensemble des parties de est en bijection avec .

Prenons un ensemble E d'objets x et appelons (E) l'ensemble des parties de E. Supposons qu'il existe une bijection entre E et (E): à chaque élément x de E, on peut faire correspondre un sous-ensemble de E qu'on appellera P_x. Vous êtes habitués maintenant aux constructions bizarroïdes: ici on va définir le sous-ensemble P de E constitué des éléments x qui n'appartiennent pas à leur correspondant Px. Comme il existe une bijection entre E et (E) il existe un élément y correspondant à P et P=P_y. y appartient-il à P? Non car dans ce cas y appartiendrait à son correspondant P_yy, y appartient à P par construction même de P. Si vous avez perdu le fil, relisez ces deux phrases et laissez mariner un petit moment. On aboutit à une contradiction qui prouve qu'il n'existe pas de bijection entre un ensemble et ses parties.

Au fait, d'où vient ce drôle de symbole, désignant l'infini par un 8 couché? Même sur ce point, la réponse n'est pas tranchée: est-ce le descendant du CIƆ romain, désignant le nombre "mille" avant que l'on n'utilise la lettre M? Est-ce l'hériter de l'oméga minuscule ω, dernière lettre de l'alphabet grec? Ou s'agit-il de la représentation graphique du "serpent-infini" du dieu Vishnu, enroulé sur lui-même comme un huit renversé?

Sources:
Le site chronomath, très complet de Serge Mehl