Le paradoxe de Braess

L'enfer (des routes) est pavé de bonnes intentions...

"Abondance de biens ne nuit pas". La prochaine fois que vous vous retrouverez dans un embouteillage, un jour de grand week-end, je vous suggère de penser très fort à cette maxime pleine de (faux) bon sens! Il y a en effet fort à parier que le bouchon dans lequel vous êtes coincé soit dû soit à un accident, soit à un rétrécissement de la chaussée un peu plus loin devant vous, quand la route passe de trois à deux voies. Les tronçons à trois voies sont les cauchemars de bison futés!

C'est qu'en matière de circulation routière le mieux est souvent l'ennemi du bien: dès 1968, Dietrich Braess (qui n'a même pas sa page sur Wikipedia en français, quel scandale!) a montré comment ajouter un itinéraire de délestage peut provoquer des congestions et allonger les temps de parcours au lieu de les raccourcir. Un petit modèle explique mieux qu'un long discours ce paradoxe de Braess.

Un petit modèle pour comprendre
Supposez que vous cherchiez à vous déplacer d'une ville (A) à une autre (D) plus vite possible. Deux itinéraires s'offrent à vous, l'un passant par B, l'autre passant par C, chacun composé d'un bout de nationale et d'une route départementale. Le temps de parcours sur les nationales est de 45 minutes quelque soit la circulation. Par contre, comme il y a des feux sur les départementales, le temps de parcours dépend du nombre de voitures X qui l'emprunte: il vaut par exemple X/100 minutes.

Supposons qu'il y ait 4000 voitures souhaitant passer de A à D. Si elles prennent toutes le trajet du haut (ABD) elles mettront 85 minutes. Idem si elles prennent toutes le trajet du bas. La situation optimale sera celle où le trafic s'équilibre entre les deux trajets. Le temps de parcours sera alors de 45 +2000/100 = 65 minutes.

Pour désengorger la circulation, on construit une voie ultra-rapide reliant B et C, dont le temps de parcours est négligeable quelque soit le nombre de véhicules qui l'emprunte (pas très réaliste mais bon c'est un modèle!). Avec cette voie rapide, le temps de parcours entre A et B devrait raccourcir, or c'est l'inverse qui se produit:

Le meilleur trajet pour les 4000 voitures est maintenant (ABCD): départementale - voie rapide - départementale et le temps de trajet passe ainsi de 65 minutes à 80 minutes! Essayez vous même: si une des voitures prenait un autre itinéraire, son trajet serait rallongé de 5 minutes (45+40=85).

Bien que pas n'étant pas la meilleure, cette situation est un équilibre parfaitement stable ("équilibre de Nash" pour les familiers de la théorie des Jeux) où personne n'a intérêt à changer de stratégie une fois qu'il connaît les choix des autres. Et si dans un monde utopique, la circulation s'établissait comme s'il n'y avait pas de voie rapide et se répartissait comme avant, entre les deux itinéraires ABD et ACD? A ce moment-là, un petit malin serait tenté de gagner du temps en "coupant" par ABCD (son trajet ne lui prendrait que 40 minutes s'il était le seul à tricher): il serait donc rapidement imité par d'autres... et la situation dériverait assez vite jusqu'à ce que tout le monde prenne finalement le parcours ACBD et se retrouve avec un temps de parcours de 80 minutes.

Un mécanisme bien connu en théorie des jeux
Pour les habitués de la théorie des jeux ce paradoxe n'est pas vraiment nouveau: Offrir plus de choix aux joueurs peut parfaitement faire perdre tout le monde! Voici une petite matrice de gains où chaque joueur (A et B) a deux stratégies possibles qu'on appellera "maximiser" ou "minimiser", vous allez voir pourquoi:

Gain de B Gain de A	A "maximise"	A "minimise"
B "maximise"	4 4	5 1
B "minimise"	1 5	3 3

On lit ça comme ça: si A et B "maximisent" ils gagnent tous les deux 4€. Si A "maximise" alors que B "minimise", A gagne 5€ et B gagne 1€. On voit que si A "maximise", B a toujours intérêt à "maximiser". Si A "minimise", B a aussi intérêt à "maximiser" (gain: 5€ plutôt que 3€ s'il "minimise"). Bref,dans tous les cas B a intérêt à "maximiser", et comme la matrice est symétrique, A aussi. Les deux joueurs ont intérêt à "maximiser" dans tous les cas (d'où le nom de cette stratégie ;-).

Maintenant supposons qu'on introduise une troisième stratégie possible, qu'on appellera "ruser", avec la matrice des gains suivants:

Gain de B Gain de A	A "maximise"	A "minimise"	A "ruse"
B "maximise"	4 4	5 1	-10 10
B "minimise"	1 5	3 3	-10 10
B "ruse"	10 -10	10 -10	-9 -9

Désormais que A "maximise" ou "minimise", B a toujours intérêt à "ruser" (il gagne 10€), et si A "ruse", B a aussi intérêt à le faire (il ne perd que 9€ au lieu d'en perdre 10). B a donc toujours intérêt à "ruser". A aussi car notre matrice est symétrique. L'équilibre s'est maintenant déplacé vers la situation où les deux joueurs "rusent". Avec beaucoup de guillemets car le bilan c'est qu'ils perdent chacun 9€! Voilà comment un choix supplémentaire donné aux joueurs s'avère néfaste pour tout le monde, comme la route .

Et dans la vraie vie?
Théoriques, tous ces modèles? Pas du tout! A New York, par exemple la fermeture provisoire de la 42eme avenue en 1990 a réduit les embouteillages dans cette zone, contrairement à toute attente. A l'inverse, à Stuttgart, le nouvel axe routier censé désengorger le centre-ville a créé tellement d'embouteillages à sa création, qu'il a fallu le fermer pour retrouver un trafic plus fluide. Pareil à Séoul: la méthode la plus efficace pour alléger le trafic a été d'investir près de 400 millions de dollars pour détruire une des voies rapides à la périphérie de la ville.

Il est très difficile de savoir si un axe routier supplémentaire améliore ou dégrade la qualité de la circulation, car les mécanismes du trafic urbain sont affreusement compliqués. La théorie prévoit qu'au pire on multiplie par deux (pas plus) les embouteillages: nous voilà rassurés!

Et à Paris au fait? Je n'ai rien trouvé l'impact de la fermeture des quais les dimanches et lors des opérations Paris-Plage en été. Sauf bien sûr les plaintes des riverains et des automobilistes avant

Plus fort que la mécanique des fluides
Ce qui rend le paradoxe de Braess... paradoxal, c'est qu'on associe instinctivement la circulation routière à un "flot" de voitures, donc soumis aux mêmes principes d'écoulements que les liquides ou les gaz. Or dans un écoulement fluide, plus il y a de chemins possibles, plus l'écoulement est facile: aucun plombier n'a encore vu de système dans lequel ajouter un tuyau d'évacuation boucherait des éviers.

La raison profonde de cette différence entre nous et les molécules d'eau, implicite dans nos modèles, me semble venir du fait que nous cherchons à rejoindre notre but le plus vite possible, compte de ce que les autres font (ou ont intérêt à faire). Dès qu'on spécule de la sorte, nos déplacements collectifs échappent aux règles de la mécanique des fluides et fabriquent des problèmes inédits. Autrement dit notre intelligence est la source de nos embouteillages. Il faut bien que réfléchir ait aussi des petits inconvénients...

Sources (en anglais):
L'article de Wikipedia
Le cours de "science of the Web" sur le sujet (oct 2008)
Ce cours du Californian Institute of Technology (Julian Romero, Caltech, janv 2008)

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Réflexe photo-sternutatoire (euh... à vos souhaits!)

Achù! (en espagnol)
En ces temps de psychose grippale, l'éternuement mériterait pourtant l'admiration d'un naturaliste attentif. Admiration car il bat tous les records de vitesse des mouvements corporels et propulse vos miasmes de 150 à 200 km/h (selon les sources). Une médaille d'or bien méritée grâce à un travail d'équipe qui mobilise la plupart des muscles de la gorge, de la poitrine et du visage. La légende veut que la réaction soit tellement violente qu'on ferme les yeux pour éviter qu'ils ne soient éjectés de leur orbite. Toujours soucieux de rétablir la vérité scientifique, mes enfants se sont fait un devoir de me démontrer qu'il n'en est rien. Tout au plus risque-t-on l'éclatement de quelques vaisseaux au fond de l'oeil sous l'effet de la forte pression qui s'y exerce. Il semble que l'on ferme les yeux par le même mouvement réflexe qui contracte les autres muscles de la face et de la gorge.

Tummal! (en malais)
Dans les livres, on explique que l'éternuement est une réaction de défense naturelle de l'organisme qui permet de dégager ses fosses nasales encombrées. L'hypothèse semble a priori raisonnable d'autant que l'obstruction partielle de la bouche oriente l'expulsion de l'air vers le nez (c'est d'ailleurs le choc de l'air sur les parois nasales qui provoque le "tchoum!" caractéristique). Sauf que l'air expulsé sort finalement bien plus par la bouche que par notre nez et qu'il faut bien se moucher après avoir éternué si l'on veut déboucher ses naseaux. Pas comme les chiens ou les chats qui éternuent effectivement par le nez, contrairement à nous. Je n'ai jamais vu de singe éternuer, mais je suspecte quand même l'éternuement d'être donc un simple réflexe hérité de nos ancêtres primates pour lesquels un odorat parfaitement bien portant était une question de survie. Mais pour les humains, l'éternuement ne servirait-il qu'à propager nos microbes?

Wa-hing! (en indonésien)
Reconnaissons-lui au moins une toute petite vertu: la sternuation peut signaler une allergie -poils de chats, pollen, acariens vous avez le choix. Pas forcément très utile à nos ancêtres dans la savane, mais c'est mieux que rien. Car on éternue sélectivement! Essayez de renifler les épices de votre cuisine, vous verrez qu'on n'éternue qu'avec certaines d'entre elles: le poivre par exemple, à cause de ses deux substances -capsaïcine et pipérine- les pince-mi et pince-moi de la sensation de brûlure dans la bouche. Quand vous les reniflez d'un peu trop près, elles vous chatouillent les neurones du nez et vous les rejetez en éternuant.

Atsiuh! (en finnois)
Il y a également d'étranges raisons d'éternuer: par exemple un quart d'entre nous éternuent quand ils fixent une lumière intense comme celle du soleil. Syndrôme baptisé ACHOO comme "Autosomal-dominant Compelling Helio-Ophthalmic Outburst" par des savants facétieux. Très gênant pour les pilotes d'essai chez qui une demi-seconde d'inattention peut être fatale... Ce phénomène a intrigué tout le monde, depuis Aristote, qui imagina que le réchauffement du nez par le soleil en était la cause. Plus près de nous, Francis Bacon a supputé que la lumière provoque un réflexe de lagrimation qui, en humidifiant intérieurement les fosses nasales déclenche l'éternuement. Cette élégante explication ne tient pas trop, car la "photo-sternutation" est instantanée alors que la lagrimation demande un tout petit peu de temps pour faire son effet. Les neurologues penchent actuellement plutôt sur un court-circuit dans notre plomberie neuronale: le nerf optique est très proche de celui du nerf trijumeau, responsable de l'éternuement. Lorsque le premier est brutalement stimulé par une lumière intense, il provoquerait parfois l'excitation du second juste à côté, ce qui provoque l'éternuement.

Apchkhi (en russe)
A vrai dire la génétique du syndrome ACHOO n'est pas été très bien étudiée, mais pour faire avancer le schmilblick les neurologues devraient peut-être se pencher sur un syndrome connexe: "l'éternuement épilatoire " que j'ai découvert sur un forum de babillage.net -où va se nicher l'info scientifique! Certaines femmes éternuent lorsqu'on leur épile les sourcils. N'ayant trouvé aucune étude sérieuse à ce sujet, je penche d'instinct pour une explication à la Francis Bacon: arracher un poil sensible fait notoirement monter les larmes aux yeux ce qui -par débordement dans les conduits nasals - pourrait provoquer l'éternuement.

Kychnut! (en tchèque)
Plus étrange -mais aussi plus rare- la rhinite "lune de miel" a récemment été révélée par le très sérieux Journal of the Royal Society of Medicine. Les malheureux qui en sont atteints éternuent lorsqu'ils éprouvent du désir sexuel, quand ils fantasment ou après avoir ressenti un orgasme! On ignore les causes de cette réaction embarrassante, mais on soupçonne là encore un embrouillamini dans la circuiterie neuronale. Vous voilà prévenus la prochaine fois que l'on éternue dans votre entourage, hum, très très proche.

Va-t-on un jour découvrir des cas réels du syndrome "Franquin", le génial auteur de BD qui fait éternuer Gaston Lagaffe dès qu'il entend le mot "effort"?

Thummal! (en Tamoul)
Il y a peut-être une leçon d'évolution à tirer de cette curiosité physiologique qu'est l'éternuement, qui ne "s'explique" par aucun avantage évolutif significatif. Il semble qu'on ait ici affaire, comme pour le hoquet ou l'appendice, non pas au résultat de la sélection naturelle, mais à un effet collatéral (side effect) de macro-évolutions qui elles, présentent un avantage évolutif global. Cet exemple illustre à quel point l'évolution des organismes n'opère non pas sur tous les détails des organismes mais seulement sur leurs plans d'ensemble. Chaque particularité physiologique n'est pas nécessairement le résultat finement sculpté par des millénaires de sélection naturelle et il faut bien admettre une part de contingence dans certaines bizarreries naturelles. Qui songerait à rechercher un avantage évolutif dans le fait d'accoucher dans la douleur, sous prétexte que Madame Néanderthal souffrait autant que sa cousine Sapiens?

Sources:
Why do we sneeze when we look at the sun?
Looking at the sun can trigger a sneeze , Scientific American, Janvier 2008
Sneezing can be a sign of arrousal, BBC News, décembre 2008
Pourquoi le poivre fait-il éternuer , linternaute, janvier 2007
Et le blog Tripodología Felina (en espagnol) pour savoir comment on dit "atchoum" et "à vos souhaits" dans toutes les langues

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bancs et nuées

Avez-vous déjà observé un vol d'étourneaux ? On a l'impression d'avoir affaire à un super-organisme, souple et fluide, capable de modifier instantanément sa vitesse ou sa direction sans perdre sa cohérence. Un prédateur se pointe? Il se divise en un clin d'œil pour se reformer aussi sec dès que le danger est passé. Et puis arrivé près d'un champ, il se désagrège tout aussi soudainement, transformant ses organes constitutifs en autant d'individus autonomes. Les nuées de sauterelles ou les bancs de poissons compacts évoquent de la même manière des "organismes collectifs", ayant chacun une forme et un comportement propres. Les similitudes entre ces formations sont frappantes dans ces deux vidéos:



Comme tous les phénomènes d'auto-organisation émergeant par simple changement d'échelle, ces mouvements collectifs ont beaucoup titillé les scientifiques. Paradoxalement on ne manque pas d'hypothèses pour les expliquer, on en aurait plutôt trop, et bien peu de mesures de terrain pour savoir lesquelles sont les bonnes.

L'hypothèse du moindre effort
Dans les années 60, on aimait bien expliquer les phénomènes naturels par un principe mathématique général, après que D'Arcy Thomson eut spectaculairement popularisé cette approche avec tout un tas d'exemples, de la forme des cornes du bélier à celle des crânes des mammifères en passant par celle des vaisseaux sanguins. La première hypothèse pour nos formations collectives fut donc qu'elles minimisaient globalement les efforts des animaux pour se déplacer, grâce aux lois de la mécanique des fluides (air ou eau): on peut en effet économiser ses efforts en voyageant groupés, à la manière des cyclistes du peloton qui bénéficient de "l'aspiration" de leurs copains de devant.

Une telle explication a été essayée pour comprendre les formations en V des oiseaux migrateurs. En modélisant le mouvement de leurs ailes, on peut montrer qu'il se créée un courant ascendant à leur extrémité dont peut profiter son voisin de derrière s'il se place correctement. Et de fait on a mesuré en 2001 que les pélicans économisent 10 à 15% d'énergie lorsqu'ils volent en formation sous forme de V plutôt qu'isolément les uns des autres.

Malheureusement cette théorie n'explique pas tout. D'abord d'autres formations que celle "en V" permettent d'économiser autant sinon plus, par exemple celle en arc de cercle qui a l'avantage de moins fatiguer celui qui est devant. Ensuite plein d'oiseaux de proie volent en groupe désorganisé et pas du tout en V. Enfin, dans les vols en V de la vraie vie, les oiseaux ne sont pas placés comme il faut: s'ils avaient été un peu plus assidus à leur cours d'aérodynamique, ils pourraient économiser jusqu'à 60% d'énergie et non pas 15.

Pour expliquer les formations en V des oiseaux migrateurs, il faut donc aussi faire appel à des explications plus comportementalistes . Par exemple dans une tel configuration, dès que l'oiseau à la pointe du V passe derrière pour souffler un peu, le V se reforme très naturellement sur celui qui est juste derrière. De fait, ce sont plutôt des J que des V (mais les oiseaux sont notoirement analphabètes). L'autre avantage naturel d'une formation en V est qu'elle permet à chaque oiseau de garder un œil sur son voisin immédiat, situés selon un angle et une distance idéals pour détecter la moindre de ses réactions.

Pour les bancs de poissons, le même genre d'explications à base d'économie d'énergie de déplacement marche tout aussi moyennement: la théorie prédit que les poissons peuvent bénéficier de la "poussée tourbillonnaire" créée par la progression de ceux qui sont devant, en adoptant une formation en losanges respectant certaines proportions. Certes, les bancs de poissons sont bien structurés en petits losanges, mais les poissons ne respectent pas plus que les oiseaux les angles ni les distances prévus par la théorie. Par ailleurs on a de sérieux doutes sur l'effet réel des tourbillons après le deuxième rang de poissons.

Bref, les animaux sont plutôt nuls en mécanique des fluides et l'on est bien obligé d'aller chercher des explications plus convaincantes du côté de la biologie.

L'hypothèse comportementale
L'approche alternative, permise par les progrès de l'informatique, abandonne les grands principes globaux: on modélise chaque agent individuel (symbolisant un animal) sous forme d'une "particule" obéissant à des règles d'interactions très élémentaires et l'on fait tourner le modèle avec un grand nombre d'agents mis ensemble pour voir si on reproduit un comportement collectif observé dans la nature. Plutôt que de tenter d'expliquer le phénomène par une lois physique globale, on cherche d'abord à le reproduire avec des règles d'interactions simples et l'on réfléchit seulement ensuite à la signification -physique, biologique...- des règles qui donnent les meilleurs résultats. Ces simulations se montrent particulièrement instructives.

Une cuillérée d'alignement...
(Banc de poissons aux Seychelles, source: Rex/Sipa)
Dans le modèle le plus simple imaginé en 1995 et baptisé SPP (self propelled Particle) , la seule interaction entre agents est leur propension à s'aligner lorsqu'ils sont proches. Un peu fort comme hypothèse? Pas tant que ça pour les poissons dont la ligne latérale est l'organe de perception des mouvements dans l'eau. C'est donc en s'alignant avec ses voisins qu'un poisson est le plus sensible à leurs moindres changements de direction. La moindre perturbation se propage instantanément à tout le groupe qui change de direction à l'unisson pour échapper au danger.
C'est exactement ce que reproduit le petit modèle: si l'on introduit un prédateur quelque part dans le groupe, il peut dans certaines conditions se disperser extrêmement vite, ou encore tourner autour du prédateur pour se reformer derrière lui, à l'image d'une fontaine.

Mais le plus épatant dans ce modèle très élémentaire, c'est qu'il met en évidence des densités critiques, au-delà desquels on passe d'un désordre quasiment total à un groupe très fortement polarisé autour d'une même direction. A moyenne densité il arrive au groupe de changer brusquement d'orientation de temps en temps. La direction du groupe se stabilise à mesure que la densité augmente. On a observé les mêmes phénomènes avec des criquets enfermés dans un enclos:

On vient de découvrir le même phénomène de densité-critique avec les harengs: dès que leur densité atteint 0,2 poissons/m², une espèce de réaction en chaîne se déclenche qui donne naissance à un banc pouvant s’étendre sur des dizaines de kilomètres, parfaitement synchronisé en direction et en vitesse.

Une pincée d'attraction et un zeste de non-collision
Encore faut-il que le groupe reste groupé! Avec uniquement une tendance à l'alignement, toutes les simulations se terminent par la dispersion complète du groupe. En ajoutant dans le modèle une force d'attraction entre agents et en jouant sur son intensité, on obtient plein de nouveaux trucs intéressants et en particulier on met en évidence les trois types de formations collectives observées dans la nature:

• A faible valeur d'attraction, la simulation fait émerger des groupes "lâches", sans forme et sans cohérence. Elle évoque une nuée de moustiques et est l'équivalent d'une phase "gazeuse".

• A attraction moyenne, le groupe évoque un état "liquide": il est extérieurement structuré mais à l'intérieur la position des individus bouge constamment. A l'image des nuées de sauterelles ou d'étourneaux dont les réactions face à un prédateur évoquent des jets, des fontaines etc.

• Pour une force d'attraction plus forte, le groupe devient plus dense et chaque individu garde dans le groupe une distance et un angle constants par rapport à ses voisins, comme dans un cristal: l'émergence très brutale du banc de hareng à partir d'une densité-seuil rappelle d'ailleurs étrangement un phénomène de cristallisation à température critique.

Reste à introduire dans le modèle une force de répulsion entre individus, si l'on veut éviter les carambolages. On a alors les trois paramètres -attraction à longue distance, alignement à moyenne distance et évitement des contacts- qui permettent de retrouver la plupart des caractéristiques des groupes d'animaux dans les airs ou dans l'eau. Par exemple en jouant uniquement sur la portée de la force d'alignement, on retrouve les formations tourbillonnantes typiques de certains bancs de poissons.. ou de certaines galaxies.

On peut jouer sur d'autres paramètres pour retrouver des différences de densité au sein du groupe, ou expliquer la forme généralement oblongue de certains bancs de poissons. Le problème est que ça marche trop bien: tous les modèles raisonnables donnent des résultats plausibles! Et l'on commence à peine à récolter des observations quantitatives suffisamment précises pour comparer la validité de tous ces modèles.

Et la biologie là-dedans?
D'un point de vue comportemental, c'est la vision latérale des poissons qui régule l'attraction et la répulsion. Les poissons aveugles dans un banc ont plus de mal à maintenir une distance constante avec leurs voisins (on n'a pas essayé avec les oiseaux!). C'est sans doute la latéralité de leur vision qui explique l'angle constant par rapport à leurs voisins immédiats. On peut d'ailleurs modéliser les effets de "fontaine" du groupe à l'approche d'un prédateur en supposant simplement que chaque agent fuit en gardant le prédateur au bord de son champ de vision.

Les poissons à l'école des fans
Reste une question à laquelle les simulations ne savent pas répondre: comment un banc de poisson choisit-il sa direction? On peut évidemment supposer qu'il suive un ou deux leaders sachant où trouver un casse-croûte. Mais sans leader, la "sagesse des foules" peut être parfois particulièrement efficace. Surowiecki, qui a inventé l'expression et en a tiré un livre en 2004, donne l'exemple de "Qui veut gagner des millions?": imaginez qu'arrivé à 400 000 euros, le candidat tombe sur une question particulière vache et qu'il lui reste deux jokers: l'expert et l'avis du public.
Quel joker va-t-il choisir?
Suppposons que dans l'audience:
- 14 personnes connaissent la bonne réponse et vont voter pour elle.
- 20 personnes peuvent éliminer deux réponses fausses: 10 vont choisir la bonne.
- 30 personnes peuvent en éliminer une: une sur trois (soit 10 encore) va tomber juste.
- 36 personnes n'ont aucune idée: une sur 4 (soit 9) va voter correctement.
Résultat: 43% vont voter correctement. En faisant confiance au vote du public, notre candidat est sûr de choisir la bonne réponse, alors qu'il n'y avait dans ce public qu'une personne sur 7 qui aurait pu jouer le rôle d'expert. Magique!

Bien sûr, on ne peut généraliser ce genre de conclusion, en particulier si une croyance fausse est très répandue dans le public ou si la nature de la question est plus complexe. Mais pour des choix très simples on peut concevoir que les regroupements animaux puissent réellement suivre des buts précis, sans avoir forcément de leader.

Et l'évolution là dedans? On ne peut que spéculer: les tenants de l'évolution à tout prix verront dans l'efficacité des structures collectives l'oeuvre de la sélection naturelle, qui aura éliminé progressivement les conduites individuelles amenant d'autres structures collectives. Par exemple, l'alignement avec ses voisins doit nécessairement être une interaction de courte portée, autrement le groupe réagirait très lentement si l'un des membres du groupe déviait à la vue d'un prédateur (ses voisins restant alignés sur le grand nombre de voisins n'ayant pas changé de direction).
Mais il y a d'autres caractéristiques des groupes, comme celle des tourbillons de poissons, qui n'ont pas vraiment d'incidence sur la vulnérabilité aux prédateurs ou la recherche de nourriture. On peut spéculer à l'envie sur l'avantage évolutif de telles structures, mais il n'est pas interdit de penser qu'il s'agit là de simples conséquences macroscopiques d'interactions individuelles efficaces au plan microscopique.

Je n'ai pas trouvé beaucoup de SF sur ce thème; dommage, ça pourrait faire un beau sujet: imaginez que dans un "super-organisme" constitué de millions d'insectes, émerge un jour une conscience propre. Le super-organisme serait alors immortel puisque les insectes qui les composent sont remplacés à mesure qu'ils meurent. Il pourrait se reproduire par simple clônage ou s'auto-dissoudre volontairement... Vite mon Baygon!

Sources:
- l'excellent article à paraître Moving together (pdf) Sumpter, DJT, Princeton University Press
- Emergent schooling behavior in fish , Gustav Olson 2008 qui fait le tour de plusieurs modèles
- Energetics of flying and swimming in formation , FE Fish (1999) qui s'essaie au modèle global de l'économie d'énergie
- Kin selection and reciprocity in flight formation, Andersson (2004) qui au contraire cherche à comprendre pourquoi ce modèle ne fonctionne pas toujours pour les oiseaux.
- Why do migratory birds fly in V formation , Scientific American, 2004

Billets sur le thème de l'auto-organisation
A-côtés de la claque sur les applaudissements.
Billet classé (puissance) X sur l'origine des spirales dans la nature.

Asperger mode d'emploi

Dans son dernier bouquin[1], Daniel Tammet, le plus médiatique des auteurs-autistes décortique son fonctionnement interne qui lui permet de mémoriser des livres entiers et de faire de tête des multiplications de nombres à 4 chiffres. Et dézingue au passage les mythes sur les autistes.

Première surprise, les plus célèbres anecdotes au sujet des autistes seraient très exagérées, voire total bullshit. Et en particulier celles du très célèbre "L'homme qui prenait sa femme pour un chapeau"[2], d'Oliver Sacks, reprises au théâtre comme au cinéma. Vous vous souvenez de la célèbre scène de Rainman où le héros autiste voit le paquet d'allumettes tomber et dit instantanément combien d'allumettes il y en a par terre? Très improbable selon D Tammet: cette capacité à distinguer instantanément de grandes quantités n'a été rapportée dans aucune autre étude. Et on imagine à quel point il est matériellement difficile de compter toutes les allumettes parmi les les tas où certaines en cachent d'autres. Tammet suppose que les deux jumeaux autistes qui réalisent cette performance devant O Sacks pouvaient connaître par avance le nombre d'allumettes dans la boite. Peut-être car leur nombre -111- est très "parlant" pour un autiste, 111, trois petits batons qui rappellent graphiquement des allumettes. Bref, une bonne blague au bon Dr Sacks.

Autre exemple: Sacks raconte comme les mêmes jumeaux égrènent des nombres premiers de plus en plus grands pendant qu'il les écoute fasciné, vérifiant dans son livre sur les nombres premiers qu'ils ne se trompent pas. Jusqu'à ce qu'ils arrivent à des nombres à 12 chiffres alors que son bouquin "ne dépassait pas les nombres premiers à dix chiffres". Ce récit a déclenché récemment une vraie polémique entre spécialistes de l'autisme: il y a 400 millions de nombres premiers à 10 chiffres. Impossible à mettre dans un livre, même écrit en Times 4. De plus toutes les expériences actuelles montrent que la capacité des autistes savants (dont Tammet) se limite si l'on peut dire, à calculer des nombres premiers entre trois et cinq chiffres...

Cela dit, les performances de Tammet sont impressionnantes quand même: il connaît une douzaine de langues (il a même inventé la sienne), et peut de tête calculer combien font 37 x 469. Le point de départ de son génie se trouve d'après lui dans sa "synesthésie" qui lui fait associer à chaque nombre à une forme, ayant une couleur, une taille, un mouvement, une texture. On mémorise plus facilement les images et les objets concrets que les concepts abstraits. Voir des mots écrits en couleur et associer des nombres à des objets en trois dimensions faciliterait donc leur mémorisation. Comment tester cette première hypothèse? Vous connaissez sans doute le test qui consiste à demander la couleur de mots, dont le sens est contradictoire avec cette couleur.
Par exemple essayez de dire la couleur des mots suivants:

jaune
vert
bleu
rouge

Pas facile n'est-ce pas? L'esprit s'embrouille car il y a compétition dans notre tête entre reconnaissance des couleurs et reconnaissance des mots. On a répliqué cette expérience auprès de personnes douées de synesthésie, en remplaçant les lettres par des nombres. Comme les couleurs des nombres ne correspondent pas à l'image interne qu'en a la personne, elle éprouve plus de difficulté à mémoriser ces nombres. Daniel Tammet a lui même fait l'objet d'expérimentation allant dans le même sens, avec cette fois des chiffres dont les tailles ne correspondaient pas à l'image interne qu'il en a. "Expérience "extrêmement désagréable et étourdissante- comme si on demandait à quelqu'un de lire et de réciter une langue qu'il ne connaît pas" nous dit Tammet.

Tammet émet l'hypothèse que par ailleurs (est-ce une conséquence de sa synesthésie?) les zones de son cerveau dédiées aux nombres seraient bizarrement reliées à celles des mots et du langage. Plus précisément à celles de "l'organisation syntaxique" qui permet par exemple la formation des phrases. Ces connexions habituellement inexistantes lui permettraient ainsi de jongler avec les nombres exactement comme on le fait avec les mots et les phrases, en y associant une sémantique, des connotations etc.

Pensez par exemple au mot "girafe". Instantanément dans votre cerveau, une image apparaît. Puis vous l'associez à d'autres mots, qui ont un point commun avec la girafe:"cou", "immense", "taches". En revanche pour la plupart des gens, quand on parle d'un chiffre ou d'un nombre, ce processus de s'enclenche pas: aucune image mentale ne surgit de tel ou tel nombre (...) De la même façon qu'il est bien improbable de parler d'une girafe sans évoquer son cou, il est pour moi impossible de parler du nombre 23 sans faire référence à 529 ou 989" [539 = 23 au carré et 989 est le dernier nombre divisible par 23 avant 1000]. Je réussis à retrouver spontanément les connexions sémantiques qui relient les nombres parce que, tout comme avec les mots, je peux visualiser leur forme. Chaque nombre produit chez moi une image (...) Etre capable de visualiser des nombres m'aide à voir et à comprendre les interactions qui existent entre eux. Mais d'où me viennent toutes ces formes que j'associe aux nombres? Je n'en ai aucune idée! Je ne sais pas pourquoi le 6 m'apparaît tout petit et le 9 très grand, ou pourquoi les 3 sont ronds et les 4 pointus. Je retrouve malgré tout des tendances, qui prouvent que ces images mentales des nombres ont un sens et ne sont pas totalement hasardeuses: le 1 est brillant, le 11 est rond et brillant, 111 est rond, brillant et grumeleux, enfin 1111 est rond, brillant et tourne comme une toupie. Mon cerveau s'est servi de perceptions synesthésiques pour créer l'image des les nombres les plus petits, puis s'est servi de capacités combinatoires pour générer des milliers d'autres formes. C'est ainsi que les langues se servent d'un petit nombre de lettres et de sons, et produisent des milliers de mots.

Grâce à cette particularité cérébrale, Tammet manipule les chiffres comme nous manipulons les mots: il les factorise, les multiplie, les divise comme nous composons des phrases ou des mots compliqués. Les règles mathématiques sont pour lui aussi instinctives et implicites que le sont pour nous les règles du langage: il reconnaît les nombres premiers intuitivement tout comme on "sent" si un mot inconnu est français ou pas. Et de la même manière que l'on peut croire que le mot "zeugme" n'est pas français (c'est pourtant un effet humoristique), il arrive aux autistes de se tromper sur les grands nombres.

Cette adresse à manipuler les nombres et à les mémoriser est bien sûr renforcée par la fascination que leur porte Tammet: l'univers des nombres constitue un refuge pour les autistes souffrant d'isolement social et de solitude. Cet univers de logique, d'ordre et de beauté devient alors un merveilleux terrain de jeu dans lequel ils aiment se promener et où ils assimilent sans trop en prendre conscience les règles qu'ils y découvrent, les propriétés de certains nombres etc. En mars 2004, Tammet a récité de mémoire les 22 514 premières décimales de pi. Comme il l'explique "ce record européen est d'abord le résultat de plusieurs semaines de travail et de discipline (...) Grâce à la vision de ces formes j'ai pu mémoriser les décimales du nombre pi, les déroulant dans ma tête comme un panorama numérique. J'étais fasciné et émerveillé par une telle beauté".

Contrairement à une idée reçue, la mémoire des autistes n'est pas photographique. Pour les décimales du nombre pi, "bien qu'elles se suivent de façon aléatoire, leur représentation dans mon esprit était cohérente. Les nombres se structuraient de façon rythmique en formes lumineuses colorées et personnalisées. Je composais une sorte de mélodie visuelle qui serpentait dans le labyrinthe de mon esprit et me donnait à entendre la musique des chiffres". De manière générale, la mémoire phénoménale des autistes s'expliquerait par leur capacité à associer facilement toutes les nouvelles informations à leurs connaissances préexistantes.

Le revers de la médaille, c'est que les savants autistes ne se souviennent que des informations qui les intéressent. Donc typiquement des données factuelles et non pas liées à des émotions par exemple. Ils retiendront plus facilement une liste de dates historiques qu'un poème. Pour Tammet, c'est la mémorisation des visages qui lui pose problème. Finalement, entre un autiste et un autre individu ce ne serait pas tant la méthode de mémorisation qui diffère, que le type d'informations enregistrées (plus l'entrainement, bien entendu).

Cette faculté à connecter des informations qui ne le sont pas d'habitude pourrait avoir une autre conséquence: le génie créatif de certains autistes! Car qu'est ce que la créativité, sinon la fusion de deux éléments éparses pour créer une nouvelle idée? La synesthésie de Kandinsky (qui associait des couleurs à la musique) ou de Feynman (qui voyait les équations en couleurs!) aurait-elle contribué à leur génie créatif?

En refermant le livre, je suis finalement moins impressionné par ses performances intellectuelles que par sa capacité à avoir surmonté l'enfermement de sa maladie et à avoir su en parler avec justesse et émotion...

Références
[1] Embrasser le ciel immense, Daniel Tammet (Editions des Arènes, 2009)
[2] L'homme qui prenait sa femme pour un chapeau, Oliver Sacks (1985)

Articles connexes:
Quel jour c'était déjà? (vous remarquerez dans la vidéo que pour faire les calculs très difficiles, Arthur Benjamin utilise des assemblages de mots bizarres)
Les neurones des nombres

A-côtés de la claque

Avez-vous remarqué comment, à la fin d'un concert ou d'une représentation théâtrale particulièrement réussie, la salve d'applaudissements initiale finit par ralentir pour se mettre à l'unisson et rappeler le retour des artistes sur scène, avant de reprendre progressivement un rythme plus soutenu et se diluer de nouveau dans une cascade bruyante et désordonnée. Les applaudissements semblent suivre un cycle de phases lentes et synchronisées suivies de phases bruyantes et chaotique.

La synchronisation instinctive
Des chercheurs se sont amusés en 2000 à décortiquer ce phénomène en laboratoire et ont découvert des trucs amusants: notre tendance à applaudir "à l'unisson" serait un exemple de plus de notre propension à synchroniser inconsciemment nos rythmes avec ceux de nos prochains [2]: nos pas se règlent tout seuls sur celui de nos compagnons de marche; les femmes vivant en collectivité finissent par avoir le même rythme menstruel et dans une chorale la synchronisation des chœurs est si naturelle qu'il faut beaucoup de concentration pour chanter "en canon". On ne sait pas très bien expliquer ce réflexe; probablement renforce-t-il les liens entre les membres d'une collectivité en créant une émotion particulière, un sentiment d'appartenance communautaire.

Toujours est-il que cette propension nous vient sans doute d'assez loin dans l'évolution [3] puisqu'on l'observe chez tout un tas d'espèces animales dont les membres synchronisent leurs rythmes sexuels, alimentaires ou autres. Jusqu'aux lucioles qui accordent mystérieusement leurs clignotements lumineux entre elles, et qu'on arrive même à faire synchroniser avec un petit clignotant artificiel.

Des horloges bien sympathiques
On peut même remonter les sources de cette tendance à la physique elle-même: Huygens avait découvert en 1665 déjà, que deux pendules oscillant très proches tendent naturellement à accorder spontanément leur fréquence d'oscillation. Sa découverte -la sympathie des horloges- est un peu tombée dans l'oubli jusqu'à ce qu'on y revienne au 20e siècle. Kuramoto a récemment montré comment des oscillateurs très simples et interagissant de proche en proche, finissent toujours par se caler sur une même fréquence, à condition que leurs fréquences initiales ne soient pas trop dispersées autour de la moyenne. Voilà le truc pour nos applaudissements! Pour pouvoir se synchroniser il faut que les applaudissements aient au départ des fréquences pas trop éloignées les unes des autres.

Nos chercheurs [1] ont donc demandé à des étudiants isolés d'applaudir d'abord à un rythme régulier, puis à faire le maximum de bruit en applaudissant. Pour marquer un rythme régulier, tous les étudiants ont adopté une fréquence d'applaudissement assez lente (la courbe en pointillés rouges), dont le spectre était relativement étroit autour d'une valeur moyenne. Par contre, pour applaudir fort, il faut frapper souvent dans ses mains: les étudiants adoptaient donc des fréquences deux fois plus élevées et dans un spectre de fréquence beaucoup plus large (la courbe en noir). Conclusion: il est très facile de se synchroniser quand on applaudit lentement, mais c'est impossible quand on applaudit fort.

Le dilemme de la claque
Ce phénomène pourrait être à l'origine du cycle alternant nos deux types d'applaudissements. Nous serions tiraillés entre deux pulsions contradictoires: notre enthousiasme nous pousse à faire le maximum de bruit et à applaudir frénétiquement, créant un brouhaha incohérent. Notre instinct nous pousse par ailleurs à adopter une fréquence synchrone. Pour y parvenir il suffit d'applaudir une fois sur deux et de laisser parler son instinct, et nos petits pendules internes se synchronisent tous seuls car les fréquences obtenues sont suffisamment proches. Jusqu'à ce que poussés par l'enthousiasme, nos applaudissements n'accélèrent tout seuls etc. Les applaudissements oscillent ainsi entre ces deux modes, ce que les chercheurs ont corroboré en mesurant la fréquence sonore dans une salle de théâtre. Sur leur graphe, on visualise bien le rythme rapide et anarchique des 12 premières secondes d'applaudissements, qui se convertissent en applaudissements plus lents et bien rythmés jusqu'à la 27 eme seconde environ, avant de retomber dans le chaos désynchronisé d'applaudissements rapides et bruyants.

Il n'y avait guère que dans les pays de l'ancien bloc soviétique où les applaudissements pouvaient se maintenir synchronisés pendant de longues minutes après un long discours politique. Pas facile de simuler l'enthousiasme!

Au bout d'un moment, les applaudissements s'arrêtent brutalement. Je suppose que nous sommes sensibles aux moindres variations du volume sonore et qu'il suffit que quelques personnes s'arrêtent d'applaudir pour que tout le monde s'en rende compte et cesse également d'applaudir.

Comportements individuels très simples, imitations et feedbacks, cohérence collective avec cycles et effets de seuils: les applaudissements intègrent toute la panoplie des ingrédients classiques des phénomènes d'auto-organisation!


Sources:
[1] The sound of many hands clapping , Neda et al. (Nature, Fev 2000)
[2] Synchronization, Sumpter, D.J.T (à paraître), Collective Animal Behaviour, Princeton University Press
[3] Les horloges sympathiques: l'organisation sociale au rythme de la synthonisation, Maxime Sainte-Marie (Les cahiers de Lancie, Mars 2008)

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Psychologie de l'incivilité au volant

C'est la journée de la courtoisie sur la route et l'occasion de se demander pourquoi on se transforme si facilement en Mr Hyde dès qu'on a les fesses sur le siège de sa voiture. Pur jus de crâne Xochipillesque, je vous préviens tout de suite, car ma culture scientifique sur le sujet se limite aux tests du type "quel conducteur êtes-vous?" dans les magazines que je ne lis (presque) pas.

C'est dans les pays dont le niveau d'éducation est faible que le contraste est le plus saisissant. Au Mexique, pays que je connais bien, le savoir-vivre exige une surenchère dans la courtoisie face à quelqu'un: on ne dit pas "à votre service" mais "à vos ordres" (a sus ordenes!), on ne parle pas de son "chez soi" mais de "votre" maison (car "ma maison est votre maison" - "su humilde casa") etc. A l'inverse les queues de poissons, les insultes et les doigts tendus rythment frénétiquement la vie bien peu urbaine des conducteurs automobiles.

Au milieu de cette jungle, un détail m'a pourtant toujours intrigué: pour changer de file au milieu d'une circulation très dense, il suffit de tendre la main par la fenêtre ouverte pour amadouer instantanément le conducteur de derrière. Alors que le clignotant est totalement inefficace, la technique de la main passée par la portière fait mouche à tous les coups à tel point que le passager le fait aussi à la place du conducteur lorsqu'il faut bifurquer à droite.

Ce soudain accès de civilité s'explique selon moi par l'irruption d'une forme de communication humaine -une main tendue- unique dans la marée des voitures. Et ce signal visuel exerce une pression très puissante sur les comportements des autres conducteurs. Autant l'automobiliste ignore sans même y penser le clignotant de la voiture de devant, autant il obéit quasi instinctivement au signal humain d'une main tendue. Faites l'expérience vous-même la prochaine fois que vous êtes coincé dans un carrefour embouteillé: si vous arrivez à attraper le regard du conducteur qui arrive en face, la partie est gagnée et il vous laissera passer. Et si vous lui faites un signe de tête ou un sourire, il le fera de bonne, grâce par dessus le marché. La tactique des mauvais coucheurs consiste d'ailleurs dans ces cas-là à éviter de croiser votre regard en gardant le leur obstinément braqué dans le vide.

Mon hypothèse est donc que nous nous soumettons aux communications non-verbales de manière compulsive, irrépressible (à condition de ne pas être indisposé par la personne en face de soi). Notre courtoisie de visu serait une réponse-réflexe à un signal non verbal et non pas le fruit d'une décision consciente. Nous sommes conditionnés pour répondre positivement aux signaux non verbaux de nos semblables. L'éducation reçue, l'intelligence, la rationalisation ne font que renforcer ce comportement, en le justifiant après coup, mais ils n'en seraient en aucune manière la source.

En l'absence de signaux visuels -lorsqu'on ne voit pas les conducteurs dans leurs voitures par exemple- l'incivilité est la règle naturelle et la courtoisie l'exception. Le même phénomène se constate au téléphone: toujours au Mexique, il est très courant de se voir raccrocher au nez et sans un mot d'excuse lorsqu'on reçoit un coup de fil par erreur. Par contre dès que l'on met un visage sur une voix la relation change du tout au tout, bien entendu.

J'en conclus (provisoirement) qu'il y a une différence fondamentale entre d'un côté la bienveillance provoquée instinctivement par une communication non verbale et, de l'autre, le civisme, fruit d'une longue éducation qui encourage à la même bienveillance même en l'absence de communication non verbale. Ce qui fait le propre de l'homme n'est pas sa bienveillance face à autrui (ça, ça existe partout dans le monde animal), mais son civisme, c'est à dire sa bienveillance face à l'idée de l'autre, lorsque l'autre n'est pas visible. L'imagination au pouvoir en quelque sorte...

Au fait, un embouteillage comment ça se forme? Regardez la petite vidéo qui l'explique parfaitement en 40 secondes chrono:

Les embouteillages, comment ça marche ?

Glissante glace

"Ca glisse trop!" gémissait mon numberone perché en haut d'une piste qui bien qu'elle fût noire lui en faisait voir de toutes les couleurs! C'est vrai, au fait: pourquoi la neige glisse-t-elle autant?

T'as le feu aux skis?
Jusque récemmente, en fidèle fan de "C'est pas Sorcier", l'émission de France3 -j'assume!- je m'en tenais aux explications de Jamel dans l'extrait ci-dessous [1]: d'abord ce n'est pas la neige qui glisse, mais l'eau. En frottant la neige sur son passage, le ski la fait fondre, créant un petit tapis de gouttelettes d'eau sur lesquelles on glisse.



La thèse est acceptée jusqu'en Alaska [2], où à l'institut de géophysique on a calculé que les skis dégagent par frottement autant de chaleur que des ampoules de 100 Watt chacun. Pas étonnant qu'on fatigue, avec toute cette énergie dépensée juste pour faire fondre la neige!
Les frottements seraient-ils donc à la fois ce qui s'opposent le plus au mouvement et ce qui le rend possible? Voire...

Cette démonstration ne me convainc qu'à moitié car on glisse sur la glace même quand on est à l'arrêt (donc sans friction): essayez donc de tenir debout sur une patinoire, même sans bouger... Et puis une surface gelée est ce qui se rapproche le plus d'une surface "sans frottements" comme on les aime en cours de physique: il est paradoxal d'invoquer ces frottements pour expliquer un glissement qui n'en a pas. On doit donc chercher ailleurs les raisons pour lesquelles la glace glisse, indépendamment des forces de frottements.

Pression à froid
En attendant, vous faites une bataille de boules de neige pour vous défouler: vous prenez une poignée de neige, la comprimez légèrement pour qu'elle tienne bien en main (et en l'air). Eurêka, voilà la clef! Si votre boule de neige est devenue ferme, c'est qu'elle a un peu fondue. Vous l'avez donc faite légèrement fondre en la comprimant dans vos mains! C'est une des propriétés bizarres de l'eau que de fondre plus facilement sous la pression. Ce qui explique est cohérent avec le fait que la glace flotte sur l'eau liquide, contrairement aux autres fluides.

La preuve? Si vous placez un fil de fer lesté autour d'un pain de glace, le fil va petit à petit traverser le bloc et la glace va se refermer derrière son passage, comme par magie. Sous l'effet de la pression exercée par le fil, la glace fond en dessous. Sitôt le fil passé, la pression diminue et l'eau regèle (illustration tirée du livre [3] où j'ai trouvé cette explication).

Pour ceuces que ça intéresse, ce phénomène de fusion aux pressions élevées se traduit par une courbe de transition solide-liquide légèrement inclinée sur la gauche dans le diagramme des phases de l'eau (source: Wikipedia). Alors que pour la plupart des autres corps cette courbe est inclinée vers la droite et une pression forte favorise le gel.

Remontons sur nos skis: le poids du skieur exerce une pression supplémentaire sur la neige de l'ordre de 14 atmosphères1400 Pascal. Sur le diagramme l'état de la neige passe du point bleu (0°, pression atmosphérique) au point rouge (toujours 0° mais 14 atmosphères davantage de pression) sous cette pression. Point rouge qui est dans la zone où l'eau est liquide, la neige fond et le skieur glisse sur les gouttelettes.

C'est une explication complémentaire à celle de la fusion par frottement, mais qui marche même à l'arrêt. Ça explique au passage pourquoi on glisse mieux quand on est un peu plus lourd, jusqu'à une certaine limite: si on est trop lourd les forces de frottements reprennent l'avantage!

On comprend aussi pourquoi la glace qui sort du congélateur colle les doigts: sa température est tellement basse qu'il faudrait une pression colossale pour la faire fondre. Mais pas de panique, les Canadiens ont inventé le patin à glace chauffant qui fait fondre la glace bien plus efficacement et permet de patiner plus vite. Paraît que ça marche même dans son congélateur.

La prochaine fois, promis, je vous raconte que des histoires de liquides brûlants pour vous réchauffer.


[1] Ski surf and fun" l'émission de C'est pas Sorcier sur FR3
[2] Surfing on snow, Alaska Science forum, 1994
[3] Physique d'Eugène Hecht (1999)

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Une histoire qui ne vous fera ni chaud ni froid (pour rester dans l'ambiance)
L'eau et la vie extra-terrestre: quel rapport?

La constance du papillon

"L'effet papillon" c'est un peu la pince multi-prise du prêt-à-penser: le fameux battement d'aile qui déclenche une tornade à l'autre bout du monde est la référence médiatique incontournable de tous les chaos, crises financières ou désastres écologiques dont on ne comprend pas les causes. Il faut dire que le concept a tout pour séduire: un label de théorie scientifique, une belle image de la Nature - un papillon- et l'inévitable référence à une mondialisation incontrôlable.
Normal donc qu'on l'invoque sous toutes ses formes -chansons, films, essais- à chaque fois qu'on souhaite illustrer comment de toutes petites causes provoquent des grandes catastrophes, sous l'effet d'une avalanche de réactions en chaine. L'effet papillon serait-il simplement la version scientifique du nez de Cléopâtre, dont Blaise Pascal pensait que "s'il eût été plus court, la face de la Terre aurait changé"? Hmmm... Ce serait un peu court. Et surtout, la puissance d'une théorie scientifique (celle du chaos en l'occurrence) ne se mesure-t-elle pas précisément à sa capacité prédictive? Qu'y aurait-il de génial dans une théorie qui nous démontrerait juste qu'on vit dans un monde complexe et imprévisible?

A vrai dire, la théorie du chaos a fait les frais de son succès médiatique. Lorsqu'en 1972, son inventeur Edward Lorenz, fit sa fameuse conférence "Le battement des ailes d'un papillon du Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas?", il présenta deux résultats fascinants dont le grand public ne retint que le premier. Lorenz modélisait alors des phénomènes météorologiques en faisant mouliner les laborieuses machines à calculer de l'époque sur des calculs itératifs (on prend comme données d'entrée les résultats du calcul précédent et on recommence). L'histoire raconte qu'un jour de 1961, il voulut refaire un de ses calculs pour le vérifier mais, pressé d'aller se faire un café, il eut la flemme d'entrer en machine les données complètes avec six décimales, et les arrondit au millième.

Derrière le papillon, la sensibilité aux données initiales
A sa grande surprise, l'infime variation des données initiales avait entrainé une grande divergence des prévisions: au bout d'un certain temps ce n'était plus une tempête au pôle Nord qui s'annonçait, mais une grande sécheresse dans le Sud! C'est cette hypersensibilité aux conditions initiales qui lui inspira le titre de sa conférence et qui marqua les esprits.
Ce phénomène est intéressant, mais à vrai dire pas très nouveau en physique: si vous lancez une toupie, vous connaissez parfaitement les lois auxquelles elle est soumise. Vous savez qu'elle va finir par tomber et pourtant, même en connaissant parfaitement sa vitesse de rotation, son poids etc. vous ne ne pouvez absolument pas prédire dans quelle direction elle va le faire, tant celle-ci est sensible à la moindre perturbation. Ce qui était nouveau dans la découverte de Lorenz, c'est que pour la première fois on avait déniché une telle instabilité au cœur même des ordinateurs les plus puissants.

Vous pouvez faire vous-même le même genre d'expérimentation sur Excel: prenez deux nombres qui coïncident entre eux jusqu'à la 5^eme décimale, par exemple 0,1 et 0,100001. Doublez-les, ne gardez que la partie décimale et recommencez. Au début les résultats sont très proches, mais au bout de 8 itérations ils commencent à diverger. Au bout d'une vingtaine ils n'ont plus rien à voir entre eux. Voici ce que ça donne avec différents nombres au départ:

Regardez comme c'est étrange: d'une part l'ordinateur finit par se tromper sur les chiffres exacts (nombres à une décimale des premières colonnes) et d'autre part vous finissez par obtenir 0 au bout d'une cinquantaine d'itérations. Cette convergence, c'est le deuxième résultat étonnant que découvrit Lorenz, je vais y revenir.

Ainsi étaient mis en évidence des phénomènes totalement déterministes (dont les lois sont parfaitement définis et calculables) mais tellement sensibles aux conditions initiales qu'on ne peut en prédire l'évolution que jusqu'à un certain horizon temporel, faute d'en connaître l'état initial avec suffisamment de précision. Selon Philippe Etchecopar une fluctuation de 1 cm sur la position initiale de la Terre aboutit -dans les modèles actuels- à un déplacement d’un million de km après cent millions d’années.

C'est en ce sens qu'il faut comprendre l'image de "l'effet papillon": même si nous connaissons toutes les lois d'évolution d'un système, notre capacité à en prévoir l'évolution est limitée par la précision de nos mesures initiales. Pour les prévisions météo, par exemple, autant on peut prévoir le temps qu'il fera dans trois jours, autant d'après David Ruelle, "après quinze jours (...) il faudrait tenir compte de l'effet gravitationnel qu'aurait un électron situé à 10 années lumières de la Terre"! Le papillon peut aller se rhabiller, mais le phénomène n'a rien à voir avec un enchainement compliqué de causes à effets qui relierait l'histoire réelle d'un papillon avec le déclenchement d'un séisme à l'autre bout de la planète, comme on l'imaginerait spontanément en lisant le titre de la conférence de Lorenz.

Rien à voir non plus avec le hasard même si ça y ressemble. On peut connaître parfaitement les mécanismes d'un phénomène et être incapable d'en prédire l'évolution à long terme, faute de mesures suffisamment précises au départ: c'est ce qu'on appelle le chaos déterministe. Comme l'a bien résumé bien Poincaré (déjà en 1908, décidément il est trop fort Riton) : "Une cause très petite qui nous échappe, détermine un effet considérable (...) et alors nous disons que cet effet est dû au hasard".

Derrière le chaos, l'invariance
L'autre résultat que découvrit Lorenz un peu plus tard (il tint sa conférence onze ans après sa première découverte en 1961) me semble beaucoup plus spectaculaire bien qu'il ait été éclipsé par l'image du papillon. Certes avec des conditions initiales légèrement différentes, Lorenz obtenaient des résultats qui divergeaient totalement deux à deux au bout d'un certain nombre d'itérations. Mais il constata avec étonnement que les deux séries avaient statistiquement la même distribution de résultats.

Plus fort encore, lorsqu'on représentait graphiquement ces valeurs en trois dimensions, elles finissaient toujours par former un drôle de dessin... en forme de papillon. Quelles que soient les valeurs autour de ces valeurs initiales, les séries de résultats finissaient toujours par se distribuer autour des mêmes boucles. C'est bizarre, alors on a appelé ça un "attracteur étrange" (l'image est tirée du site du cnrs)


Pour expliquer ça en termes de Physique (n'oublions pas qu'il s'agissait de prévisions météo), Lorenz avançait "l’idée qu’au fil des années les petites perturbations ne modifient pas la fréquence d’apparition des événements tels que les ouragans : la seule chose qu’ils peuvent faire, c’est de modifier l’ordre dans lequel ces événements se produisent.» Autrement dit on ne peut prévoir le temps qu'il fera dans plusieurs semaines (faute de précision suffisante sur les conditions atmosphériques initiales), mais on peut tout à fait prédire le nombre de jours de pluies sur une période donnée.

Derrière l'invariance, la fractale
On a pu montrer que la plupart des systèmes chaotiques (c'est à dire qui suivent des lois précises mais dont le résultat dépend fortement des conditions initiales), finissent par osciller autour d'un ensemble fini de valeurs. Pourquoi de telles boucles? Ce n'est pas encore très clair (traduisez: je n'ai pas encore bien compris!) La figure reboucle rarement deux fois sur le même point et ce qui se profile est... une fractale, mais oui! Quel que soit l'agrandissement que l'on en fasse, c'est la même complexité qui se répète à l'infini -à condition bien sûr d'itérer le calcul à l'infini lui aussi.

On peut s'amuser à fabriquer sur Excel plein de telles figures, en itérant un calcul très simple. Celui-ci par exemple. Son petit nom c'est Gumowski-Mira:

En s'amusant à donner différentes valeurs à A, B, X₀ et Y₀, et en observant le graphique des points (X,Y) obtenus sur un grand nombre d'itérations (typiquement 10 000), on obtient de magnifiques figures. Ca marche sur Excel, mais c'est plus joli sur la galerie de photos de Stinging Eyes.

Vous ne trouvez pas que ça ressemble étrangement aux formes que prend le plancton? J'aime l'idée que peut-être -j'ai bien dit peut-être!-une seule loi physique régisse non pas une seule forme du vivant (comme on l'a vu pour les spirales de Fibonacci), mais une grande variété de formes très différentes, au hasard des paramètres que peut prendre cette loi dans la nature.

La transformation du boulanger.
Il y a quand même des cas où l'on comprend bien que ça finisse par reboucler. Si les résultats du calcul itératif ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs, tôt ou tard on va retomber sur ses pieds. Les séries de Kaprekar en sont une illustration. Pour l'exemple vu plus haut du doublement des décimales d'un nombre c'est la même chose car l'ordinateur travaille sur un nombre fini de décimales (d'où les erreurs qu'il commet au bout d'un moment).

Cela dit, retomber sur les valeurs de départ a tout d'un tour de magie. Enfilez votre tablier de cuisine et faites une pâte à gateau. Donnez-lui une forme de carré puis aplatissez-le en lui donnant une forme de rectangle horizontal. Coupez-en la moitié droite et replacez-la au-dessus de l'autre moitié: vous voici avec un nouveau carré de même dimension que le premier. Recommencez comme ça de nombreuses fois. Si au départ vous aviez une image sur votre carré de pâte, celle-ci se trouve rapidement totalement brouillée après quelques transformations. Mais au bout d'un grand nombre de fois, l'image réapparaît comme par miracle à sa place initiale! (source: BouMaton, logiciel pour faire ces traitements d'image)


On trouve des tas de transformations semblables sur internet. Parmi les plus spectaculaires, celle dites du "photomaton" où cette fois la photo de départ est transformée en 4 photos, comme sur un photomaton justement. On recommence de nouveau pour obtenir 4x4 photos etc. Au bout de quelques transformations on retrouve notre photo initiale! (source ici) Avouez que cette invariance systématique des systèmes complexes est bien plus stupéfiante que la question de leur prédictabilité limitée. L'histoire médiatique de l'effet papillon est aussi étrange que son attracteur: le grand public en a seulement retenu la triste (mais fausse) idée d'une impuissance scientifique à prévoir quoique ce soit, alors que la théorie exhibait au contraire une troublante invariance au coeur de ces systèmes. L'incompréhension entre les scientifiques et leur époque serait-elle aussi une constante intemporelle?

Sources:
David Ruelle, Chaos, imprédictibilité et hasard
Philippe Etchecopar, Quelques éléments sur la théorie du chaos
Le site d'Alain Esculier, pour les images des transformations du boulanger
Le site d'André Lévesque, pour les merveilleuses images de fractales
L'article d'Etienne Ghys et Jos Leys sur le site du CNRS, très bien fait où un "moulin à eau" reflète physiquement les observations numériques de Lorenz.
Une conférence sur le chaos de Sophie Mugnier

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Aimez-vous les dividendes?

Le débat actuel sur le caractère moral ou non des versements de dividendes aux actionnaires me laisse perplexe.

D'un côté (celui de la société civile), il semble scandaleux de rémunérer les actionnaires d'une entreprise par des dividendes, alors que celle-ci vient de bénéficier d'une aide de l'Etat et qu'on nage en plein marasme économique.

De l'autre, Georges Pauget, Directeur du Crédit Agricole considère par exemple que "les actionnaires ne doivent pas être totalement privés de dividendes. Il ne serait pas normal que les actionnaires qui ont suivi les augmentations de capital des banques et ont fait preuve de fidélité soient pénalisés". Après tout, l'argent des actionnaires finance l'économie du pays...

Les dividendes, rémunération des actionnaires?
Ces deux visions opposées partagent une conception identique des dividendes, comme étant la rémunération naturelle de l'actionnaire. Si vous placez vos éconocroques dans une petite exploitation familiale dont le patron a besoin d'argent, les dividendes que vous toucherez de temps en temps seront la seule contrepartie de votre investissement. Ils sont alors l'exact équivalent des intérêts que vous auriez touchés si vous aviez placé vos économies sur un compte d'épargne. Pourtant si vous achetez une action en bourse, toute cette logique implacable de rémunération par les dividende s'écroule comme un château de cartes:

- Première différence, contrairement aux idées reçues les placements boursiers ne sont pas des investissements qui financent les entreprises (en dehors des augmentations de capital ou des introductions en bourse). De la même façon que racheter un appartement d'occasion ne finance pas la construction immobilière, acheter une action d'une société existante, ne lui fournit aucun nouvel apport de capital.

- Seconde différence: sur un marché boursier, les dividendes ne sont pas une rémunération de l'actionnaire, mais une restitution sous forme de cash d'une partie de son capital.

Pour s'en convaincre, imaginons un instant que l'annonce d'un dividende n'influe pas le cours de l'action. Trop facile! Vous achetez plein d'actions juste avant le versement, vous touchez le dividende et vous revendez les actions le lendemain. Si le cours de l'action reste stable, c'est tout bénéf pour les petits malins qui comme vous empochent les gains sans prendre de risque...

Evidemment cela ne se passe pas comme ça:le lendemain des versements de dividende, la valeur de l'action est amputée de de celle du dividende. Laurent Guerby donne dans son blog l'exemple de Microsoft, qui versa en 2004 le plus gros dividende jamais versé dans l'histoire de la bourse américaine: 3$ par action soit 30 milliards de dollars versés en une seule fois aux actionnaires. Ça n'a pas raté, le jour du versement le cours a dévissé de 2,5$. Logique: la valeur de l'entreprise n'a pas de raison de varier parce qu'elle verse des dividendes; ce que les actionnaires gagnent en numéraire, ils le perdent en valeur d'action.

On n'a plus l'habitude de voir la valeur de l'action comme celle d'un vrai capital mais pour le coup elle se comporte comme tel. En théorie, la valeur des actions est censée refléter la totalité du capital propre de l'entreprise. Il est donc tout à fait logique que lorsqu'on diminue le capital de l'entreprise en versant des dividendes, la valeur des actions baisse d'autant.


Ils sont tous fous!
Les actionnaires qui réclament leur dividende comme une juste rémunération de leur investissement font donc -à mon humble avis- un contre-sens magistral: ce qu'ils gagnent en dividendes, ils le perdent sur le cours de l'action. Et comme les rémunérations en cash sont en général plus lourdement taxées (au titre de l'impôt sur le revenu) que les plus-values sur les actions, ils sont globalement perdants dans cette histoire de dividendes. L'indignation de Thierry Ottaviani, président de SOS Petits porteurs a le goût d'un bonbon acidulé quand il déclare: "Avec la dégringolade des cours [les dividendes] deviennent un symbole, même si les dividendes ne compenseront pas les pertes financières subies par la baisse des cours".

On se croirait dans "Buffet froid", le film de Bertrand Blier où chaque personnage dit toujours le contraire de ce qu'il devrait:
- Les petits actionnaires en réclament à corps et à cris alors qu'une plus-value de l'action serait plus intéressante pour eux (moins taxée). Comme le dit jean-Marie Pruvost dans son blog "Si la société ne verse pas de dividendes, le cours ne va donc pas diminuer pour cette raison. Il suffira à l'actionnaire de vendre alors le nombre d'actions nécessaires pour compenser les dividendes qu'il n'aura pas perçu. Dans les conditions actuelles il pourra même dégager des moins values et réduire son imposition!"
- L'Etat fustige les versements de dividendes alors qu'ils lui assurent d'excellentes rentrées fiscales, avec une double imposition (une fois par l'impôt sur les sociétés et une seconde fois par l'impôt sur les revenus des dividendes).
- Les Entreprises se croient obligées d'en verser -quitte à s'endetter parfois!- alors que leur capacité d'autofinancement est notoirement faible et qu'elles ont de plus en plus de difficultés à trouver des crédits auprès des banques.

Là où le scénario est admirable, c'est que la chute est parfaitement crédible, car dissuader (même pour de mauvaises raisons) les entreprises de verser des dividendes c'est finalement rendre service à tout le monde malgré eux: les entreprises se voient contraintes à plus d'efficacité et les actionnaires sont protégés contre eux-mêmes. Il n'y a que l'Etat qui y gagne moins qu'il ne le pourrait...


Derrière les dividendes...
Mais alors à quoi servent les dividendes s'ils ne rémunèrent pas les actionnaires? Excellente question sur laquelle les économistes apportent beaucoup de réponses, pas toujours claires et parfois contradictoires:
- Augmenter son taux d'endettement/diminuer sa part d'autofinancement: Microsoft en 2004 avait beaucoup trop de capitaux propres par rapport à sa capacité d'endettement et choisit d'en rendre par tous les moyens possibles. Entre dividendes et rachat d'actions, c'est un total de 70 milliards de dollars qui fut restitué au marché cette année-là.
- Envoyer un signal d'optimisme au marché: de gros dividendes indiquent en général que l'on anticipe des bénéfices futurs supérieurs aux prévisions (et donc qu'on n'a pas besoin de réinvestir tout le bénéfice).
- Montrer aux actionnaires que les dirigeants (ré)investissent avec discernement. La théorie économique impose en effet qu'une entreprise parvenue à mâturité ne réinvestisse ses bénéfices que pour des projets qui en vaillent la peine. Sinon il vaut mieux qu'elle rende son capital excédentaire au marché qui saura le placer de façon plus rentable. En termes techniques, ça se dit: "une politique de dividende doit s'apprécier par rapport à la rentabilité marginale de l'actif économique". Ça jette...

Les trois raisons précédentes sont de bonnes nouvelles pour les actionnaires et ont donc tendance à booster le cours de bourse (nonobstant la baisse mécanique liée au versement du dividende, bien sûr). On comprend du coup que les entreprises rechignent à rogner sur les dividendes versées, de crainte de paniquer leurs actionnaires.

- Normalement une politique de dividende sélectionne plutôt les investisseurs institutionnels et découragent les petits porteurs, soumis à l'impôt sur le revenu. Mais après ce qu'on a entendu, j'ai les plus grands doutes sur ce dernier point...
D'autant que les entreprises peuvent contourner ce problème de l'imposition sur les dividendes en rachetant leurs actions plutôt qu'en versant des dividendes. Le cours de l'action monte alors mécaniquement et en plus ça augmente le poids des gros actionnaires à l'Assemblée générale. Idéal pour permettre à un actionnaire principal mais pas majoritaire d'augmenter son contrôle sur la stratégie de l'entreprise...

Bref il y a loin de ces stratégies plus ou moins byzantines à l'explication d'une "juste rémunération" des actionnaires en récompense de leurs investissements dans l'économie du pays. Mais en communication financière, une fausse évidence passera toujours mieux qu'un raisonnement contre-intuitif.

Sources:
Finances d'entreprises , de Pierre Vernimmen: la bible de la théorie financière;
L'interview de Patrick Artus dans l'Express, qui critique au passage l'idée d'un partage en trois tiers des bénéfices;
Cet article des Echos sur le sujet et celui-ci qui traite des rachats d'actions et du cas de Microsoft en 2004.
Ce papier très complet de Mondher Bellalah sur la politique optimale de dividendes.

C'était quel jour déjà?

Si vous voulez jouer les Rain Man dans les dîners en ville, voici une méthode toute simple pour calculer rapidement le jour de la semaine de n'importe quel jour du 20eme siècle. Sans calculatrice bien sûr. Avec un peu d'entrainement vous pouvez même y arriver de tête!

D'abord, un petit exercice (j'ai pas dit qu'il fallait pas bosser...). Vous devez mémoriser la table suivante:
Janvier: 1
Février: 4
Mars: 4
Avril:0
Mai: 2
Juin: 5
Juillet: 0
Aout: 3
Septembre : 6
Octobre: 1
Novembre: 4
Décembre: 6

C'est bon? Choisissez maintenant une date au hasard, par exemple le 27 juillet 1995.

1) Prenez les deux derniers chiffres de l'année (95 dans notre exemple) et calculez le quotient de la division de ce ce nombre par 4 (on laisse tomber le reste).
95/4= 23 et quelques.

2) Ajoutez à ce quotient (23) le nombre de départ (95) + le code du mois (juillet = 0) + la date du mois (27)
23+95+0+27 = 145

3) Calculez le reste de la division de ce nombre par 7
145 = 20x7 + 5

4) Le résultat (5) est le numéro du jour de la semaine cherché, sachant que
Dimanche = 1
Lundi = 2
Mardi = 3
Mercredi = 4
Jeudi = 5
Vendredi = 6
Samedi = 0

Le 27 juillet 1995 tombait un jeudi!

Allez un autre avec le 28 septembre 1966
66:4=16 et quelques
16+66+6+28=116
116=7x16+4
Le 28 septembre 1966 était un mercredi

Attention, pour les années bissextiles, janvier vaut 0 et février vaut 3...

Et si vous êtes flemmard, vous pouvez toujours regarder sur un site comme celui-ci . Mais c'est tout de suite moins glamour...

Grâce à des trucs comme ça Arthur Benjamin, le "mathémagicien" arrive non seulement à calculer de tête le jour de la semaine de n'importe quelle date (sur la vidéo, 8eme minute), mais même des carrés de nombres jusqu'à cinq chiffres (10eme minute)... Bon entrainement!




Source: A Benjamin et MB Shermer "Mathemagics: How to look like a genius, without really trying" cité dans le "Petit cours d'autodéfense intellectuelle" de Normand Baillargeon.