Un peu de réflexion pour commencer.
On sait depuis toujours ou presque (depuis Héron d'Alexandrie au moins) qu'un rayon de lumière se réfléchit sur une surface selon un angle de réflexion (i2 sur la figure) égal à son angle d'incidence (i1), exactement comme une boule de billard rebondit sur une surface perpendiculairement à celle-ci.
Le rayon choisirait-il toujours le chemin le plus court pour relier deux points? Il faut voir, mais ça pourrait expliquer pourquoi il se déplace en ligne droite entre deux obstacles. Tiendrait-on là une loi universelle?
Comment ça, le maître-nageur n'est pas une lumière?
Comment ça, le maître-nageur n'est pas une lumière?
(Pour les furieux seulement) Dans les triangles rectangles OFH et OFK, on a HF= OF sin i et OK= OF sin r On en déduit que HF/OK= sin i / sin r = Vair/Veau Si on note {XY} le temps de parcours de X à Y on a donc {HF}={OK} Par ailleurs AL>AO et LF>HF (car les triangles ALO et HLF sont rectangles) donc AF>AO+HF qu'on peut réécrire en termes de temps de parcours {AF}>{AO}+{HF} De même {FB} > {KB} En additionnant ces deux inégalités on obtient {AF}+{FB}>{AO}+{HF}+{KB} Or on a vu que {HF}={OK} cette inégalité s'écrit donc {AF}+{FB}>{AO}+{OK}+{KB} donc {AF}+{FB}>{AO}+{OB}ce qui correspond à ce qu'on voulait montrer… |
Quand Fermat réussit à démontrer ce résultat en 1661 à partir du seul principe de "moindre temps" de la lumière il en est fasciné: "Le fruit de mon travail a été le plus extraordinaire, le plus imprévu et le plus heureux qui fût jamais". Il sent qu'il tient là une loi de la physique très générale qu'il appelle "principe d'économie naturelle", selon lequel "la nature agit toujours par les voies les plus courtes"*. L'histoire allait lui donner raison au-delà de tout ce qu'il pouvait imaginer...
De l'optique à la mécanique: le principe de moindre action
L'approche de Fermat est évidemment troublante pour un esprit rationnel: comment la lumière sait-elle que tel chemin est le le plus court et pas tel autre? Son principe semble par ailleurs violer le principe de causalité: comment le rayon connaît-il le chemin à prendre à partir de sa destination finale? Les esprits pieux de l'époque virent dans ce principe très simple et un peu magique l'expression d'une certaine perfection divine qui gouvernait toutes les lois de la physique. Comme l'écrivait Leibniz par exemple:
"Car étant donné, que la facture du monde tout entier est la plus parfaite qui soit et qu’elle a été exécutée par le créateur le plus sage, il n’arrive absolument rien dans le monde, dans lequel ne se manifeste pas un certain procédé de maximum ou de minimum ; c’est pourquoi on ne peut pas douter que tous les effets du monde puissent être déduits aussi facilement des causes finales, au moyen de la méthode des maxima et des minima, que des causes efficientes elles-mêmes" (cité par Jacques Bouveresse ici).
Autrement dit, Leibniz défendait un argument téléologique, c'est-à-dire qu'on pouvait expliquer les phénomènes naturels non plus à partir de leurs causes (les forces subies etc.) mais à partir de leur finalité. Le principe étant que le résultat obtenu sera obligatoirement le "meilleur" possible, c'est-à-dire un maximum ou un minimum. Cette explication à l'envers fit sortir Voltaire de ses gonds et lui inspira la fameuse tirade sur Pangloss dans Candide (source de l'image: ici):
"Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'être suprême: lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible."
Plutôt que d'expliquer comme Newton le mouvement d'un corps en décrivant à chaque instant ses variations de vitesse et de position avec des lois du genre accélération= force / masse, Maupertuis conjecturait que l'on peut trouver directement sa trajectoire globale dès lors qu'on en connaît les points de départ et d'arrivée. Sa méthode est audacieuse: parmi toutes les trajectoires possibles et imaginables entre ces deux points, la seule que choisit la nature est celle qui maximise (ou minimise) sa fameuse "action". Un petit schéma vaut mieux qu'une longue explication:
Quelle était cette "action" que la nature s'efforce de rendre extrêmale? Pour Maupertuis, c'était l'accumulation de la quantité de mouvement de la particule, le long de sa trajectoire. De son côté, Euler, qui aida Maupertuis à formaliser proprement sa théorie, penchait plutôt sur l'accumulation d'énergie potentielle (celle que confère l'altitude par exemple), tous les corps cherchant spontanément à se mettre dans l'état d'énergie potentielle la plus faible. Ce fut Lagrange qui mit tout le monde d'accord en 1788 avec une formulation générale encore en vigueur aujourd'hui. Dans le cas particulier d'un corps soumis à un potentiel (la gravité, les forces électromagnétiques par exemple), la quantité que la trajectoire réelle minimise à intervalle de temps donné, est la moyenne de la différence entre énergie cinétique (T) et énergie potentielle (U).
Non seulement ça marche, mais il montra en plus l'équivalence parfaite entre son principe reformulé de moindre action et toutes les lois (causales) de Newton. (voir la démonstration ici par exemple). Fortiche ce Lagrange. Seulement voilà, je ne sais pas pour vous, mais moi cette histoire de minimisation de la "différence entre énergie cinétique et potentielle" ne me parle pas du tout. Autant je vois bien à quoi correspond la somme de ces énergies -l'énergie totale (E) qui se conserve- autant le sens physique de leur différence (T-U) m'échappe. D'ailleurs je ne dois pas être le seul, car ce principe de moindre action est souvent vu comme une espèce d'artifice mathématique plus ou moins abscons. A force de chercher, j'ai pourtant fini par trouver une interprétation physique à chacune des trois expressions de ce principe de moindre action tel qu'exprimé par Lagrange, Maupertuis et Euler. A vous de choisir celle qui vous parle le plus!
Une certaine répugnance à changer de vitesse
L'expression de Maupertuis à base de quantité de mouvement me semble finalement la plus simple à comprendre: pour changer la quantité de mouvement d'un corps il faut une force, il paraît logique que la trajectoire "choisit" soit celle qui évite au maximum de subir l'action de ces forces. J'y voit l'analogue d'une loi du moindre effort, de la résistance au changement etc. Je sollicite par avance l'indulgence du lecteur si je dis une ânerie, mais j'y vois aussi la raison pour laquelle la balle au golf a la facheuse tendance à contourner le trou plutôt que d'y rentrer et d'en ressortir éventuellement.
Pourquoi la différence entre énergie cinétique et potentielle?
Laissez une balle verticalement et laissez la retomber dans votre main. Elle monte très vite, ralentit, s'arrête, puis redescend en accélérant. Si on mesure l'évolution de son altitude en fonction du temps, on obtient une courbe parabolique qui ressemble à ça:
Evidemment ces considérations n'ont pas beaucoup d'intérêt si on reste dans des cas aussi simples. Mais dans la vraie vie, on a souvent affaire à des formes de champs (électromagnétiques notamment) affreusement compliqués dont on peut éventuellement connaître la valeur approchée en tous point de l'espace mais certainement pas l'équation globale. Impossible donc d'appliquer les lois de Newton si on ne connaît pas l'équation du champ! Par contre, l'approche précédente de recherche de trajectoire optimale est super simple: il suffit de simuler informatiquement différentes trajectoires de durée fixe et de calculer pour chacune la quantité totale T-U. accumulée. La trajectoire réelle sera celle qui minimise cette quantité : fastoche!
Des géodésiques dans l'espace?
Revenons un instant sur l'approche de Fermat. La lumière minimise son temps de parcours dans le milieu, autrement dit elle suit une géodésique: une droite quand l'indice du milieu est constant, une courbe lorsqu'il varie. Comme le temps de parcours est proportionnel à l'indice, le trajet réellement emprunté par la lumière est celui qui minimise la moyenne de l'indice le long de la trajectoire. Pour la lumière, un indice élevé a donc exactement le même effet qu'une distance plus grande, autrement dit les variations d'indice indiquent une déformation de la métrique de l'espace pour le rayon lumineux.
Dans le cas d'un corps soumis à des forces dérivant d'un potentiel (gravité, champ électrique ou magnétique...), on a vu que le principe de moindre action peut s'exprimer comme la minimisation de la moyenne de l'énergie potentielle le long de la trajectoire réelle (c'est l'approche d'Euler). Il y a donc une analogie formelle entre l'indice du milieu pour la lumière et l'énergie potentielle U pour le corps en mouvement. On peut du coup considérer les trajectoires physiques comme des géodésiques d'un espace déformé par un champ d'énergie potentiel. Autrement dit selon le principe de moindre action à la sauce d'Euler, il y a équivalence entre le mouvement d'une particule soumise à un potentiel indépendant du temps dans un espace euclidien et la trajectoire d'une particule libre dans un espace courbe. D'après Jean-Louis Basdevant (dans son cours sur le sujet) Einstein aurait bien eu cette idée en tête dès 1908 lorsqu'il construisit sa théorie de la relativité générale, théorie qui conclut justement que la gravitation courbe la trajectoire de la lumière de la même manière qu'un changement d'indice optique.
Cela étant, Jacques Léon avec qui j'ai eu le plaisir d'échanger sur ce sujet m'a indiqué les limites de cette analogie dans le cas des corps physiques. L'intensité de l'énergie potentielle pour un objet dépend non seulement de sa position mais aussi de sa masse. Donc le simili-"indice de réfraction gravitationnel" n'est pas une propriété intrinsèque de l'espace puisqu'il dépend de la masse du corps en mouvement. Ce problème-là ne se pose pas avec la lumière car les photons ont une masse nulle: les trajectoires de la lumière sont de vraies géodésiques d'espace-temps alors que les trajectoires des corps massifs n'en sont pas vraiment.
Un principe unificateur fascinant
Depuis que Hamilton et Jacobi lui ont donné sa formulation moderne, le principe de moindre action a trouvé des applications dans tous les domaines. Le formalisme lagrangien est très pratique car il s'applique à n'importe quel système de coordonnées (sphériques, cylindriques ou composite). Et lorsque le mouvement est contraint par des obstacles ou des liaisons entre éléments d'un système, c'est un jeu d'enfant que d'intégrer ces contraintes dans les équations de Lagrange (sous forme de multiplicateurs de Lagrange pour ceux que ça intéresse).
Il n'existe à ma connaissance pas un seul domaine de la physique dont l'évolution ne puisse être décrite comme une maximisation ou de minimisation de quelque chose: la forme des bulles de savon, des alvéoles des nids d'abeilles, des spirales de la nature etc. peuvent toujours s'expliquer par la maximisation d'une certaine fonction du système. Le principe de moindre action est la seule théorie qui n'ait pour l'instant jamais été pris en défaut. Mieux, elle permet de retrouver à peu près toutes les lois de la physique! Grâce à lui, Emmy Noether a montré que derrière chaque symétrie des lois de la nature se cache une loi de conservation d'une certaine grandeur physique. David Hilbert a retrouvé les équations de la relativité générale à l'aide de ce principe. Enfin ce principe étrange s'est avéré parfaitement compatible avec les bizarreries de la physique quantique. Au point que Richard Feynman en a fait, avec son concept "d'intégrale de chemin", le fondement de son électrodynamique quantique, théorie qui permet selon lui "de décrire tous les phénomènes du monde physique, à l'exclusion des effets gravitationnels".
Bref, depuis 300 ans le principe de moindre action n'a cessé d'inspirer toute l'histoire de la physique et je suis fasciné par la quantité et la puissance de ses applications à partir de son énoncé tout simple, voire simpliste. Est-ce parce que son pouvoir d'unification continue de nous effrayer un petit peu qu'il n'est enseigné ni au lycée ni en prépa? A une époque où l'on déplore le désintérêt des jeunes pour la science, on ne perdrait rien à leur montrer ce petit bijou des lois de la nature.
Sources:
R Feynman: The principle of least Action, special lecture (pdf)
L'article de Wikipedia sur le sujet
Une excellente synthèse (en format ppt) sur le sujet
La conférence de Florence Robine en 2007 (pdf)
Le cours de Jean-Louis Basdevant et Christoph Kopper: Principes variationnels et mécanique analytique (également en pdf)
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