Fourmis matheuses

1) Compter les intersections est hautement instructif

L'aiguille de Buffon
On doit au Comte de Buffon d'avoir mis en évidence l'étonnante relation entre le nombre pi et la statistique. Mode d'emploi: prenez une après-midi pluvieuse et bien ennuyante, munissez-vous d'une épingle et placez vous sur un beau parquet aux lattes bien parallèles. Faites tomber l'aiguille sur le parquet et notez pour chaque lancer si l'aiguille touche ou non l'interstice entre les lattes. Recommencez 2000 fois. Quand vous êtes très fatigué par ce jeu idiot, calculez la fréquence à laquelle l'aiguille a touché l'intervalle entre les lames. Votre résultat devrait se rapprocher de 2a/πI où a est la longueur de l'aiguille et I l'intervalle entre les lattes du parquet. Sautez au paragraphe suivant si une jolie démonstration de ce résultat ne vous intéresse vraiment pas.

Il y a 36 manières de démontrer ce résultat, mais la plus élégante me semble être celle qu'à trouvé Emile Borel en 1860: l'astuce pour ne pas se fouler avec des sinus et des cosinus, c'est de remarquer qu'une aiguille de longueur a1+a2 touchera l'intersection -avec une espérance E(a1+a2) - si et seulement si sa partie a1 la touche -espérance E(a1) - ou si sa partie a2 la touche -espérance E(a2). Les probabilités s'additionnant, ça s'écrit E(a1+a2)= E(a1)+ E(a2). On en tire deux choses:

1) L'espérance est proportionnelle à la longueur de l'aiguille. E(a)=a E(1)
2) E(a1) + E(a2) se lit aussi comme le résultat du lâcher de deux aiguilles (a1 et a2) indépendamment l'une de l'autre, donc dans n'importe quelle position relative (en triangle, alignées, croisées entre elles etc). L'équation E(a1+a2)=E(a1)+E(a2) indique donc aussi que l'espérance de croisement d'une aiguille avec le parquet ne dépend pas de la forme de l'aiguille.

Borel a donc eu l'idée géniale de prendre pour forme particulière une aiguille circulaire de diamètre égal à l'écartement des lattes (sa longueur vaut donc πI ). Une telle aiguille coupera l'interstice en deux points, sauf si elle tombe pile au milieu des lattes: elle touchera alors à la fois la latte au dessus et celle au dessous. Dans tous les cas E(πI)=2
Et comme l'espérance est proportionnelle à la longueur, E(a)=a/(πI )E(πI ) donc E(a)=2a/(πI).

On peut se servir de ce résultat pour approximer π (essayez par exemple ce simulateur). J'admets qu'il y a plus pratique pour approximer π que de balancer des aiguilles sur un parquet pendant des heures. En plus il faut lancer l'aiguille 900 000 fois pour obtenir une précision d'un millième... Mais bon, pas de mauvais esprit, continuons plutôt...

Estimation des longueurs

L'autre intérêt de cette formule est qu'elle permet d'estimer la longueur L d'un tracé quelconque simplement en comptant le nombre N de fois qu'il s'intersecte avec une grille de maille I: L=πIN/4. Cette formule bizarre est à la base de la stéréologie, science bizarre dont le but est d'approximer statistiquement les dimensions d'un objet que l'on ne peut pas mesurer directement, par exemple une racine enfouie, la longueur d'un nerf ou encore des filaments microscopiques. Ou comme on le verra plus loin, pour estimer la surface ou le volume d'une cellule à partir de mesures partielles de dimension 1 ou 2.

Je n'ai pas trouvé la démonstration de cette formule, donc ceci est un essai. A vos stylos rouges!
Reprenons notre expérience de lâcher d'épingle, mais remplaçons cette fois le parquet par une grille de maille I. L'épingle croisera la grille si elle croise soit une ligne horizontale soit une ligne verticale. L'espérance de croisement de la grille vaut donc deux fois celle de l'expérience de Buffon: E(a)=4a/(πI) pour la grille.

Peignons notre épingle et regardons la trace L laissée sur la grille en plastique par tous les lancers d'épingle (l'arrière-arrière-arrière petite fille du Comte Buffon vous remercie au passage pour son beau parquet). Pour n lancers, L=a x n

Par ailleurs si on a obtenu N lancers avec intersection: E(a)=N/n=Na/L.

Donc N=4L/(πI). Le nombre d'intersections est proportionnel à la longueur du tracé aléatoire!

En reprenant le raisonnement dans l'autre sens, on peut estimer la longueur L d'un tracé aléatoire en comptant le nombre d'intersections qu'il forme avec une grille: L=πIN/4 où I est la maille de la grille. Et voilà!

Estimation des surfaces
Encore plus fort: En dessinant deux tracés aléatoires de longueur S et L dans une surface fermée A, on peut estimer cette surface en comptant le nombre N d'intersections entre les deux tracés. A= 2SL/N

Je n'ai réussi à montrer ce résultat qu'en postulant que N ne dépend que de la longueur des tracés et pas de leur forme particulière. Je suis preneur d'une justification de ce postulat ou d'une autre démonstration de cette formule.
En appliquant ce postulat, c'est facile: remplaçons le tracé S par un quadrillage régulier de la surface A. La grille obtenue, de maille I, contient A/I² cellules et sa longueur totale vaut environ S=2A/I (chaque cellule a un périmètre de 4I et chaque cellule est contiguë à une autre cellule). Comme on a montré plus haut que le nombre d'intersection du tracé L avec une grille vaut N=4L/(πI) on obtient la formule cherchée en remplaçant I par S/2A.

2) Pourquoi les fourmis aiment bien Buffon

La fourmi Leptothorax albipennis fait son nid dans les anfractuosités rocheuses. Quand la colonie grandit ou que le nid devient inhabitable, parce qu'il prend l'eau par exemple, elle envoie éclaireurs chercher un autre emplacement propice. Il faut que le futur nid ait une surface suffisante pour y accueillir toute la petite famille. Pas facile quand on n'a pas de mètre à couture sur soi... On a observé attentivement comment les éclaireurs s'y prennent: lorsqu'il découvre une surface propice, chaque éclaireur y entre plusieurs fois et décrit des circuits très alambiqués à l'intérieur. Si la cache est plus petite que le nid initial il cherche un autre emplacement. Sinon il court indiquer à ses congénères qu'il a trouvé ZE bon plan pour ce soir.

L'équipe du Pr Franks, de l'Université de Bath s'est intéressé au cas de ces fourmis et s'est livrée à tout un tas d'expériences en laboratoires, avec des anfractuosités artificielles faites dans des boites de Petri:
- Tout d'abord ils ont constaté que la fourmi ne se fie pas au périmètre des contours des caches: les nids artificiels construits avec de grands périmètres mais avec de petites surfaces sont rejetés. Ils ont vérifié également que les fourmis ne préféraient pas spécialement les nids où l'on pouvait faire de grands déplacements sans collision contre un obstacle. C'est donc bien les surfaces des nids que sont capables de comparer ces satanées bestioles.
- Les chercheurs ont ensuite découvert que la fourmi éclaireur déposait lors de sa première visite, une trace de phéromones qui lui est propre tout le long de son passage. Lorsqu'elle effectue son second passage, elle marque un petit temps d'arrêt chaque fois qu'elle croise sa première trace. Par contre elle ne s'arrête pas lorsqu'elle croise la trace d'un autre éclaireur, preuve qu'elle sait reconnaître son marqueur parmi tous les autres.
- Les chercheurs ont vérifié que le nombre de croisements avec la première trace était déterminant dans la prise de décision de notre amie fourmi. Pour ça, ils ont placé un cache perforé sur le sol de la cache avant son premier passage puis, une fois qu'elle vait fini sont petit tour, ils ont ôté le cache avant son second passage. Grâce à cette ruse de la mort, ils ont diminué de moitié la trace odorante de la fourmi et donc divisé par deux le nombre de fois où l'éclaireur croise sa première trace. Et devinez quoi? Les fourmis acceptent ainsi des caches qu'elles avaient jusqu'ici rejetées, trompées par un si faible nombre de croisement...
- Nos chercheurs ont filmé les passages des fourmis et constaté qu'une fourmi éclaireur effectuait une parcours à peu près toujours de la même longueur dans les différents caches et lors de ses différentes visites.

Mais alors: si les fourmis font des tracés aléatoires de longueur constante et sont sensibles au nombre de croisements entre deux tracés, ne seraient-elles pas en train d'appliquer instinctivement la formule de Buffon, qui prédit que la surface est inversement proportionnelle au nombre de croisements entre deux tracés aléatoires?

Pour le vérifier, nos chercheurs ont filmé les visites dans deux caches artificielles, l'une deux fois plus grande que l'autre. Ils ont compté le nombre de croisements trouvés par les fourmis lors de leurs secondes visites. Et ils ont effectivement constaté qu'en appliquant la formule de Buffon, on retrouvait assez précisément le rapport de surface entre les deux caches! Autrement dit, l'application de cette formule mathématique semble pouvoir expliquer l'incroyable capacité des fourmis à comparer assez précisément les surfaces qu'elles rencontrent.

Les boîtes représentent la distribution des deux surfaces (la simple et la double) recalculées avec le trajet et le nombre d'intersection de chaque fourmi. Les points représentent les valeurs réelles des deux nids. Le trait intérieur horizontal est la médiane, le fond et le sommet de la boîte représentent les 1ers et 3eme quartiles des données. On voit à quel point les approximations sont proches des valeurs (relatives) réelles...

Fourmidable, non?

Références
L'article de Wikipedia sur l'aiguille de Buffon
Mallon& Franks, Royal Society (2000)
Mugford, Mallon & Franks, Behavioral Ecology (2001)
... et surtout l'extraordinaire livre de Luc Passera, La véritable histoire des fourmis.