rire

Sortie par la porte de l'école primaire lorsque nos chères têtes blondes apprennent à compter, l'échelle logarithmique n'a pas dit son dernier mot. La revoilà qui reparaît aux antipodes des sciences de la nature et des perceptions sensorielles: au beau milieu de l'économie et des statistiques! Une vraie anguille...

Petite expérience de stats...
Prenez n'importe quelle longue série de mesures: typiquement une liste des cours de Bourse et les volumes d'échanges des titres (ici), ou encore des statistiques mondiales sur le PNB, la taille des populations etc. (ici par exemple). Avec un tableur amusez-vous à comparer à quelles fréquences tous ces nombres commencent par un 1, par un 2, par un 3 etc. Qu'en dites-vous? Le bon sens voudrait que toutes ces fréquences soient identiques (soit environ 11% pour chacun des 9 chiffres).
Voici pourtant la distribution que vous allez trouver:

Pour toutes ces listes de mesures, vous tombez toujours sur à peu près les mêmes fréquences du chiffre de gauche:
1 dans 30% des cas
2 dans 18% des cas
3 dans 12% des cas etc.
jusqu'au chiffre 9 dont la fréquence est inférieure à 5%: vous avez six fois plus de chance de tomber sur un nombre commençant par 1 que par un 9.

La Loi de Benford
Etrangement, cette répartition suit une loi logarithmique (encore elle): la probabilité pour qu'un nombre commence par le chiffre p est à peu près égale à Log (1+1/p). How strange!
C'est à un astronome américain, Simon Newcomb, que l'on doit cette découverte en 1881. En manipulant les formulaires qu'on utilisait à l'époque pour faire des grands calculs, il s'était aperçu que les premières pages - celles qui concernent les nombres commencent par 1- étaient beaucoup plus usées que les autres et, en creusant le phénomène, il énonça le premier la loi de distribution logarithmique. Mais sa trouvaille n'eut pas beaucoup de succès et il fallut attendre 1938 pour qu'un physicien anglais, Frank Benford, redécouvre cette drôle de loi et la vérifie expérimentalement sur tout un tas de séries de données.

Vous pouvez essayer avec toutes les mesures statistiques qui vous tombent sous la main, de la hauteur des immeubles aux statistiques des naissances, en passant par les longueurs des rivières. La loi de Benford marche plutôt pas mal :
- quand la série des valeurs s'étale sur plusieurs ordres de grandeurs: évitez donc les statistiques concernant l'âge ou le QI des personnes, ou encore le nombre d'enfants par couple par exemple;
- chaque fois que c'est une quantité mesurée: pas la peine d'essayer avec une liste de codes postaux ou de numéros de téléphone;
- lorsqu'il n'y a pas de valeur préférentielle: les listings de prix ne suivent pas très bien cette loi car on préfère toujours un prix de 9,99€ plutôt que de 10€ par exemple.


Pourquoi n'obtient-on pas une distribution uniforme?
Ce qui est étrange c'est qu'on s'attend à ce que tous les nombres d'une grande série soit répartis uniformément sur une échelle de 1 à 1000 par exemple, sans aucune préférence pour tel premier chiffre plutôt que tel autre. Et d'ailleurs, quand bien même il y aurait cette préférence, ne suffit-il pas de changer d'unité de mesure (en passant du dollar à l'euro ou au yen par exemple dans la mesure des PNB) pour qu'une telle distribution vole en éclats? Ah ah! Qu'est-ce qu'il disent là-dessus Benford et Newcomb?
C'est paradoxalement cette objection concernant l'unité de mesure qui permet de comprendre ce qui se passe. Supposons que notre série soit répartie uniformément le long de l'échelle de mesure, avec la même probabilité (11,1%) de commencer par un 1, par un 2, par un 3 etc. Que se passe-t-il si on prend pour la même série de nombre une unité de mesure deux fois plus petite?
Tous les nombres de la série qui commençaient par 1 dans l'unité initiale, vont désormais commencer soit par un 2, soit par un 3 dans la nouvelle unité;
ceux qui commençaient par un 2 dans l'ancienne unité vont désormais commencer par 4 ou 5 dans la nouvelle;
ceux qui commençaient par un 3 vont désormais commencer par 6 ou 7;
ceux qui commençaient par un 4 vont désormais commencer par 8 ou 9.
En revanche tous les nombres qui commençaient par 5, 6, 7, 8 ou 9 vont tous commencer par 1 dans la nouvelle unité:

En changeant d'unité, on passe d'une distribution uniforme des premiers chiffres à une distribution totalement déséquilibrée où les nouvelles mesures commencent par le chiffre 1 dans plus de la moitié des cas. Notre intuition était trompeuse: une distribution uniforme des premiers chiffres n'est absolument pas stable quand on change d'échelle. Si l'on cherche une distribution insensible à l'unité de mesure, il faut manifestement chercher autre chose...
Pourquoi une répartition logarithmique?
La question posée est donc bien: quelle serait une distribution des fréquences du premier chiffre qui serait insensible à n'importe quel changement d'unité?
Pour essayer d'y voir plus clair, utilisons la notation scientifique où 2349,45 s'écrit 2,34945 10³. N'importe quel nombre X non nul de la série s'écrit ainsi X= x 10ⁿ, avec x € [1,10[ et n entier. Le premier chiffre à gauche du nombre X est la partie entière de x et la distribution recherchée est simplement la distribution des x sur [1,10[. Cette distribution ne doit pas changer si on multiplie x par une constante a.
Comme la distribution des x est la même que celle des ax, celle de Log(x) est la même que celle de Log(ax)=Log(a) + Log(x).
Si on pose y=Log(x), y€[0,1[. La distribution de y est invariante par addition de n'importe quelle constante. Ca marche par exemple si y est uniformément réparti sur [0,1[
Pour que la distribution de x soit invariante par changement d'échelle, ce ne sont pas les x qui doivent être uniformément répartis mais leurs logarithmes!

La probabilité pour que X commence par d (d étant un entier de 1 à 9) se calcule ainsi:
La loi de Benford est juste la conséquence de cette propriété! Dans ces séries, un nombre a autant de chance d'être entre 10 et 100 qu'entre 100 et 1000.

Pourquoi les petits nombres sont-ils privilégiés?
OK des logarithmes répartis uniformément signent donc une distribution insensible à l'unité de mesure. Mais en quoi cela favoriserait-il la fréquence des nombres commençant par un 1? Pourquoi les séries géométriques ont-elles toujours plus de nombres commençant par 1, quelque soit l'origine de la suite 10, 20, 30, 40 ou 90?

Pour piger le phénomène, il faut regarder à quoi ressemble une échelle logarithmique. Prenons une variable s'étalant sur plusieurs ordres de grandeur, et dessinons sa distribution (en ordonnées) sur une échelle logarithmique (en abscisses). Ça donne quelque chose comme ça:

La probabilité qu'un nombre commence par un 1 est proportionnelle à la somme des aires des bandes rouges, c'est à dire grosso modo à la largeur cumulée de ces bandes rouges. Idem pour le chiffre 2 et les bandes bleues.
Il suffit de regarder l'échelle logarithmique pour voir que les petits nombres ont la part belle, alors que les 7, 8 et 9 ont la portion congrue de l'échelle. C'est exactement cette inégalité de traitement qui se reflète dans la loi de Benford.
Bon mais ça sert à quoi?
La loi de Benford n'est pas seulement une curiosité scientifique, c'est aussi un redoutable détecteur de fraude fiscale. Oui vous avez bien lu, de fraude fiscal.
Quand on falsifie une déclaration fiscale, on a naturellement tendance à inventer des listes de nombres qui commencent aussi bien par 1, 2 ou 3 que par 5, 6 ou 7. Bref, ces listes violent la loi de Benford et le fisc américain utilise désormais ce nouvel outil pour chasser les fraudeurs. L'arme est redoutable, car fabriquer une liste qui suive correctement toutes les subtilités de la distribution de Benford n'est vraiment pas simple.
Globalement la loi de Benford est un remarquable détecteur de statistiques truquées ou incohérentes. On l'utilise pour vérifier que des simulations sont plausibles. On l'a même invoqué pour dénoncer la fraude électorale en Iran durant les dernières élections!

N'allez quand même pas prendre la loi de Benford pour le nouveau nombre d'or de la statistique moderne. D'abord elle ne s'applique pas à toutes les suites loin s'en faut: ça marche sur les mesures, sur la suite n! ou sur celle de Fibonacci, mais pas du tout sur celle des nombres premiers par exemple. Ensuite comme le dit Jean-Paul Delahaye, son caractère paradoxal est uniquement dû au fait que "les humains considèrent spontanément que tout ce qui est aléatoire est uniforme. Le premier chiffre significatif, évidemment obtenu par hasard, devrait alors suivre une loi uniforme. La loi de Benford peut donc être comprise comme un paradoxe psychologique (en non mathématique)..." On ne saurait mieux dire.

Sources:
Wikipedia (plus complet en anglais)
Loi de Benford et la détection des fraudes comptables
Gauvrit et Delahaye, Pourquoi la loi de Benford n'est pas mystérieuse (Mathematics and social science 2008) pour une démonstration rigoureuse de cette loi;
Les deux articles du blog d'Arthur Charpentier consacrés à ce sujet (ici et là), et auquel j'ai emprunté la photo de la calculatrice usée.

Billet connexe
Notre sens du Logarithme le billet précédent

Notre sens du logarithme

1,2,3 nous irons au bois
C'est réconfortant de pouvoir égrener les quantités les unes après les autres avec la régularité d'un métronome. Qu'il s'agisse du nombre de champignons que l'on cueille, des kilos de châtaignes que l'on ramasse ou des kilomètres que l'on parcourt, on a toujours à disposition une échelle de mesure très simple, dont les barreaux sont tous espacés d'un même intervalle. On s'est souvent battu historiquement pour imposer son unité plutôt que celle du voisin, mais quel que soit l'étalon de mesure -mètre, toise ou pied et leurs dérivés- tout le monde l'a toujours utilisé de la même manière. Pour jauger une dimension, on compte simplement le nombre d'unités-étalons que l'objet à mesurer peut contenir. Quoi de plus plus naturel en somme que cette manière "linéaire" de mesurer le monde qui nous entoure en additionnant des unités-étalons? Et pourtant...

Do, ré, mi, cueillir des cerises
Si vous jouez une corde de guitare en la plaquant en son milieu, cette moitié de corde donne la même note -décalée d'une octave- que si vous grattez la corde entière à vide. Et si vous divisez encore par deux sa longueur, vous décalez le son encore d'une octave. La hauteur des notes se décale donc d'un intervalle constant (une octave) chaque fois qu'on divise la longueur de la corde par deux: pas très cohérent avec ce qu'on vient de raconter sur les mesures-étalons qui s'additionnent...

On peut voir les choses d'une autre manière. Un Do et un Ré consécutifs nous semblent séparés par le même intervalle de hauteur (ce qu'on appelle un ton) quel que soit l'octave dans laquelle ils sont joués. Pourtant si l'on mesure leurs fréquences, on s'aperçoit que l'intervalle qui les sépare n'est pas du tout constant: il double à chaque octave (données tirées du site ordiecole.com):

NOTE

Octave 1

Octave 2

Octave 3

Octave 4

Fréquence du Do	65Hz	131Hz	262Hz	523Hz
Fréquence du Ré	73Hz	147Hz	294Hz	587Hz
Différence entre le Do et le Ré	8Hz	16Hz	32Hz	64Hz

Bien que toutes séparées d'un ton, les notes de la gamme tonale (Do, Ré, Mi, Fa#, Sol# et La#) ne forment pas une échelle aux barreaux régulièrement espacés, mais une échelle bizarre dont les barreaux s'écartent de plus en plus à mesure qu'on monte en hauteur.



L'octave étant divisé en douze demi-tons, pour passer d'une note au demi-ton suivant, il faut multiplier la fréquence de la note par la racine douzième de 2 (environ 1.0595). Au douzième demi-ton, on a multiplié la fréquence par deux et nous voilà revenu à la note initiale, une octave plus haut. Autrement dit, nous sommes sensibles non pas à la différence absolue entre les fréquences de deux notes de musique, mais à leur rapport. En maths, la fonction qui convertit un rapport de deux nombres en une différence s'appelle un logarithme (noté Log avec Log(a/b)=Log(a)-Log(b) ). Notre perception musicale est donc logarithmique!

Pour savoir à quelle fonction logarithmique on a affaire, il suffit de connaître le rapport qui augmente le logarithme d'une unité.
Dans le cas de la musique, l'octave correspond à un doublement de fréquence. Notre échelle de perception musicale suit donc un logarithme en base 2. Regardez, ça marche:

NOTE

Octave 1

Octave 2

Octave 3

Octave 4

Fréquence du Do	65Hz	131Hz	262Hz	523Hz
Log2(fréquence)	6,0	7,0	8.0	9.0

boum, boum,BOUM dans mon panier neuf
Notre oreille est sensible de la même manière à l'intensité des bruits. Dans une chorale, on perçoit la même augmentation de volume sonore quand on passe de cinq à dix chanteurs que quand on passe de dix à vingt, ou de vingt à quarante chanteurs. C'est la raison pour laquelle la mesure du niveau sonore suit elle aussi une échelle logarithmique (les décibels, ou dB). La puissance acoustique de la source (qui correspond en gros au nombre de chanteurs dans la chorale) s'exprime en Watts:

Puissance (W)	Niveau dB	Exemple
100 000 000	200	Fusée Saturn V Gros porteur quadriréacteurs
1 000 000	180
10 000	160
100	140	Grand orchestre
1	120	Marteau piqueur
0.01	100	Cri
0.000 1	80
0.000 001	60	Conversation

(source: Wikipedia)

10,11,12 elles seront toutes rouges
Notre ouïe n'est pas le seul sens rebelle à la simplicité de l'échelle arithmétique, loin s'en faut. La loi de Weber-Fechner découverte à la fin du XIX^e (et sa version raffinée sous le nom de Loi de Steven) veut que "toute sensation varie comme le logarithme de l'excitation". Ce qui exprime simplement par le fait que l'on peut facilement faire la différence entre un poids de 100g et un poids de 200g, mais qu'il est très difficile de différencier 100kg et 100,1kg. En d'autres termes, notre échelle de sensation de poids est calée sur l'accroissement relatif d'un stimulus (ici un poids) et non pas sur sa variation absolue.

Ce principe général a été vérifié dans quantité de domaines. La sensibilité de notre œil varie par exemple avec le logarithme de la luminosité. C'est la raison pour laquelle, depuis l'Antiquité, on mesure la luminosité des étoiles sur une échelle logarithmique. Celle d'Hipparque allait de 1 (la plus lumineuse) à 6 (la moins lumineuse), cinq unités correspondant à une diminution d'un facteur 100 de la luminosité.
Nos yeux ne sont sensibles qu'au rapport entre ombres et lumière. Et heureusement! Car les rapports de luminosité d'une image ne dépendent pas trop des conditions de luminosité dans lesquelles on la regarde. Si notre perception des contrastes provenait des différences absolues de luminosité, nos impressions visuelles seraient chamboulées chaque fois que l'on modifie légèrement les conditions de luminosité. Un truc à devenir dingue...

13,14,15 nous n'en renverserons pas
Notre sensibilité aux tremblements de Terre suit également une loi logarithmique: dans la fameuse échelle de Richter un accroissement d'une unité de magnitude correspond à une multiplication par 30 de l'énergie du séisme et par 10 de l'amplitude de son mouvement. Idem pour la sensibilité à la pression subie ou à la sensation de vitesse. Voilà ce que donnerait le diagramme des perceptions physiques (en ordonnées avec une échelle logarithmique de 1 à 100) en fonction des stimulus physiques (en abscisses sur une échelle logarithmique de 10 à 10⁷):

(source: ici)

Il n'y a guère que notre perception de la souffrance qui ne suive pas très bien cette loi logarithmique, au grand dam de Jack Bauer! Quand il se fait torturer par d'affreux méchants, sa douleur augmente quasi proportionnellement aux sévices qu'on lui inflige.

On peut même se demander si notre perception des durées ne correspond pas elle aussi à une échelle logarithmique -ce qui expliquerait pourquoi on a le sentiment que le temps présent s'écoule plus vite que dans le passé et que jamais le temps ne s'est écoulé aussi vite qu'en ce moment.

Pour en revenir aux nombres
Après tout ça, on n'est pas trop surpris d'apprendre que notre sens "naturel" des nombres suit lui aussi une loi logarithmique, comme on l'a déjà raconté dans ce billet. Si l'on demande à des indiens amazoniens Mundurucus -qui n'ont pas développé de système arithmétique- de déterminer quelle est la quantité intermédiaire entre un objet et 9 objets, ils choisissent la quantité...3.
La réponse tombe maintenant sous le sens: 1 x 3 = 3 et 3 x 3 = 9. 3 est donc la moyenne géométrique entre 1 et 9. Autrement dit, Log(3)=[Log(9)+Log(1)]/2

Il semble bien que les enfants naissent naturellement dotés du même système logarithmique pour appréhender les quantités. Ils sont sensibles aux proportions des nombres et non pas à leur différence. Le système arithmétique qui met au même niveau la différence entre 1 et 2 que la différence entre 21 et 22 est donc très contre-intuitif. Pas étonnant qu'ils mettent du temps à savoir compter: il leur faut d'abord désapprendre à compter logarithmiquement. Peut-être qu'on devrait commencer par leur apprendre la multiplication?

Une histoire d'échelles en perspective
L'échelle arithmétique linéaire qui nous semblait si naturelle s'avère finalement être une construction très artificielle. Les échelles logarithmiques sur lesquelles nos sens sont réglés nous rendent davantage sensibles aux proportions qu'aux différences absolues entre les grandeurs physiques. Regardez le diagramme ci-dessus: la représentation logarithmique est certes moins précise à grande échelle, mais en contrepartie elle nous permet d'appréhender par la pensée un spectre de dimensions bien plus étendu qu'une échelle arithmétique.
Pas besoin de diagramme pour comprendre pourquoi: imaginez une échelle immense. Pas une échelle imaginaire, une vraie échelle avec des barreaux en bois ou en métal. Si vous la regardez bien en face, de sorte que tous les barreaux soient équidistants, vous avez devant vous une échelle arithmétique classique. Et vous remarquez que votre champ de vision n'embrasse qu'un tout petit morceau de l'échelle.

(source Flickr)

Pour pouvoir visualiser toute la longueur de l'échelle, il faut la regarder d'en bas:

(source: glitchbucket.com)

Plus les barreaux sont loin, plus ils semblent rapprochés: grâce à la perspective, notre échelle est physiquement devenue une "échelle logarithmique" qui nous permet de voir beaucoup plus loin. Le logarithme n'est finalement que le nom mathématique donné à la perspective, qui met tous les ordres de grandeur à notre portée, de l'infiniment petit à l'infiniment grand.

Sources:
Le site de l'Université d'Uppsala.
L'article de Wikipedia (plus complet en anglais qu'en français).

Billets connexes:
Les neurones des nombres qui détaille notre sens inné des quantités.

La constance du papillon

"L'effet papillon" c'est un peu la pince multi-prise du prêt-à-penser: le fameux battement d'aile qui déclenche une tornade à l'autre bout du monde est la référence médiatique incontournable de tous les chaos, crises financières ou désastres écologiques dont on ne comprend pas les causes. Il faut dire que le concept a tout pour séduire: un label de théorie scientifique, une belle image de la Nature - un papillon- et l'inévitable référence à une mondialisation incontrôlable.
Normal donc qu'on l'invoque sous toutes ses formes -chansons, films, essais- à chaque fois qu'on souhaite illustrer comment de toutes petites causes provoquent des grandes catastrophes, sous l'effet d'une avalanche de réactions en chaine. L'effet papillon serait-il simplement la version scientifique du nez de Cléopâtre, dont Blaise Pascal pensait que "s'il eût été plus court, la face de la Terre aurait changé"? Hmmm... Ce serait un peu court. Et surtout, la puissance d'une théorie scientifique (celle du chaos en l'occurrence) ne se mesure-t-elle pas précisément à sa capacité prédictive? Qu'y aurait-il de génial dans une théorie qui nous démontrerait juste qu'on vit dans un monde complexe et imprévisible?

A vrai dire, la théorie du chaos a fait les frais de son succès médiatique. Lorsqu'en 1972, son inventeur Edward Lorenz, fit sa fameuse conférence "Le battement des ailes d'un papillon du Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas?", il présenta deux résultats fascinants dont le grand public ne retint que le premier. Lorenz modélisait alors des phénomènes météorologiques en faisant mouliner les laborieuses machines à calculer de l'époque sur des calculs itératifs (on prend comme données d'entrée les résultats du calcul précédent et on recommence). L'histoire raconte qu'un jour de 1961, il voulut refaire un de ses calculs pour le vérifier mais, pressé d'aller se faire un café, il eut la flemme d'entrer en machine les données complètes avec six décimales, et les arrondit au millième.

Derrière le papillon, la sensibilité aux données initiales
A sa grande surprise, l'infime variation des données initiales avait entrainé une grande divergence des prévisions: au bout d'un certain temps ce n'était plus une tempête au pôle Nord qui s'annonçait, mais une grande sécheresse dans le Sud! C'est cette hypersensibilité aux conditions initiales qui lui inspira le titre de sa conférence et qui marqua les esprits.
Ce phénomène est intéressant, mais à vrai dire pas très nouveau en physique: si vous lancez une toupie, vous connaissez parfaitement les lois auxquelles elle est soumise. Vous savez qu'elle va finir par tomber et pourtant, même en connaissant parfaitement sa vitesse de rotation, son poids etc. vous ne ne pouvez absolument pas prédire dans quelle direction elle va le faire, tant celle-ci est sensible à la moindre perturbation. Ce qui était nouveau dans la découverte de Lorenz, c'est que pour la première fois on avait déniché une telle instabilité au cœur même des ordinateurs les plus puissants.

Vous pouvez faire vous-même le même genre d'expérimentation sur Excel: prenez deux nombres qui coïncident entre eux jusqu'à la 5^eme décimale, par exemple 0,1 et 0,100001. Doublez-les, ne gardez que la partie décimale et recommencez. Au début les résultats sont très proches, mais au bout de 8 itérations ils commencent à diverger. Au bout d'une vingtaine ils n'ont plus rien à voir entre eux. Voici ce que ça donne avec différents nombres au départ:

Regardez comme c'est étrange: d'une part l'ordinateur finit par se tromper sur les chiffres exacts (nombres à une décimale des premières colonnes) et d'autre part vous finissez par obtenir 0 au bout d'une cinquantaine d'itérations. Cette convergence, c'est le deuxième résultat étonnant que découvrit Lorenz, je vais y revenir.

Ainsi étaient mis en évidence des phénomènes totalement déterministes (dont les lois sont parfaitement définis et calculables) mais tellement sensibles aux conditions initiales qu'on ne peut en prédire l'évolution que jusqu'à un certain horizon temporel, faute d'en connaître l'état initial avec suffisamment de précision. Selon Philippe Etchecopar une fluctuation de 1 cm sur la position initiale de la Terre aboutit -dans les modèles actuels- à un déplacement d’un million de km après cent millions d’années.

C'est en ce sens qu'il faut comprendre l'image de "l'effet papillon": même si nous connaissons toutes les lois d'évolution d'un système, notre capacité à en prévoir l'évolution est limitée par la précision de nos mesures initiales. Pour les prévisions météo, par exemple, autant on peut prévoir le temps qu'il fera dans trois jours, autant d'après David Ruelle, "après quinze jours (...) il faudrait tenir compte de l'effet gravitationnel qu'aurait un électron situé à 10 années lumières de la Terre"! Le papillon peut aller se rhabiller, mais le phénomène n'a rien à voir avec un enchainement compliqué de causes à effets qui relierait l'histoire réelle d'un papillon avec le déclenchement d'un séisme à l'autre bout de la planète, comme on l'imaginerait spontanément en lisant le titre de la conférence de Lorenz.

Rien à voir non plus avec le hasard même si ça y ressemble. On peut connaître parfaitement les mécanismes d'un phénomène et être incapable d'en prédire l'évolution à long terme, faute de mesures suffisamment précises au départ: c'est ce qu'on appelle le chaos déterministe. Comme l'a bien résumé bien Poincaré (déjà en 1908, décidément il est trop fort Riton) : "Une cause très petite qui nous échappe, détermine un effet considérable (...) et alors nous disons que cet effet est dû au hasard".

Derrière le chaos, l'invariance
L'autre résultat que découvrit Lorenz un peu plus tard (il tint sa conférence onze ans après sa première découverte en 1961) me semble beaucoup plus spectaculaire bien qu'il ait été éclipsé par l'image du papillon. Certes avec des conditions initiales légèrement différentes, Lorenz obtenaient des résultats qui divergeaient totalement deux à deux au bout d'un certain nombre d'itérations. Mais il constata avec étonnement que les deux séries avaient statistiquement la même distribution de résultats.

Plus fort encore, lorsqu'on représentait graphiquement ces valeurs en trois dimensions, elles finissaient toujours par former un drôle de dessin... en forme de papillon. Quelles que soient les valeurs autour de ces valeurs initiales, les séries de résultats finissaient toujours par se distribuer autour des mêmes boucles. C'est bizarre, alors on a appelé ça un "attracteur étrange" (l'image est tirée du site du cnrs)


Pour expliquer ça en termes de Physique (n'oublions pas qu'il s'agissait de prévisions météo), Lorenz avançait "l’idée qu’au fil des années les petites perturbations ne modifient pas la fréquence d’apparition des événements tels que les ouragans : la seule chose qu’ils peuvent faire, c’est de modifier l’ordre dans lequel ces événements se produisent.» Autrement dit on ne peut prévoir le temps qu'il fera dans plusieurs semaines (faute de précision suffisante sur les conditions atmosphériques initiales), mais on peut tout à fait prédire le nombre de jours de pluies sur une période donnée.

Derrière l'invariance, la fractale
On a pu montrer que la plupart des systèmes chaotiques (c'est à dire qui suivent des lois précises mais dont le résultat dépend fortement des conditions initiales), finissent par osciller autour d'un ensemble fini de valeurs. Pourquoi de telles boucles? Ce n'est pas encore très clair (traduisez: je n'ai pas encore bien compris!) La figure reboucle rarement deux fois sur le même point et ce qui se profile est... une fractale, mais oui! Quel que soit l'agrandissement que l'on en fasse, c'est la même complexité qui se répète à l'infini -à condition bien sûr d'itérer le calcul à l'infini lui aussi.

On peut s'amuser à fabriquer sur Excel plein de telles figures, en itérant un calcul très simple. Celui-ci par exemple. Son petit nom c'est Gumowski-Mira:

En s'amusant à donner différentes valeurs à A, B, X₀ et Y₀, et en observant le graphique des points (X,Y) obtenus sur un grand nombre d'itérations (typiquement 10 000), on obtient de magnifiques figures. Ca marche sur Excel, mais c'est plus joli sur la galerie de photos de Stinging Eyes.

Vous ne trouvez pas que ça ressemble étrangement aux formes que prend le plancton? J'aime l'idée que peut-être -j'ai bien dit peut-être!-une seule loi physique régisse non pas une seule forme du vivant (comme on l'a vu pour les spirales de Fibonacci), mais une grande variété de formes très différentes, au hasard des paramètres que peut prendre cette loi dans la nature.

La transformation du boulanger.
Il y a quand même des cas où l'on comprend bien que ça finisse par reboucler. Si les résultats du calcul itératif ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs, tôt ou tard on va retomber sur ses pieds. Les séries de Kaprekar en sont une illustration. Pour l'exemple vu plus haut du doublement des décimales d'un nombre c'est la même chose car l'ordinateur travaille sur un nombre fini de décimales (d'où les erreurs qu'il commet au bout d'un moment).

Cela dit, retomber sur les valeurs de départ a tout d'un tour de magie. Enfilez votre tablier de cuisine et faites une pâte à gateau. Donnez-lui une forme de carré puis aplatissez-le en lui donnant une forme de rectangle horizontal. Coupez-en la moitié droite et replacez-la au-dessus de l'autre moitié: vous voici avec un nouveau carré de même dimension que le premier. Recommencez comme ça de nombreuses fois. Si au départ vous aviez une image sur votre carré de pâte, celle-ci se trouve rapidement totalement brouillée après quelques transformations. Mais au bout d'un grand nombre de fois, l'image réapparaît comme par miracle à sa place initiale! (source: BouMaton, logiciel pour faire ces traitements d'image)


On trouve des tas de transformations semblables sur internet. Parmi les plus spectaculaires, celle dites du "photomaton" où cette fois la photo de départ est transformée en 4 photos, comme sur un photomaton justement. On recommence de nouveau pour obtenir 4x4 photos etc. Au bout de quelques transformations on retrouve notre photo initiale! (source ici) Avouez que cette invariance systématique des systèmes complexes est bien plus stupéfiante que la question de leur prédictabilité limitée. L'histoire médiatique de l'effet papillon est aussi étrange que son attracteur: le grand public en a seulement retenu la triste (mais fausse) idée d'une impuissance scientifique à prévoir quoique ce soit, alors que la théorie exhibait au contraire une troublante invariance au coeur de ces systèmes. L'incompréhension entre les scientifiques et leur époque serait-elle aussi une constante intemporelle?

Sources:
David Ruelle, Chaos, imprédictibilité et hasard
Philippe Etchecopar, Quelques éléments sur la théorie du chaos
Le site d'Alain Esculier, pour les images des transformations du boulanger
Le site d'André Lévesque, pour les merveilleuses images de fractales
L'article d'Etienne Ghys et Jos Leys sur le site du CNRS, très bien fait où un "moulin à eau" reflète physiquement les observations numériques de Lorenz.
Une conférence sur le chaos de Sophie Mugnier

Billets connexes:
Billet classé (puissance) X sur les spirales de Fibonacci
Les meilleures recettes de Kaprekar sur les suites de nombres étonnamment cycliques
Le temps, source de désordre? pour les formes auto-organisées (dans la dernière partie du billet)

Chaînettes aériennes

(source photos ici)
Quand en 1883, Gaudi reprend le projet de la grande cathédrale de Barcelone, son idée est de révolutionner l'architecture dont le modèle gothique dicte sa loi à toutes les églises d'Europe depuis 800 ans. Ras-le-bol des murs épais, des inévitables contreforts -qui n'empêchent pas la construction d'être fragile-, des toits trop légers pour résister au temps. L'heure de la révolté a sonné! La Sagrada Familia sera à la fois plus aérienne, plus légère et plus solide qu'aucune autre cathédrale. Comment diable Gaudi a-t-il réussi cet exploit? Il n'y a même plus de clef de voûte! Et en fervent admirateur de la Nature, Gaudi a choisi en plus d'éviter au maximum les formes artificielles comme l'arc de cercle ou le quadrilatère: de l'intérieur sa cathédrale ressemble à une forêt...

Son pari architectural a pu être tenu (en partie) grâce aux étonnantes propriétés de la figure que forme un câble ou un collier qu'on laisse pendre en le tenant par ses deux extrémités : celle des câbles électriques entre leurs poteaux de soutien par exemple. Si vous rigidifiez votre chaînette pendant qu'elle pend, et que vous la retournez ensuite avec son "arrondi" vers le haut, elle tient parfaitement: tout le poids de la chaînette est intégralement retransmis dans l'axe même de celle-ci. Plus besoin de contrefort, puisqu'il n'y a plus de poussée latérale! On peut alléger les murs et c'est ce qui a permis à Gaudi de concevoir ses colonnes de soutien comme de minces troncs d'arbres.

Un tout petit peu de physique explique pourquoi (amis physico-phobes, je vous retrouve un paragraphe plus bas).

A l'équilibre, chaque maillon de la chaînette pendante est soumis d'une part à son poids et d'autre part aux tensions de la part des maillons du dessus et du dessous. La résultante de ces tensions compense donc exactement le poids de chaque maillon. Quand on rigidifie la chaînette et qu'on la retourne tête en bas, ces tensions changent d'orientation et deviennent des compressions. Mais leur résultante compense toujours parfaitement le poids du chaînon en chaque point.

Cette étonnante propriété des "chaînettes pendantes renversées" a été depuis Gaudi souvent mise à profit dans de nombreux édifices modernes épris d'altitude et de légèreté: le Gateway Arch (St Louis, Missouri) de 200 mètres de haut en est un magnifique exemple, mais aussi le CNIT (à la Défense) ou les voûtes souterraines de la gare Haussmann à Paris.

Pourquoi ne pas y avoir pensé plus tôt? A première vue, c'était quand même plus simple et plus élégant que d'imaginer des clefs de voûte. A seconde vue pas du tout: la forme de la chaînette pendante est aussi simple à réaliser (à échelle réduite) qu'elle est compliquée à calculer. Car contrairement à ses apparences de bonne vieille parabole, son équation mathématique est coriace au point d'avoir trompé Galilée lui-même. Il fallu attendre que Jacques Bernoulli lançât un défi aux savants de son époque pour que simultanément Huygens, Leibniz et Jean Bernoulli (le frère de Jacques) ne découvrent sa formulation mathématique en 1691: un cosinus hyperbolique, rien que ça: (amis mathophobes, je vous retrouve pour la conclusion).

Pour trouver son équation, on écrit l'équilibre d'un morceau de chaînette de longueur l entre le point le plus bas (O) et un point quelconque (M). La tension en ces points vaut respectivement T(O) et T(M) et le poids de cette longueur de chaînette vaut P(l), vertical et proportionnel à la longueur l (en gras ce sont des vecteurs):
T(O)+T(M)+P(l)=0.
P est vertical et T(O) est horizontal, et T(M) est tangent à la courbe en M (c'est une tension qui s'exerce dans l'alignement de la chaînette). Notons â l'angle entre T(M) et l'horizontal:
T(O)+ T(M) cos(â)=0
T(M) sin(â)=-P(l)
On en déduit en éliminant T(M) et en prenant les constantes qui vont bien (T(O) en faisant partie): tg(â)=K l
Or tg(â)=dy/dx donc en dérivant cette expression par rapport à x, on trouve y"=K dl/dx
Comme dl= √[(dx)²+(dy)²]=dx √[1+(dy/dx)²]=dx √[1+y'²], on en déduit que dl/dx= √[1+y'²]
L'équation de notre chaînette est une équation différentielle : y"=K√[1+y'²]
Je vous passe les détails (Serge Mehl a tout bien détaillé ici), mais la solution de cette équation est sous la forme d'un cosinus hyperbolique, autrement dit,




Bref, la forme est peut-être naturelle, mais l'équation n'est pas ultra simple: c'est une courbe transcendante, impossible à tracer à la règle et au compas (à moins qu'El_Jj ne nous trouve une méthode révolutionnaire avec des pliages?) Et encore, là nous n'avons vu que la courbe en deux dimensions: dans la vraie vie on doit fabriquer des voûtes en trois dimensions! Pour la tracer précisément sur un plan, bon courage.

Le seul moyen qu'a trouvé Gaudi pour obtenir la forme recherchée, fut de retourner le problème: il laissait pendre des filets convenablement lestés, accrochées aux points hauts de sa structure (source de la photo ici). En rigidifiant le tout et en le retournant, il obtenait le modèle de ses voûtes, sans aucun calcul. La méthode est originale mais très laborieuse. Et en l'absence de plan, tout reposait entièrement sur ce que Gaudi avait en tête.

Lorsqu'il mourut en 1923, aucun document précis ne décrivait dans le détail ce qu'il restait à faire! Un vrai casse-tête pour les architectes qui ont repris le chantier et qui n'auront pas fini le boulot avant une ou deux décennies.

Cette histoire illustre une différence fondamentale entre sciences et techniques: les meilleures solutions techniques sont celles que l'on saura mettre en œuvre et non pas forcément les optimums qu'indiquent les calculs et que la Nature déploie couramment. Ces optimums "naturels" ont ceci de paradoxal qu'ils sont à la fois plus élégants, plus simples (en apparence) et plus "efficaces" que toutes nos constructions techniques, et en même temps très difficilement accessibles à nos moyens techniques. C'est sans doute la raison pour laquelle on trouve autant de cercles ou de polygones dans nos constrctions et aussi peu dans la Nature: ces figures emblématiques de l'intelligence humaine ne seraient-elles que des pis-aller technologiques? En tous cas, merci Monsieur Gaudi pour cette leçon d'humilité.

Pour ceux que ces drôles de courbes intéressent -on les appelle des courbes funiculaires ou des vélaires- sachez que c'est le support idéal si vous décidez de vous acheter un modèle de voitures à roues carrées (ou polygonales, très tendance). Je vous laisse regarder le pourquoi du comment sur le site de mathcurve...

Sources:
Le chapitre "principe des structures architecturales légères " de l'encyclopédie du futur , de Vahé Zartarian
Le site de mathcurve pour les propriétés mathématiques de ces courbes
Le chapitre que consacre Serge Mehl sur ce sujet
Une démonstration de l'équation des chaînettes sur le blog de Pierre Bernard

Billet classé (puissance) X

Avertissement: billet fortement déconseillé aux personnes sensibles, allergiques aux maths ou qui voient la main de Dieu partout.

Du grain à moudre pour les mystiques
La Nature présente de drôles de coïncidences. Je vous ai parlé dans un précédent billet de la suite de Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21 etc. - dont chaque terme est la somme des deux précédents (8=5+3, 13=8+5 etc).

On trouve ces nombres partout dans la nature, à commencer par le nombre de pétales des fleurs: 5, 8 ou 13. Regardez une pomme de pin par en dessous et repérez les spirales: vous en trouverez ou bien 3 dans un sens et 5 dans l'autre, ou 5 et 8 ou encore 8 et 13... Idem pour un ananas: les espèces d'écailles sur sa surface forment un réseau dont les lignes formentégalement 8 spirales dans un sens et 13 dans l'autre.
Mais le champion en matière de Fibo (restons simples) est sans doute le coeur des tournesols, qui comptent souvent 21 spirales dans un sens et 34 dans l'autre. Qu'arrive-t-il à nos plantes pour qu'elles deviennent subitement des championnes de la géométrie? Intervention divine diront certains...


L'ésotérisme brisé par l'expérimentation

En 1993, deux chercheurs à Normale Sup, Douady et Couder, ont coupé court aux élucubrations mystiques, grâce à un ingénieux dispositif: au centre d'un récipient immobile on fait tomber goutte après goutte un ferro-fluide (sensible au magnétisme). Sous l'effet d'un champ magnétique, les gouttes sont à la fois attirées vers l'extérieur du plateau et repoussées les unes par les autres. Dans ces conditions, les gouttes s'éloignent du centre en respectant un angle constant entre deux gouttes. La figure obtenue (ci contre) ne dépend que du rythme des gouttes: à partir d'une certaine fréquence, ô miracle, on retrouve très exactement les figures de spirales des cœurs de tournesol.
Autre bizarrerie: si l'on mesure l'angle entre deux gouttes consécutives on trouve très exactement le nombre d'or!
Ces jolies figures géométriques correspondent simplement à une occupation optimale de l'espace par les gouttes de fluides.


Voyage au cœur de la plante
Dans une plante il se passe un phénomène tout à fait comparable: les graines (ou les fleurs ou les écailles) émergent selon un rythme régulier à partir d'une zone particulière au cœur du bourgeon, appelée l'apex. Elles grossissent en s'éloignant de l'apex mais elles gardent toujours la même orientation radiale. Chaque graine garde donc le même angle par rapport à la précédente et la suivante:

Quel serait le meilleur angle entre deux graines?
Pour que chaque graine soit assurée d'avoir le maximum d'espace vital, elle doit en quelque sorte éviter d'être alignée avec ses copines, sinon à la fin ça donnerait comme résultat une étoile avec des branches pleines de graines et plein de vide autour.

Par exemple si chaque graine se place à un angle de 360° x 3/7 par rapport à la précédente, la 7^eme graine se trouve alignée avec la première, la huitième avec la deuxième etc. Chaque fois que l'angle entre deux graines est une fraction décimale de 360°, on obtient une étoile à n branches. Si la plante veut éviter ce genre de forme il faut donc que les graines fassent entre elles un angle qui ne s'écrive pas
φ=360° x p/q. L'angle optimal est donc un nombre irrationnel!

On voit sur l'exemple avec φ= 360° x √3 ( √3 est irrationnel) que les branches des étoiles ont été remplacées par des spirales courbes.

Comme pour l'étoile à branches, le nombre de spirales correspond au premier nombre entier q tel que q x φ soit proche d'un multiple de 360°. Plus on peut approximer φ par une fraction p/q, plus la figure ressemblera à une étoile et moins l'espace sera occupé de façon homogène.

Quel sera le nombre irrationnel qui donnera la répartition la plus homogène des graines? Ce sera celui qui sera le moins "facilement" approximé par une fraction décimale. On peut montrer que c'est justement le nombre d'or.

Pour le montrer il faut d'abord savoir que tout nombre α positif peut s'écrire sous la forme d'un développement de fractions du type

; où a₀, a₁, a₂ etc. sont des entiers positifs.
Si α est un rationnel, il y a un nombre fini de a_k.
Si α est irrationnel la série des a_k est illimitée.


Si l'on note les développements finis p₁/q₁= a₁+1/a₂ ; p₂/q₂= a₁+1/(a₁+1/a₂) etc. la suite des {pn/qn} est appelée la suite des "réduites" de α. On peut montrer que cette suite p_n/q_n est la "meilleure" approximation rationnelle de α pour tout dénominateur inférieur à q_n.
Autrement dit il n'existe pas d'entiers p et q tels que l'on ait à la fois
q < q_n et |p/q - α| < |pn/qn - α|. Pour trouver le ou les irrationnels les moins facilement approchables par une fraction rationnelle, il faut donc trouver le nombre α tel que |pn/qn - α| soit le plus grand possible. On peut montrer que pour tout n, |pn/qn - α| < '1/' a_n+1 qn² .

L'écart entre α et sa suite de réduites pn/qn est donc maximale pour tous les a_n=1. Le nombre cherché, "le plus irrationnel possible" s'écrit donc :


Drôle de bestiole ce nombre? Pas tant que ça.

Comme sa forme se répète à l'infini, on peut écrire τ=1+1/τ. En développant on obtient τ- 1 = 1/τ ou encore τ²-τ-1=0.
Donc τ=(1+√5)/2, le fameux nombre d'or! Qui se trouve être le nombre le plus "difficile à approcher" par des fractions de nombres entiers.

L'angle cherché vaut donc τ x 360° = (τ-1) x 360° (car pour une fraction de tour, seule compte la partie décimale).
Regardons à quoi ressemblent les réduites de 1/τ=τ-1. En appliquant la formule 1/(1+1/(1+... on trouve que les réduites de 1/τ valent 1 ; 1/2 ; 2/3 ; 3/5 ; 5/8 ; 8/13 ; 13/21 ; 21/34 ; 34/ 55 ...
Les numérateurs comme les dénominateurs forment une suite de Fibonacci! Remarquez, on aurait pu s'en douter puisque le rapport des termes consécutifs de cette suite converge vers le nombre d'or.

Vous êtes largué? Bon, retenez juste que pour avoir le maximum d'espace pour grandir, les graines divergent naturellement entre elles d'une fraction de tour égale au nombre d'or.

Pour illustrer ce résultat regardez la spectaculaire différence d'occupation de l'espace que l'on obtient en faisant varier très légèrement la fraction d'angle autour de la valeur exacte du nombre d'or au centre:

Pourquoi un nombre de spirales égal à un nombre de Fibonacci?
C'est bien beau ces histoires de nombre d'or, mais quel rapport avec le nombre de spirales observées? Et bien, on peut montrer que si chaque graine fait une fraction de tour égale au nombre d'or, on observe deux séries de spirales, dont les nombres sont deux termes successifs de la suite de Fibonacci.

Regardons la figure obtenue lorsque chaque graine dévie de la trajectoire de la graine précédente d'un angle égal à 360° x τ: on distingue deux types de spirales (on appelle ça des "parastiches"): les vertes qui tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre: il y en a 13; et les 21 rouges dans le sens des aiguilles d'une montre. Pourquoi 13 et 21 sont-ils forcément des Fibonacci successifs?

Numérotons les graines par ordre d'apparence. Les plus petits numéros sont donc à l'extérieur.
Soit i le nombre de spirales vertes (ici 13). Un peu de réflexion vous convaincra que la différence entre les numéros de deux graines consécutives sur une même spirale vaut aussi i (c'était vrai dans les premiers dessins avec des étoiles à 7 branches: les graines d'une même branche sont distantes de 7).

Derrière la graine numéro 0 sur la spirale verte se trouve donc la graine numéro i. Une spirale est l'équivalente géométrique de la "branche" de l'étoile, formée quand l'angle entre deux graines est une fraction décimale de 360°. De même que les graines d'une même branche étaient alignées avec le centre, on peut considérer en première approximation que que la graine i est "presque" alignée avec la graine 0 de la même spirale.
Par définition la graine i fait un angle de i x (360° /τ) par rapport à la graine 0. Donc i/τ est donc "presque" un entier q, ce qui revient à dire que i/q vaut "presque" τ; i/q est donc une des réduites de 1/τ! Donc i est un nombre de Fibonacci!

On raisonne de la même manière pour les spirales rouges: s'il y en a j (ici 21), la différence entre deux graines consécutives d'une spirale rouge vaut aussi 21=j. La graine j fait un angle de j/τ x 360° par rapport à la graine 0. En raisonnant à l'identique j/τ est aussi une réduite de 1/τ et donc j est aussi un Fibo.

Nous venons donc de montrer que les nombres de spirales (de parastiches pardon) sont des nombres de Fibonacci!Mais pourquoi des nombres de Fibonacci successifs?
Supposons que les nombres i et j de nos spirales correspondent à des rangs m et n (m < n) dans la suite de Fibonacci et notons les i=F(n) et j=F(m)

La graine numéro i+j se trouve à la fois sur la spirale rouge et sur la verte, presque alignée avec la graine 0: i+j = F(n)+F(m) est donc aussi un Fibo.
Supposons que m < n-1; on aura alors F(n) < F(n)+F(m) < F(n)+F(n-1) = F(n+1).
i+j=F(m)+F(n) serait alors un Fibo strictement compris entre F(n) et F(n+1) ce qui est impossible. Donc m=n+1. i et j sont bien des termes successifs de la suite de Fibonacci!

L'auto-organisation à partir des simples lois physiques et mathématiques
Avec ce petit modèle (il y en a bien sûr de bien plus raffinés) on a une explication purement mécanique à l'arrangement quasiment parfait de nombreuses structures végétales. Les gènes ne déterminent ces formes que très indirectement, en contrôlant la méthode de croissance de l'apex et en assurant que les graines se repoussent (chimiquement?) les unes par rapport aux autres. Un bel exemple d'auto-organisation, je trouve, où "la structure des objets mathématiques détermine celle des objets naturels" comme le dit je-ne-sais-plus-qui.

Sources:
Spirale Végétales, de Christiane Rousseau et Rediane Zazoun (Accromath été-automne 2008)
Le cours de biologie de Samuel Boissière (Université de Sophia Antipolis) et celui-ci (ppt) de l'Université de Laval dont j'ai tiré pas mal de figures.

A l'infini et au-delà!

C'est assez facile de comparer les grandeurs des objets physiques autour de nous: un bâton est plus grand qu'un autre, si la longueur du plus petit tient dans la longueur du plus grand. Le tout est plus grand que ses parties, nous a appris Euclide, et on le vérifie avec un sac de billes rouges et bleues: il contient plus de billes que lorsqu'on lui retire toutes ses billes rouges. Evident non?




Pour les ensembles infinis, le tout est aussi grand qu'une de ses parties
Ce qui est vrai pour les sac de billes ne l'est pas pour les collections infinies d'objets. Comparons le sac des nombres entiers (0,1,2,3 etc) avec celui de tous les nombres entiers pairs (0,2,4,6 etc). Si l'on applique le raisonnement ci-dessus, l'ensemble des nombres entiers contient les nombres pairs, ergo il est plus grand... En fait les choses ne sont pas aussi simples quand on traite des ensembles infinis: pour savoir si deux ensembles infinis ont la même "taille", on regarde si on peut faire correspondre chaque élément de l'un avec un et un seul élément de l'autre (ce type de correspondance terme à terme s'appelle une bijection). Or on peut parfaitement faire correspondre chaque nombre entier avec un nombre pair et vice versa: il suffit d'associer chaque nombre entier n avec son double 2n (qui est pair). Donc il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers! Bienvenue dans les mystères de l'infini où le tout peut être exactement aussi grand qu'une de ses parties. Cette drôle de propriété signe d'ailleurs l'infinitude de l'ensemble (enfin, là je spécule...).

En raisonnant de la sorte on montre que l'ensemble des entiers ( de son petit nom: 0,1,2,3...) est de la même "taille" que tous ses sous-ensembles infinis: il y autant d'entiers que de nombres pairs (on l'a vu), de nombres premiers (divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes comme 1,3,5,7,11,13,17,19...), de carrés parfaits (1, 4, 9, 16...). L'hôtel de Hilbert qui possèderait une infinité de chambres toutes occupées, pourrait toujours accueillir des hordes de bus contenant chacun une infinité dénombrable de clients. Il suffirait de transférer chaque occupant d'une chambre n vers une autre chambre (de numéro 2n par exemple si l'on veut doubler la capacité de l'hôtel) et de loger les nouveaux arrivants dans l'infinité de chambres ainsi libérées.

Et de la même manière, a la même taille que des ensembles plus grands, par exemple l'ensemble des "entiers relatifs" (les nombres entiers positifs et négatifs:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 etc.) [Lecteurs non matheux: sautez les paragraphes en italiques comme ci-dessous, pour vous éviter les maux de tête...]

Pour le montrer il suffit d'attribuer à chaque entier relatif n l'entier 2n si n est positif et -(2n+1) si n est négatif: on a ainsi une correspondance terme à terme entre et : à 0,1,2,3 correspondent 0,2,4,6 et à -1,-2,-3 correspondent 1,3,5...

Rationnels et irrationnels: si proches et pourtant si différents...
Plus étonnant encore, il y a autant de fractions rationnelles (rapport entre deux nombres entiers relatifs) que d'entiers naturels!

Pour trouver la correspondance entre entiers et fractions, prenez n'importe quel entier n et divisez le par 2 autant de fois que vous pouvez. Quand finalement (au bout de p divisions), vous obtenez un reste impair (noté 2q+1), vous pouvez écrire n=2^p x (2q+1). Et voilà, vous venez de trouver comment associer à tout entier n deux entiers p et q de manière unique. On étend facilement cette méthode aux fractions relatives (positives et négatives) pour montrer qu'il y a autant d'entiers que de fractions.

Ces ensembles qui ont la même taille que sont dits "dénombrables". Le terme est un peu trompeur car il laisse imaginer qu'on peut toujours les compter sur un intervalle donné. Or quelque soit l'intervalle que vous choisissez (s'il ne se réduit pas à un point) vous y trouvez une infinité de fractions: on dit que l'ensemble des fractions noté , est "dense" dans l'ensemble des nombres réels .

Prenez un intervalle [a,b], de dimension b-a=ε très petit. Vous pouvez trouver un entier n tel que n>1/ε, puis le plus grand entier p tel que p/n≤a On peut écrire a < (p+1)/n <>

Alors tous les ensembles sont-ils dénombrables? Eh non, ce serait trop simple! L'ensemble des nombres réels (tous les nombres, y compris les irrationnels qui comme √2 ne peuvent pas s'écrire comme des fractions). Bien qu'étant de la même taille que l'intervalle ]0,1[, n'est pas dénombrable, ainsi que l'a découvert Cantor, l'inventeur de la théorie des ensembles.

Pour prouver que est de même taille que ]0,1[, il suffit de considérer la fonction qui associe à tout réel x, f(x)=1/2 [1+x/(1+|x|)]
Cette fonction "projette" tous les nombres réels entre O et 1...

On prouve ensuite que ]0,1[ n'est pas dénombrable grâce à la célèbre diagonale de Cantor, en raisonnant par l'absurde.

Supposons que ]0,1[ soit dénombrable: cela signifie qu'à tout réel x on peut associer un unique nombre décimal u_n.

Ecrivons les u_n les uns en dessous des autres en écriture décimale:

u_ij est la j^ième décimale du nombre rationnel u_i.

Considérons la diagonale des décimales u_ii (la fameuse diagonale qui a donné le nom à ce théorème) et imaginons le nombre x=0,x₁x₂x₃.... dont chaque décimale vaut x_i = 1 si u_ii≠1 et x_i = 2 si u_ii=1.

x diffère de u₁ au niveau de la première décimale (x₁≠ u₁₁), x diffère de u₂ au niveau de la seconde (x₂≠u₂₂) et de manière générale x diffère de u_n au niveau de la n^ième décimale (car x_n≠u_nn) .

x est bien un nombre décimal compris entre 0 et 1 et pourtant on ne peut le faire correspondre avec aucun des nombres de la collection des (u_n), ce qui est contradictoire avec l'hypothèse que ]0,1[ est dénombrable...

La taille des infinis
Récapitulons: est à la fois dense dans ( les deux ensembles sont inextricables en quelque sorte l'un de l'autre) et pourtant l'un est dénombrable et l'autre pas. La taille de est appelée ℵ₁ (c'est la lettre hébraïque Alef, les mathématiciens adorent les écritures anciennes), celle de et de tous les ensembles dénombrables est appelée ℵ_0.

Pour comparer la taille de et celle de , on peut comparer leur correspondance respective sur ]0,1[.
correspond exactement à ]0,1[, sa mesure vaut 1.
Pour mesurer , on représente chaque fraction par un point u_n dans l'intervalle ]0,1[. Définissons autour de ce point un petit intervalle, de longueur décroissante:
Pour u₁, on choisit un intervalle de taille 0,1
pour u₂, l'intervalle 0,01
pour u₃, l'intervalle 0,001
etc.
La taille de sera au plus égale à la somme des intervalles de tous les u_n, donc vaut au plus 0,111111 etc. On aurait pu commencer par un intervalle de 0,001 pour u₁ et la taille de aurait été majorée par 0,001111: la mesure de peut donc être rendue aussi petite que l'on veut et vaut donc 0!

L'une des grandes questions encore mal résolue est de savoir si est le plus petit ensemble non dénombrable ou s'il existe d'autres ensembles de taille intermédiaire entre et . Autrement dit existe-t-il des infinis de taille ℵ_0,5? Cantor émit l'hypothèse que non mais l'on a démontré en 1963 que cette question était en fait indécidable, à moins d'admettre même en admettant un axiome supplémentaire (l'axiome du choix) pour que ce type d'infini existe. Indécidable, c'est à dire qu'on ne pourra démontrer ni que c'est vrai ni que c'est faux: c'est bizarre mais c'est comme ça!

D'un autre côté existe-t-il des infinis plus grands que ? Oui bien sûr, plein!!! L'ensemble des parties de , ou plus simplement l'ensemble des fonctions de dans .

Considérons l'ensemble F des fonctions f : [0,1] {0,1} qui ne prennent comme valeurs que 0 et 1. Supposons qu'il y ait autant de telles fonctions f que de réels dans ]0,1[. A chaque réel x de ]0,1[, on peut faire correspondre une unique fonction f_x de F et vice versa. On procède comme pour la diagonale de Cantor: construisons la fonction g telle que : g(x) = 1 si f_x(x) = 0 et g(x) = 0 si f_x(x) = 1. g est bien une fonction de F prenant comme valeurs 0 et 1 et pourtant g ne coincide avec aucune des fonctions f_x puisque pour chaque valeur x, f_x(x)≠g(x) ce qui est contradictoire avec l'hypothèse d'une bijection entre F et ]0,1[... Le nombre de fonctions de F est donc supérieur au nombre de réels contenus dans ]0,1[, donc au nombre de réels de .

Par contre, n'allez pas croire que, étant semblable à une droite, une surface infinie (x) ou même l'espace infini (³) soient de tailles différentes de , pas du tout! De la même manière que l'on a montré ci-dessus l'équivalence entre et (qui s'écrit x), on peut construire des courbes infiniment tarabiscotées (qui ressemblent d'ailleurs furieusement à des fractales) correpondant à une surface ou à un volume. Je vous laisse découvrir ça là par exemple...


De manière générale on peut prouver qu'il n'existe pas de taille limite des infinis, car un ensemble est toujours plus "petit" que l'ensemble de ses parties: c'est LE théorème de Cantor, qui a d'ailleurs démontré que l'ensemble des parties de est en bijection avec .

Prenons un ensemble E d'objets x et appelons (E) l'ensemble des parties de E. Supposons qu'il existe une bijection entre E et (E): à chaque élément x de E, on peut faire correspondre un sous-ensemble de E qu'on appellera P_x. Vous êtes habitués maintenant aux constructions bizarroïdes: ici on va définir le sous-ensemble P de E constitué des éléments x qui n'appartiennent pas à leur correspondant Px. Comme il existe une bijection entre E et (E) il existe un élément y correspondant à P et P=P_y. y appartient-il à P? Non car dans ce cas y appartiendrait à son correspondant P_yy, y appartient à P par construction même de P. Si vous avez perdu le fil, relisez ces deux phrases et laissez mariner un petit moment. On aboutit à une contradiction qui prouve qu'il n'existe pas de bijection entre un ensemble et ses parties.

Au fait, d'où vient ce drôle de symbole, désignant l'infini par un 8 couché? Même sur ce point, la réponse n'est pas tranchée: est-ce le descendant du CIƆ romain, désignant le nombre "mille" avant que l'on n'utilise la lettre M? Est-ce l'hériter de l'oméga minuscule ω, dernière lettre de l'alphabet grec? Ou s'agit-il de la représentation graphique du "serpent-infini" du dieu Vishnu, enroulé sur lui-même comme un huit renversé?

Sources:
Le site chronomath, très complet de Serge Mehl