Billet classé (puissance) X

Avertissement: billet fortement déconseillé aux personnes sensibles, allergiques aux maths ou qui voient la main de Dieu partout.

Du grain à moudre pour les mystiques
La Nature présente de drôles de coïncidences. Je vous ai parlé dans un précédent billet de la suite de Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21 etc. - dont chaque terme est la somme des deux précédents (8=5+3, 13=8+5 etc).

On trouve ces nombres partout dans la nature, à commencer par le nombre de pétales des fleurs: 5, 8 ou 13. Regardez une pomme de pin par en dessous et repérez les spirales: vous en trouverez ou bien 3 dans un sens et 5 dans l'autre, ou 5 et 8 ou encore 8 et 13... Idem pour un ananas: les espèces d'écailles sur sa surface forment un réseau dont les lignes formentégalement 8 spirales dans un sens et 13 dans l'autre.
Mais le champion en matière de Fibo (restons simples) est sans doute le coeur des tournesols, qui comptent souvent 21 spirales dans un sens et 34 dans l'autre. Qu'arrive-t-il à nos plantes pour qu'elles deviennent subitement des championnes de la géométrie? Intervention divine diront certains...


L'ésotérisme brisé par l'expérimentation

En 1993, deux chercheurs à Normale Sup, Douady et Couder, ont coupé court aux élucubrations mystiques, grâce à un ingénieux dispositif: au centre d'un récipient immobile on fait tomber goutte après goutte un ferro-fluide (sensible au magnétisme). Sous l'effet d'un champ magnétique, les gouttes sont à la fois attirées vers l'extérieur du plateau et repoussées les unes par les autres. Dans ces conditions, les gouttes s'éloignent du centre en respectant un angle constant entre deux gouttes. La figure obtenue (ci contre) ne dépend que du rythme des gouttes: à partir d'une certaine fréquence, ô miracle, on retrouve très exactement les figures de spirales des cœurs de tournesol.
Autre bizarrerie: si l'on mesure l'angle entre deux gouttes consécutives on trouve très exactement le nombre d'or!
Ces jolies figures géométriques correspondent simplement à une occupation optimale de l'espace par les gouttes de fluides.


Voyage au cœur de la plante
Dans une plante il se passe un phénomène tout à fait comparable: les graines (ou les fleurs ou les écailles) émergent selon un rythme régulier à partir d'une zone particulière au cœur du bourgeon, appelée l'apex. Elles grossissent en s'éloignant de l'apex mais elles gardent toujours la même orientation radiale. Chaque graine garde donc le même angle par rapport à la précédente et la suivante:

Quel serait le meilleur angle entre deux graines?
Pour que chaque graine soit assurée d'avoir le maximum d'espace vital, elle doit en quelque sorte éviter d'être alignée avec ses copines, sinon à la fin ça donnerait comme résultat une étoile avec des branches pleines de graines et plein de vide autour.

Par exemple si chaque graine se place à un angle de 360° x 3/7 par rapport à la précédente, la 7^eme graine se trouve alignée avec la première, la huitième avec la deuxième etc. Chaque fois que l'angle entre deux graines est une fraction décimale de 360°, on obtient une étoile à n branches. Si la plante veut éviter ce genre de forme il faut donc que les graines fassent entre elles un angle qui ne s'écrive pas
φ=360° x p/q. L'angle optimal est donc un nombre irrationnel!

On voit sur l'exemple avec φ= 360° x √3 ( √3 est irrationnel) que les branches des étoiles ont été remplacées par des spirales courbes.

Comme pour l'étoile à branches, le nombre de spirales correspond au premier nombre entier q tel que q x φ soit proche d'un multiple de 360°. Plus on peut approximer φ par une fraction p/q, plus la figure ressemblera à une étoile et moins l'espace sera occupé de façon homogène.

Quel sera le nombre irrationnel qui donnera la répartition la plus homogène des graines? Ce sera celui qui sera le moins "facilement" approximé par une fraction décimale. On peut montrer que c'est justement le nombre d'or.

Pour le montrer il faut d'abord savoir que tout nombre α positif peut s'écrire sous la forme d'un développement de fractions du type

; où a₀, a₁, a₂ etc. sont des entiers positifs.
Si α est un rationnel, il y a un nombre fini de a_k.
Si α est irrationnel la série des a_k est illimitée.


Si l'on note les développements finis p₁/q₁= a₁+1/a₂ ; p₂/q₂= a₁+1/(a₁+1/a₂) etc. la suite des {pn/qn} est appelée la suite des "réduites" de α. On peut montrer que cette suite p_n/q_n est la "meilleure" approximation rationnelle de α pour tout dénominateur inférieur à q_n.
Autrement dit il n'existe pas d'entiers p et q tels que l'on ait à la fois
q < q_n et |p/q - α| < |pn/qn - α|. Pour trouver le ou les irrationnels les moins facilement approchables par une fraction rationnelle, il faut donc trouver le nombre α tel que |pn/qn - α| soit le plus grand possible. On peut montrer que pour tout n, |pn/qn - α| < '1/' a_n+1 qn² .

L'écart entre α et sa suite de réduites pn/qn est donc maximale pour tous les a_n=1. Le nombre cherché, "le plus irrationnel possible" s'écrit donc :


Drôle de bestiole ce nombre? Pas tant que ça.

Comme sa forme se répète à l'infini, on peut écrire τ=1+1/τ. En développant on obtient τ- 1 = 1/τ ou encore τ²-τ-1=0.
Donc τ=(1+√5)/2, le fameux nombre d'or! Qui se trouve être le nombre le plus "difficile à approcher" par des fractions de nombres entiers.

L'angle cherché vaut donc τ x 360° = (τ-1) x 360° (car pour une fraction de tour, seule compte la partie décimale).
Regardons à quoi ressemblent les réduites de 1/τ=τ-1. En appliquant la formule 1/(1+1/(1+... on trouve que les réduites de 1/τ valent 1 ; 1/2 ; 2/3 ; 3/5 ; 5/8 ; 8/13 ; 13/21 ; 21/34 ; 34/ 55 ...
Les numérateurs comme les dénominateurs forment une suite de Fibonacci! Remarquez, on aurait pu s'en douter puisque le rapport des termes consécutifs de cette suite converge vers le nombre d'or.

Vous êtes largué? Bon, retenez juste que pour avoir le maximum d'espace pour grandir, les graines divergent naturellement entre elles d'une fraction de tour égale au nombre d'or.

Pour illustrer ce résultat regardez la spectaculaire différence d'occupation de l'espace que l'on obtient en faisant varier très légèrement la fraction d'angle autour de la valeur exacte du nombre d'or au centre:

Pourquoi un nombre de spirales égal à un nombre de Fibonacci?
C'est bien beau ces histoires de nombre d'or, mais quel rapport avec le nombre de spirales observées? Et bien, on peut montrer que si chaque graine fait une fraction de tour égale au nombre d'or, on observe deux séries de spirales, dont les nombres sont deux termes successifs de la suite de Fibonacci.

Regardons la figure obtenue lorsque chaque graine dévie de la trajectoire de la graine précédente d'un angle égal à 360° x τ: on distingue deux types de spirales (on appelle ça des "parastiches"): les vertes qui tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre: il y en a 13; et les 21 rouges dans le sens des aiguilles d'une montre. Pourquoi 13 et 21 sont-ils forcément des Fibonacci successifs?

Numérotons les graines par ordre d'apparence. Les plus petits numéros sont donc à l'extérieur.
Soit i le nombre de spirales vertes (ici 13). Un peu de réflexion vous convaincra que la différence entre les numéros de deux graines consécutives sur une même spirale vaut aussi i (c'était vrai dans les premiers dessins avec des étoiles à 7 branches: les graines d'une même branche sont distantes de 7).

Derrière la graine numéro 0 sur la spirale verte se trouve donc la graine numéro i. Une spirale est l'équivalente géométrique de la "branche" de l'étoile, formée quand l'angle entre deux graines est une fraction décimale de 360°. De même que les graines d'une même branche étaient alignées avec le centre, on peut considérer en première approximation que que la graine i est "presque" alignée avec la graine 0 de la même spirale.
Par définition la graine i fait un angle de i x (360° /τ) par rapport à la graine 0. Donc i/τ est donc "presque" un entier q, ce qui revient à dire que i/q vaut "presque" τ; i/q est donc une des réduites de 1/τ! Donc i est un nombre de Fibonacci!

On raisonne de la même manière pour les spirales rouges: s'il y en a j (ici 21), la différence entre deux graines consécutives d'une spirale rouge vaut aussi 21=j. La graine j fait un angle de j/τ x 360° par rapport à la graine 0. En raisonnant à l'identique j/τ est aussi une réduite de 1/τ et donc j est aussi un Fibo.

Nous venons donc de montrer que les nombres de spirales (de parastiches pardon) sont des nombres de Fibonacci!Mais pourquoi des nombres de Fibonacci successifs?
Supposons que les nombres i et j de nos spirales correspondent à des rangs m et n (m < n) dans la suite de Fibonacci et notons les i=F(n) et j=F(m)

La graine numéro i+j se trouve à la fois sur la spirale rouge et sur la verte, presque alignée avec la graine 0: i+j = F(n)+F(m) est donc aussi un Fibo.
Supposons que m < n-1; on aura alors F(n) < F(n)+F(m) < F(n)+F(n-1) = F(n+1).
i+j=F(m)+F(n) serait alors un Fibo strictement compris entre F(n) et F(n+1) ce qui est impossible. Donc m=n+1. i et j sont bien des termes successifs de la suite de Fibonacci!

L'auto-organisation à partir des simples lois physiques et mathématiques
Avec ce petit modèle (il y en a bien sûr de bien plus raffinés) on a une explication purement mécanique à l'arrangement quasiment parfait de nombreuses structures végétales. Les gènes ne déterminent ces formes que très indirectement, en contrôlant la méthode de croissance de l'apex et en assurant que les graines se repoussent (chimiquement?) les unes par rapport aux autres. Un bel exemple d'auto-organisation, je trouve, où "la structure des objets mathématiques détermine celle des objets naturels" comme le dit je-ne-sais-plus-qui.

Sources:
Spirale Végétales, de Christiane Rousseau et Rediane Zazoun (Accromath été-automne 2008)
Le cours de biologie de Samuel Boissière (Université de Sophia Antipolis) et celui-ci (ppt) de l'Université de Laval dont j'ai tiré pas mal de figures.

Les meilleures recettes de Kaprekar

Tour de passe-passe numérique:
Prenez un nombre quelconque de quatre chiffres, et ne me le dites pas.
Réécrivez-le en ordonnant ses chiffres du plus grand au plus petit (sans oublier les éventuels 0)
Ensuite réécrivez le mais cette fois du plus petit au plus grand.
Soustrayez les deux nombres (pour les non-comprenants: si vous avez choisi au départ 4931, vous faites 9431-1349=8082)
Prenez le résultat (8082 dans mon exemple) et recommencez cette petite manipulation deux ou trois fois.

Laissez-moi réfléchir: je devine que vous obtenez soit 0, soit... 6174!
Magique, non?

Avec 4931 au départ, on obtient:

9431-1349=8082

8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174. Tan tan!

En procédant de la sorte avec un nombre à trois chiffres on tombe toujours sur 495 ou sur 0
Par exemple en partant de 234:

432 - 234 = 198
981 - 189 = 792
972 - 279 = 693
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495...

Avec des nombres à deux chiffres, on retombe soit sur 0, soit sur un cycle sans fin 63/27/45/09/81/63/27 etc.
Pour 48, par exemple:

84-48=36
63-36=27
72-27=45
54-45=09
90-09=81
81-18=63
63-36=27 etc...

109, le générateur de toutes les suites de Fibonacci

C'est Kaprekar, un mathématicien indien génial qui a découvert ce drôle d'algorithme et la constante 6174 porte maintenant son nom. Simple enseignant, Kaprekar était passionné par les nombres et a découvert sans ordinateur ni calculatrice des tas de trucs bizarres. Comme elles étaient d'un accès facile, ses trouvailles mathématiques ont fait les délices des revues de mathématiques dans la rubrique "récréations" (où je l'ai d'ailleurs découvert).

Sa trouvaille la plus incroyable reste l'étonnante relation entre le nombre 109 et les suites de Fibonacci. Si vous avez la patience de calculer 1/109, vous obtiendrez un nombre décimal ayant une période de 108 chiffres:
1/109 =0.[009174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211][009174311...

Ecrivez cette suite de 108 chiffres, à l'envers en commençant par la fin (112358326 etc): vous remarquez que chaque terme est la somme des deux précédents, en posant les retenues:
1+1=2, 2+1=3, 3+2 = 5, 5+8= 13 (je pose 3 je retiens 1), 3+8=11+1 de retenue=12 (je pose 2 je retiens 1) etc.

C'est ce qu'on appelle une suite de Fibonacci avec retenue, où chaque terme est la somme des deux précédents (plus la retenue éventuelle).

Définies au départ pour dénombrer la croissance des populations de lapins, les suites de Fibonacci ont des propriétés étonnantes, comme par par exemple le rapport entre deux termes successifs qui tend vers le nombre d'or. On retrouve ces suites de Fibonacci partout dans la nature, que ce soit le nombre de pétales des fleurs (le plus souvent 8, 13, 21, 34 ou 55) ou le nombre de spirales des ananas. J'y reviendrai bientôt, car c'est fascinant.

1/109 s'écrit donc comme l'envers d'une suite de Fibonacci (avec retenue). Mais ce qu'il y a de plus fou c'est que inversement 1/109 contient TOUTES les suites de Fibonacci possibles, quelque soient leurs deux premiers chiffres de départ!

En effet, n'importe quelle suite de Fibonacci (avec retenue) boucle toujours sur elle-même au bout de 108 itérations et du coup correspondra au développement décimal de 1/109, retourné et décalé d'un certain rang.

Par exemple si on commence par 6 et 7 on obtient 6, 7, 3, 1, 5, 6, 1, 8, 9, 7, 7, 5, 3... que l'on retrouve "retournée" dans la partie surlignée en jaune du développement décimal de 1/109 (voir plus haut).
Si vous commencez par 7 et 8, vous obtenez 7, 8, 5, 4, 0, 5, 5, 0, 6, 6 (surligné en vert dans les décimales de 1/109)

Kaprekar a ainsi démasqué le 109, qui sous une allure débonnaire, coincé entre les ennuyeux 108 et 110, cache un puissant "générateur" de suites de Fibonacci. Je trouve ça bluffant...

Source: Tangente HS n°33 Mai 2008

Une histoire qui ne vous fera ni chaud ni froid

Petite expérience de saison: remplissez deux verres identiques avec la même quantité d'eau, l'un avec à 40°, l'autre à 10°. Mettez-les au congélateur. Dans lequel des deux l'eau gèlera-t-elle le plus vite?
Évident, non? Le temps que l'eau chaude refroidisse jusqu'à 10°, l'eau froide ne sera plus à 10° mais à 5° par exemple et l'eau chaude mettra fatalement toujours plus de temps à prendre glace.

C'est aussi ce que croit le jeune Erasto Mpemba, écolier tanzanien qui, en 1963 apprend en classe à fabriquer de la crème glacée. Comme il est en retard dans sa préparation il fourre sa préparation encore toute chaude dans le freezer, sans attendre qu'elle refroidisse. A sa grande surprise, son pot gèle plus rapidement que celui de ses petits camarades! Il rapporte ce fait à son maître qui n'a manifestement pas inventé l'eau tiède et l'envoie se faire cuire un oeuf. Pas refroidi pour autant, Erasto répète avec succès l'expérience chez lui et apprend par ailleurs que les marchands de glace utilisent ce truc pour fabriquer plus rapidement leur crème glacée. Quelques années plus tard, devenu étudiant, il raconte sa drôle d'observation à un professeur de physique, le Dr Osborne, en visite en Tanzanie. Osborne de retour aux Etats-Unis mit en évidence expérimentalement le phénomène qu'il baptise effet Mpemba, en l'honneur de ce jeune qui n'avait pas froid aux yeux. Cette découverte n'en est pas vraiment une: depuis l'antiquité, Aristote en parlait déjà dans sa Météorologie: "Les habitants du Pont, quand ils établissent leurs tentes sur la glace, pour se livrer à la chasse aux poissons -car ils pêchent en brisant la glace- versent de l'eau chaude autour des perches pour qu'elle gèle plus vite: et la glace leur sert comme de plomb pour consolider et arrêter leurs pieux." Et plus tard, Bacon puis Descartes avaient eux aussi remarqué que l'eau chauffée gèle plus rapidement que l'eau froide.

Depuis 1969, les scientifiques ont avancé beaucoup d'explications à ce paradoxe et les débats ont souvent été chauds pour savoir laquelle était prépondérante, sans qu'on ait jusqu'ici vraiment réussi à trancher expérimentalement.
- Une première hypothèse concerne l'évaporation du liquide chaud. La masse liquide dans le verre d'eau chaude étant plus faible, elle gèle plus vite. Malheureusement, l'effet Mpemba s'observe également avec des récipients fermés, où la masse d'eau est globalement conservée.
- On a également invoqué dans le cas d'un freezer, le fait que le récipient d'eau chaude puisse faire fondre le lit de glace sur lequel il est posé et qui l'isole du métal froid. Pas de chance, on observe le phénomène même si l'on suspend le verre d'eau chaude dans le congélateur, sans contact avec les parois. Dans le même esprit, on peut aussi signaler qu'introduire un récipient chaud dans un réfrigérateur moderne doté de capteurs thermiques, pousse automatiquement la puissance de la réfrigération et le refroidit donc davantage. Mais cette observation n'explique pas la différence de vitesse de congélation lorsque deux verres (l'un froid, l'autre chaud) sont placés simultanément dedans.
- On a imaginé que l'eau froide dissout davantage les sels minéraux que l'eau chauffée (il suffit de regarder le dépôt au fond des bouilloires pour s'en convaincre). De même que l'eau salée, la température de congélation de l'eau initialement froide pourrait donc être plus faible que celle de l'eau initialement chaude, débarassée de ces sels. Malheureusement l'effet Mpemba s'observe aussi avec de l'eau distillée...
- L'explication la plus convaincante fait appel aux turbulences de l'eau chaude. L'eau refroidit essentiellement par la surface, et ce d'autant plus vite que la surface est chaude. Dans le récipient d'eau froide, une couche de glace se forme très rapidement en surface et isole efficacement le reste du liquide de tout échange avec la surface. Comme la densité de l'eau est maximale à 4° (cf un précédent billet) l'eau du fond reste liquide plus longtemps. A l'inverse, dans le récipient d'eau chaude, la grande différence de température entre l'eau et la surface génère d'intenses courants de convection: l'eau chaude -plus légère- remonte vers la surface, refroidit, gagne en densité et finalement redescend en profondeur, remplacée par de l'eau plus chaude. La couche de glace en surface se forme plus lentement mais cela permet d'abaisser la température de façon plus homogène dans le récipient: la solidification complète se produit plus rapidement.

Un dernier élément à prendre en compte est le phénomène de surfusion dont on a parlé ici. Dans une eau froide et très pure, il peut arriver que la prise de glace ne se déclenche pas à 0°, faute d'un petit facteur déclenchant, impureté ou autre (on en a déjà parlé ici). Ce n'est que bien en dessous de 0° qu'elle se forme très brutalement. Au passage ce serait cet effet qui explique que vous trouviez parfois des mini stalagmites à la surface de vos glaçons (photo ci-contre tirée de ce blog anglophone): en se formant brutalement depuis les bords, la glace, plus volumineuse que l'eau, pousse sur le liquide qui s'échappe brutalement au centre avant de congeler l'instant d'après.

Dans une eau chaude, les intenses courants de convection ainsi que les éventuels sels minéraux précipités sous forme solide, rendent cette surfusion nettement moins probable... La transformation en glace se fait dès 0° et sans mini stalagmite.

Vous trouvez que cette histoire de 1969 sent le réchauffé? Pas tout à fait... Dans l'espace, en l'absence de gravité les différences de densité du liquide ne devraient entrainer aucun mouvement de convection. Un projet d'expérimentation de l'effet Mpemba dans la future station internationale, permettra de vérifier si oui on non l'eau chaude gèle à la même vitesse que l'eau froide dans ces conditions. On brûle d'impatience d'avoir le fin mot de l'histoire...

Références:
L'effet Mpemba sur Wikipedia, en français ou en anglais
Le drôlissime "Pourquoi les manchots n'ont pas froid au pieds et 111 autres questions stupides et passionnantes" publié par le magasine New Scientist.

L'oreille magique

Quand vous assistez à une conférence, avez-vous remarqué que lorsque quelqu'un dans l'assistance pose une question derrière vous, vous éprouvez l'irrépressible besoin de savoir qui parle, au point que votre écoute est gênée tant que vous n'avez pas localisé l'intervenant? Une fois que c'est fait, vous pouvez sans problème écouter le reste de sa question en regardant de nouveau devant vous. Nous avons probablement hérité de ce réflexe très utile à nos ancêtres traqués par les bêtes sauvages car notre ouïe est un détecteur particulièrement au point: en un millième de seconde vous êtes capables de localiser à quelques degrés près un son d'où qu'il vienne. Largement suffisant pour savoir très vite dans quelle direction regarder.

Pour expliquer cette faculté, on invoque normalement le fait qu'un son venant de côté arrive à une oreille un tout petit avant l'autre et très légèrement moins atténué. Cette différence de perception permet de localiser horizontalement la source sonore et la stéréo permet de restituer cette perception (en enregistrant la musique avec deux micros légèrement distants). Mais ce mécanisme n'explique pas comment on sait que le son vient d'en haut ou d'en bas et surtout comment on arrive à le localiser même si on ne l'entend que d'une seule oreille. Il semble (selon le site de l'université de Genève) que nous percevions les infimes altérations du son lorsqu'il se réfléchit sur les replis du pavillon de notre oreille. Or ces modifications varient selon l'angle d'incidence du son ce qui permet de le localiser. Pour évaluer si un son est proche ou loin, notre cerveau utilise le fait que les aigus s'atténuent plus vite que les graves avec la distance. Dans une pièce fermée, on compare l'intensité du son direct avec celui de sa réverbération sur les murs, exactement comme le font les chauve-souris avec leurs propres ultrasons. Nous sommes dotés de puissants petits radars!

Sons holophoniques
Avec des micros extrêmement sensibles à l'emplacement théorique de nos deux oreilles, on arrive à enregistrer puis à reconstituer un son en trois dimensions, diaboliquement réaliste. Écoutez (au casque) cette coupe de cheveux virtuelle, en fermant les yeux, c'est saisissant:



On sent les ciseaux autour de sa tête, c'est incroyable...
Les allumettes qu'on allume autour de vous ne sont pas mal non plus...





Effet Mc Gurk
La vue et l'ouïe s'enrichissent également pour interpréter certains signaux ambigüs. Par exemple les singes et les bébés -dès leurs premières semaines- sont capables de faire correspondre le son d'une syllabe avec la bonne vidéo du mouvement des lèvres. Cette association se fait à notre insu, au risque de nous jouer des tours, si le son et l'image sont incohérents: regardez et écoutez la vidéo suivante.
Une première fois avec le son et l'image
Puis avec le son tout seul (en fermant les yeux)
Enfin, juste avec l'image (en coupant le son)

Avec le son et l'image vous devriez normalement entendre da-da, da-da, da-da
Sans le son, vous lisez sur les lèvres ga-ga, ga-ga, ga-ga: c'est effectivement ce que le barbu disait dans sa secte étrange.
Sans l'image, vous entendez ba-ba ba-ba ba-ba. Etrange non? En réalité on a enregistré un barbu d'une autre secte (celle des ba) et on a associé la vidéo du premier avec la bande-son du second.
Pour concilier ce qu'on lit sur les lèvres avec ce qu'on entend, notre cerveau fait une espèce de compromis et nous invente une autre secte, celle des da-da, da-da, da-da. C'est l'effet Mc Gurk, découvert dans les années 70, qui a mis en évidence le rôle de certaines aires du cerveau pour assurer la cohérence entre informations visuelles et auditives.

D'autres illusions auditives...
Pas besoin des yeux pour tromper nos oreilles. Voici la version sonore de la "vis sans fin": le Glissando en spirale de Jean-Claude Risset. Rejouez-la quand c'est fini...


On a l'impression très nette que le son monte sans arrêt et revient pourtant toujours à son point de départ! Cette spirale est un raffinement du procédé inventé par Roger Sheppard avec des notes discontinues en 1964.

Le petit schéma illustre comment ça marche. Chaque carré est une note; toutes les notes d'un même axe vertical sont jouées en même temps et sont séparés d'une octave: on entend donc à chaque instant 3 ou 4 fois la même note (do par exemple) jouée sur 3 ou 4 octaves différents. La couleur du carré indique l'intensité de la note: les notes du milieu (en jaune) sont jouées plus fort, les notes les plus graves (en bas, en violet) sont introduites très doucement. Les notes aiguës sont jouées de plus en plus doucement jusqu'à disparaître. Grâce à ce montage astucieux on a l'impression d'une échelle de son qui n'en finit pas de monter!

Queen a utilisé cet effet dans Tie your Mother Down dans les trente secondes qui suivent l'introduction du morceau: le son monte, monte, monte!

Sur le même principe on peut concevoir un clavier dont il est impossible de trouver la note la plus haute: allez jouer sur ce site (en anglais) où j'ai trouvé toutes ces drôles d'illusions auditives...

Il existe plein d'autres phénomènes acoustiques étranges: si vous ne craignez pas de vous écorcher un peu les oreilles, je vous recommande:
- ce site sur les illusions auditives, avec en particulier la mélodie des silences qui exploite le fait que l'on n'entend beaucoup moins un son qui se prolonge que le même son après un court silence;
- les illusions (un poil trop stridentes à mon goût) de Diana Deutsch, grande spécialiste américaine du sujet,
- le numéro spécial de "Pour la Science" (nov 2008) sur les sons et la musique...

Parallèles mais presque

(image de techno-science.net)
Gasp! En feuilletant les cours de mon numbertwo je réalise qu'une bonne partie de ce qu'on nous apprend en géométrie en CM2 est à revoir depuis que l'on sait que la la Terre est ronde!

- Une droite est le plus court chemin entre deux points prolongé de part et d'autre à l'infini (NB: ça m'énervait de pas trouver de démonstration simple alors je m'y suis essayé en fin de billet, à vos stylos rouges!) A la surface de la Terre, une droite est donc un grand cercle passant par ces deux points: "grand" cercle car il a le même centre que la Terre et donc de même périmètre que celle-ci. Arf, donc une droite sur Terre n'est jamais infinie!

- Deux droites parallèles ne se coupent jamais? Ben, faut voir à voir, puisque tous nos grands cercles se coupent toujours et en deux points (situés aux antipodes l'un de l'autre). En fait des droites parallèles ça n'existe pas sur Terre. De même, deux droites non parallèles ne se coupent pas en un seul point, mais en deux (situés aux antipodes l'un de l'autre)...

- La somme des angles d'un triangle fait 180°? Que nenni: si l'on prend par exemple un triangle avec pour sommet le pôle Nord, et deux points situés aux antipodes de l'équateur, regardez bien ça fait 180°+90°+90°=360°! Adios du coup le théorème de Pythagore, puisqu'on peut imaginer un triangle équilatéral et avec des angles droits partout (deux extrémités sur l'équateur à 90° d'écart de longitude et une extrémité au pôle)!

- La circonférence d'un cercle sur Terre fait 2πr? Bah faites le calcul, moi je trouve plutôt 2πR cosθ, θ étant la latitude du cercle en question (en le supposant parallèle à l'équateur).

Toutes ces belles certitudes envolées, ça donne le vertige.
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Pour démontrer que le plus court chemin entre deux points d’une sphère est la portion du grand cercle qui les relie, prenons… deux points qu’on appellera A et B pour pas être trop original quand même sur une spère de rayon 1. Pivotons la sphère une première fois pour que les points soient sur la même latitude, puis une seconde fois pour qu’ils soient situés de part et d’autre symétriquement par rapport au pôle de la sphère. Nos deux points sont maintenant situés sur un même méridien et leur latitude est égale, c’est plus joli.

On postulera que la courbe recherchée est plane (je suis preneur de justification!). Comme notre figure est symétrique par rapport à l’axe Nord-Sud (0z), son plan-support doit l’être aussi. Il n’y a donc que deux « candidats »: le plan horizontal portant la parallèle joignant A et B (c’est l’arc C1 en bleu sur la figure) et le plan vertical portant le méridien passant par A et B (arc C2, en rouge). Comparons ces deux arcs :

C1 est un demi-cercle (puisque A et B sont sur le même méridien) et si θ est l’angle entre Oz et OA, le rayon du cercle support de C1 vaut sinθ. La longueur de l’arc C1 est donc π sinθ.

C2 est un arc de cercle passant par le pôle donc sa longueur vaut 2θ.

Comme θ prend ses valeurs entre 0 et π/2, on vérifie que sur cet intervalle 2θ< π sinθ: le verdict est sans appel, c’est le méridien (donc l’arc C2 du grand cercle) qui est le plus court chemin entre A et B.

Ce n’est pas très intuitif car on est habitué aux projections cylindriques de la Terre qui représentent les parallèles comme des lignes droites alors que les grands cercles sont projetées comme des courbes. Deux étudiants sur ce site ont démontré comment calculer la différence entre les deux trajets : entre Poitiers et Seattle il y a 8000km de distance à vol d’avion, mais 1000 de plus si l’on suit un parallèle!

Miroir, ô mon beau miroir...

Quelle est la taille de votre visage lorsque vous vous regardez dans le miroir? Taille réelle? C'est sûr? Et lorsque vous vous éloignez de ce miroir, cette taille diminue. Evidemment?

Faites l'essai ou lisez cet article du New York Times:
Munissez-vous d'un double décimètre, mesurez la hauteur de votre crâne (c'est sans doute le plus ardu, mais ça devrait tourner autour des 20-25 centimètres) puis regardez vous dans le miroir de votre salle de bain, en plaquant le double-décimètre sur le reflet de votre visage pour le mesurer. Si vous faites ça bien, vous verrez que votre reflet ne mesure que la moitié de votre taille réelle (dans les 12 centimètres). Et ceci quelque soit votre distance au miroir (la position du reflet change mais pas sa taille). Scroumpf, comment se fait-ce?

Pour le comprendre, imaginez que vous êtes face à votre jumeau, de l'autre côté d'un mur dans lequel se trouve une ouverture modulaire. Quelle est la taille minimale de l'ouverture permettant de le voir en entier des pieds à la tête? S'il (ou si elle) se trouve très près de l'ouverture, il faut que l'ouverture soit pratiquement de sa taille. A l'inverse, si l'ouverture se trouve très près de vous, un trou de serrure suffira pour le (ou la) voir en entier. Et si l'ouverture se trouve exactement entre vous deux, il faudra qu'elle soit de la moitié de la taille de votre jumeau.

Un miroir n'est jamais qu'une espèce "d'ouverture" placée exactement entre vous et votre reflet. La taille qu'y occupe votre reflet est donc la moitié de votre taille réelle, et ceci quelque soit la distance à laquelle vous vous trouvez du miroir. Et oui!


(image du New York Times)
Autrement dit, vous voyez votre frimousse dans le miroir deux fois moins grande que sa taille réelle et cette taille ne change pas si vous vous approchez ou si vous vous reculez du miroir. En revanche, la taille du reflet de quelqu'un d'autre s'approchant (ou s'éloignant) du miroir augmente (ou diminue). On peut donc se définir grâce à l'invariance de la taille de son reflet dans un miroir: cette image dans le miroir est la mienne parce qu'elle ne change jamais de taille...

Les vampires ne savent pas ce qu'ils ratent!

Eloge de l'impureté

De nombreux phénomènes physiques, comme les changements d'état, ne pourraient se produire sans les impuretés du milieu -grains de poussière, aspérités, etc. Les bulles de champagne, par exemple, ne peuvent se former dans les coupes que grâce à la présence des petites peluches qui se trouvent au fond des coupes.

Ces petites peluches emprisonnent en effet quelques micro-bulles d'air qui attirent le gaz carbonique dissous dans l'alcool. La bulle grossit puis finit par remonter à la surface, en petits trains de bulle qui toutes partent du même endroit (l'explication complète sur le blog de ptitphilou par exemple)

Autrement dit, si l'on verse du champagne ou toute autre boisson gazeuse dans une coupe impeccablement propre, il ne se formerait aucune bulle! Autant dire que dans les conditions théoriques des livres, où les gaz sont purs et parfaits et les coupes de champagne parfaitement propres, le champagne ne pétillerait pas dans les verres... On saura gré pour une fois aux conditions d'expérimentations d'être toujours imparfaites.

Quoique... quelques inventions amusantes ont tiré parti de cette curiosité à l'envers: les bouillottes magiques par exemple, qui chauffent comme par magie dès que l'on "clipse" une petite pastille métallique présente dans la poche au milieu du liquide... A mesure que la bouillotte chauffe, elle devient solide.

Le principe de ce mécanisme est original: la bouillotte contient une solution sursaturée d'acétate de sodium. Normalement, à température ordinaire et avec ce niveau de concentration l'acétate de sodium devrait être cristallisé. Or il ne l'est pas car la bouillotte est si propre et la solution si pure, qu'il y manque un "germe" qui permette d'initier la réaction de précipitation. En "cliquant" la pastille métallique au milieu de la solution, on dégage la petite quantité d'énergie nécessaire pour déclencher la cristallisation. La cristallisation est une réaction exothermique et à mesure que le sel cristallise la bouillotte chauffe.

Le monde sans impureté serait décidément un drôle d'univers...