Boulanger: la saga continue (2/2)

 PART 2 Les mystères du monde continu

Je vous ai montré dans le billet précédent pourquoi en mélangeant de façon très méthodique une image faite de pixels (j’étale dans un sens, je replie et je recommence) on revient tôt ou tard à la l’image initiale. Mais aujourd’hui nous allons voir que cet éternel recommencement est un privilège réservé aux images numériques. Même si on savait répéter une telle transformation avec une précision parfaite sur une image réelle, faite d’un continuum de points, on ne retrouverait jamais l’image de départ. Plus fort encore: jamais le mélange ne produirait deux fois la même image…

Pétrissage décimal
Pour vous le montrer simplement, je vais modifier légèrement la méthode de pétrissage: le boulanger étire son carré de 10 fois sa longueur initiale (au lieu de deux) et il coupe les neuf morceaux qui dépassent afin de retrouver la  forme initiale du carré une fois empilés.

 

C’est un peu plus compliqué à première vue mais vous allez vite comprendre pourquoi ça simplifie les calculs…

Supposons que notre carré ait une longueur 1 de côté et divisons le verticalement en 10 bandes de largeur 0,1 chacune. Le point en rouge de coordonnées (0.375;0.405) est situé dans la troisième bande verticale en partant de la gauche.  Au premier étirement, notre point se retrouve dans le troisième bloc en partant de la gauche (son abscisse est multipliée par 10) et rabaissée (son ordonnées est divisée par 10) soit  (3.75;0.0405).  Après passage du couteau, le troisième bloc est empilée sur les deux premiers: l’abscisse du point est donc diminuée de 3 unités et son ordonnée augmentée de 3 décimales soit (0.75;0.3405).

Bilan:

 

La transformation d’un point s’obtient donc simplement en enlevant la première décimale de l’abscisse et en la glissant devant la première décimale de l’ordonnée. Une manière plus simple de faire l’opération consiste à écrire l’abscisse et l’ordonnées tête-bêche et de les séparer par un symbole par exemple « : » Dans ce formalisme, le point initial (0.375;0.405) s’écrit  573:405 et son image (0.57:0.345) s’écrit 57:3405!

La transformation consiste donc à simplement déplacer la séparation entre abscisse (écrite à l’envers) et ordonnée. A mesure que l’on itère les transformations, les lointaines décimales de l’abscisse initiale « remontent » près de la virgule et deviennent déterminantes sur l’abscisse avant de passer sur l’ordonnée. A l’inverse les décimales initiales de l’ordonnée sont reléguées en queue de développement décimale et ne comptent rapidement plus du tout.

Quand le destin est fonction de la naissance, pas de la valeur.
Nous voilà parés pour comparer les destins de trois points situés extraordinairement près les uns des autres avant que le boulanger ne commence à travailler son pétrin. Supposons qu’ils aient tous  la même ordonnée (mettons y=0,5) et comme abscisses respectivement:
– un nombre décimal  0.14159
– une fraction non décimale: 1/7=0,142 857 142 857…
– un nombre irrationnel: 3-pi=0.14159265… (suite de décimales non périodique)

1) Pour le point ayant une abscisse décimale, les choses se passent très mal: il se fait vite projeter contre le bord gauche de l’image avant de s’écrouler par terre, comme un mauvais cowboy dans une bagarre de saloon. Sa durée de vie est égale au nombre de ses décimales non nulle. Il est un peu nul et d’ailleurs tel est son destin, puisqu’il finit au point d’origine (0,0) en bas à gauche:

2) Le point d’abscisse rationnelle (non décimale) commence pareil que son jumeau décimal mais il s’en sort bien mieux.  Comme son développement décimal finit par être périodique, au bout d’un certain nombre de transformations l’abscisse du point devient elle-même cyclique. Et comme la première décimale de l’abscisse devient la première décimale de l’ordonnée lors de la transformation suivante, l’ordonnée entre à son tour dans un cycle en miroir. Le point entre dans un cycle fermé dont la longueur est celle de la période de ses décimales:

Les puristes auront remarqué  que l’ordonnée conserve toujours une queue de décimales qui lui est propre et ne peut donc être exactement cyclique. C’est exact, mais comme l’influence de cette « queue » décimale est divisée par 10 à chaque transformation, elle perd très rapidement toute influence.

3) Pour le point d’abscisse irrationnelle, c’est encore plus funky. Son développement décimal n’étant jamais périodique, les décimales que chaque transformation fait « remonter » en première position semblent parfaitement aléatoires. Et comme l’ordonnée se fait contaminer par les décimales de l’abscisse, le point se déplace de façon anarchique au fil des itérations.

L’absence de périodicité de ses déplacements garantit qu’il ne repasse jamais deux fois sur la même position. Si l’on poursuivait sans arrêt ces transformations, le point finirait par couvrir toute la surface de l’image.

Aussi proches soient-ils, nos trois points de départ ont des destins radicalement différents. Le point d’abscisse décimale converge vers l’origine, celui ayant une abscisse rationnelle suit une boucle cyclique et le point d’abscisse irrationnelle suit un parcours chaotique. Leur destin respectif ne dépend donc que de leur « statut » arithmétique, leur essence platonicienne pourrait-on dire, et non pas de leur valeur. Notre transformation du boulanger décimal s’avère être une extraordinaire trieuse de nombres!

Mais après tout, est-ce vraiment grave si ces dingos d’irrationnels sont incontrôlables? Du moment que les nombres rationnels tournent sagement en boucle, leur grand nombre n’assure-t-il pas que l’on retrouvera un système cyclique, comme pour l’image numérique? Hélas, il y a beaucoup beaucoup plus de nombre irrationnels que de nombres rationnels. Parmi tous les réels, ces derniers sont l’exception plutôt que la règle. A la différence d’une image ayant un nombre fini de pixels, notre  image « continue » sera donc irrémédiablement diluée par la transformation du boulanger, même si de ci de là quelques rares points suivront effectivement un cycle.

Déterminisme et prédictibilité
La transformation du boulanger illustre ainsi la différence qualitative entre fini et infini, mais elle est intéressante à plus d’un titre. Comme tout système chaotique, elle met aussi en évidence la différence entre déterminisme et prévisibilité. Certes l’équation de la trajectoire d’un point soumis à une série de transformations est parfaitement déterminée. Pourtant on vient de voir que deux points infiniment proches l’un de l’autre suivent des destins totalement différents selon la nature -décimale, rationnelle ou irrationnelle- de leur abscisse. L’imbrication infinie entre ces trois ensembles de nombres rend impossible toute prédiction concernant la trajectoire d’un point matériel donné: attraction vers O, oscillation périodique ou trajectoire chaotique. La transformation du boulanger est un joli exemple mélangeant déterminisme absolu et imprédictibilité totale.

Pour reprendre une thématique développée par Tom Roud, assimiler déterminisme et capacité prédictive ne vaut que tant que l’on est face à des phénomènes linéaires, pour lesquels une petite erreur de mesure initiale n’entraine qu’une petite erreur sur le résultat de la prédiction. Il se trouve que les lois physiques élémentaires soient justement linéaires, qu’il s’agisse de la gravité, de l’électromagnétisme ou des forces nucléaires faibles ou fortes. Et la « déraisonnable efficacité des mathématiques » acquise grâce à cette linéarité providentielle a sans doute largement contribué au succès de la méthode scientifique et son hégémonie dans le monde occidental.
Mais de même que les nombres rationnels sont « rares » parmi les nombres réels, les phénomènes linéaires sont probablement l’exception plutôt que la règle dès que l’on sort des régimes d’équilibre ou que l’on aborde des disciplines comme l’économie, la biologie ou l’écologie. On peut certes toujours modéliser des phénomènes non linéaires. Mais aucun modèle, aussi exact soit-il, n’aura la capacité de prédire leur évolution au-delà d’un temps très court, à l’image des prévisions météorologiques.

L’irréversibilité et la flèche du temps

La transformation du boulanger a aussi l’intérêt de mettre en évidence le lien entre irréversibilité et instabilité. Je m’explique: l’opération que l’on a décrite est entièrement réversible: pour revenir en arrière il suffit de découper le carré en deux (ou en dix) bandes horizontales, de les étaler les unes à côté des autres et de recomprimer le tout pour obtenir la forme initiale du carré. Simple non? En pratique pourtant, la très grande instabilité de la transformation détruit tout espoir de retour en arrière au-bout d’un certain temps. Il suffit qu’à l’aller, un des points bouge d’un angström (10-10m) sous l’influence gravitationnelle d’un électron situé aux confins de l’univers, pour que ce point perde tout espoir de revenir à sa position initiale après 10 transformations.

Pour illustrer le phénomène, prenons une image d’une tasse. Au bout de trois transformations du boulanger, l’image est complètement brouillée. En théorie, rien n’empêche de passer le film à l’envers en faisant trois transformations inverses et voilà notre tasse qui réapparaît comme si de rien n’était. Oui mais. Dans la vraie vie, si l’image mélangée bouge entre temps d’un micro-millième de chouïa, vous ne retombez plus du tout sur vos pieds. Voici ce qui se passe si on tourne la troisième image d’un degré avant de lui appliquer les transformations inverses. Adieu la tasse!

On retrouve de façon assez inattendue le deuxième principe de thermodynamique qui interdit l’évolution spontanés du désordre vers l’ordre. Mais dans cet exemple, la flèche du temps ne tient pas à une question de probabilité, au fait que l’état ordonné est infiniment moins probable qu’un quelconque état différent. Ici la flèche du temps naît de l’extraordinaire instabilité de l’évolution de chaque point…

Sources:
B Gréhant, Et si la science était de l’hébreu (le chapitre qui traite ce sujet est disponible en pdf)
I Prigogine et I Stenger, La fin des certitudes: temps, chaos et les lois de la nature.
La transformation de la tasse a été faite avec le logiciel libre de BouMaton (disponible ici si vous voulez vous amuser aussi)

Billets connexes:
Votre boulanger est-il discret, le billet précédent

Votre boulanger est-il discret? (1/2)

Quelle différence faites-vous entre l’infini et le « très très grand »? Comment vous représentez-vous l’ensemble des nombres rationnels contenus dans l’intervalle [0,1]? Bon, je ne vous sens pas franchement emballés par mes questions métaphysiques, mais ne zappez pas tout de suite! Pour y répondre, je vous propose un phénomène bluffant qui non seulement prend vos intuitions à contre-pied, mais qui illustre également la différence qualitative entre fini et infini, discret et continu. Et si au pire vous n’y comprenez rien, l’effet spectaculaire en vaut la peine, promis!

PART1: quelle différence entre fini et infini?

Pour bien mélanger son pétrin, le boulanger prend un carré de pâte, l’étire dans un sens puis le replie pour retomber sur son carré initial et il recommence: il étire puis replie pendant une bonne demi-heure (ça muscle!):

La transformation du boulanger

Si au lieu de faire ça avec une pâte à pain, on s’amuse à faire la même chose avec une image numérique, l’image se brouille très vite:Assez rapidement l’image se brouille…

Evidemment, comme on ne peut pas étirer chaque pixel on a un tout petit peu triché: pour étirer une ligne, on est obligé d’interpénétrer chaque ligne paire avec la ligne impaire suivante avant de replier le tout.

Les mystères de l’éternel retour

L’avantage sur la pâte à pain, c’est que c’est moins fatigant à faire et surtout ça va beaucoup plus vite. Au lieu de s’arrêter au bout d’une dizaine de mélanges comme ce feignant de boulanger, on peut laisser le logiciel tourner des milliers de fois. C’est le miracle de la technique. Mais le plus miraculeux c’est surtout qu’au bout d’un moment, l’image du départ revient comme par magie!

Magique!

Cette transformation très simple aurait-elle des propriétés spéciales? Même pas: on trouve sur internet plein d’autres transformations très différentes qui bouclent sur elles-mêmes de la même façon. Par exemple celle du photomaton qui « disperse » l’image initiale dans les quatre quarts du carré avant de recommencer:

La transformation du photomaton appliquée à l’image de la Joconde

Je me disais qu’il devait être affreusement compliqué de démontrer que « ça boucle », d’autant que le nombre d’itérations nécessaires pour retomber sur ses pieds est très sensible au nombre de pixels de l’image. La démonstration que propose JP Delahaye [1] est pourtant incroyablement simple.

Numérotons les pixels de l’image de 1 à N en fonction de leur position. La  transformation du boulanger envoie le pixel en position X1 à une position X2 qui lui est exclusivement réservée. La transformation du boulanger est donc une bijection entre les N pixels de l’image.  Appliquons  itérativement  cette transformation bijective à notre pixel situé  initialement en position X1, il devient:
X1->X2->X3->X4->….->XN
Puisque la transformation est bijective et qu’il n’y a que N pixels possibles, un peu de réflexion vous convaincra que notre point reviendra fatalement à sa position d’origine en X1 au bout d’un certain nombre d’itérations. Ansi à chaque pixel de l’image correspond un cycle de longueur inférieure à N, cycle au terme duquel il revient à sa position de départ. Tous les pixels appartenant à un cycle de longueur 10, reviennent à leur position initiale au bout de 10 transformations, 20, 30, 40 etc.
Evidemment deux pixels différents peuvent appartenir à des cycles de  longueurs différentes l1 et l2, mais ils seront tous les deux revenus à leur position initiale au bout de l1*l2 cycles.
On peut en principe connaître la liste de toutes les longueurs de cycles correspondant aux pixels d’une image. Supposons par exemple qu’il n’y ait que trois cycles possibles, de longueur 3, 7 et 10. L’image reviendra identique à elle-même au bout de 3*7*10=210 itérations.
De façon générale, si l’on connaît toutes les longueurs de cycle d’une image, le « temps de retour » de l’image sera égal au plus petit commun multiple de toutes les longueurs de cycles. Dans le pire des cas (si chaque point appartient à un cycle de longueur différente) l’image initiale revient au bout de N! cycles. Ca peut être long, mais ça marche à tous les coups!

Tout s’explique!
Ce raisonnement est valable quelle que soit la nature de la transformation (Boulanger, photomaton ou autre), il suffit juste qu’elle soit bijective. Rigolo non? Au passage, cette démonstration aide à comprendre pourquoi au cours des itérations on voit de temps en temps apparaître  l’image initiale un peu brouillée: c’est le cas chaque fois que le nombre d’itérations est un multiple des longueurs de cycles les plus fréquentes. Les très nombreux pixels correspondant à ces cycles sont alors revenus à leur position initiale – c’est ce qui fait qu’on reconnaît l’image- mais pas les autres -c’est ce qui fait que l’image est floue:

Des ondes à remonter le temps

Remonter le cours du temps? Mathias Fink fait ça tous les jours à l'Ecole de Physique Chimie. Pas avec des particules (on a vu ici pourquoi), mais avec des ondes. Oui oui, des ondes... Et plus le milieu est compliqué plus c'est facile pour lui. Allez, je vous emmène visiter sa machine à remonter le temps un peu spéciale...

Une idée de la difficulté du problème...
Prenez une table de billard. Lancez une boule dessus et laissez-la rebondir sur les parois. A tout moment, en inversant simplement sa vitesse vous pouvez lui faire faire le chemin inverse. Pas facile bien sûr, il faut être précis. Si la boule à heurté une autre boule au passage, il vous faut renverser les vitesses des deux boules simultanément, ça devient de l'art. S'il y en a trois, les faire revenir à leur position de départ tient du miracle, car la moindre imprécision dans leurs vitesses initiales change complètement leurs trajectoires: c'est ce qu'on appelle un système chaotique. Avec dix boules, même en simulant entièrement l'expérience par ordinateur ça ne marche pas: la précision requise pour faire refaire la trajectoire inverse de chaque boule dépasse celle des ordinateurs les plus puissants. Compliquons un peu: sur votre billard, remplacez les deux bords latéraux par des demi-cercles: vous venez d'inventer une machine infernale ("ergodique" disent les physiciens) qui fait rebondir chaque boule de manière absolument imprévisible. Voilà pourtant les conditions hautement acrobatiques dans lesquelles Mathias Fink travaille à l'inversion des mouvements! Mais bizzarement, ce qui serait totalement inenvisageable en mécanique (qui décrit les mouvements individuels des solides par exemple) s'avère plutôt simple en acoustique (qui décrit le mouvement collectif de molécules sous l'effet des variations de pression), car chaos et mouvements collectifs font bon ménage.

Des miroirs qui parlent verlan
Toute l'astuce consiste à utiliser un "transducteur": petit appareil minuscule génial, qui peut faire office à la fois de micro et de haut parleur. Voici comment on procède: au lieu de prendre un billard, on utilise une boîte pleine d'eau, au milieu de laquelle sont placés des milliers de petites tiges métalliques.

D'un côté, un transducteur-source émet un petit "clic", un son très court (1 msec). Cette belle onde -sphérique au départ- se propage dans l'eau et ricoche dans tous les sens contre les bords et sur les tiges métalliques. Le résultat de toutes ces interférences est un son épouvantablement brouillé qui dure 300 msec et qu'enregistrent fidèlement une centaine de petits transducteurs, placés à l'autre bout du bocal.

Le coup de génie qu'a eu Fink a été de faire réemettre à chaque transducteur le bruit qu'il avait capté, mais dans l'ordre chronologique inverse, en verlan en quelque sorte. Un peu comme un miroir qui réfléchirait les ondes reçues. Et ça marche! L'onde parcourt dans l'autre sens toutes les étapes antérieures de sa propagation et se refocalise sur le point source initial en une impulsion très brève. Comme dans un film qu'on repasse à l'envers.
On a refait l'expérience dans tous les milieux (eau, air, solide, corps humain) et tous les types d'ondes (optiques, sonores, ultra-sons...) avec le même succès pour autant que les ondes sont bien réfléchies sur toutes les parois.

Plus c'est compliqué, plus c'est simple de retourner le temps!
Je vois au moins trois sujets d'émerveillement dans ces expériences:
- Plus le milieu est bruité ou inhomogène, plus notre miroir est efficace dans son renversement! Non seulement les réverbérations chaotiques ne gênent pas ce retournement du temps, mais elles le facilitent: contrairement aux particules les ondes "aiment" le chaos.

- Pas besoin d'avoir des capteurs dans tout l'espace, un très petit nombre suffit: si l'on avait suivi jusqu'au bout l'analogie avec les boules de billard (dans l'espace!), il aurait fallu renverser leurs mouvements dans tout le volume d'eau, donc placer des capteurs partout dans l'espace, espacées d'un demi-centimètre chacun (une demi-longueur d'onde). Dans l'expérience du bocal, on en a utilisé une centaine, mais dans l'expérience suivante, avec un milieu parfaitement "ergodique" (c'est-à-dire générant des réverbérations chaotiques partout) un seul micro suffit! Cette fois-ci c'est une galette de silicium qui assure la propagation d'une onde vibratoire et les transducteurs sont des petits marteaux qui tapent dessus et enregistrent les vibrations de la plaque:

- Les ondes ne sont pas "chatouilleuses" aux erreurs expérimentales. La méthode est tellement robuste et tolérante aux approximations, qu'il est inutile de réemettre la totalité du signal reçu par les capteurs: dans l'expérience ci-dessus, n'importe quel échantillon de 2 ms pris au hasard dans le signal enregistré donne d'excellents résultats, par le simple jeu des interférences. De même, diviser par 10 la précision du codage du signal réemis ne dégrade pratiquement pas la qualité de la restitution.

Comment faire entendre des voix à Jeanne d'Arc?

Simple curiosité physique? Vous plaisantez! Le retournement temporel est l'un des phénomènes les plus féconds en applications innovantes dans tous les domaines, à commencer par les télécommunications en milieu bruité.

En milieu marin la communication est un casse-tête à cause des réverbération des signaux sur le fond et la surface (ce sont ces réverbérations qu'on entend en fait dans le chant des baleines et qui leur donne leur longueur et leur langueur). Un chaos idéal pour notre retournement temporel! Il suffit pour que deux bateaux communiquent ensemble qu'ils procèdent comme ça:

1) Le bateau 1 émet un petit "clic", qui arrive sous forme d'un long gloubi-boulga au navire 2.
2) Le bateau 2 enregistre ce signal grâce à une série de transducteurs (évidemment c'est plus des trucs riquiquis si vous regardez la photo), le renverse temporellement mais au lieu de le renvoyer tel quel, il le combine (il le "convolue" si on veut être précis) avec le message à envoyer "coucou bateau 1!", le tout en un pouillème de seconde.
3) Grâce à la magie des ondes, le signal émis fait le chemin en sens inverse et se focalise pile poil sur le bateau 1. Il n'y aura qu'à cet endroit précis qu'on recevra le message "coucou bateau1!".
4) Partout ailleurs le message du bateau 2 sera incompréhensible!

L'opération de retournement temporel est si rapide à réaliser, qu'elle fonctionne même quand les bateaux se déplacent.

Si l'on revient sur la terre ferme, il y a intérêt à utiliser la même méthode dès que de nombreux obstacles gêntnt la propagation des ondes radio, en milieu urbain ou à l'intérieur des bâtiments par exemple. Plutôt que de diffuser le même message tous azimuths, les antennes peuvent adapter le signal qu'elles émettent pour "viser" chaque cible compte tenu de sa position, exactement comme le font les navires. On améliore ainsi le débit, la portée et la qualité du signal. On peut aussi profiter du gain pour diminuer la puissance d'émission qui fait tellement débat actuellement. Et on peut même crypter le message puisque le signal ne sera "audible" qu'à l'endroit précis du destinataire.

Mathias Fink a même imaginé "l'effet Jeanne D'Arc": dans un lieu clos très réverbérant, une église par exemple, un haut-parleur utilisant cette technique pourrait tout à fait transmettre simulanément un message différent pour chaque personne dans la salle, sans qu'aucune puisse entendre le message du voisin!

Aux petits soins...
Les ultra-sons sont très pratiques pour détruire les calculs rénaux sans avoir besoin de chirurgie, mais l'opération dure longtemps et il est difficile de les maintenir focalisés sur la cible. De fait 70% des tirs loupent leur but et endommagent des tissus sains. En utilisant les techniques de retournement temporel appliquées à l'écho renvoyé par le calcul, les ultrasons auto-focalisent extrêmement rapidement sur la cible. Suffisamment vite (1000 retournement par seconde) pour taper pile sur le calcul, en dépit des inévitables mouvements du patient. Dans la même veine, le retournement médical permet tout un tas d'innovation en imagerie médicale.

Dans le genre actualité brûlante, on sait que certaines pièces en titane des moteurs d'avion sont extrêmement sollicités durant le vol et peuvent provoquer de tragiques accidents en cas de défaut. L'inspection de "l'empreinte sonore" de la pièce (= l'écho qu'elle réfléchit quand on lui envoie une vibration) par retournement temporel est une technique huit fois plus précise que les méthodes traditionnelles, car le moindre défaut (0.4 microns) modifie radicalement cette empreinte sonore, par rapport à celle d'une carosserie sans défaut.

Un peu de magie!
En utilisant le principe expliqué dans la diapo sur la galette de silicium, on peut "tactiliser" n'importe quelle surface d'objet sur lequel on a placé un capteur dans un coin.

- Avec ce capteur on commence par mémoriser pour chaque point de la surface les profils d'ondes que provoque un contact sur ce point.
- Ensuite, quand quelqu'un touche la surface, on compare l'onde reçue avec ces profils pré-enregistrés: c'est très facile à faire, il suffit de simuler le retournement de ces ondes pour en obtenir une image "propre".
- Grâce à cette comparaison, on peut déterminer rapidement et avec précision l'endroit touché sur la surface.

Voilà qui permet de créer un clavier virtuel, une vitrine interactive ou même le tableau magique de Tom Cruise dans Minority Report...

- Avec le même dispositif, on peut même écouter à travers les murs! Les ondes sonores se transmettent sur les murs sous forme de minuscules vibrations; il suffit donc d'enregistrer ces vibrations avec des capteurs, de les retourner temporellement puis de simuler leur réemission pour reconstituer le signal initial et écouter ce qui se passe de l'autre côté du mur. Idem, si on veut jouer à la maison hantée: en émettant simplement des vibrations correctement choisies sur un mur, on peut diffuser un son dans une pièce sans haut-parleur!

Les rêves de M Fink
Avec toutes ces innovations à son actif, Mathias Fink rêve forcément à des trucs intéressants.

La fusion thermonucléaire par exemple, rien que ça. Bombarder une bulle d'air en suspension dans un liquide avec des ondes acoustiques provoque un phénomène de sono-luminescence dans la bulle, sous l'effet de l'onde de choc qui l'écrase l'espace d'un instant. On peut augmenter la puissance de l'onde de choc, mais avec les techniques classiques la bulle se disloque à partir de 1.4 atmosphères du fait de l'irrégularité de l'onde à son contact. En utilisant la baguette magique du retournement temporel, on arrive à focaliser très précisément les ondes acoustiques et à monter jusqu'à 10 atmosphères sans que la bulle ne se dissolve. Bon, on est encore loin des 1000 atmosphères nécessaires pour déclencher une fusion nucléaire, mais qui sait?

L'autre idée de M Fink concerne le fonctionnement du cerveau. Depuis qu'il a appris que des rats auxquels on a appris dans la journée à se diriger dans un labyrinthe, refaisaient mentalement le chemin inverse dans leur sommeil, il se dit que la Nature n'a pas pu laisser passer un aussi beau phénomène sans l'avoir utilisé d'une manière ou d'une autre. D'autant que les nerfs se comportent un peu comme des transducteurs, se déformant au passage d'un signal électrique, et émettant un signal lorsqu'ils subissent une pression mécanique. On attend avec impatience le jour où l'on découvrira que le cerveau est une immense machine à retourner temporellement certains signaux...

Quand il s'emballe, Fink imagine même des applications étranges. Comme celle qui consisterait par exemple à retourner temporellement une fonction d'onde quantique. Après tout, si la méthode marche avec n'importe quel type d'onde, pourquoi pas? On n'en est plus à une surprise près avec ces ondes.

Sources:
La vidéo de la leçon inaugurale de Mathias Fink au Collège de France, en février 2009
Les illustrations sont tirées ou adaptées de son cours à l'ESPCI (ici, en format ppt)
Sa conférence "Acoustique et renversement du temps" à l'université de tous les savoirs, en 2000
L'article de l'observatoire de la Cité des Sciences sur certaines applications des miroirs à retournement temporelL

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La constance du papillon sur d'autres phénomènes surprenants propres au chaos

La constance du papillon

"L'effet papillon" c'est un peu la pince multi-prise du prêt-à-penser: le fameux battement d'aile qui déclenche une tornade à l'autre bout du monde est la référence médiatique incontournable de tous les chaos, crises financières ou désastres écologiques dont on ne comprend pas les causes. Il faut dire que le concept a tout pour séduire: un label de théorie scientifique, une belle image de la Nature - un papillon- et l'inévitable référence à une mondialisation incontrôlable.
Normal donc qu'on l'invoque sous toutes ses formes -chansons, films, essais- à chaque fois qu'on souhaite illustrer comment de toutes petites causes provoquent des grandes catastrophes, sous l'effet d'une avalanche de réactions en chaine. L'effet papillon serait-il simplement la version scientifique du nez de Cléopâtre, dont Blaise Pascal pensait que "s'il eût été plus court, la face de la Terre aurait changé"? Hmmm... Ce serait un peu court. Et surtout, la puissance d'une théorie scientifique (celle du chaos en l'occurrence) ne se mesure-t-elle pas précisément à sa capacité prédictive? Qu'y aurait-il de génial dans une théorie qui nous démontrerait juste qu'on vit dans un monde complexe et imprévisible?

A vrai dire, la théorie du chaos a fait les frais de son succès médiatique. Lorsqu'en 1972, son inventeur Edward Lorenz, fit sa fameuse conférence "Le battement des ailes d'un papillon du Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas?", il présenta deux résultats fascinants dont le grand public ne retint que le premier. Lorenz modélisait alors des phénomènes météorologiques en faisant mouliner les laborieuses machines à calculer de l'époque sur des calculs itératifs (on prend comme données d'entrée les résultats du calcul précédent et on recommence). L'histoire raconte qu'un jour de 1961, il voulut refaire un de ses calculs pour le vérifier mais, pressé d'aller se faire un café, il eut la flemme d'entrer en machine les données complètes avec six décimales, et les arrondit au millième.

Derrière le papillon, la sensibilité aux données initiales
A sa grande surprise, l'infime variation des données initiales avait entrainé une grande divergence des prévisions: au bout d'un certain temps ce n'était plus une tempête au pôle Nord qui s'annonçait, mais une grande sécheresse dans le Sud! C'est cette hypersensibilité aux conditions initiales qui lui inspira le titre de sa conférence et qui marqua les esprits.
Ce phénomène est intéressant, mais à vrai dire pas très nouveau en physique: si vous lancez une toupie, vous connaissez parfaitement les lois auxquelles elle est soumise. Vous savez qu'elle va finir par tomber et pourtant, même en connaissant parfaitement sa vitesse de rotation, son poids etc. vous ne ne pouvez absolument pas prédire dans quelle direction elle va le faire, tant celle-ci est sensible à la moindre perturbation. Ce qui était nouveau dans la découverte de Lorenz, c'est que pour la première fois on avait déniché une telle instabilité au cœur même des ordinateurs les plus puissants.

Vous pouvez faire vous-même le même genre d'expérimentation sur Excel: prenez deux nombres qui coïncident entre eux jusqu'à la 5^eme décimale, par exemple 0,1 et 0,100001. Doublez-les, ne gardez que la partie décimale et recommencez. Au début les résultats sont très proches, mais au bout de 8 itérations ils commencent à diverger. Au bout d'une vingtaine ils n'ont plus rien à voir entre eux. Voici ce que ça donne avec différents nombres au départ:

Regardez comme c'est étrange: d'une part l'ordinateur finit par se tromper sur les chiffres exacts (nombres à une décimale des premières colonnes) et d'autre part vous finissez par obtenir 0 au bout d'une cinquantaine d'itérations. Cette convergence, c'est le deuxième résultat étonnant que découvrit Lorenz, je vais y revenir.

Ainsi étaient mis en évidence des phénomènes totalement déterministes (dont les lois sont parfaitement définis et calculables) mais tellement sensibles aux conditions initiales qu'on ne peut en prédire l'évolution que jusqu'à un certain horizon temporel, faute d'en connaître l'état initial avec suffisamment de précision. Selon Philippe Etchecopar une fluctuation de 1 cm sur la position initiale de la Terre aboutit -dans les modèles actuels- à un déplacement d’un million de km après cent millions d’années.

C'est en ce sens qu'il faut comprendre l'image de "l'effet papillon": même si nous connaissons toutes les lois d'évolution d'un système, notre capacité à en prévoir l'évolution est limitée par la précision de nos mesures initiales. Pour les prévisions météo, par exemple, autant on peut prévoir le temps qu'il fera dans trois jours, autant d'après David Ruelle, "après quinze jours (...) il faudrait tenir compte de l'effet gravitationnel qu'aurait un électron situé à 10 années lumières de la Terre"! Le papillon peut aller se rhabiller, mais le phénomène n'a rien à voir avec un enchainement compliqué de causes à effets qui relierait l'histoire réelle d'un papillon avec le déclenchement d'un séisme à l'autre bout de la planète, comme on l'imaginerait spontanément en lisant le titre de la conférence de Lorenz.

Rien à voir non plus avec le hasard même si ça y ressemble. On peut connaître parfaitement les mécanismes d'un phénomène et être incapable d'en prédire l'évolution à long terme, faute de mesures suffisamment précises au départ: c'est ce qu'on appelle le chaos déterministe. Comme l'a bien résumé bien Poincaré (déjà en 1908, décidément il est trop fort Riton) : "Une cause très petite qui nous échappe, détermine un effet considérable (...) et alors nous disons que cet effet est dû au hasard".

Derrière le chaos, l'invariance
L'autre résultat que découvrit Lorenz un peu plus tard (il tint sa conférence onze ans après sa première découverte en 1961) me semble beaucoup plus spectaculaire bien qu'il ait été éclipsé par l'image du papillon. Certes avec des conditions initiales légèrement différentes, Lorenz obtenaient des résultats qui divergeaient totalement deux à deux au bout d'un certain nombre d'itérations. Mais il constata avec étonnement que les deux séries avaient statistiquement la même distribution de résultats.

Plus fort encore, lorsqu'on représentait graphiquement ces valeurs en trois dimensions, elles finissaient toujours par former un drôle de dessin... en forme de papillon. Quelles que soient les valeurs autour de ces valeurs initiales, les séries de résultats finissaient toujours par se distribuer autour des mêmes boucles. C'est bizarre, alors on a appelé ça un "attracteur étrange" (l'image est tirée du site du cnrs)


Pour expliquer ça en termes de Physique (n'oublions pas qu'il s'agissait de prévisions météo), Lorenz avançait "l’idée qu’au fil des années les petites perturbations ne modifient pas la fréquence d’apparition des événements tels que les ouragans : la seule chose qu’ils peuvent faire, c’est de modifier l’ordre dans lequel ces événements se produisent.» Autrement dit on ne peut prévoir le temps qu'il fera dans plusieurs semaines (faute de précision suffisante sur les conditions atmosphériques initiales), mais on peut tout à fait prédire le nombre de jours de pluies sur une période donnée.

Derrière l'invariance, la fractale
On a pu montrer que la plupart des systèmes chaotiques (c'est à dire qui suivent des lois précises mais dont le résultat dépend fortement des conditions initiales), finissent par osciller autour d'un ensemble fini de valeurs. Pourquoi de telles boucles? Ce n'est pas encore très clair (traduisez: je n'ai pas encore bien compris!) La figure reboucle rarement deux fois sur le même point et ce qui se profile est... une fractale, mais oui! Quel que soit l'agrandissement que l'on en fasse, c'est la même complexité qui se répète à l'infini -à condition bien sûr d'itérer le calcul à l'infini lui aussi.

On peut s'amuser à fabriquer sur Excel plein de telles figures, en itérant un calcul très simple. Celui-ci par exemple. Son petit nom c'est Gumowski-Mira:

En s'amusant à donner différentes valeurs à A, B, X₀ et Y₀, et en observant le graphique des points (X,Y) obtenus sur un grand nombre d'itérations (typiquement 10 000), on obtient de magnifiques figures. Ca marche sur Excel, mais c'est plus joli sur la galerie de photos de Stinging Eyes.

Vous ne trouvez pas que ça ressemble étrangement aux formes que prend le plancton? J'aime l'idée que peut-être -j'ai bien dit peut-être!-une seule loi physique régisse non pas une seule forme du vivant (comme on l'a vu pour les spirales de Fibonacci), mais une grande variété de formes très différentes, au hasard des paramètres que peut prendre cette loi dans la nature.

La transformation du boulanger.
Il y a quand même des cas où l'on comprend bien que ça finisse par reboucler. Si les résultats du calcul itératif ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs, tôt ou tard on va retomber sur ses pieds. Les séries de Kaprekar en sont une illustration. Pour l'exemple vu plus haut du doublement des décimales d'un nombre c'est la même chose car l'ordinateur travaille sur un nombre fini de décimales (d'où les erreurs qu'il commet au bout d'un moment).

Cela dit, retomber sur les valeurs de départ a tout d'un tour de magie. Enfilez votre tablier de cuisine et faites une pâte à gateau. Donnez-lui une forme de carré puis aplatissez-le en lui donnant une forme de rectangle horizontal. Coupez-en la moitié droite et replacez-la au-dessus de l'autre moitié: vous voici avec un nouveau carré de même dimension que le premier. Recommencez comme ça de nombreuses fois. Si au départ vous aviez une image sur votre carré de pâte, celle-ci se trouve rapidement totalement brouillée après quelques transformations. Mais au bout d'un grand nombre de fois, l'image réapparaît comme par miracle à sa place initiale! (source: BouMaton, logiciel pour faire ces traitements d'image)


On trouve des tas de transformations semblables sur internet. Parmi les plus spectaculaires, celle dites du "photomaton" où cette fois la photo de départ est transformée en 4 photos, comme sur un photomaton justement. On recommence de nouveau pour obtenir 4x4 photos etc. Au bout de quelques transformations on retrouve notre photo initiale! (source ici) Avouez que cette invariance systématique des systèmes complexes est bien plus stupéfiante que la question de leur prédictabilité limitée. L'histoire médiatique de l'effet papillon est aussi étrange que son attracteur: le grand public en a seulement retenu la triste (mais fausse) idée d'une impuissance scientifique à prévoir quoique ce soit, alors que la théorie exhibait au contraire une troublante invariance au coeur de ces systèmes. L'incompréhension entre les scientifiques et leur époque serait-elle aussi une constante intemporelle?

Sources:
David Ruelle, Chaos, imprédictibilité et hasard
Philippe Etchecopar, Quelques éléments sur la théorie du chaos
Le site d'Alain Esculier, pour les images des transformations du boulanger
Le site d'André Lévesque, pour les merveilleuses images de fractales
L'article d'Etienne Ghys et Jos Leys sur le site du CNRS, très bien fait où un "moulin à eau" reflète physiquement les observations numériques de Lorenz.
Une conférence sur le chaos de Sophie Mugnier

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