Notre sens du logarithme

1,2,3 nous irons au bois
C'est réconfortant de pouvoir égrener les quantités les unes après les autres avec la régularité d'un métronome. Qu'il s'agisse du nombre de champignons que l'on cueille, des kilos de châtaignes que l'on ramasse ou des kilomètres que l'on parcourt, on a toujours à disposition une échelle de mesure très simple, dont les barreaux sont tous espacés d'un même intervalle. On s'est souvent battu historiquement pour imposer son unité plutôt que celle du voisin, mais quel que soit l'étalon de mesure -mètre, toise ou pied et leurs dérivés- tout le monde l'a toujours utilisé de la même manière. Pour jauger une dimension, on compte simplement le nombre d'unités-étalons que l'objet à mesurer peut contenir. Quoi de plus plus naturel en somme que cette manière "linéaire" de mesurer le monde qui nous entoure en additionnant des unités-étalons? Et pourtant...

Do, ré, mi, cueillir des cerises
Si vous jouez une corde de guitare en la plaquant en son milieu, cette moitié de corde donne la même note -décalée d'une octave- que si vous grattez la corde entière à vide. Et si vous divisez encore par deux sa longueur, vous décalez le son encore d'une octave. La hauteur des notes se décale donc d'un intervalle constant (une octave) chaque fois qu'on divise la longueur de la corde par deux: pas très cohérent avec ce qu'on vient de raconter sur les mesures-étalons qui s'additionnent...

On peut voir les choses d'une autre manière. Un Do et un Ré consécutifs nous semblent séparés par le même intervalle de hauteur (ce qu'on appelle un ton) quel que soit l'octave dans laquelle ils sont joués. Pourtant si l'on mesure leurs fréquences, on s'aperçoit que l'intervalle qui les sépare n'est pas du tout constant: il double à chaque octave (données tirées du site ordiecole.com):

NOTE

Octave 1

Octave 2

Octave 3

Octave 4

Fréquence du Do	65Hz	131Hz	262Hz	523Hz
Fréquence du Ré	73Hz	147Hz	294Hz	587Hz
Différence entre le Do et le Ré	8Hz	16Hz	32Hz	64Hz

Bien que toutes séparées d'un ton, les notes de la gamme tonale (Do, Ré, Mi, Fa#, Sol# et La#) ne forment pas une échelle aux barreaux régulièrement espacés, mais une échelle bizarre dont les barreaux s'écartent de plus en plus à mesure qu'on monte en hauteur.



L'octave étant divisé en douze demi-tons, pour passer d'une note au demi-ton suivant, il faut multiplier la fréquence de la note par la racine douzième de 2 (environ 1.0595). Au douzième demi-ton, on a multiplié la fréquence par deux et nous voilà revenu à la note initiale, une octave plus haut. Autrement dit, nous sommes sensibles non pas à la différence absolue entre les fréquences de deux notes de musique, mais à leur rapport. En maths, la fonction qui convertit un rapport de deux nombres en une différence s'appelle un logarithme (noté Log avec Log(a/b)=Log(a)-Log(b) ). Notre perception musicale est donc logarithmique!

Pour savoir à quelle fonction logarithmique on a affaire, il suffit de connaître le rapport qui augmente le logarithme d'une unité.
Dans le cas de la musique, l'octave correspond à un doublement de fréquence. Notre échelle de perception musicale suit donc un logarithme en base 2. Regardez, ça marche:

NOTE

Octave 1

Octave 2

Octave 3

Octave 4

Fréquence du Do	65Hz	131Hz	262Hz	523Hz
Log2(fréquence)	6,0	7,0	8.0	9.0

boum, boum,BOUM dans mon panier neuf
Notre oreille est sensible de la même manière à l'intensité des bruits. Dans une chorale, on perçoit la même augmentation de volume sonore quand on passe de cinq à dix chanteurs que quand on passe de dix à vingt, ou de vingt à quarante chanteurs. C'est la raison pour laquelle la mesure du niveau sonore suit elle aussi une échelle logarithmique (les décibels, ou dB). La puissance acoustique de la source (qui correspond en gros au nombre de chanteurs dans la chorale) s'exprime en Watts:

Puissance (W)	Niveau dB	Exemple
100 000 000	200	Fusée Saturn V Gros porteur quadriréacteurs
1 000 000	180
10 000	160
100	140	Grand orchestre
1	120	Marteau piqueur
0.01	100	Cri
0.000 1	80
0.000 001	60	Conversation

(source: Wikipedia)

10,11,12 elles seront toutes rouges
Notre ouïe n'est pas le seul sens rebelle à la simplicité de l'échelle arithmétique, loin s'en faut. La loi de Weber-Fechner découverte à la fin du XIX^e (et sa version raffinée sous le nom de Loi de Steven) veut que "toute sensation varie comme le logarithme de l'excitation". Ce qui exprime simplement par le fait que l'on peut facilement faire la différence entre un poids de 100g et un poids de 200g, mais qu'il est très difficile de différencier 100kg et 100,1kg. En d'autres termes, notre échelle de sensation de poids est calée sur l'accroissement relatif d'un stimulus (ici un poids) et non pas sur sa variation absolue.

Ce principe général a été vérifié dans quantité de domaines. La sensibilité de notre œil varie par exemple avec le logarithme de la luminosité. C'est la raison pour laquelle, depuis l'Antiquité, on mesure la luminosité des étoiles sur une échelle logarithmique. Celle d'Hipparque allait de 1 (la plus lumineuse) à 6 (la moins lumineuse), cinq unités correspondant à une diminution d'un facteur 100 de la luminosité.
Nos yeux ne sont sensibles qu'au rapport entre ombres et lumière. Et heureusement! Car les rapports de luminosité d'une image ne dépendent pas trop des conditions de luminosité dans lesquelles on la regarde. Si notre perception des contrastes provenait des différences absolues de luminosité, nos impressions visuelles seraient chamboulées chaque fois que l'on modifie légèrement les conditions de luminosité. Un truc à devenir dingue...

13,14,15 nous n'en renverserons pas
Notre sensibilité aux tremblements de Terre suit également une loi logarithmique: dans la fameuse échelle de Richter un accroissement d'une unité de magnitude correspond à une multiplication par 30 de l'énergie du séisme et par 10 de l'amplitude de son mouvement. Idem pour la sensibilité à la pression subie ou à la sensation de vitesse. Voilà ce que donnerait le diagramme des perceptions physiques (en ordonnées avec une échelle logarithmique de 1 à 100) en fonction des stimulus physiques (en abscisses sur une échelle logarithmique de 10 à 10⁷):

(source: ici)

Il n'y a guère que notre perception de la souffrance qui ne suive pas très bien cette loi logarithmique, au grand dam de Jack Bauer! Quand il se fait torturer par d'affreux méchants, sa douleur augmente quasi proportionnellement aux sévices qu'on lui inflige.

On peut même se demander si notre perception des durées ne correspond pas elle aussi à une échelle logarithmique -ce qui expliquerait pourquoi on a le sentiment que le temps présent s'écoule plus vite que dans le passé et que jamais le temps ne s'est écoulé aussi vite qu'en ce moment.

Pour en revenir aux nombres
Après tout ça, on n'est pas trop surpris d'apprendre que notre sens "naturel" des nombres suit lui aussi une loi logarithmique, comme on l'a déjà raconté dans ce billet. Si l'on demande à des indiens amazoniens Mundurucus -qui n'ont pas développé de système arithmétique- de déterminer quelle est la quantité intermédiaire entre un objet et 9 objets, ils choisissent la quantité...3.
La réponse tombe maintenant sous le sens: 1 x 3 = 3 et 3 x 3 = 9. 3 est donc la moyenne géométrique entre 1 et 9. Autrement dit, Log(3)=[Log(9)+Log(1)]/2

Il semble bien que les enfants naissent naturellement dotés du même système logarithmique pour appréhender les quantités. Ils sont sensibles aux proportions des nombres et non pas à leur différence. Le système arithmétique qui met au même niveau la différence entre 1 et 2 que la différence entre 21 et 22 est donc très contre-intuitif. Pas étonnant qu'ils mettent du temps à savoir compter: il leur faut d'abord désapprendre à compter logarithmiquement. Peut-être qu'on devrait commencer par leur apprendre la multiplication?

Une histoire d'échelles en perspective
L'échelle arithmétique linéaire qui nous semblait si naturelle s'avère finalement être une construction très artificielle. Les échelles logarithmiques sur lesquelles nos sens sont réglés nous rendent davantage sensibles aux proportions qu'aux différences absolues entre les grandeurs physiques. Regardez le diagramme ci-dessus: la représentation logarithmique est certes moins précise à grande échelle, mais en contrepartie elle nous permet d'appréhender par la pensée un spectre de dimensions bien plus étendu qu'une échelle arithmétique.
Pas besoin de diagramme pour comprendre pourquoi: imaginez une échelle immense. Pas une échelle imaginaire, une vraie échelle avec des barreaux en bois ou en métal. Si vous la regardez bien en face, de sorte que tous les barreaux soient équidistants, vous avez devant vous une échelle arithmétique classique. Et vous remarquez que votre champ de vision n'embrasse qu'un tout petit morceau de l'échelle.

(source Flickr)

Pour pouvoir visualiser toute la longueur de l'échelle, il faut la regarder d'en bas:

(source: glitchbucket.com)

Plus les barreaux sont loin, plus ils semblent rapprochés: grâce à la perspective, notre échelle est physiquement devenue une "échelle logarithmique" qui nous permet de voir beaucoup plus loin. Le logarithme n'est finalement que le nom mathématique donné à la perspective, qui met tous les ordres de grandeur à notre portée, de l'infiniment petit à l'infiniment grand.

Sources:
Le site de l'Université d'Uppsala.
L'article de Wikipedia (plus complet en anglais qu'en français).

Billets connexes:
Les neurones des nombres qui détaille notre sens inné des quantités.

Conscience en flagrant délire (1)

Tous schizophrènes? On peut se poser la question au vu des sondages sur les comportements au volant: 85% des Français estiment être de bons conducteurs, mais seulement 36% jugent que les autres le sont également.
Encore mieux: 92% de ces personnes dès qu'ils redeviennent piétons, se plaignent des automobilistes qui ne les laissent pas traverser dans les clous! Nous sommes tous ainsi faits: on perd patience derrière la voiture de devant qui lambine sur une route étroite, et l'instant d'après on regarde goguenard dans le rétro l'excité qui cherche désespérement à doubler.

Ce manque d'impartialité dans nos croyances ou nos relations aux autres font le délice de la psychologie sociale, dont les experts se livrent depuis trente ans à tout un tas d'expériences poilantes pour en décortiquer les fondements. Je vous propose cet été une série de quatre visites au cœur de quelques unes de nos turpitudes mentales, découvrir comment notre conscience s'arrange avec la réalité pour protéger nos croyances, notre ego ou notre estime de soi.

Episode 1: Jeu de mains, jeu de vilains
Le premier flagrant délit de partialité a lieu à fleur de peau, au contact du monde extérieur. Avez-vous remarqué que ça fait toujours plus mal quand quelqu'un vous arrache un pansement que quand vous vous vous en chargez vous-même? Et que même si on y va de bon coeur, on ne se fait jamais bien mal quand on se pince soi-même? On soupçonne derrière cette désensibilisation, le même mécanisme qui empêche de se chatouiller soi-même et dont on avait parlé dans ce billet: juste avant de faire le mouvement, les zones pré-motrices de notre cerveau envoient une "copie- fantôme" du mouvement envisagé vers la zone du cortex dédiées aux sensations à l'endroit du pansement/pincement. Cette anticipation des sensations à venir suffit à en atténuer la perception, de la même façon que lorsqu'on soulève une tasse de café, on ne la "sent" que si elle n'a pas le poids prévu.

Entre parenthèses il se passe exactement la même chose quand on monte un escalier mécanique en panne: ça ne vous a pas frappé qu'il est alors difficile de monter les marches? On bute à chaque pas, comme si on était en déséquilibre permanent. Cette maladresse ne provient pas de la forme particulière des marches car on a vérifié qu'on montait sans problème un escalier en bois ayant la même forme qu'un escalator. C'est donc la vision de l'escalier mécanique en tant que tel qui nous perturbe: il semble qu'à sa vue, notre corps anticipe -à tort- le mouvement des marches, et quand ce mouvement ne se produit pas car l'escalator est à l'arrêt, on est déséquilibré. Fin de la parenthèse.

Pour revenir à nos histoires de douleur, on a mesuré cette atténuation des sensations en soumettant des volontaires à une petite expérience masochiste: une presse mécanique leur écrase gentiment l'index droit et on leur demande ensuite de reproduire avec leur main droite cette même pression sur leur index gauche. Immanquablement, ils appuient plus fort que la presse. Et ce n'est pas un problème de mémoire, car si au lieu de reproduire la pression avec leur main, ils le font par l'intermédiaire d'un petit joystick, ils appliquent alors une pression très semblable à celle qu'ils ont subie initialement.

Pas étonnant, du coup, que les jeux de mains dérapent à tous les coups.On en a fait l'expérience de la manière suivante; deux volontaires doivent appuyer à tour de rôle sur le doigt de l'autre, chacun exerçant exactement la même pression que celle qu'il vient de subir. L'expérience tourne vite au jeu de massacre, car comme on pouvait s'y attendre chacun appuie de plus en plus fort sur le doigt du maso d'en face. Non pas que nos volontaires soient particulièrement agressifs, mais parce qu'à cause de l'"effet sparadrap" on sous-estime la force que l'on exerce sur l'autre ou, ce qui revient au même, on surestime la douleur qu'on vient de subir.

C'est sans doute comme ça que ça dégénère aussi souvent dans les combats de catch, alors que tout est censé être truqué! Et voilà aussi pourquoi dans une bagarre c'est toujours l'autre qui a commencé en m'agressant alors que je l'avais à peine touché.

Billets connexes:
Schizophrénie, chatouilles et prémonition ou pourquoi on ne peut se chatouiller soi-même...

Schizophrénie, chatouilles et prémonition

Suite de la discussion autour du post de Benjamin, sur l'impossibilité de se chatouiller soi-même. Cette curieuse insensibilité ne s'explique pas par l'absence d'un alter-ego social, puisqu'un robot peut être tout aussi chatouilleur qu'un individu espiègle.

Pour comprendre cette bizarrerie naturelle, il faut admettre que notre cerveau anticipe les conséquences y compris sensorielles de nos propres mouvements. Juste avant que nos doigts n'entrent en contact avec la partie sensible de notre épiderme, tout se passe comme si le cerveau simulait intérieurement ce contact et les sensations qu'il produira dans notre corps. Au moment du contact, nos cellules sensorielles sont du coup déjà "averties" du contact et désensibilisées dans une large mesure. Bref les guilis sont sans effet.

Au moyen d'une expérimentation simple, où le patient se chatouille lui-même la main par l'intermédiaire d'un dispositif mécanique, on montre que plus le cerveau prévoit correctement le lieu et le moment exact de la chatouille, moins il y est sensible. A l'inverse, si son anticipation est mise en échec, la chatouille est irrésistible.

Autrement dit, l'intensité de la chatouille viendrait de l'écart entre l'effet sensoriel réel et prédit. Ce qui est valable pour la chatouille l'est aussi pour la douleur: c'est sans doute la raison pour laquelle il est moins pénible de s'arracher un sparadrap soi-même plutôt que par quelqu'un d'autre.

Notre capacité à annuler les sensations prévisibles explique aussi que l'on s'habitue très vite à toutes les sensations:
- un goût permanent s'étiole: celui du clou de girofle après une opération dentaire par exemple,
- une odeur, un parfum ne se sent pas longtemps avec intensité, au point que même consciemment on ne peut sentir sa propre odeur,
- un bruit régulier comme le tic-tac du réveil ou la pluie qui tombe ne s'entend plus, sauf à se concentrer pour l'écouter.

Cette capacité à inhiber les sensations prévisibles permet à notre cerveau de se concentrer sur les sensations non prévisibles afin d'y adapter ses réactions. Autrement dit nous ne sentons pas les sensations prévisibles et les traitons en mode "automatique" (l'odeur habituel de mon appartement) afin d'être plus réactif à l'inattendu (une odeur de gaz). Ce qui est vrai des sensations l'est bien sûr des mouvements: c'est ainsi que l'on calibre exactement la force nécessaire pour soulever une bouteille en anticipant son poids.

Certains chercheurs vont plus loin et voient dans cet accord parfait entre prédiction et sensation une possible définition de la conscience de soi. Autrement dit, ce n'est pas parce que c'est moi qui fais un mouvement que je le prédis correctement (et que mes chatouilles ne me font rien), mais à l'inverse c'est parce que ce mouvement est très correctement prédit que je l'attribue comme mien. Et l'on observe que les malades atteints de schizophrénie éprouvent précisément des difficultés à distinguer leurs propres mouvements et des mouvements extérieurs. Bref, si vous vous chatouillez tout seul un petit passage par le psy vous est chaleureusement recommandé.

Le processus cérébral à l'œuvre dans le déclenchement d'une action volontaire est encore plus surprenant. En 1983, le chercheur américain Benjamin Libet a montré avec une expérience simple que lorsqu'un individu décide de faire une action -bouger un doigt par exemple, sa décision consciente intervient quelques centaines de millisecondes après l'activation des zones du cerveau dédiées au mouvement. Autrement dit, contrairement au sens commun, la prise de décision interviendrait après que l'action soit engagée dans le cerveau: de là à renvoyer le libre-arbitre individuel au rayon des chimères cérébrales et à consacrer la toute puissance du cerveau, il n'y avait qu'un pas à franchir et l'article a suscité une belle polémique.

Hmmm, je vous vois sceptique: comment la conscience d'une sensation - un bruit par exemple- pourrait-elle précéder la perception physiologie elle-même, puisqu'elle en est la conséquence? Il y a bien une situation qui me semble l'illustrer parfaitement, mais n'étant pas neurologue je sollicite votre indulgence s'il s'avère que j'avance une ânerie. N'avez vous jamais été réveillé la nuit par un bruit soudain, un objet qui tombe par exemple, une fraction de seconde avant de l'entendre? Ou bien, si vous ne vous réveillez pas, n'avez-vous pas eu ensuite le souvenir très précis que le scénario du rêve intégrait parfaitement ce bruit, alors qu'il était tout à fait inattendu. Comme si votre rêve avait anticipé cet événement et s'y était adapté pour lui donner chronologiquement une place logique (par exemple, que vous attendiez justement une voiture avant qu'elle n'arrive vers vous et vous klaxonne)? Je suppose -avec prudence- qu'en réalité le cerveau prend conscience du bruit une fraction de seconde avant de le transformer en sensation auditive et utilise ce petit laps de temps pour modifier l'histoire du rêve afin que le bruit puisse s'y insérer logiquement.

Bon, c'est un peu "back to the future" comme interprétation, mais après tout peut-être explique-t-on ainsi certaines prémonitions ou sentiments de déjà-vu. Et qu'au cinéma le héros se réveille toujours une fraction de seconde avant que le gangster ne lui balance son coup de couteau? Vous voilà rassurés sur le sort de votre héros: vous pouvez reprendre vos exercices d'auto-chatouilles...


Références:
Daniel M. Wolpert and J. Randall Flanagan: Motor prediction, Current Biology, Vol 11, R729-R732, 18 September 2001

Sarah-J. Blakemore: Spatio-Temporal Prediction Modulates the Perception of Self-Produced Stimuli, September 1999, Vol. 11, No. 5, Pages 551-559

Frith C., Blakemore S., Wolpert D. (2000), Explaining the symptoms of schizophrenia: abnormalities in the awareness of action, Brain research review, 31, 357-363

Benjamin Livet, Curtis A. Gleason, Elwood W. Wright, Dennis K Pearl: Time of conscious intention to act in relation ton onset of cerebral activity (readiness-potential) The unconscious initiation of a freely voluntary act, Brain, Vol. 106, No. 3, 623-642, 1983