Le principe de moindre action, un bijou de la physique.

Bon, voilà je savais qu'un jour ou l'autre je n'y couperais pas et c'est arrivé ce week-end. Je me préparais à la question depuis longtemps, collectionnant les explications pédagogiques, les démonstrations plus ou moins compréhensibles et les exégèses historiques sur le sujet. Ce week-end, donc, mon numberone m'a posé LA question qui tue: "d'où ça sort la loi avec les sinus sur la réfraction de la lumière?". Je m'attaque donc à la réponse aujourd'hui et en profite pour vous présenter le "principe de moindre action", une loi physique aussi méconnue que fascinante qui explique aussi bien les lois de l'optique que celle de la mécanique classique, relativiste ou quantique, rien que ça! Billet classé X bien sûr, mais si vous êtes allergiques aux maths vous pouvez quand même suivre ce billet (j'espère!) en sautant simplement les paragraphes réservés aux furieux. C'est parti!

Un peu de réflexion pour commencer.
On sait depuis toujours ou presque (depuis Héron d'Alexandrie au moins) qu'un rayon de lumière se réfléchit sur une surface selon un angle de réflexion (i2 sur la figure) égal à son angle d'incidence (i1), exactement comme une boule de billard rebondit sur une surface perpendiculairement à celle-ci.

 

La règle semble évidente, mais comment l'expliquer? Un indice: la trajectoire obtenue correspond comme par hasard à la plus courte possible, une fois qu'on s'est imposé le point de départ et le point d'arrivée. La démonstration de cette propriété n'est pas trop compliquée (Xochipillette est morte de rire):

Le rayon choisirait-il toujours le chemin le plus court pour relier deux points? Il faut voir, mais ça pourrait expliquer pourquoi il se déplace en ligne droite entre deux obstacles. Tiendrait-on là une loi universelle?

Comment ça, le maître-nageur n'est pas une lumière?

Quand un bâton est plongé dans l'eau il l'air brisé comme sur l'image (source ici) Au XVIIeme siècle, les savants se battaient pour trouver une explication rigoureuse de ce phénomène de réfraction. On se doutait bien que la vitesse de la lumière était différente dans l'air et dans l'eau et Pierre de Fermat se mit en tête de démontrer proprement ce phénomène en partant de l'hypothèse que la lumière suit toujours la trajectoire la plus rapide. Pour comprendre le problème, on prend d'habitude l'image suivante: imaginez un maître-nageur sur la plage, qui aperçoit une personne dans l'eau en train de se noyer. Quelle trajectoire doit-il prendre pour la secourir le plus vite possible, sachant qu'il va plus vite en courant sur la plage qu'en nageant dans la mer?

S'il choisit le parcours en ligne droite, il perdra du temps en nageant trop longtemps. Mieux vaut qu'il coure un peu plus loin pour avoir moins à nager. Pas trop quand même, car sinon il perdra trop de temps à courir! Pas triviale comme question, mais c'est du gâteau pour un génie comme Pierre de Fermat. "Un peu de géométrie pourra nous tirer d'affaire" comme il dit (je reprends ici la solution proposée en commentaire d'un billet d'Alexandre Moatti sur le sujet):

(Pour les furieux seulement) Dans les triangles rectangles OFH et OFK, on a HF= OF sin i et OK= OF sin r On en déduit que HF/OK= sin i / sin r = Vair/Veau  Si on note {XY} le temps de parcours de X à Y on a donc {HF}={OK} Par ailleurs AL>AO et LF>HF (car les triangles ALO et HLF sont rectangles) donc AF>AO+HF qu'on peut réécrire en termes de temps de parcours {AF}>{AO}+{HF} De même {FB} > {KB} En additionnant ces deux inégalités on obtient {AF}+{FB}>{AO}+{HF}+{KB} Or on a vu que {HF}={OK} cette inégalité s'écrit donc {AF}+{FB}>{AO}+{OK}+{KB} donc {AF}+{FB}>{AO}+{OB}ce qui correspond à ce qu'on voulait montrer…

Le raisonnement est exactement le même si vous remplacez le maître-nageur par un rayon lumineux traversant dans deux milieux différents (eau et verre par exemple) en suivant le trajet le plus rapide. Ce qu'on appelle l'indice d'un milieu (noté n) est une quantité inversement proportionnelle à la vitesse de la lumière dans ce milieu. Si la lumière est aussi intelligente que le maître-nageur, elle adoptera le trajet le plus rapide, et passera donc par le même point O défini par la règle n1 sin(i) = n2 sin(r). C'est la loi de réfraction de Snell-Descartes!

Quand Fermat réussit à démontrer ce résultat en 1661 à partir du seul principe de "moindre temps" de la lumière il en est fasciné: "Le fruit de mon travail a été le plus extraordinaire, le plus imprévu et le plus heureux qui fût jamais". Il sent qu'il tient là une loi de la physique très générale qu'il appelle "principe d'économie naturelle", selon lequel "la nature agit toujours par les voies les plus courtes"*. L'histoire allait lui donner raison au-delà de tout ce qu'il pouvait imaginer...

De l'optique à la mécanique: le principe de moindre action
L'approche de Fermat est évidemment troublante pour un esprit rationnel: comment la lumière sait-elle que tel chemin est le le plus court et pas tel autre? Son principe semble par ailleurs violer le principe de causalité: comment le rayon connaît-il le chemin à prendre à partir de sa destination finale? Les esprits pieux de l'époque virent dans ce principe très simple et un peu magique l'expression d'une certaine perfection divine qui gouvernait toutes les lois de la physique. Comme l'écrivait Leibniz par exemple:

"Car étant donné, que la facture du monde tout entier est la plus parfaite qui soit et qu’elle a été exécutée par le créateur le plus sage, il n’arrive absolument rien dans le monde, dans lequel ne se manifeste pas un certain procédé de maximum ou de minimum ; c’est pourquoi on ne peut pas douter que tous les effets du monde puissent être déduits aussi facilement des causes finales, au moyen de la méthode des maxima et des minima, que des causes efficientes elles-mêmes" (cité par Jacques Bouveresse ici).

Autrement dit, Leibniz défendait un argument téléologique, c'est-à-dire qu'on pouvait expliquer les phénomènes naturels non plus à partir de leurs causes (les forces subies etc.) mais à partir de leur finalité. Le principe étant que le résultat obtenu sera obligatoirement le "meilleur" possible, c'est-à-dire un maximum ou un minimum.
Cette explication à l'envers fit sortir Voltaire de ses gonds et lui inspira la fameuse tirade sur Pangloss dans Candide (source de l'image: ici):

"Pangloss enseignait la métaphysico-théologo-cosmolonigologie. Il prouvait admirablement qu'il n'y a point d'effet sans cause, et que, dans ce meilleur des mondes possibles, le château de monseigneur le baron était le plus beau des châteaux et madame la meilleure des baronnes possibles. "Il est démontré, disait-il, que les choses ne peuvent être autrement : car, tout étant fait pour une fin, tout est nécessairement pour la meilleure fin. Remarquez bien que les nez ont été faits pour porter des lunettes, aussi avons-nous des lunettes. Les jambes sont visiblement instituées pour être chaussées, et nous avons des chausses." (Candide, chap1)

Bon, mais il en fallait plus pour arrêter nos scientifiques dans leur quête d'un principe métaphysique. Après tout, les boules de billard se comportent comme des rayons lumineux quand elles roulent en ligne droite ou qu'elles rebondissent contre les parois; Maupertuis généralisa donc l'approche de Fermat à la mécanique et postula en 1744 ce qu'il appela un "principe de moindre action":
"Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'être suprême: lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible."
Plutôt que d'expliquer comme Newton le mouvement d'un corps en décrivant à chaque instant ses variations de vitesse et de position avec des lois du genre accélération= force / masse, Maupertuis conjecturait que l'on peut trouver directement sa trajectoire globale dès lors qu'on en connaît les points de départ et d'arrivée. Sa méthode est audacieuse: parmi toutes les trajectoires possibles et imaginables entre ces deux points, la seule que choisit la nature est celle qui maximise (ou minimise) sa fameuse "action". Un petit schéma vaut mieux qu'une longue explication:

Optimiser oui... mais quoi exactement?
Quelle était cette "action" que la nature s'efforce de rendre extrêmale? Pour Maupertuis, c'était l'accumulation de la quantité de mouvement de la particule, le long de sa trajectoire. De son côté, Euler, qui aida Maupertuis à formaliser proprement sa théorie, penchait plutôt sur l'accumulation d'énergie potentielle (celle que confère l'altitude par exemple), tous les corps cherchant spontanément à se mettre dans l'état d'énergie potentielle la plus faible. Ce fut Lagrange qui mit  tout le monde d'accord  en 1788 avec une formulation générale encore en vigueur aujourd'hui. Dans le cas particulier d'un corps soumis à un potentiel (la gravité, les forces électromagnétiques par exemple), la quantité que la trajectoire réelle minimise à intervalle de temps donné, est la moyenne de la différence entre énergie cinétique (T) et énergie potentielle (U).

Pour les furieux: L'action de Lagrange s'écrit: S= action entre les points a (au temps ta) et b (au temps tb) £= Lagrangien du système, fonction de la position, la vitesse et du temps T=Energie cinétique (½mv²) U=Energie potentielle (fonction de la position) Pour Maupertuis, l'action s'écrivait plutôt:    Dans le cas où l'énergie totale est constante et peut s'écrire E=T+U, les deux approches coincident. On peut en effet écrire que T-U = 2T -E = E+T-U = E-2U Puisque E est une constante, il revient au même de chercher l'extrêmum de T-U (comme le fait Lagrange), de 2T (comme Maupertuis) ou de U (comme Euler)! On peut aussi démontrer le principe de Fermat en partant de l'action de Lagrange, mais c'est beaucoup plus compliqué!

Non seulement ça marche, mais il montra en plus l'équivalence parfaite entre son principe reformulé de moindre action et toutes les lois (causales) de Newton. (voir la démonstration ici par exemple). Fortiche ce Lagrange. Seulement voilà, je ne sais pas pour vous, mais moi cette histoire de minimisation de la "différence entre énergie cinétique et potentielle" ne me parle pas du tout. Autant je vois bien à quoi correspond la somme de ces énergies -l'énergie totale (E) qui se conserve- autant le sens physique de leur différence (T-U) m'échappe. D'ailleurs  je ne dois pas être le seul, car ce principe de moindre action est souvent vu comme une espèce d'artifice mathématique plus ou moins abscons.  A force de chercher, j'ai pourtant fini par trouver une interprétation physique à chacune des trois expressions de ce principe de moindre action tel qu'exprimé par Lagrange, Maupertuis et Euler. A vous de choisir celle qui vous parle le plus!

Une certaine répugnance à changer de vitesse
L'expression de Maupertuis à base de quantité de mouvement me semble finalement la plus simple à comprendre: pour changer la quantité de mouvement d'un corps il faut une force, il paraît logique que la trajectoire "choisit" soit celle qui évite au maximum de subir l'action de ces forces. J'y voit l'analogue d'une loi du moindre effort, de la résistance au changement etc. Je sollicite par avance l'indulgence du lecteur si je dis une ânerie, mais j'y vois aussi la raison pour laquelle la balle au golf a la facheuse tendance à contourner le trou plutôt que d'y rentrer et d'en ressortir éventuellement.

Selon le principe de Maupertuis la bille emprunte la trajectoire accumulant le moins d'énergie cinétique moyenne en un temps donné (le calcul est dans l'encadré ci-dessus). Or l'énergie cinétique varie avec le carré de la vitesse, donc entre le point de départ et d'arrivée, sa moyenne sera toujours supérieure au carré de la distance parcourue (AB sur le schéma) divisée par le carré du temps imparti (t). Plus la vitesse variera, plus l'énergie cinétique moyenne sera grande.D'après le principe de Maupertuis, la bille "répugnera" donc à emprunter les trajectoires où la vitesse varie dans tous les sens. Si elle doit passer par le trou puis en ressortir, sa vitesse va augmenter brutalement quand elle y plonge puis diminuer quand elle en sort. Pas bon en termes d'action ça! Mieux vaut qu'elle contourne gentiment le trou sans accoups dans sa vitesse et tant pis pour le joueur...

Pourquoi la différence entre énergie cinétique et potentielle?
Laissez une balle verticalement et laissez la retomber dans votre main. Elle monte très vite, ralentit, s'arrête, puis redescend en accélérant. Si on mesure l'évolution de son altitude en fonction du temps, on obtient une courbe parabolique qui ressemble à ça:

La balle passe peu de temps aux basses altitudes (U est alors faible), lorsque sa vitesse est grande (donc T aussi). Comme ces phases de décollage et d'atterrissage sont courtes, elles contribuent peu à la moyenne de T-U sur la durée totale de la trajectoire. Ca tombe bien puisqu'à ce moment là T-U est grand. A l'inverse, la balle passe beaucoup plus de temps à hautes altitudes (quand U est grand), et à faible vitesse (quand T petit). Pas bête la balle, car du coup la faible valeur de T-U contribue pour beaucoup à la moyenne. Bref, la trajectoire de la balle semble bien optimisée. Vous pouvez essayer toutes les autres formes de courbes tarabiscotées, dès lors que départ, arrivée et durée sont fixés, la parabole décrite effectivement par la balle est la courbe qui minimise le plus la moyenne de T-U.

Evidemment ces considérations n'ont pas beaucoup d'intérêt si on reste dans des cas aussi simples. Mais dans la vraie vie, on a souvent affaire à des formes de champs (électromagnétiques notamment) affreusement compliqués dont on peut éventuellement connaître la valeur approchée en tous point de l'espace mais certainement pas l'équation globale. Impossible donc d'appliquer les lois de Newton si on ne connaît pas l'équation du champ! Par contre, l'approche précédente de recherche de trajectoire optimale est super simple: il suffit de simuler informatiquement différentes trajectoires de durée fixe et de calculer pour chacune la quantité totale T-U. accumulée. La trajectoire réelle sera celle qui minimise cette quantité : fastoche!

Des géodésiques dans l'espace?
Revenons un instant sur l'approche de Fermat. La lumière minimise son temps de parcours dans le milieu, autrement dit elle suit une géodésique: une droite quand l'indice du milieu est constant, une courbe lorsqu'il varie. Comme le temps de parcours est proportionnel à l'indice, le trajet réellement emprunté par la lumière est celui qui minimise la moyenne de l'indice le long de la trajectoire. Pour la lumière, un indice élevé a donc exactement le même effet qu'une distance plus grande, autrement dit les variations d'indice indiquent une déformation de la métrique de l'espace pour le rayon lumineux.

Dans le cas d'un corps soumis à des forces dérivant d'un potentiel  (gravité, champ électrique ou magnétique...), on a vu que le principe de moindre action peut s'exprimer comme la minimisation de la moyenne de l'énergie potentielle le long de la trajectoire réelle (c'est l'approche d'Euler). Il y a donc une analogie formelle entre l'indice du milieu pour la lumière et l'énergie potentielle U pour le corps en mouvement. On peut du coup considérer les trajectoires physiques comme des géodésiques d'un espace déformé par un champ d'énergie potentiel. Autrement dit selon le principe de moindre action à la sauce d'Euler, il y a équivalence entre le mouvement d'une particule soumise à un potentiel indépendant du temps dans un espace euclidien et la trajectoire d'une particule libre dans un espace courbe. D'après  Jean-Louis Basdevant (dans son cours sur le sujet) Einstein aurait bien eu cette idée en tête dès 1908 lorsqu'il construisit sa théorie de la relativité générale, théorie qui conclut justement que la gravitation courbe la trajectoire de la lumière de la même manière qu'un changement d'indice optique.

Cela étant, Jacques Léon avec qui j'ai eu le plaisir d'échanger sur ce sujet m'a indiqué les limites de cette analogie dans le cas des corps physiques. L'intensité de l'énergie potentielle pour un objet dépend non seulement de sa position mais aussi de sa masse. Donc le simili-"indice de réfraction gravitationnel" n'est pas une propriété intrinsèque de l'espace puisqu'il dépend de la masse du corps en mouvement. Ce problème-là ne se pose pas avec la lumière car les photons ont une masse nulle: les trajectoires de la lumière sont de vraies géodésiques d'espace-temps alors que les trajectoires des corps massifs n'en sont pas vraiment.

Un principe unificateur fascinant
Depuis que Hamilton et Jacobi lui ont donné sa formulation moderne, le principe de moindre action a trouvé des applications dans tous les domaines.  Le formalisme lagrangien est très pratique car il s'applique à n'importe quel système de coordonnées (sphériques, cylindriques ou composite). Et lorsque le mouvement est contraint par des obstacles ou des liaisons entre éléments d'un système, c'est un jeu d'enfant  que d'intégrer ces contraintes dans les équations de Lagrange (sous forme de multiplicateurs de Lagrange pour ceux que ça intéresse).

Il n'existe à ma connaissance pas un seul domaine de la physique dont l'évolution ne puisse être décrite comme une maximisation ou de minimisation de quelque chose: la forme des bulles de savon, des alvéoles des nids d'abeilles, des spirales de la nature etc. peuvent toujours s'expliquer par la maximisation d'une certaine fonction du système. Le principe de moindre action est la seule théorie qui n'ait pour l'instant jamais été pris en défaut. Mieux, elle permet de retrouver à peu près toutes les lois de la physique! Grâce à lui, Emmy Noether a montré que derrière chaque symétrie des lois de la nature se cache une loi de conservation d'une certaine grandeur physique. David Hilbert a retrouvé les équations de la relativité générale à l'aide de ce principe. Enfin ce principe étrange s'est avéré parfaitement compatible avec les bizarreries de la physique quantique. Au point que Richard Feynman en a fait, avec son concept "d'intégrale de chemin", le fondement de son électrodynamique quantique, théorie qui permet selon lui "de décrire tous les phénomènes du monde physique, à l'exclusion des effets gravitationnels".

Bref, depuis 300 ans le principe de moindre action n'a  cessé d'inspirer toute l'histoire de la physique et je suis fasciné par la quantité et la puissance de ses applications à partir de son énoncé tout simple, voire simpliste. Est-ce parce que son pouvoir d'unification continue de nous effrayer un petit peu qu'il n'est enseigné ni au lycée ni en prépa? A une époque où l'on déplore le désintérêt des jeunes pour la science, on ne perdrait rien à leur montrer ce petit bijou des lois de la nature.

* Pour être exact, la lumière suit toujours un trajet dont la durée est extrêmale: minimale le plus souvent mais il arrive que ce trajet soit maximal. Pour simplifier ce billet qui est déjà bien assez compliqué comme ça, chaque fois que je parle de "minimum" ou de "maximum" il faut lire "extrêmal"...

Sources:
R Feynman: The principle of least Action, special lecture (pdf)
L'article de Wikipedia sur le sujet
Une excellente synthèse (en format ppt) sur le sujet
La conférence de Florence Robine en 2007 (pdf)
Le cours de Jean-Louis Basdevant et Christoph Kopper: Principes variationnels et mécanique analytique (également en pdf)

Billets connexes:
Le théorème de Noether: couteau suisse de la physique
Billet classé (puissance) X: pourquoi on retrouve toujours la suite de Fibonacci dans le cœur des tournesol, les pommes de pin etc...

valise

J'ai pris ma plus belle gamelle en vélo en descendant une route de Corse, dans un virage en épingle à cheveux. Je n'allais pas particulièrement vite mais ma roue a littéralement décollé dans le virage sans que je comprenne pourquoi. C'est seulement 25 ans plus tard, en tombant sur un cours de physique de Walter Lewin du MIT que je comprends ce qui m'est arrivé et aussi plein d'autres trucs rigolos sur les choses qui tournent. Si l'anglais ne vous rebute pas, et que vous gardez un souvenir douloureux de vos cours de physique au lycée, jettez-y un oeil. C'est une extraordinaire leçon de pédagogie à mettre entre toutes les mains des profs de physique.

Les lois de la rotation
Pour comprendre comment ça marche il faut juste un petit rappel sur les lois du mouvement d'un objet en rotation sur lui-même (mais comme le dit Arthur en commentaire, les mathophobes peuvent sauter au paragraphe suivant sans problème). Pas de panique c'est facile:

Il suffit de remplacer:	par:
la vitesse v	la vitesse de rotation ω
la masse m	le moment d'inertie I = Σ(miri²)
la quantité de mouvement p=mv	le moment cinétique L=I ω
la force F	le couple: C=F x r égal au produit de la force par la distance à l'axe et perpendiculaire à ces deux vecteurs

(les vecteurs sont en caractères gras)

Toutes les lois du mouvement se déduisent de ces analogies:

	Dans un mouvement rectiligne:	Dans une rotation:
Equation du mouvement:	la force F=dp/dt	le couple C=dL/dt
Energie cinétique	E=½ mv²	E=½ Iω²
Travail	W=Fv	W=CW

Quand le moment cinétique se conserve
Si vous n'avez rien suivi, encore une fois, c'est pas grave. La seule chose qui compte aujourd'hui c'est qu'en l'absence de couple (c'est à dire de force exercée sur l'axe de rotation), le moment cinétique L = Iω se conserve, ce qui est l'équivalent de l'invariance de la quantité de mouvement p=mv en l'absence de force. Ca ne vous dit rien? C'est le fameux truc de la patineuse à glace qui tourne sur elle-même de plus en plus vite quand elle replie sur elle-même ses bras et son pied libre. Comme elle rapproche une partie de sa masse vers l'axe, son moment d'inertie I = Σ(m_ir_i²) diminue. Puisque le produit Iω reste constant, sa vitesse de rotation sur elle-même (ω) augmente: voilà pourquoi notre belle patineuse accélère quand elle se recroqueville.

Dans un genre moins gracieux, lorsque le volcan-dont-personne-ne-sait-prononcer-le-nom crache beaucoup de laves, il modifie légèrement le moment d'inertie I de la Terre. Et comme Iω= constante, la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même varie très très légèrement!

Leçon de vélo n°1: comment tourner?
Revenons-en à mon vélo. J'ai toujours hésité à me pencher dans les virages, de peur que ça ne fasse "chasser" la roue. Cette fois-là, je m'en étais bien gardé à cause des gravillons sur la route; je me suis contenté de tourner le guidon dans le virage en restant bien à la verticale. Et là: patatras...
Que se passe-t-il quand on tente de faire pivoter vers la gauche une roue de vélo en train de tourner:


Si la roue était au repos, elle aurait gentiment tourné dans la direction où on la pousse. mais quand elle tourne elle bascule sur le côté! Cet effet gyroscopique est en fait simple à comprendre: il suffit de se souvenir que l'axe de rotation de la roue est toujours aligné sur son moment cinétique (souvenez-vous L = Iω, et ω représente l'axe de rotation de la roue). Quand on pousse sur l'axe de la roue on crée un couple donc un moment cinétique L₂ supplémentaire, perpendiculaire au plan de la poussée. L'axe de rotation dévie donc en direction de ce nouveau moment cinétique.

Application au virage en vélo (ou en moto): quand on roule et qu'on tourne le guidon horizontalement, on crée un moment cinétique orienté verticalement. (souvenez-vous le moment cinétique créé est perpendiculaire au plan de la poussée sur le guidon). L'axe de la roue va donc dévier vers la verticale, la roue n'est plus perpendiculaire à la route et le vélo bascule...

Alors, comment faire pour tourner sa roue tout en la laissant bien perpendiculaire à la route? C'est le B-A-BA de la conduite à moto: il suffit de s'incliner du côté où l'on veut tourner. Bizarrement pour être bien stable dans un virage il faut pousser vers le bas et surtout pas tourner le guidon à l'horizontale comme je l'avais fait.

Démonstration en live quand on est sur un tabouret pivotant:

Les gyroscopes en action

On se sert de ces drôles de propriétés pour orienter les satellites dans l'espace et stabiliser leur position à l'aide de petits rotors fixés sur le satellite. Il suffit de changer légèrement l'orientation du rotors pour que le satellite tourne sur lui-même comme dans l'expérience précédente.

Maintenant que le vélo n'a plus de secret pour vous, vous voilà prêts à comprendre comment un gyroscope peut défier les lois de la gravité. Prenez une roue de vélo, faites la tourner sur son axe puis posez son axe à l'horizontale sur un support:

La roue ne tombe pas comme il le ferait s'il était arrêté, elle tourne à l'horizontal autour de son support! A faire retourner Newton dans sa tombe? Pas vraiment: on a affaire exactement au même phénomène que précédemment, sauf que la pesanteur de la roue (et la réaction opposée du support) remplacent la force musculaire du type assis sur le tabouret pivotant lorsqu'il appuie verticalement sur l'axe de la roue. Si la vitesse de rotation de la roue est grande, la roue tourne pour chercher à orienter son axe de rotation vers le moment cinétique créé par le poids de la roue. Sans jamais y parvenir bien sûr puisque le couple est toujours dans le plan de la roue. Un peu comme l'âne qui avance pour attraper la carotte accroché devant son museau. Plus la roue pèse lourd plus elle tourne vite autour du support.

Une telle "résistance" à la pesanteur explique pourquoi un vélo qui roule est stable verticalement. Et pourquoi une pièce de monnaie roule longtemps quand on la lance sur sa tranche. Les phénomènes gyroscopiques autorisent aussi toutes sortes de facéties. Planquez une roue qui tourne dans un bagage par exemple et vous obtenez une valise très facétieuse:


Allez, pour finir sur ces aventures bicyclettiques, une petite devinette: qu'est-ce qui descend le plus vite une pente en roue libre:
- une grande ou une petite roue?
- une roue pleine ou une roue "normale"?
- une roue lourde ou une roue légère?

Curieusement, la vitesse ne dépend ni de la taille des roues, ni de leur masse... Par contre une roue pleine va plus vite qu'une roue creuse car son moment d'inertie par rapport au centre est plus petit.

L'accélération est indépendante de la masse (M), du rayon R et est un sixième fois plus grande pour un cylindre plein que pour un cylindre creux

Démonstration en image:

Je suppose que c'est la raison pour laquelle les roues des vélos de piste sont des disques pleins. Mais en cas de vent, gare aux risques de décollage!

Source:
Les cours de Walter Lewin (8.01) du MIT dont sont extraits les vidéos de ce billet.

Billets similaires:
Le théorème de Noether: couteau suisse de la physique sur l'origine des lois d'invariance

Elémentaire mon cher Newton

Richard Feynman, prix Nobel de Physique est un des rares scientifiques à être aussi connu pour ses découvertes en physique quantique (voir par exemple le billet de Benjamin au sujet de ses fameux "diagrammes") que pour son génie de la pédagogie. Ses cours de première année à l'Université Caltech étaient de véritables shows et leur recueil reste la référence de tous les étudiants américains en physique. David Goodstein, qui fut un de ses assistants raconte [1] qu'il lui demanda un jour de lui expliquer pourquoi les particules de spin 1/2 obéissent à la statistique de Fermi-Dirac (le truc simple, hein!):

Mesurant son public, il me répondit: "Je vais préparer un cours de première année là-dessus". Mais il revint quelques jours plus tard pour me dire: "Je n'ai pas pu. Je n'ai pas pu le réduire au niveau d'une première année. Ça veut dire qu'on ne comprend pas vraiment pourquoi."

Son grand plaisir était de trouver des explications simples pour expliquer des trucs compliqués. Au cours d'une célèbre séance télévisée Feynman expliqua par exemple les causes de l'explosion de la navette Challenger, en jetant négligemment (en fait son numéro était finement rôdé) un morceau de joint des boosters de l'engin dans un verre d'eau glacée. Il montra comme ça comment un simple changement de température faisait perdre son élasticité au joint et avait pu provoquer l'accident de 1986.

Galilée avait raison!
On vient de publier en français un de ses cours de 1964, qu'on a retrouvé un peu par hasard trente ans plus tard, et dans lequel Feynman explique comment Newton s'y est pris dans ses Principia de 1687 pour démontrer les lois de la gravité et la forme elliptique des orbites. Cette démonstration est historique car c'est l'un des tous premiers moments de l'histoire des sciences où l'on démontre les lois de la nature par la seule force de la géométrie. Preuve que Galilée avait vu juste quand il disait que "[l'univers] est écrit en langage mathématique et ses caractères sont les triangles, les cercles et autres figures géométriques, sans lesquels il est absolument impossible d'en comprendre un mot." Le cauchemar des étudiants allergiques aux maths date de là!

Comme toute démonstration géométrique, c'est un petit bijou d'élégance car ses arguments sont tous à la portée de tout (bon) lycéen. Il n'est pas étonnant que Feynman ait eu à cœur de la retrouver juste pour le fun et je ne résiste pas au plaisir de vous la présenter sous une forme encore plus simple que celle de Goodstein-reprenant Feynman-reprenant Newton. Si vous aimez les maths, vous ressentirez peut-être comme moi une vraie émotion face au déroulé implacable de sa logique à la fois simple et efficace, qui démasque l'une après l'autre les énigmes millénaires des lois célestes. Amis jipigequeudal passez prudemment votre chemin; mon prochain billet sera moins hard, promis!

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L'histoire se passe au XVII° siècle. Kepler avait bien remarqué que les trajectoires des planètes n'étaient pas des cercles: ses calculs ne collaient pas avec ses observations. A force d'y travailler il publia trois lois empiriques déduites de ses mesures:
K1: Un segment de droite imaginaire, reliant le soleil à une planète, balaye toujours la même surface dans un temps donné.
K2: Le carré d'une année planétaire est proportionnel au cube du rayon de son orbite. Autrement dit T²~R³
K3: Toutes les orbites planétaires sont des ellipses dont le soleil occupe l'un des foyers.

Le génie de Newton fut de trouver l'explication de ces observations par la seule force du raisonnement, en partant juste des trois lois fondamentales qu'il postulait et que vous avez (normalement!) tous appris au lycée
N1: Tout corps persiste dans son repos, ou son mouvement uniforme en ligne droite, à moins que des forces ne l'obligent à changer cet état. C'est le principe d'inertie, que Galilée et Descartes avaient supputé avant lui et que le parti socialiste applique avec méthode.
N2: Le mouvement change proportionnellement à la force motrice appliquée, et dans la direction de la ligne droite dans laquelle cette force est appliquée.
C'est la fameuse deuxième loi de Newton, qu'on écrit maintenant par ΔV = F Δt (je mets en gras chaque fois qu'il s'agit de vecteurs, c'est-à-dire de "flêches") et qui exprime simplement que plus on tape fort dans le ballon, plus il part vite.
N3: A toute action s'oppose une réaction égale. Cette loi traduit juste le fait que les forces internes d'un corps isolé se compensent les unes les autres quelque soit la forme du corps en question. On peut donc raisonner sur une planète comme si elle se réduisait à un point géométrique, localisé en son centre de gravité, ce qui simplifie le paysage.

Newton démontra d'abord pourquoi si la force de gravitation est dirigée vers le centre du soleil, les planètes balayent des surfaces égales en des temps égaux (K1).
Ensuite, il exploita l'observation K2 de Kepler dans le cas des orbites quasi-circulaires qu'on observe souvent. Grâce à sa deuxième loi de la dynamique (N2) il conclut que la force de gravitation est inversement proportionnelle au carré de la distance au soleil (F~1/R²).
Enfin, sans faire d'hypothèse supplémentaire, il démontra géométriquement pourquoi les orbites célestes sont des ellipses (K3).
Suivez-le guide!

1) Pourquoi les planètes balayent des surfaces égales en des temps égaux si la force est dirigée vers le soleil.
Un petit schéma aide à comprendre ce qui se passe. Le soleil est en S et la planète part du point A avec une vitesse V_A.
En rouge les vitesses, en noir les trajectoires.

Raisonnons sur deux intervalles de temps très petits et égaux et comparons ce qui se passe:

- en l'absence de force,
- si la planète subit une force dirigée vers le centre du soleil.

Avec ces résultats, calculons les aires balayées durant les deux intervalles de temps (égaux) si la force que subit la planète est effectivement dirigée vers le soleil:

Newton vient de démontrer que si la force d'attraction est dirigée vers le soleil, quelque soit son amplitude, une planète "balaye" toujours la même aire durant un intervalle de temps donné. Autrement dit, l'aire qu'elle dessine est proportionnelle au temps.

C'est ce qui explique qu'un patineur tournoyant sur lui-même, va de plus en plus vite à mesure qu'il se ramasse sur lui-même: la force centrifuge étant toujours dirigée vers son axe de rotation, ses bras sont comme les planètes, condamnés à balayer une surface égale pour des temps égaux. Donc à tourner plus vite quand ils sont près du centre de rotation. Passons à l'étape suivante:

2) Pourquoi la force de gravité est-elle inversement proportionnelle à la distance au soleil?
Newton raisonne sur une orbite circulaire parce que bon nombre de planètes ont des trajectoires quasi circulaires. Si la loi de la gravitation est universelle, il suffit de démontrer sa forme dans le cas le plus simple: Isaac l'attrape donc par son point faible, le cercle et commence par calculer la variation de vitesse ΔV correspondant à un intervalle de temps fixe Δt.

ΔV est donc proportionnel à R/T² et à Δt.
Or Kepler a observé que T² est proportionnel à R³ et d'après la deuxième loi de Newton, F=ΔV/Δt
F est donc proportionnel à R/R³= 1/R².
Voilà, Newton venait de montrer que la loi de la gravité est inversement proportionnelle au carré de la distance de la planète au soleil. Tan tan!

3) Pourquoi les planètes parcourent des trajectoires elliptiques
Reste le morceau de choix. Celui sur lequel Feynman a dû se concocter sa propre démonstration car celle de Newton était incompréhensible.
Il s'y prend en quatre étapes:

a) Il démontre d'abord que la variation de vitesse ne dépend que de l'angle "balayé" par la planète. Propriété fondamentale dont découle tout le reste.
b) Il montre ensuite que le "diagramme des vitesses" est un cercle et comment les vecteurs vitesses tournent dans ce cercle lorsque la planète se déplace sur son orbite.
c) Il explique comment réciproquement, en se donnant un cercle quelconque comme "diagramme des vitesses" a priori, on peut construire géométriquement une position "candidate" de la planète, à un changement d'échelle près.
d) Il montre enfin que l'ensemble des positions ainsi construites forme une ellipse et qu'elle respecte toutes les propriétés des orbites célestes.

Première étape:
Au lieu de découper l'orbite de la planète en petits temps égaux, Newton la découpe en petits angles égaux (parcourus en des temps différents donc) et il montre que la variation de vitesse est alors constante pour un angle donné:

L'aire balayée par la planète est proportionnelle au carré de la distance au soleil. Or d'après la loi des surfaces balayées de Kepler (K1), le temps que met la planète à balayer cette aire est proportionnelle à son aire. Ce temps est donc lui aussi proportionnel au carré de la distance au soleil.

Δt~R²

Or F~1/R²

Comme ΔV=FΔt, ΔV~R²/R²

ΔV est constant en tout point de l’orbite pour un angle α donné.

Deuxième étape:
Avec ce résultat, Feynman montre que le diagramme des vitesses (je crois qu'on appelle ça un "hodographe") est un cercle!

Troisième étape:
On a maintenant tout ce qu’il faut pour essayer de tracer une trajectoire pour notre planète, en partant d'un cercle représentant le diagramme des vitesses.

On commence par construire le diagramme des vitesses:

- un cercle d’une longueur arbitraire R

- un point O à l’intérieur, différent du centre S.

On sait que toutes les vitesses dans ce diagramme auront pour origine O et pour extrémité un point du cercle (ici p).

Dernière étape:
Pour faire durer le suspense, regardons d’abord les propriétés géométriques de "l'ensemble des points P" qu'on vient de construire.

Puisque P est sur la médiatrice de [O,p], OP = Pp

donc SP + OP = SP + Pp = Sp

Or par construction, p est sur un cercle de centre S, donc Sp est une constante.

SP + OP = constante est la définition d’une ellipse (l'animation vient de Wikipedia):

P est donc sur une ellipse dont O et S sont les foyers.
On chauffe!

Vérifions maintenant que la médiatrice de [O,p] est bien tangente à l’ellipse.

Quels sont les points Q appartenant à la fois à cette médiatrice et à l’ellipse?

Si Q appartient à l’ellipse, SQ + OQ = Sp

Si Q appartient à la médiatrice de [O,p], OQ = Qp

On a donc SQ + Qp = Sp

Or SQ + Qp est toujours inférieur à Sp sauf si Q appartient à [S,p].

La médiatrice de [O,P] ne coupe donc l’ellipse qu’en son point d’intersection avec (Sp).

Autrement dit, en P la tangente de l’ellipse est bien perpendiculaire à (Op) et la propriété 1
est vérifiée. Une trajectoire elliptique est donc tout à fait compatible avec la force de gravitation. CQFD! (Ce Qu'il Fallait Démontrer). Feynman aurait plutôt dit QED (Quod Erat Demonstrandum) pas parce qu'il aimait le latin mais parce qu'il avait aussi inventé l'électrodynamique quantique, QED en anglais.

Les coniques
En fait la trajectoire elliptique n'est qu'une des trajectoires possibles:
Si l'origine des vitesses est au centre du cercle, la figure formée est un cercle.
Si l'on prend l'origine pile sur le cercle, la trajectoire est une parabole.
Si on l'avait prise à l'extérieur du cercle, la trajectoire aurait la forme d'une hyperbole, formant des branches à l'infini... C'est typiquement ce qui arrive à la comète de Halley... et aussi aux particules chargées quand les bombarde selon certains angles sur une fine feuille d'or (les forces électromagnétiques entre particules chargées sont aussi proportionnelles à l'inverse de la distance). En 1910, Rutherford démontra grâce à cette propriété que la masse des noyée est concentrée dans un tout petit volume et que les atomes sont surtout faits... de vide.

Dans une de ses notes de cours, Feynman avait écrit: "Les choses simples ont des démonstrations simples". Et puis il avait barré le deuxième "simples" pour le remplacer par "élémentaires". Cette démonstration de Newton, prouve s'il en était besoin la nuance entre les deux termes. La géométrie c'est un peu comme la cuisine: pas besoin d'ingrédients très compliqués pour faire une recette sophistiquée: pour réussir un soufflé ou une mayonnaise, tout est dans le tour de main!

Sources:
[1] Le mouvement des planètes autour du soleil (Richard Feynman, David Goodstein et Judith Goodstein, 2009) avec ce fameux cours perdu de 1964.
- La nature de la physique (Richard Feynman, 1980): un recueil de textes très simples sur les mystères des symétries en physique. Passionnant!
- Lumière et matière - Une étrange histoire (Richard Feynman, 1987): l'explication aussi simple que mystérieuse des interactions lumière-matière au moyen des petits diagrammes de Feynman.

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