A l'infini et au-delà!

C'est assez facile de comparer les grandeurs des objets physiques autour de nous: un bâton est plus grand qu'un autre, si la longueur du plus petit tient dans la longueur du plus grand. Le tout est plus grand que ses parties, nous a appris Euclide, et on le vérifie avec un sac de billes rouges et bleues: il contient plus de billes que lorsqu'on lui retire toutes ses billes rouges. Evident non?




Pour les ensembles infinis, le tout est aussi grand qu'une de ses parties
Ce qui est vrai pour les sac de billes ne l'est pas pour les collections infinies d'objets. Comparons le sac des nombres entiers (0,1,2,3 etc) avec celui de tous les nombres entiers pairs (0,2,4,6 etc). Si l'on applique le raisonnement ci-dessus, l'ensemble des nombres entiers contient les nombres pairs, ergo il est plus grand... En fait les choses ne sont pas aussi simples quand on traite des ensembles infinis: pour savoir si deux ensembles infinis ont la même "taille", on regarde si on peut faire correspondre chaque élément de l'un avec un et un seul élément de l'autre (ce type de correspondance terme à terme s'appelle une bijection). Or on peut parfaitement faire correspondre chaque nombre entier avec un nombre pair et vice versa: il suffit d'associer chaque nombre entier n avec son double 2n (qui est pair). Donc il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers! Bienvenue dans les mystères de l'infini où le tout peut être exactement aussi grand qu'une de ses parties. Cette drôle de propriété signe d'ailleurs l'infinitude de l'ensemble (enfin, là je spécule...).

En raisonnant de la sorte on montre que l'ensemble des entiers ( de son petit nom: 0,1,2,3...) est de la même "taille" que tous ses sous-ensembles infinis: il y autant d'entiers que de nombres pairs (on l'a vu), de nombres premiers (divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes comme 1,3,5,7,11,13,17,19...), de carrés parfaits (1, 4, 9, 16...). L'hôtel de Hilbert qui possèderait une infinité de chambres toutes occupées, pourrait toujours accueillir des hordes de bus contenant chacun une infinité dénombrable de clients. Il suffirait de transférer chaque occupant d'une chambre n vers une autre chambre (de numéro 2n par exemple si l'on veut doubler la capacité de l'hôtel) et de loger les nouveaux arrivants dans l'infinité de chambres ainsi libérées.

Et de la même manière, a la même taille que des ensembles plus grands, par exemple l'ensemble des "entiers relatifs" (les nombres entiers positifs et négatifs:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 etc.) [Lecteurs non matheux: sautez les paragraphes en italiques comme ci-dessous, pour vous éviter les maux de tête...]

Pour le montrer il suffit d'attribuer à chaque entier relatif n l'entier 2n si n est positif et -(2n+1) si n est négatif: on a ainsi une correspondance terme à terme entre et : à 0,1,2,3 correspondent 0,2,4,6 et à -1,-2,-3 correspondent 1,3,5...

Rationnels et irrationnels: si proches et pourtant si différents...
Plus étonnant encore, il y a autant de fractions rationnelles (rapport entre deux nombres entiers relatifs) que d'entiers naturels!

Pour trouver la correspondance entre entiers et fractions, prenez n'importe quel entier n et divisez le par 2 autant de fois que vous pouvez. Quand finalement (au bout de p divisions), vous obtenez un reste impair (noté 2q+1), vous pouvez écrire n=2^p x (2q+1). Et voilà, vous venez de trouver comment associer à tout entier n deux entiers p et q de manière unique. On étend facilement cette méthode aux fractions relatives (positives et négatives) pour montrer qu'il y a autant d'entiers que de fractions.

Ces ensembles qui ont la même taille que sont dits "dénombrables". Le terme est un peu trompeur car il laisse imaginer qu'on peut toujours les compter sur un intervalle donné. Or quelque soit l'intervalle que vous choisissez (s'il ne se réduit pas à un point) vous y trouvez une infinité de fractions: on dit que l'ensemble des fractions noté , est "dense" dans l'ensemble des nombres réels .

Prenez un intervalle [a,b], de dimension b-a=ε très petit. Vous pouvez trouver un entier n tel que n>1/ε, puis le plus grand entier p tel que p/n≤a On peut écrire a < (p+1)/n <>

Alors tous les ensembles sont-ils dénombrables? Eh non, ce serait trop simple! L'ensemble des nombres réels (tous les nombres, y compris les irrationnels qui comme √2 ne peuvent pas s'écrire comme des fractions). Bien qu'étant de la même taille que l'intervalle ]0,1[, n'est pas dénombrable, ainsi que l'a découvert Cantor, l'inventeur de la théorie des ensembles.

Pour prouver que est de même taille que ]0,1[, il suffit de considérer la fonction qui associe à tout réel x, f(x)=1/2 [1+x/(1+|x|)]
Cette fonction "projette" tous les nombres réels entre O et 1...

On prouve ensuite que ]0,1[ n'est pas dénombrable grâce à la célèbre diagonale de Cantor, en raisonnant par l'absurde.

Supposons que ]0,1[ soit dénombrable: cela signifie qu'à tout réel x on peut associer un unique nombre décimal u_n.

Ecrivons les u_n les uns en dessous des autres en écriture décimale:

u_ij est la j^ième décimale du nombre rationnel u_i.

Considérons la diagonale des décimales u_ii (la fameuse diagonale qui a donné le nom à ce théorème) et imaginons le nombre x=0,x₁x₂x₃.... dont chaque décimale vaut x_i = 1 si u_ii≠1 et x_i = 2 si u_ii=1.

x diffère de u₁ au niveau de la première décimale (x₁≠ u₁₁), x diffère de u₂ au niveau de la seconde (x₂≠u₂₂) et de manière générale x diffère de u_n au niveau de la n^ième décimale (car x_n≠u_nn) .

x est bien un nombre décimal compris entre 0 et 1 et pourtant on ne peut le faire correspondre avec aucun des nombres de la collection des (u_n), ce qui est contradictoire avec l'hypothèse que ]0,1[ est dénombrable...

La taille des infinis
Récapitulons: est à la fois dense dans ( les deux ensembles sont inextricables en quelque sorte l'un de l'autre) et pourtant l'un est dénombrable et l'autre pas. La taille de est appelée ℵ₁ (c'est la lettre hébraïque Alef, les mathématiciens adorent les écritures anciennes), celle de et de tous les ensembles dénombrables est appelée ℵ_0.

Pour comparer la taille de et celle de , on peut comparer leur correspondance respective sur ]0,1[.
correspond exactement à ]0,1[, sa mesure vaut 1.
Pour mesurer , on représente chaque fraction par un point u_n dans l'intervalle ]0,1[. Définissons autour de ce point un petit intervalle, de longueur décroissante:
Pour u₁, on choisit un intervalle de taille 0,1
pour u₂, l'intervalle 0,01
pour u₃, l'intervalle 0,001
etc.
La taille de sera au plus égale à la somme des intervalles de tous les u_n, donc vaut au plus 0,111111 etc. On aurait pu commencer par un intervalle de 0,001 pour u₁ et la taille de aurait été majorée par 0,001111: la mesure de peut donc être rendue aussi petite que l'on veut et vaut donc 0!

L'une des grandes questions encore mal résolue est de savoir si est le plus petit ensemble non dénombrable ou s'il existe d'autres ensembles de taille intermédiaire entre et . Autrement dit existe-t-il des infinis de taille ℵ_0,5? Cantor émit l'hypothèse que non mais l'on a démontré en 1963 que cette question était en fait indécidable, à moins d'admettre même en admettant un axiome supplémentaire (l'axiome du choix) pour que ce type d'infini existe. Indécidable, c'est à dire qu'on ne pourra démontrer ni que c'est vrai ni que c'est faux: c'est bizarre mais c'est comme ça!

D'un autre côté existe-t-il des infinis plus grands que ? Oui bien sûr, plein!!! L'ensemble des parties de , ou plus simplement l'ensemble des fonctions de dans .

Considérons l'ensemble F des fonctions f : [0,1] {0,1} qui ne prennent comme valeurs que 0 et 1. Supposons qu'il y ait autant de telles fonctions f que de réels dans ]0,1[. A chaque réel x de ]0,1[, on peut faire correspondre une unique fonction f_x de F et vice versa. On procède comme pour la diagonale de Cantor: construisons la fonction g telle que : g(x) = 1 si f_x(x) = 0 et g(x) = 0 si f_x(x) = 1. g est bien une fonction de F prenant comme valeurs 0 et 1 et pourtant g ne coincide avec aucune des fonctions f_x puisque pour chaque valeur x, f_x(x)≠g(x) ce qui est contradictoire avec l'hypothèse d'une bijection entre F et ]0,1[... Le nombre de fonctions de F est donc supérieur au nombre de réels contenus dans ]0,1[, donc au nombre de réels de .

Par contre, n'allez pas croire que, étant semblable à une droite, une surface infinie (x) ou même l'espace infini (³) soient de tailles différentes de , pas du tout! De la même manière que l'on a montré ci-dessus l'équivalence entre et (qui s'écrit x), on peut construire des courbes infiniment tarabiscotées (qui ressemblent d'ailleurs furieusement à des fractales) correpondant à une surface ou à un volume. Je vous laisse découvrir ça là par exemple...


De manière générale on peut prouver qu'il n'existe pas de taille limite des infinis, car un ensemble est toujours plus "petit" que l'ensemble de ses parties: c'est LE théorème de Cantor, qui a d'ailleurs démontré que l'ensemble des parties de est en bijection avec .

Prenons un ensemble E d'objets x et appelons (E) l'ensemble des parties de E. Supposons qu'il existe une bijection entre E et (E): à chaque élément x de E, on peut faire correspondre un sous-ensemble de E qu'on appellera P_x. Vous êtes habitués maintenant aux constructions bizarroïdes: ici on va définir le sous-ensemble P de E constitué des éléments x qui n'appartiennent pas à leur correspondant Px. Comme il existe une bijection entre E et (E) il existe un élément y correspondant à P et P=P_y. y appartient-il à P? Non car dans ce cas y appartiendrait à son correspondant P_yy, y appartient à P par construction même de P. Si vous avez perdu le fil, relisez ces deux phrases et laissez mariner un petit moment. On aboutit à une contradiction qui prouve qu'il n'existe pas de bijection entre un ensemble et ses parties.

Au fait, d'où vient ce drôle de symbole, désignant l'infini par un 8 couché? Même sur ce point, la réponse n'est pas tranchée: est-ce le descendant du CIƆ romain, désignant le nombre "mille" avant que l'on n'utilise la lettre M? Est-ce l'hériter de l'oméga minuscule ω, dernière lettre de l'alphabet grec? Ou s'agit-il de la représentation graphique du "serpent-infini" du dieu Vishnu, enroulé sur lui-même comme un huit renversé?

Sources:
Le site chronomath, très complet de Serge Mehl

Une histoire qui ne vous fera ni chaud ni froid

Petite expérience de saison: remplissez deux verres identiques avec la même quantité d'eau, l'un avec à 40°, l'autre à 10°. Mettez-les au congélateur. Dans lequel des deux l'eau gèlera-t-elle le plus vite?
Évident, non? Le temps que l'eau chaude refroidisse jusqu'à 10°, l'eau froide ne sera plus à 10° mais à 5° par exemple et l'eau chaude mettra fatalement toujours plus de temps à prendre glace.

C'est aussi ce que croit le jeune Erasto Mpemba, écolier tanzanien qui, en 1963 apprend en classe à fabriquer de la crème glacée. Comme il est en retard dans sa préparation il fourre sa préparation encore toute chaude dans le freezer, sans attendre qu'elle refroidisse. A sa grande surprise, son pot gèle plus rapidement que celui de ses petits camarades! Il rapporte ce fait à son maître qui n'a manifestement pas inventé l'eau tiède et l'envoie se faire cuire un oeuf. Pas refroidi pour autant, Erasto répète avec succès l'expérience chez lui et apprend par ailleurs que les marchands de glace utilisent ce truc pour fabriquer plus rapidement leur crème glacée. Quelques années plus tard, devenu étudiant, il raconte sa drôle d'observation à un professeur de physique, le Dr Osborne, en visite en Tanzanie. Osborne de retour aux Etats-Unis mit en évidence expérimentalement le phénomène qu'il baptise effet Mpemba, en l'honneur de ce jeune qui n'avait pas froid aux yeux. Cette découverte n'en est pas vraiment une: depuis l'antiquité, Aristote en parlait déjà dans sa Météorologie: "Les habitants du Pont, quand ils établissent leurs tentes sur la glace, pour se livrer à la chasse aux poissons -car ils pêchent en brisant la glace- versent de l'eau chaude autour des perches pour qu'elle gèle plus vite: et la glace leur sert comme de plomb pour consolider et arrêter leurs pieux." Et plus tard, Bacon puis Descartes avaient eux aussi remarqué que l'eau chauffée gèle plus rapidement que l'eau froide.

Depuis 1969, les scientifiques ont avancé beaucoup d'explications à ce paradoxe et les débats ont souvent été chauds pour savoir laquelle était prépondérante, sans qu'on ait jusqu'ici vraiment réussi à trancher expérimentalement.
- Une première hypothèse concerne l'évaporation du liquide chaud. La masse liquide dans le verre d'eau chaude étant plus faible, elle gèle plus vite. Malheureusement, l'effet Mpemba s'observe également avec des récipients fermés, où la masse d'eau est globalement conservée.
- On a également invoqué dans le cas d'un freezer, le fait que le récipient d'eau chaude puisse faire fondre le lit de glace sur lequel il est posé et qui l'isole du métal froid. Pas de chance, on observe le phénomène même si l'on suspend le verre d'eau chaude dans le congélateur, sans contact avec les parois. Dans le même esprit, on peut aussi signaler qu'introduire un récipient chaud dans un réfrigérateur moderne doté de capteurs thermiques, pousse automatiquement la puissance de la réfrigération et le refroidit donc davantage. Mais cette observation n'explique pas la différence de vitesse de congélation lorsque deux verres (l'un froid, l'autre chaud) sont placés simultanément dedans.
- On a imaginé que l'eau froide dissout davantage les sels minéraux que l'eau chauffée (il suffit de regarder le dépôt au fond des bouilloires pour s'en convaincre). De même que l'eau salée, la température de congélation de l'eau initialement froide pourrait donc être plus faible que celle de l'eau initialement chaude, débarassée de ces sels. Malheureusement l'effet Mpemba s'observe aussi avec de l'eau distillée...
- L'explication la plus convaincante fait appel aux turbulences de l'eau chaude. L'eau refroidit essentiellement par la surface, et ce d'autant plus vite que la surface est chaude. Dans le récipient d'eau froide, une couche de glace se forme très rapidement en surface et isole efficacement le reste du liquide de tout échange avec la surface. Comme la densité de l'eau est maximale à 4° (cf un précédent billet) l'eau du fond reste liquide plus longtemps. A l'inverse, dans le récipient d'eau chaude, la grande différence de température entre l'eau et la surface génère d'intenses courants de convection: l'eau chaude -plus légère- remonte vers la surface, refroidit, gagne en densité et finalement redescend en profondeur, remplacée par de l'eau plus chaude. La couche de glace en surface se forme plus lentement mais cela permet d'abaisser la température de façon plus homogène dans le récipient: la solidification complète se produit plus rapidement.

Un dernier élément à prendre en compte est le phénomène de surfusion dont on a parlé ici. Dans une eau froide et très pure, il peut arriver que la prise de glace ne se déclenche pas à 0°, faute d'un petit facteur déclenchant, impureté ou autre (on en a déjà parlé ici). Ce n'est que bien en dessous de 0° qu'elle se forme très brutalement. Au passage ce serait cet effet qui explique que vous trouviez parfois des mini stalagmites à la surface de vos glaçons (photo ci-contre tirée de ce blog anglophone): en se formant brutalement depuis les bords, la glace, plus volumineuse que l'eau, pousse sur le liquide qui s'échappe brutalement au centre avant de congeler l'instant d'après.

Dans une eau chaude, les intenses courants de convection ainsi que les éventuels sels minéraux précipités sous forme solide, rendent cette surfusion nettement moins probable... La transformation en glace se fait dès 0° et sans mini stalagmite.

Vous trouvez que cette histoire de 1969 sent le réchauffé? Pas tout à fait... Dans l'espace, en l'absence de gravité les différences de densité du liquide ne devraient entrainer aucun mouvement de convection. Un projet d'expérimentation de l'effet Mpemba dans la future station internationale, permettra de vérifier si oui on non l'eau chaude gèle à la même vitesse que l'eau froide dans ces conditions. On brûle d'impatience d'avoir le fin mot de l'histoire...

Références:
L'effet Mpemba sur Wikipedia, en français ou en anglais
Le drôlissime "Pourquoi les manchots n'ont pas froid au pieds et 111 autres questions stupides et passionnantes" publié par le magasine New Scientist.

Chérie j'ai perdu mon corps!

En dehors des cinq sens -l'ouïe, la vue, le toucher, l'odorat et le goût- il en est dont on ne soupçonne même pas l'existence tant on y est habitué. C'est le cas de la proprioception, notre capacité à "ressentir" notre corps de l'intérieur et percevoir dans quelle position il se trouve, sans avoir à le regarder: dès la huitième semaine, le fœtus humain sait diriger sa main vers son visage et dès le sixième mois il peut "trouver son pouce". L'étude de cette faculté très primaire révèle des trésors de curiosités.

J'arrive! Juste le temps de trouver mes pieds...
Oliver Sacks, neurologue anglais célèbre pour ses excellents récits sur de drôles de maladies, raconte l'histoire de Christina, une patiente souffrant justement d'un déficit de proprioception. A la suite à d'une maladie nerveuse, Christina avait perdu subitement la capacité à sentir son corps: "Il lui était impossible de tenir debout - à moins de regarder ses pieds. Elle ne pouvait rien tenir dans ses mains, qui restaient ballantes sauf si elle gardait un oeil sur elles. Si elle les tendait pour prendre quelque chose ou pour essayer de se nourrir, ses mains se dérobaient ou battaient l'air..."

Cette pathologie est non seulement très invalidante mais aussi une véritable torture psychologique, donnant l'impression d'avoir perdu son corps, d'être désincarné. Christina ne s'est jamais complètement remise, mais est parvenue petit à petit à compenser son handicap. D'abord en regardant sa main, elle a réussi à en contrôler correctement les mouvements, au prix d'un grand effort de concentration visuelle, puis de façon plus mécanique. Sans qu'on sache très bien comment, elle a progressivement retrouvé certains automatismes et adopté des poses standards pour s'asseoir, marcher etc. Sans doute en mobilisant ses autres sens, elle a fini par reprendre une vie presque normale, sans avoir à chercher ses jambes du regard avant de pouvoir les bouger.

Ca, ma main gauche? Vous rigolez?
Au moins Christina avait-elle conscience de son handicap. Laurent Cohen relate dans son excellent "Homme thermomètre", l'histoire d'une patiente paralysée sur toute la moitié gauche de son corps à la suite d'une lésion cérabrale, mais qui refusait farouchement d'admettre son problème. Ainsi raconte-t-il ce drôle de cas: "Je lui montrai sa main gauche paralysée, en lui demandant de quoi il s'agissait. Elle me répondit que c'était ma main à mois. Et pas sa main à elle? Non, absolument pas. D'ailleurs, elle s'en saisit avec sa main droite valide et commença à la tordre énergiquement en me menaçant: "je vais vous casser les doigts!".

Il peut sembler incroyable d'oublier littéralement la moitié de son corps. L'hypothèse des neurologues est que la "carte mentale" du corps de cette patiente avait également été amputée de sa moitié gauche: difficile pour elle d'envisager la paralysie de quelque chose qui n'existait plus.... Par ailleurs elle négligeait complètement tout ce qui se situait à gauche de son champ de vision (hémi-négligence); par exemple elle estimait avoir terminé son assiette une fois qu'elle en avait mangé la moitié droite puis se remettait à manger comme si de rien n'était dès qu'on tournait son assiette d'un demi-tour. Laurent Cohen suppose que "l'existence d'une paralysie ne pouvait donc être détectée faute d'un souvenir complet de ce qu'était un corps normal, et peut-être aussi faute d'une orientation convenable de l'attention vers une moitié du corps". Comment peut-on ne pas se rendre compte qu'on ne voit qu'une moitié du monde et qu'on n'a qu'un demi-corps? On ne peut évidemment pas se mettre à la place de ces malades, mais on peut imaginer que cette limite est aussi naturelle que pour vous le fait de ne pas voir derrière votre tête: rien d'anormal à ça. Cohen raconte même que "certains patients qui ont perdu la totalité de leur champ de vision sont anosognosiques (="ne s'en rendent même pas compte" NDLA). Ils sont devenus entièrement aveugles et n'en ont pas conscience."

La carte du tendre moi
Giacomo Rizzolatti, célèbre découvreur des neurones-miroirs, a étudié cette carte mentale de soi du point de vue visuel et tactile: en mettant des électrodes dans le cerveau de singes qui n'en demandaient pas tant, il a découvert que certains neurones dits "bi-modaux", étaient à la fois sensibles au toucher de certaines zones du corps ET aux stimuli visuels à proximité de ces mêmes zones. "Le même neurone décharge quand nous effleurons, par exemple, l'avant-bras du singe et lorsque notre main s'approche de son avant-bras (...) Si tout cela vous laisse sceptique , essayez d'approcher la main de votre joue: vous la sentirez sur votre peau, avant même de la toucher - comme si l'espace cutané de votre joue embrassait l'espace visuel qui l'entoure." Cette coïncidence entre le sens du toucher sur une zone et ce qu'on ce qu'on y voit à proximité définit l'espace péripersonnel de chacun. Je suppose que c'est à cause de ces neurones que l'on ne peut se chatouiller soi-même (thème d'un précédent billet). On a pu mettre en évidence cette carte interne avec un patient atteint lui d'une héminégligence très particulière. Comme la patiente de Laurent Cohen, si on lui demandait de marquer au crayon le milieu de segments tracés sur une feuille près de lui, il négligeait les segments dans son champ de vision gauche et coupait les autres très à droite de leur milieu. En revanche il s'acquittait parfaitement de sa tâche si l'on projetait l'image des segments sur un écran à quelques mètres devant lui et qu'il faisait la même opération avec un pointeur laser au lieu d'un crayon. L'héminégligence "proche" de ce patient ne l'empêchait d'ailleurs nullement de jouer aux fléchettes. On a trouvé depuis d'autres patients présentant le syndrome inverse (héminégligence lointaine uniquement). Bon, mais là on s'éloigne du sujet...

Cette représentation mentale de son espace proche, défini depuis Poincaré (décidément il a vraiment touché à tout brillamment celui-là) comme celui qui est atteignable par un mouvement de ses membres, se forge dès la toute petite enfance, lorsque le nourrisson joue avec ses mains et ses pieds. Plus tard, on peut la modifier avec de l'entraînement "Après avoir entraîné des singes à aller chercher des boulettes de nourriture avec un petit râteau, ils ont remarqué que, lors de l'utilisation répétée de l'instrument, les champs récepteurs visuels ancrés sur la main s'étendaient au point d'inclure l'espace autour de la main et du râteau - comme si l'image de ce dernier était incorporée dans celle de la main(...) le prolongement de la main déterminée par l'emploi du râteau entraînait (...) une redistribution du proche et du lointain." Des chercheurs italiens ont récemment mis en évidence le même phénomène pour les joueurs de tennis: un bon joueur identifie mentalement la raquette comme une partie de son corps, à la différence d'un débutant: "Subjective reports indicated that only in the tennis imagery condition did experts differ from novices in the ability to form proprioceptive images and to consider the tool as an extension of the hand".

Enchanté! Moi c'est vous.

Récapitulons: la sensation de ressentir son corps de l'intérieur se forge dès la petite enfance en combinant plusieurs sens:

• la vue
  
• le toucher (certains neurones sont sensibles à la fois au toucher et aux stimuli visuels à proximité d'une zone du corps),
  
• le sens de l'équilibre (le système vestibulaire, dans l'oreille interne)
• et enfin, le sens le plus mystérieux, la proprioception, qui nous permet de savoir où sont nos membres sans avoir à les regarder ni à les toucher.

Parfois ces sens se contredisent. Par exemple en voiture ou en bateau, on a le mal de mer lorsque les mouvements généraux de notre corps, perçus par notre oreille interne, ne correspondent pas avec ce que l'on regarde par exemple un livre ou un écran devant soi. Moins salissant, le petit jeu des mains croisées devant soi, à pratiquer en famille: autant il est difficile de bouger le doigt qu'on vous indique visuellement (sans le toucher), autant il est facile de bouger un doigt qu'on désigne par son nom ("annulaire gauche" par exemple) en fermant les yeux.

Des chercheurs un peu espiègles se sont amusés à tromper cette représentation mentale de son "moi" physique. On a commencé avec l'expérience de la main en caoutchouc. Le participant est assis, sa main est tendue et dissimulée. Ce qu'il voit est une fausse main en caoutchouc, décalée sur le côté par rapport à sa vraie main. Un pinceau chatouille simultanément sa main et celle en caoutchouc. A force de répéter l'expérience où coincident sensations tactiles et visuelles, le sujet finit par s'approprier la fausse main et avoir l'illusion qu'il s'agit vraiment de sa main! S'il ferme les yeux et qu'on lui demande avec son autre main de désigner la main chatouillée, il pointe vers la main en caoutchouc. Illustration (en anglais):

Henrik Ehrsson et Valeria Petkova de l'université de Stockholm ont étendu l'expérience aux pieds et au ventre avec un dispositif ingénieux: on a équipé un mannequin (à droite) avec une caméra subjective fixée à l'emplacement des yeux et visant le ventre ou les pieds du mannequin. Le participant humanoïde - à gauche) est habillé et sa tête équipée d'un casque avec un écran reproduisant les images de la caméra subjective du mannequin. Le sujet est ainsi complètement immergé dans l'univers visuel du mannequin-regardant-son-corps-nu. Un expérimentateur touche simultanément le ventre (ou les pieds dans une autre expérience) du mannequin et du participant, exactement comme dans l'expérience de la main en caoutchouc. La photo de l'expérience, tirée de leur publication vaut toutes les descriptions. Tous les participants à l'expérience ont très nettement eu l'impression que le corps du mannequin était le leur.

Pour vérifier que ce n'était pas des blagues, on a mesuré le potentiel électrique de la peau du sujet tandis qu'on approchait un couteau du corps du mannequin (sans lésiner sur la taille du couteau: photo de droite). Leurs réactions physiologiques ont clairement confirmé qu'ils réagissaient comme si c'était eux qu'on menaçait.

Plus fort encore, leur dernière expérience a permis d'échanger le corps du participant avec celui de l'expérimentateur, le temps d'une poignée de main. Sur la photo, l'expérimentateuse (expérimentatrice?) avec la caméra subjective est assise à droite. Le participant à gauche a comme univers visuel celui que filme la caméra: il se voit donc assis en train de serrer la main d'un homme debout devant lui en chemise blanche et un drôle de casque sur la tête. Oh, tiens, je suis en train de me serrer la main!

Ces illusions corporelles sont rendues possibles à condition de synchroniser en permanence sensations tactiles et visuelles et d'immerger visuellement le participant dans un univers subjectif à peu près plausible (un homme peut s'identifier à une femme mais pas à une table ou un ballon!). Bon d'accord, il reste du chemin avant d'arriver au scénario de Freaky Friday, mais puisqu'on sait déjà apprendre à un singe à commander un bras mécanique par la pensée , on peut imaginer rendre vie un jour à ces prothèses...

Références

1. Alain Berthoz: Le sens du mouvement, 1997
2. Alain Berthoz: Physiologie de la perception et de l'action, synthèse de son cours au Collège de France
3. Laurent Cohen: L'homme thermomètre, 2004:remarquable enquête sur le cas d'un malade qui prend tous les objets autour de lui pour des thermomètres.
4. H Henrik Ehrsson et Valeria I. Petkova: If I were you: perceptual illusion of body swapping , PLOS One, 2008
   
5. Oliver Sacks: L'homme qui prenait sa femme pour un chapeau, 1988: ça date un peu mais c'est toujours aussi délicieux.
6. Giacomo Rizzolatti, Corrado Sinigaglia: Les neurones miroirs, 2008 pour tout savoir sur ces fameux neurones de l'empathie...