Depuis Pythagore on sait que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des 2 côtés de l'angle droit est égal au carré du 3eme côté (cf cette vidéo pour tout savoir sur Pythagore et d'amusantes démonstrations de son théorème, sur le très bon site des inclassables mathématiques). Et depuis Pythagore on cherche à calculer la longueur de l'hypoténuse pour le triangle rectangle élémentaire, dont les 2 côtés sont de longueur 1.
Pourquoi est-ce difficile? On peut d'abord montrer que ce nombre √2- racine carrée de 2 puisque son carré vaut 1+1=2 - ne peut s'écrire sous la forme d'une fraction simple.J'adore la démonstration, par l'absurde.
Supposons que ce nombre s'écrive sous forme de fraction p/q irréductible (c'est à dire où p et q n'ont pas de dénominateur commun).
Par définition p2/q2=2 donc p2=2q2 et donc p2 est pair.
On peut facilement montrer qu'un nombre a la même parité que son carré. Si p2 est pair c'est donc que p l'est aussi et peut s'écrire p=2n.
p2/q2=2 s'écrit ainsi 4n2/q2=2
On en déduit q2=2n2 donc q est lui aussi pair. Mais si p et q sont pairs, p/q n'est pas irrédutible, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ. Par conséquent√2 ne peut s'écrire sous la forme d'une fraction.
Et alors, me direz-vous, pourquoi un nombre qui ne peut s'écrire sous forme de fraction serait-il plus compliqué qu'un autre? Et bien on peut aussi démontrer que l'écriture décimale d'un tel nombre ne contient jamais de séquence répétitive de déciméles (comme 1/3 qui s'écrit 0,33333*... ou, plus compliqué, 1/7 qui s'écrit 0,142857142857142857...). La démonstration -encore par l'absurde - est aussi amusante que la précédente, vous allez voir...
Supposons qu'un tel nombre X s'écrive sous la forme d'un nombre de m chiffres, suivi d'une série de n décimales répétées à l'infini qu'on appellera ω:
10m X = M,ωωωωω.... où M est un nombre entier à m chiffres. 10(m+n)X= M ω,ωωωωω....
On a décalé tous les ω d'un cran exactement à gauche par rapport à la virgule, et du coup les deux nombres ont les mêmes décimales.
En les soustrayant: 10(m+n)X - 10m X =(Mω-M) qui est un nombre entier
et X = (Mω-ω)/ (10(m+n) - 10m)
10(m+n) - 10m est un nombre entier également donc X s'écrit sous forme d'une fraction de deux entiers.
Tout nombre décimal avec répétition de ses décimales à partir d'un certain rang s'écrit donc sous forme de fraction. A l'inverse, comme on a montré que √2 n'était pas une fraction, c'est un nombre sans aucune répétition décimale.
Voilà pourquoi la valeur exacte de √2 -tout comme celle de π, e ou le nombre d'or qui sont aussi des nombres irrationnels, a depuis fasciné les savants de tous les pays depuis toujours...
* et non 3,33333. Merci à Alex de m'avoir signalé l'erreur initiale ;-)
