Cosmologie fastoche (2)

Part2: Comment faire parler l'équation FLRW

Vous savez maintenant comment on trouve l’équation de l’univers (baptisée FLRW du nom de ses découvreurs) en écrivant simplement que l'énergie se conserve dans un univers homogène, isotrope et qui se dilate dans le temps. Mais je ne suis pas sûr que vous éprouviez encore une profonde jubilation intérieure en songeant que H² = (å/a)² = 8πGρ/3 -K/a² où H est la constante de Hubble, a(t) le facteur d'échelle (å sa dérivée), ρ la densité de matière de l'univers et K une constante. Au cas -très improbable- où vous ne voueriez pas un culte fervent à cette formule, il me faut vous en expliquer les merveilleux secrets.

Vous préférez l'enfer chaud ou froid?

Pour commencer l'exégèse il faut rappeler que cette équation ne raconte rien d'autre que le destin d'une galaxie qui s'éloigne de nous malgré la force de gravité. Un peu comme une balle qu'on lancerait très fort en l'air depuis la Terre. La balle, comme l'univers, n'a que trois destins possibles :

• Si vous la lancez doucement, elle monte en l’air, atteint un maximum et redescend. Pour notre univers, ça correspond au cas où la constante K est positive. Arrivé à un maximum, l’univers arrêtera de gonfler et rétrécira de plus en plus vite jusqu’à s'écraser dans un « big crunch » inverse du Big Bang qui l'a vu naître.
• Si vous êtes Superman et que vous lancez la balle suffisamment fort, la balle réussira à s’arracher à la pesanteur et se perdra dans l’infini de l'espace, tel Buzz l'éclair. Cela correspond à une constante K négative dans l’équation de l’Univers, qui conduit à une expansion éternelle.
• Si vous êtes toujours Superman mais que vous avez oublié de manger votre bol de cryptonique au p'tit déj, votre balle partira exactement à la vitesse nécessaire pour échapper à la pesanteur. C’est le cas où K=0 et où l’univers s’étend sans arrêt mais à une vitesse qui tend à s'annuler à l’infini.

Dans tous les cas de figure si l'on remonte le film à l'envers assez loin dans le temps, l'univers a dû être extraordinairement petit, dense et chaud (puisque toute la matière était agglutinée dans un petit volume) à son commencement. Pour avoir une idée de l'époque où ça remonte, il suffit de mesurer la distance et la vitesse de fuite d'une galaxie lointaine. Si l'on suppose cette vitesse constante dans le temps (ce qui est faux, on le sait ou alors vous n'avez pas bien lu le premier billet), on trouve que tout ça s'est passé il y a T=1/H soit 13 milliards d'années environ. Bizarrement cette estimation à la louche tombe pile sur ce qu'on sait être la bonne valeur.

L'univers courbé
L'équation FLRW a aussi son interprétation géométrique. La relativité générale postule que la matière et l'énergie (c'est kif-kif puisque E=mc²) courbent l'espace-temps et les équations d'Einstein décrivent cette interdépendance. Si on dérive l'équation FLRW de ces équations plutôt que des lois de la mécanique classique, la constante K prend subitement une autre signification. Elle représente la courbure de l'espace qui se conserve dans le temps:

En théorie, k devrait pouvoir prendre toutes les valeurs possibles, mais comme on fait l'hypothèse d'un univers homogène et isotrope (= pareil partout et dans toutes les directions, c'est le principe cosmologique de base) il n'y a que trois formes géométriques possibles correspondant à trois valeurs possibles pour K. 

En deux dimensions ce seraient soit un plan (K=0), soit la surface d’une sphère (K=1) soit celle d’une selle de cheval infinie (K= -1). En trois dimensions, on ne peut pas les visualiser car ces structures ne sont dans l'espace: elles sont l'espace. On peut juste se faire une idée de ce qui se passe quand on vit dans de tels univers:

- l'espace "plan", c'est simplement l'espace ordinaire et infini tel qu'on l'imagine intuitivement, qui respecte les lois de la géométrie classique euclidienne.

- l'hyper-sphère est un espace fini mais sans bord. Quand on s'y déplace suffisamment longtemps en ligne droite on finit par revenir sur ses pas, un peu comme dans une partie de Pacman (mais en 3 dimensions!) où plafonds et planchers communiquent mystérieusement.

- l'espace hyperbolique est infini et ouvert. C'est un peu l'inverse de l'hypersphère: deux plans "parallèles" finissent par s'écarter de plus en plus l'un de l'autre.

Si on combine maintenant les deux interprétations newtonienne et relativiste, on voit que le destin de l’Univers est indissociable de sa structure géométrique:

- si K=+1 notre univers est une hypersphère finie qui enflera puis se dégonflera jusqu'à s'écraser sur elle-même dans une fournaise microscopique.

- si K= -1 notre univers est une hyperselle de cheval et se dilatera infiniment dans le froid glacial du vide.

- si K=0 notre univers est banalement euclidien et infini et se dilatera également jusqu'à la fin des temps (mais plus lentement).

Dans quel état j'erre?

Pour savoir si on finira brûlés dans un Big Crunch ou glacés dans une expansion infinie, il faut donc connaître la courbure de notre univers. Comment le savoir? Pourrait-on deviner que la Terre est ronde sans bateau pour en faire le tour et sans astres pour nous servir de repères extérieurs?

L’angle apparent d’un objet est différent selon que l’on est sur une sphère, sur un plan ou dans une géométrie hyperbolique et pareil pour leurs homologues en 3D. Reste à trouver des objets suffisamment lointains et grands pour mesurer tout ça. Sur Terre, Gauss avait essayé de le faire sans succès, en mesurant l'angle apparent entre deux sommets distants de 100 km. Les astronomes ont eu plus de chances car ils peuvent utiliser comme calibres d'immenses tâches du fond cosmologique diffus (qui est une sorte de rayonnement fossile du Big Bang). La mesure angulaire qu'ils ont obtenu pour ces tâches est très proche de leur valeur théorique dans un univers euclidien, à 1 ou 2% près. L'Univers est donc plat, du moins à l’échelle de nos observations, c’est-à-dire sur quelques milliards d’années-lumière.

Univers visible
Rien ne dit par contre qu'il n'est pas courbe au-delà, à des distances de plusieurs dizaines de milliards d'années-lumière. Pourrait-on voir aussi loin avec de plus puissants téléscopes? La réponse est négative, non pas pour des raisons matérielles mais parce qu'il existe un horizon théorique au-delà duquel l'information ne nous est pas accessible. 
En effet si la vitesse apparente des galaxies augmente en proportion de leur éloignement, vient un moment où cette vitesse dépasse celle de la lumière. Impossible ? Pas forcément, car ce ne sont pas les galaxies qui bougent mais l’échelle spatiale, la "trame" de l’espace qui n’a rien de matériel. Au-delà d’une certaine distance, l’espace se dilate plus vite que la lumière et donc la lumière émise à cette distance ne peut jamais nous parvenir.

Comme on peut mesurer H, on trouve un horizon visible situé à D= c/H, soit environ 10 milliards d’années-lumière. Quasiment la même taille que l'univers. Coïncidence? On n'en sait trop rien mais contrairement à la taille de l'univers, cet horizon reste fixe (si H est fixe; on va revenir sur ce point un peu plus loin) alors que l'univers continue de grandir. Dans le futur, les galaxies les plus lointaines s’éloigneront de nous jusqu’à passer de l’autre côté de cet horizon les unes après les autres comme une baignoire qui se vide. Dans quelques dizaines de milliards d’années, notre ciel nous paraitra vidé de toutes ses galaxies, à l'exception des deux ou trois galaxies voisines qui resteront collées à la nôtre par l'effet de la gravité... Nous serons seuls dans le cosmos! Evidemment tout le monde est logé à la même enseigne: pour des extra-terrestres qui vivraient au niveau de notre horizon cosmologique, c'est nous qui sommes en train de nous éloigner d'eux à la vitesse de la lumière et de disparaître de leur champ de visibilité.

Résolution de l'équation FLRW avec de la matière comme source d'énergie

Maintenant qu'on sait que l'univers est plus ou moins plat, on peut maintenant résoudre l'équation FLRW: H² = (å/a)² = 8πGρ/3
Pour une quantité de matière donnée, la densité ρ est inversement proportionnelle au volume donc ρ ~1/a³ (le symbole ~ indique une proportionnalité) et l'équation devient å² ~ 1/a dont la solution est a(t)~ t^⅔ ce qui témoigne d'un univers dont l'expansion ralentit progressivement. On a alors H = å/a = 2/(3T) et on peut donc évaluer plus finement l'âge de l'univers T = environ 8 milliards d'années. Hum... Il y a un léger problème parce qu'on sait par d'autres méthodes que certaines étoiles ont plus de 13 milliards d'années d'existence. Comme dirait Boris Vian "Ya quelqu'chose qui cloche la-dedans. J'y retourne immédiatement"...

Et si l'univers avait été rempli de radiations?
Peut-être l'erreur vient-elle du fait qu'à ses débuts l'univers ne contenait pas de matière mais juste des radiations? Calculons, calculons! L'équation FLRW est identique H² = (å/a)² = 8πGρ/3  car rappelez-vous, la masse et l'énergie c'est pareil (E=mc²). Par contre ici ρ désigne la densité d'énergie lumineuse et est égale à la densité de photons multipliée par l'énergie de chaque photon.
Comme pour la matière, la densité de photons est proportionnelle à l'inverse du volume, donc à 1/a³
L'énergie d'un photon est inversement proportionnelle à sa longueur d'onde λ. Or dans un espace qui se dilate, la longueur d'onde de la lumière se dilate au même rythme, comme le son d'une ambulance qui s'éloigne devient plus grave. C'est d'ailleurs ce décalage systématique vers les plus grandes longueurs d'onde (le "redshift") qui permet de mesurer la vitesse de fuite des galaxies. λ est donc proportionnel à a et l'énergie de chaque photon varie en 1/a.
Bilan: la densité de radiation est proportionnelle à 1/a⁴ et l'équation FLRW revient à å² ~ 1/a² dont la solution est a~√t. 
L'expansion d'un tel univers ralentit également dans le temps. Dans un univers mélangeant matière et radiations, l'énergie de radiation a dû être prépondérante aux premiers temps de l'univers (quand t et a sont petits, 1/a⁴est bien plus grand que1/a³ et √t est bien supérieur à t^⅔) mais est rapidement devenue négligeable ensuite.
Côté datation, on n'a pas beaucoup avancé car comme H = å/a = 1/(2T) un univers uniquement rempli de variations aurait en théorie moins de 7 milliards d'années!

A la recherche de l'énergie manquante...Pour trouver une valeur raisonnable de l'âge de l'univers, il faut donc supposer soit que les lois de la gravité sont fausses à très grande échelle, soit qu'il existe une forme d'énergie différente de la lumière et de la matière, dont la densité ρ₀ diminuerait moins vite que 1/a³. Cette dernière piste est d'autant plus intéressante qu'en étudiant certaines Supernovae (des étoiles très massives qui explosent et dont on connaît la distance et la vitesse de fuite) les chercheurs se sont rendu compte que dans le passé la constante-qui-n'est-pas-constante de Hubble était moins grande qu'aujourd'hui. Autrement dit l'expansion de univers semble s'accélérer alors qu'on vient de voir qu'un univers rempli de matière ou de radiations lumineuses ralentit sous l'effet de la gravité. La densité d'énergie ρ₀ agirait comme une espèce de force répulsive qui contrerait les effets de la gravité.

L'hypothèse d'une source d'énergie sombre supplémentaire permet de résoudre un autre problème. Dans un univers plat, l'équation FLRW prédit une valeur précise de la densité d'énergie (ρ=3H²/(8πG) soit 10^-25 kg/m³). Or quand on additionne tout ce que l'univers contient de lumière et de matière connue (y compris la mystérieuse matière noire), on trouve à peine 25% de cette valeur. L'énergie sombre tombe donc plutôt bien pour trouver les 3/4 d'énergie manquante.

Par contre, cette énergie a quelque chose de très mystérieux: puisque sa densité ρ₀ doit diminuer moins vite que 1/a³ cela signifie qu'elle "ne se dilue pas" quand l'espace s'étire. Elle serait donc indépendante de l'échelle spatiale. Mais que reste-t-il à l'espace quand on enlève  sa dimension spatiale? Rien. Ou plutôt le "vide" qui serait peut-être la source de l'énergie sombre. La mécanique quantique prédit effectivement que même le vide n'a pas une énergie nulle quand on l'examine à des échelles de temps suffisamment petites (en vertu du principe d'indétermination de Heisenberg, appliqué à l'énergie et au temps). Il se pourrait qu'il soit le siège de créations et d'annihilations de particules et d'antiparticules, à un rythme bien trop rapide pour que nous puissions les détecter. Le vide serait en quelque sorte effervescent...

Energie sombre: mission accomplie!
On entre dans le domaine de la spéculation, mais l'idée serait que le résultat net de cette effervescence soit une minuscule densité d'énergie ρ₀ constante dans le temps, c'est-à-dire indépendante de l'expansion de la trame spatiale. Injectons cette valeur ρ₀ dans l'équation FLRW: H² = (å/a)² = 8πGρ₀/3 . C'est ce qu'avait fait Einstein quand il avait ajouté une constante cosmologique dans son équation, destinée à équilibrer la gravité dans un univers qu'il croyait statique. Ce qu'il qualifia de "plus grande erreur de sa vie" était en fait une bonne idée, mais dans un contexte très différent.
Dans un univers "vide", la constante de Hubble est enfin une vraie constante H₀²= 8πGρ₀/3 et a(t) ~ e^Ht correspond bien à une expansion accélérée. Cette drôle d'énergie du vide répond donc parfaitement à ce qu'on attendait d'elle. En plus, on retrouve grâce à elle un âge raisonnable de l'univers (14 milliards d'années).

Evidemment notre univers réel est composé en partie de matière (25% y compris la matière noire), en partie d'énergie sombre (75%) et une pincée d'énergie de radiations (moins de 1%). Compte tenu des caractéristiques de ces trois énergies, chacune a eu sa période d'influence au cours de l'évolution de l'univers:

Type d'énergie	a(t)	ρ	Zone d'influence maximale
Radiations	~√t	~1/a3	t très petit (<10 000 ans)
Matière	~ t⅔	~1/a4	Zone intermédiaire
Vide	~ eHt	constante = ρ0	t très grand (qq milliards d'années)

Voici ce que donnerait l'évolution de notre univers depuis sa naissance:

Depuis une dizaine de milliards d'années, la constante de Hubble est effectivement une constante ce qui explique que la loi de Hubble tienne la route (même si ce qu'on observe de la vitesse de fuite des galaxies correspond à des événements très loin dans le passé). Par contre on verra une prochaine fois qu'au tout début, l'univers était sans doute vide et non pas rempli de radiations, ce qui a provoqué son expansion exponentielle comme maintenant, durant une période appelée l'inflation.

Un problème peut en cacher un autre
N'allez surtout pas croire que cette énergie sombre résout tous nos problèmes; en fait elle en pose autant qu'elle en solutionne. D'une part, on ne l'a jamais mesurée directement, et aucune théorie satisfaisante n'explique sa valeur très faible. Mais surtout cette valeur pose un problème quasiment métaphysique: pour retrouver les 70% d'énergie manquante et un univers vieux d'environ 14 milliards d'années, il faut une densité d'énergie sombre d'au moins 10^-123 unités. Or si la densité d'énergie du vide avait excédé 10^-120, la gravité aurait été bien trop faible pour que des galaxies puissent s'agglutiner aux premiers temps de l'univers. Une aussi petite valeur qu'aucune théorie de parvient à expliquer mais dont la précision est une condition de vie ou de mort pour notre univers laisse les physiciens très perplexes. On touche sans doute là un des plus grands mystères actuels de la physique théorique.

Sources: 
Léonard Susskind (Le paysage cosmique) et ses podcasts
A lire aussi: le dossier Pour la Science d'avril-juin 2011 sur la face cachée de l'Univers.


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