La fièvre de l'ordre

La chaleur est considérée par les physiciens comme l’énergie la moins noble, celle qui est le plus dégradée. La thermodynamique a même érigé ce bonnet d’âne en principe en affirmant qu’il est toujours plus facile de convertir n’importe quelle autre énergie (électrique, mécanique, chimique…) en chaleur que l’inverse: essayer donc de faire avancer votre vélo en refroidissant ses patins de freinage, pour voir… Le chaud semble donc aller de pair avec le désordre et les métamorphoses de la matière quand elle change de de phase dans la matière vont toujours dans cette direction: les états les plus ordonnés ne prennent corps que si la température est suffisamment basse: l’eau cristallise uniquement à moins de 0° (sous pression atmosphérique), la super-conductivité ne s’observe qu’à des températures très basses et les aimants ne possèdent leur propriété magnétique qu’en dessous d’une température critique. Même en cosmologie, les différentes forces (gravité, force électro-faible et électromagnétique, force nucléaire forte) n’ont vu le jour qu’à mesure que l’univers se refroidissait. Pourtant, on a vu dans le billet précédent que la convection thermique, aussi désorganisée soit-elle, est à l’origine du ballet bien réglé des geysers dans les zones volcaniques. Je vous propose donc de poursuivre cette réhabilitation de l’énergie thermique et d’explorer quelques drôles de phénomènes où l’ordre émerge spontanément du chaud et non pas du froid…

Comment refroidit votre bol de soupe?

Sans remettre en cause le deuxième principe de thermodynamique, il peut arriver que de la chaleur se transforme spontanément en mouvements plus ou moins cohérents. Pour le comprendre il faut que je vous parle un peu de convection. Vous êtes-vous jamais demandé pourquoi votre soupe refroidit plus vite qu’un bol de purée? Dans les deux cas, la chaleur se dissipe à travers les parois du bol et au contact de l’air ambiant, par conduction thermique. Mais la soupe a un joker: contrairement à la purée plus ou moins solide, le liquide s’agite dans votre bol quand il est chaud. La soupe du fond, plus chaude donc moins dense a tendance à remonter. Arrivée en surface, elle refroidit (par conduction), devient moins dense et coule à nouveau, entraînée par son propre poids. Visualiser ça dans la soupe n’est pas facile, par contre on peut se rendre compte du phénomène en laissant fondre un glaçon d’eau teintée dans un récipient d’eau et en regardant diffuser le même liquide teinté, mais chauffé cette fois à partir du récipient:

Plus la différence de température -le gradient- entre le fond et la surface  est grande, plus ces mouvements de convection sont intenses. C’est pour cela qu’on refroidit très vite sa soupe en soufflant dessus: non seulement on refroidit le liquide en surface (parce qu’on chasse la couche d’air chaud qui stagne au-dessus), mais en plus on accroît le gradient de température ce qui amplifie le phénomène de convection. Double effet kiss-cool!

A force de mélanges, la température finit par s’homogénéiser entre le fond et la surface. Lorsque le gradient de température devient trop faible, les flux de convection se heurtent à la viscosité du milieu et disparaissent. Le refroidissement ralentit car il n’a plus que la conduction thermique comme moteur. Par contre si votre soupe est sur le feu, le réchauffement permanent du fond de la casserole entretient les mouvements cycliques dans le liquide:

Mouais vous allez me dire que dans la vraie vie ces flux n’ont rien de très organisé. Où elle est l’auto-organisation là-dedans? Hors sujet Xochipilli? Remboursez! Un peu de patience, ami lecteur, j’arrive…

Les cellules de Bénard

En 1900, le physicien Henri Bénard fit une drôle de découverte en faisant justement chauffer une fine couche d’huile dans une casserole. Le liquide en surface formait comme des  « cellules » de formes régulières plus ou moins hexagonales:

Que se passe-t-il? Lorsque la couche de fluide est suffisamment fine et la différence de température suffisamment grande, les flux de convection s’organisent en petits rouleaux contigus et verticaux, au sein desquels le liquide circule de haut en bas soit dans un sens soit dans l’autre.

(source Wikipedia)

Il y a du monde en surface donc chaque cylindre tend à y occuper le maximum d’espace. Et quand on comprime des cylindres les uns contre les autres, ils se déforment en hexagones comme le font les alvéoles de cire des nids d’abeille (voir ce billet à ce sujet). Le même phénomène peut se produire avec de la lave affleurant à la surface du sol, comme ce qu’on observe sur la chaussée des géants, en Irlande:

La chaussée des Géants en Irlande (source Wikipedia)

C’est y pas de l’auto-organisation ça? On retrouve toujours les trois caractéristiques de l’auto-organisation, dont on a parlé dans le dernier billet: un apport permanent d’énergie (ici la chaleur), un phénomène auto-amplifié (la convection) et un feedback négatif (la gravité, combiné à la conduction et la viscosité). Mais il y a deux trucs intéressants en plus.

D’abord, le système combine stabilité et imprédictibilité: les cellules qui se forment restent stables malgré les perturbations du système mais en revanche il est impossible de prédire si tel rouleau circulera plutôt dans un sens ou plutôt dans l’autre. Exactement comme il était impossible de prédire si tel récipient de la génératrice de Kelvin serait chargée positivement ou négativement. Les systèmes auto-organisés sont de parfaits compagnons de jeu: à la fois très fiables et en même temps un peu imprévisibles.

L’autre propriété fascinante est que pour une couche de liquide donnée, les cellules de convection n’apparaissent que dans une fourchette bien précise de gradients de températures. Lorsqu’on fait varier la température, la forme des cellules de convection peut changer brusquement (c’est ce qui rend leur mise en évidence difficile dans la vraie vie où la température n’est jamais parfaitement contrôlée). Les cellules peuvent se transformer en rouleaux parallèles ou même en spirales, comme des chercheurs l’ont mis en évidence dans les années 1990. Voilà ce que ça donne sur les simulations numériques:

 

C’est le propre des systèmes auto-organisés que de bifurquer brusquement lorsque certains paramètres franchissent des seuils critiques (comme la température d’ébullition ou de gel de l’eau par exemple). Et puis au-delà d’un ultime seuil, le système vire au chaos. Celui-ci porte bien son nom en général, mais il y a des exceptions là aussi. La plus célèbre se trouve même sous nos pieds!

Le magnétisme terrestre

De tous les phénomènes naturels, l’existence du champ magnétique terrestre est sans doute celui qui est le plus connu et le moins bien compris. On s’est longtemps imaginé qu’il était causé par l’aimantation des minerais à l’intérieur de la Terre. Et l’orientation Nord-Sud du champ magnétique semblait naturellement s’expliquer par la rotation de la Terre sur elle-même. Cette explication simple s’est effondrée lorsqu’on a découvert qu’il règne des températures très élevées au coeur de notre planète. A de telles températures (plusieurs milliers de degrés), tous les matériaux ont perdu toutes propriétés magnétiques.

L’intérieur de la Terre et son champ magnétique

Heureusement on sait comment fabriquer un champ magnétique même si l’on n’a pas d’aimant sous la main: il suffit de faire circuler un courant électrique dans un conducteur:

Bon, il ne reste plus qu’à produire un courant électrique. Simple: il suffit de déplacer un conducteur dans un champ magnétique, ou comme sur la dynamo de votre ancien vélo, un aimant à proximité d’un fil conducteur:

Ca ne vous aura pas échappé, il y a un truc qui ne colle pas: pour créer un champ magnétique, il faut du courant qu’on doit créer… avec un champ magnétique: on tourne en rond! C’est pourtant l’idée étrange qu’avança Sir Joseph Larmor dès 1919 pour expliquer le champ magnétique solaire. Il suggérait que si le courant induit renforçait le champ magnétique lui ayant donné naissance, l’effet dynamo pouvait s’auto-amplifier à partir d’un infime champ magnétique initial. Son article concluait de façon prémonitoire qu’un tel argument pourrait s’appliquer au champ magnétique terrestre, si l’on supposait que le noyau terrestre se présentait sous forme d’un conducteur liquide, ce qu’on ignorait à l’époque. Quelques années plus tard, on réalisa l’astucieux montage d’une telle dynamo auto-amplificatrice:

Si à la place du disque métallique qui tourne, vous imaginez du magma en mouvement, vous avez un joli modèle explicatif. Il suffit de supposer que le champ magnétique terrestre a pu germer à partir d’un tout petit champ provenant du reste du système solaire. En réalité, ça n’est pas si simple car le magnétisme fossile des roches montre que l’axe de notre champ magnétique s’est inversé plusieurs fois au cours de l’histoire de la Terre (dernière inversion il y a 300 000 ans paraît-il).  Qu’à cela ne tienne, un montage un peu plus complexe, mettant en oeuvre non pas une mais deux dynamos s’auto-excitant l’une l’autre, rend bien compte de ces effets d’inversion. Je vous présente la dynamo de Rikitake (cliquez pour agrandir):On retrouve dans ce montage tous les ingrédients des phénomène d’auto-organisation:
– la source d’énergie est ici l’énergie fournie pour faire tourner les disques;
– l’intensité du champ magnétique induit est auto-amplifiée;
– on a peu parlé jusqu’ici du feedback négatif qui limite l’intensité du champ magnétique. Il s’agit de la résistance électrique du montage et des forces de Laplace, qui s’opposent à l’augmentation du champ magnétique.

Coup d’Etat sur le second principe!

L’analogie est plus difficile à visualiser avec le magma terrestre, mais tant les simulations numériques que les expérimentations en laboratoire confirment la pertinence de ces modèles.

Même si on est encore très loin de tout bien comprendre à cause de la complexité des équations, une chose est sûre: le champ magnétique ne se maintient qu’à condition d’entretenir une rotation très rapide du système. Or la rotation de la Terre sur elle-même est trop faible pour agiter le magma avec une énergie suffisante. Tout le système repose donc sur la vigueur des flux de convection du magma qui dissipent la chaleur du noyau vers les couches extérieures du manteau terrestre. Ces flux de convection sont eux-mêmes entretenus par d’intenses réactions thermiques dans le noyau. L’énergie thermique joue donc un rôle absolument clé dans toute cette histoire et c’est drôle parce que c’est précisément elle qui empêche l’aimantation des métaux! Autrement dit la chaleur crée par chaos un champ magnétique qu’elle met d’habitude KO dans les aimants.

La plupart des étoiles et des planètes « vivantes » possèdent un champ magnétique propre. Peu de phénomènes sont donc à la fois aussi universels et aussi difficiles à modéliser dans le détail. Même si à notre échelle le champ magnétique terrestre semble très stable, son évolution est totalement imprévisible à l’échelle de quelques millions d’année, à cause de la non-linéarité des équations. Encore ce mélange typique de fiabilité et d’imprévisibilité!

Pour faire écho à un billet précédent, je ne suis pas sûr que Galilée se serait si facilement convaincu que les mathématiques sont le langage de la Nature si les lois de la gravité avait été aussi compliquées. Le triomphe de notre vision scientifique du monde tient à peu de choses…

Pour aller plus loin:

Sur les cellules de convection:
L’article de Wikipedia sur le sujet
L’article de Gunton et Xi sur les formes étranges qu’elle revêtent

Sur le magnétisme terrestre:
Le site de David Sterne et celui de Luxorion qui traitent très bien le sujet
Cet article publié par le CNRS.

Aussitôt oscille-l'eau

 

Laissez osciller librement un pendule et il finit par s’arrêter à son point le plus bas. Lâchez une goutte d’encre dans un verre d’eau et elle disparaît très vite en se diffusant. Les lois de la physique semblent être un hymne à la paresse: principe de moindre action, minimisation de l’énergie, dissipation spontanée des structures… au point que dans le langage courant, l’inanimé désigne aussi bien le « non vivant » (anima signifie « l’âme » en latin) que ce qui est immobile. Il existe pourtant de nombreux cas où le monde de l’inerte n’a pas grand chose à envier au vivant en matière de vitalisme. Je vous propose une série de billets consacrées aux propriétés inattendues qui caractérisent ces phénomènes d’auto-organisation. Comme ces propriétés ne coulent pas toutes de source, on commence aujourd’hui avec trois oscillations nées de l’eau qui s’écoule…

Le vase de Tantale
Dans la mythologie grecque, le roi Tantale fut condamné par les Dieux à de terribles supplices (il faut dire qu’il voulait leur servir son propre fils en rôti pour voir s’ils s’en apercevraient…). L’un de ces supplices consistait à l’assoiffer en abaissant le cours d’une rivière chaque fois que Tantale s’y penchait pour se désaltérer. Si vous voulez jouer à Zeus dans votre salle de bains, vous pouvez fabriquer vous aussi un « vase de Tantale », dont le niveau monte et descend quand on tente de le remplir au  robinet. Idéal pour rester sobre en période de réveillon!

Mon vase de Tantale à moi était un ancien flacon de liquide dentaire. Pas très grec dans l’esprit mais bien pratique pour fixer un petit tuyau sur son ouverture…

En Ariège où je vais souvent en vacances, la fontaine de Fonterstorbes s’écoule par intermittences régulières grâce à ce principe et fonctionne comme une véritable horloge à eau naturelle:

(Source: lieux-insolites.fr)

Mais il faut reconnaître que le phénomène est rare. Très rare même… Je vous ai parlé de mes succès pour en fabriquer un, mais je ne vous ai rien dit de mes difficultés pour y arriver! La plupart du temps, le siphon du flacon ne s’amorce (ou ne se désamorce) que partiellement. Lorsque le niveau d’eau atteint un des deux seuils critiques, des bulles d’air se glissent souvent dans le tuyau et en réduisent le débit. Il s’établit alors un équilibre entre le débit de remplissage et le débit (réduit) de vidange ce qui stabilise le niveau d’eau dans le flacon, soit à son maximum soit à son minimum. C’est d’autant plus agaçant qu’on ne parle nulle part de ce problème. Dans cette vidéo des Petits Débrouillards par exemple, ils vous fabriquent un vase de Tantale les doigts dans le nez!

Cette difficulté m’a donné à réfléchir sur la fragilité du mécanisme de cet oscillateur. Mais avant de vous livrer le fruit de mes cogitations, je vous propose une deuxième illustration d’oscillations aquatique spontanée encore plus spectaculaire: les geysers!

Comment fonctionne Old Faithfull
On trouve des geysers surtout dans des zones volcaniques ou sismiques, en Islande par exemple ou dans le parc américain de Yellowstone. Très périodiquement des giclées d’eau et de vapeur brûlantes en jaillissent brusquement et peuvent monter jusqu’à plusieurs dizaines de mètres de hauteur.

Le principe d’un geyser est étonnamment simple: il est toujours constitué d’un réservoir très profond relié à la surface par une longue colonne fine. Le réservoir est alimenté en eau par de nombreuses fissures dans la roche et se trouve en contact avec une forte source de chaleur (on est en zone volcanique, souvenez-vous).

– La température de l’eau monte dans le réservoir mais la pression de la colonne d’eau l’empêche de bouillir (sous pression l’eau bout à des températures bien plus élevées que 100°C).
– L’eau chaude, en état de surfusion, tend à monter dans la colonne, comme le lait qui monte dans la casserole. A mesure qu’elle s’élève, la pression qu’elle subit diminue jusqu’à ce que qu’elle atteigne son point d’ébullition dans la colonne.
– Les bulles créées par l’ébullition gonflent en remontant vers la surface et poussent le haut de la colonne d’eau.
– Le phénomène s’emballe: une partie de l’eau de la colonne étant chassée, la pression diminue dans le réservoir faisant bouillir l’eau de plus en plus bas dans la colonne. Toutes ces bulles remontent et expulsent brutalement l’eau qui s’y trouve. Une bonne partie de l’eau du réservoir s’échappe ainsi dans les airs sous forme d’eau et de vapeur brûlante.
– Le réservoir s’étant vidé de la sorte, il met du temps à se remplir d’eau par les fissures du terrain. L’eau se réchauffe progressivement et le cycle recommence… Une vidéo explique ça mieux que mes mots (mais en anglais):

Maintenant que vous êtes devenus incollables sur les geysers, vous pouvez retrouver les analogies avec le mécanisme du vase de Tantale:
– Dans les deux cas il y a un apport permanent d’énergie: remplissage du réservoir et chauffage dans le cas du geyser. C’est grâce à cette énergie que le système ne revient jamais à un régime d’équilibre stable.
– A chaque fois, la dynamique du système aboutit à sa réinitialisation: le siphonnage s’arrête dès qu’il a vidé le réservoir; la surpression du réservoir se résorbe une fois qu’elle a chassé toute l’eau de la colonne montante. Le cycle peut alors recommencer grâce à l’apport d’énergie.

L’explosion stabilise…
Il y a pourtant une différence importante entre les deux phénomènes, à part que l’un est froid et l’autre chaud: dans le cas du geyser il y a auto-emballement de la poussée d’Archimède (les bulles qui gonflent en montant, chassent l’eau et la colonne et diminuent la pression en dessous) dont on ne trouve pas d’équivalent dans le vase de Tantale. La vidange n’a rien d’auto-amplifiée, au contraire: à mesure que le niveau du flacon descend, la vidange ralentit jusqu’à s’arrêter. C’est, je crois, ce qui explique qu’il soit si délicat de fabriquer un « bon » vase de Tantale et que l’on trouve si peu de fontaines intermittentes dans le monde alors que les zones volcaniques sont truffées de geysers. L’auto-amplification rend le mécanisme du geyser particulièrement robuste (quoique je n’ai pas risqué d’incendier ma salle de bain en essayant de me faire mon geyser perso) et l’empêche de trouver un régime permanent équilibrant les forces en présence.

D’habitude un mécanisme est d’autant plus stable que ses paramètres évoluent doucement, linéairement. Bizarrement, ici c’est l’explosivité du phénomène, sa capacité à s’auto-emballer qui assure la répétition du phénomène et sa pérennité dans le temps. Un peu comme si une voiture roulait toute seule en alternant brusquement accélérations et freinages. Aussi bizarre que ça puisse paraître il ne s’agit pas d’un cas isolé, loin de là. Dans un précédent billet je vous ai décrit une troisième forme d’oscillation spontanée créée par de l’eau qui coule: dans la génératrice de Kelvin ce sont cette fois les charges électrostatiques des récipients qui oscillent

Si vous regardez bien son principe (que j’ai détaillé dans le billet), vous retrouverez les mêmes trois propriétés caractéristiques du geyser:
– une source d’énergie qui alimente le phénomène en permanence: la gravité qui attire l’eau vers le bas;
– un phénomène à « feedback négatif »: l’augmentation de la charge électrostatique des réceptacles finit par créer une étincelle qui décharge le dispositif;
– la fameuse auto-amplification: plus les réceptacles sont chargés, plus les ions positifs et négatifs sont attirés sélectivement vers les bons réceptacles, ce qui accentue la différence de charge.

Allez, un dernier exemple que je viens de découvrir et qui m’épate, tant pis si ça n’a rien à voir avec l’eau qui coule: pourquoi le vent fait-il claquer les pages du magazine que vous avez laissé ouvert à côté de vous pendant votre sieste dominicale au grand air? C’est ce que Pedro Reis, chercheur au MIT a cherché à comprendre et qu’il explique dans cette vidéo:

Votre œil désormais exercé repèrera facilement les mêmes ingrédients habituels: le vent (source d’énergie permanente), la pression latérale qui lève chaque page l’une après l’autre et la pousse (de plus en plus fort à mesure qu’elle offre une plus grande surface portante) jusqu’à la verticale: voilà notre fameuse force auto-renforçante. Et enfin la gravité dans le rôle du feedback négatif, qui au bout d’un moment fait fléchir le paquet de pages soulevées sous son propre poids et referme le magazine. Evidemment ça ne marche pas avec un Kindle…

Ces trois propriétés sont une recette pratiquement universelle des mécanismes auto-organisés, mais ce ne sont pas les seules comme on le verra dans un prochain billet…

Billets connexes:
Comment fonctionne la génératrice de Kelvin
Essayez de repérer les mêmes trois propriétés dans le déclenchement des applaudissements!

Boulanger: la saga continue (2/2)

 PART 2 Les mystères du monde continu

Je vous ai montré dans le billet précédent pourquoi en mélangeant de façon très méthodique une image faite de pixels (j’étale dans un sens, je replie et je recommence) on revient tôt ou tard à la l’image initiale. Mais aujourd’hui nous allons voir que cet éternel recommencement est un privilège réservé aux images numériques. Même si on savait répéter une telle transformation avec une précision parfaite sur une image réelle, faite d’un continuum de points, on ne retrouverait jamais l’image de départ. Plus fort encore: jamais le mélange ne produirait deux fois la même image…

Pétrissage décimal
Pour vous le montrer simplement, je vais modifier légèrement la méthode de pétrissage: le boulanger étire son carré de 10 fois sa longueur initiale (au lieu de deux) et il coupe les neuf morceaux qui dépassent afin de retrouver la  forme initiale du carré une fois empilés.

 

C’est un peu plus compliqué à première vue mais vous allez vite comprendre pourquoi ça simplifie les calculs…

Supposons que notre carré ait une longueur 1 de côté et divisons le verticalement en 10 bandes de largeur 0,1 chacune. Le point en rouge de coordonnées (0.375;0.405) est situé dans la troisième bande verticale en partant de la gauche.  Au premier étirement, notre point se retrouve dans le troisième bloc en partant de la gauche (son abscisse est multipliée par 10) et rabaissée (son ordonnées est divisée par 10) soit  (3.75;0.0405).  Après passage du couteau, le troisième bloc est empilée sur les deux premiers: l’abscisse du point est donc diminuée de 3 unités et son ordonnée augmentée de 3 décimales soit (0.75;0.3405).

Bilan:

 

La transformation d’un point s’obtient donc simplement en enlevant la première décimale de l’abscisse et en la glissant devant la première décimale de l’ordonnée. Une manière plus simple de faire l’opération consiste à écrire l’abscisse et l’ordonnées tête-bêche et de les séparer par un symbole par exemple « : » Dans ce formalisme, le point initial (0.375;0.405) s’écrit  573:405 et son image (0.57:0.345) s’écrit 57:3405!

La transformation consiste donc à simplement déplacer la séparation entre abscisse (écrite à l’envers) et ordonnée. A mesure que l’on itère les transformations, les lointaines décimales de l’abscisse initiale « remontent » près de la virgule et deviennent déterminantes sur l’abscisse avant de passer sur l’ordonnée. A l’inverse les décimales initiales de l’ordonnée sont reléguées en queue de développement décimale et ne comptent rapidement plus du tout.

Quand le destin est fonction de la naissance, pas de la valeur.
Nous voilà parés pour comparer les destins de trois points situés extraordinairement près les uns des autres avant que le boulanger ne commence à travailler son pétrin. Supposons qu’ils aient tous  la même ordonnée (mettons y=0,5) et comme abscisses respectivement:
– un nombre décimal  0.14159
– une fraction non décimale: 1/7=0,142 857 142 857…
– un nombre irrationnel: 3-pi=0.14159265… (suite de décimales non périodique)

1) Pour le point ayant une abscisse décimale, les choses se passent très mal: il se fait vite projeter contre le bord gauche de l’image avant de s’écrouler par terre, comme un mauvais cowboy dans une bagarre de saloon. Sa durée de vie est égale au nombre de ses décimales non nulle. Il est un peu nul et d’ailleurs tel est son destin, puisqu’il finit au point d’origine (0,0) en bas à gauche:

2) Le point d’abscisse rationnelle (non décimale) commence pareil que son jumeau décimal mais il s’en sort bien mieux.  Comme son développement décimal finit par être périodique, au bout d’un certain nombre de transformations l’abscisse du point devient elle-même cyclique. Et comme la première décimale de l’abscisse devient la première décimale de l’ordonnée lors de la transformation suivante, l’ordonnée entre à son tour dans un cycle en miroir. Le point entre dans un cycle fermé dont la longueur est celle de la période de ses décimales:

Les puristes auront remarqué  que l’ordonnée conserve toujours une queue de décimales qui lui est propre et ne peut donc être exactement cyclique. C’est exact, mais comme l’influence de cette « queue » décimale est divisée par 10 à chaque transformation, elle perd très rapidement toute influence.

3) Pour le point d’abscisse irrationnelle, c’est encore plus funky. Son développement décimal n’étant jamais périodique, les décimales que chaque transformation fait « remonter » en première position semblent parfaitement aléatoires. Et comme l’ordonnée se fait contaminer par les décimales de l’abscisse, le point se déplace de façon anarchique au fil des itérations.

L’absence de périodicité de ses déplacements garantit qu’il ne repasse jamais deux fois sur la même position. Si l’on poursuivait sans arrêt ces transformations, le point finirait par couvrir toute la surface de l’image.

Aussi proches soient-ils, nos trois points de départ ont des destins radicalement différents. Le point d’abscisse décimale converge vers l’origine, celui ayant une abscisse rationnelle suit une boucle cyclique et le point d’abscisse irrationnelle suit un parcours chaotique. Leur destin respectif ne dépend donc que de leur « statut » arithmétique, leur essence platonicienne pourrait-on dire, et non pas de leur valeur. Notre transformation du boulanger décimal s’avère être une extraordinaire trieuse de nombres!

Mais après tout, est-ce vraiment grave si ces dingos d’irrationnels sont incontrôlables? Du moment que les nombres rationnels tournent sagement en boucle, leur grand nombre n’assure-t-il pas que l’on retrouvera un système cyclique, comme pour l’image numérique? Hélas, il y a beaucoup beaucoup plus de nombre irrationnels que de nombres rationnels. Parmi tous les réels, ces derniers sont l’exception plutôt que la règle. A la différence d’une image ayant un nombre fini de pixels, notre  image « continue » sera donc irrémédiablement diluée par la transformation du boulanger, même si de ci de là quelques rares points suivront effectivement un cycle.

Déterminisme et prédictibilité
La transformation du boulanger illustre ainsi la différence qualitative entre fini et infini, mais elle est intéressante à plus d’un titre. Comme tout système chaotique, elle met aussi en évidence la différence entre déterminisme et prévisibilité. Certes l’équation de la trajectoire d’un point soumis à une série de transformations est parfaitement déterminée. Pourtant on vient de voir que deux points infiniment proches l’un de l’autre suivent des destins totalement différents selon la nature -décimale, rationnelle ou irrationnelle- de leur abscisse. L’imbrication infinie entre ces trois ensembles de nombres rend impossible toute prédiction concernant la trajectoire d’un point matériel donné: attraction vers O, oscillation périodique ou trajectoire chaotique. La transformation du boulanger est un joli exemple mélangeant déterminisme absolu et imprédictibilité totale.

Pour reprendre une thématique développée par Tom Roud, assimiler déterminisme et capacité prédictive ne vaut que tant que l’on est face à des phénomènes linéaires, pour lesquels une petite erreur de mesure initiale n’entraine qu’une petite erreur sur le résultat de la prédiction. Il se trouve que les lois physiques élémentaires soient justement linéaires, qu’il s’agisse de la gravité, de l’électromagnétisme ou des forces nucléaires faibles ou fortes. Et la « déraisonnable efficacité des mathématiques » acquise grâce à cette linéarité providentielle a sans doute largement contribué au succès de la méthode scientifique et son hégémonie dans le monde occidental.
Mais de même que les nombres rationnels sont « rares » parmi les nombres réels, les phénomènes linéaires sont probablement l’exception plutôt que la règle dès que l’on sort des régimes d’équilibre ou que l’on aborde des disciplines comme l’économie, la biologie ou l’écologie. On peut certes toujours modéliser des phénomènes non linéaires. Mais aucun modèle, aussi exact soit-il, n’aura la capacité de prédire leur évolution au-delà d’un temps très court, à l’image des prévisions météorologiques.

L’irréversibilité et la flèche du temps

La transformation du boulanger a aussi l’intérêt de mettre en évidence le lien entre irréversibilité et instabilité. Je m’explique: l’opération que l’on a décrite est entièrement réversible: pour revenir en arrière il suffit de découper le carré en deux (ou en dix) bandes horizontales, de les étaler les unes à côté des autres et de recomprimer le tout pour obtenir la forme initiale du carré. Simple non? En pratique pourtant, la très grande instabilité de la transformation détruit tout espoir de retour en arrière au-bout d’un certain temps. Il suffit qu’à l’aller, un des points bouge d’un angström (10-10m) sous l’influence gravitationnelle d’un électron situé aux confins de l’univers, pour que ce point perde tout espoir de revenir à sa position initiale après 10 transformations.

Pour illustrer le phénomène, prenons une image d’une tasse. Au bout de trois transformations du boulanger, l’image est complètement brouillée. En théorie, rien n’empêche de passer le film à l’envers en faisant trois transformations inverses et voilà notre tasse qui réapparaît comme si de rien n’était. Oui mais. Dans la vraie vie, si l’image mélangée bouge entre temps d’un micro-millième de chouïa, vous ne retombez plus du tout sur vos pieds. Voici ce qui se passe si on tourne la troisième image d’un degré avant de lui appliquer les transformations inverses. Adieu la tasse!

On retrouve de façon assez inattendue le deuxième principe de thermodynamique qui interdit l’évolution spontanés du désordre vers l’ordre. Mais dans cet exemple, la flèche du temps ne tient pas à une question de probabilité, au fait que l’état ordonné est infiniment moins probable qu’un quelconque état différent. Ici la flèche du temps naît de l’extraordinaire instabilité de l’évolution de chaque point…

Sources:
B Gréhant, Et si la science était de l’hébreu (le chapitre qui traite ce sujet est disponible en pdf)
I Prigogine et I Stenger, La fin des certitudes: temps, chaos et les lois de la nature.
La transformation de la tasse a été faite avec le logiciel libre de BouMaton (disponible ici si vous voulez vous amuser aussi)

Billets connexes:
Votre boulanger est-il discret, le billet précédent

Votre boulanger est-il discret? (1/2)

Quelle différence faites-vous entre l’infini et le « très très grand »? Comment vous représentez-vous l’ensemble des nombres rationnels contenus dans l’intervalle [0,1]? Bon, je ne vous sens pas franchement emballés par mes questions métaphysiques, mais ne zappez pas tout de suite! Pour y répondre, je vous propose un phénomène bluffant qui non seulement prend vos intuitions à contre-pied, mais qui illustre également la différence qualitative entre fini et infini, discret et continu. Et si au pire vous n’y comprenez rien, l’effet spectaculaire en vaut la peine, promis!

PART1: quelle différence entre fini et infini?

Pour bien mélanger son pétrin, le boulanger prend un carré de pâte, l’étire dans un sens puis le replie pour retomber sur son carré initial et il recommence: il étire puis replie pendant une bonne demi-heure (ça muscle!):

La transformation du boulanger

Si au lieu de faire ça avec une pâte à pain, on s’amuse à faire la même chose avec une image numérique, l’image se brouille très vite:Assez rapidement l’image se brouille…

Evidemment, comme on ne peut pas étirer chaque pixel on a un tout petit peu triché: pour étirer une ligne, on est obligé d’interpénétrer chaque ligne paire avec la ligne impaire suivante avant de replier le tout.

Les mystères de l’éternel retour

L’avantage sur la pâte à pain, c’est que c’est moins fatigant à faire et surtout ça va beaucoup plus vite. Au lieu de s’arrêter au bout d’une dizaine de mélanges comme ce feignant de boulanger, on peut laisser le logiciel tourner des milliers de fois. C’est le miracle de la technique. Mais le plus miraculeux c’est surtout qu’au bout d’un moment, l’image du départ revient comme par magie!

Magique!

Cette transformation très simple aurait-elle des propriétés spéciales? Même pas: on trouve sur internet plein d’autres transformations très différentes qui bouclent sur elles-mêmes de la même façon. Par exemple celle du photomaton qui « disperse » l’image initiale dans les quatre quarts du carré avant de recommencer:

La transformation du photomaton appliquée à l’image de la Joconde

Je me disais qu’il devait être affreusement compliqué de démontrer que « ça boucle », d’autant que le nombre d’itérations nécessaires pour retomber sur ses pieds est très sensible au nombre de pixels de l’image. La démonstration que propose JP Delahaye [1] est pourtant incroyablement simple.

Numérotons les pixels de l’image de 1 à N en fonction de leur position. La  transformation du boulanger envoie le pixel en position X1 à une position X2 qui lui est exclusivement réservée. La transformation du boulanger est donc une bijection entre les N pixels de l’image.  Appliquons  itérativement  cette transformation bijective à notre pixel situé  initialement en position X1, il devient:
X1->X2->X3->X4->….->XN
Puisque la transformation est bijective et qu’il n’y a que N pixels possibles, un peu de réflexion vous convaincra que notre point reviendra fatalement à sa position d’origine en X1 au bout d’un certain nombre d’itérations. Ansi à chaque pixel de l’image correspond un cycle de longueur inférieure à N, cycle au terme duquel il revient à sa position de départ. Tous les pixels appartenant à un cycle de longueur 10, reviennent à leur position initiale au bout de 10 transformations, 20, 30, 40 etc.
Evidemment deux pixels différents peuvent appartenir à des cycles de  longueurs différentes l1 et l2, mais ils seront tous les deux revenus à leur position initiale au bout de l1*l2 cycles.
On peut en principe connaître la liste de toutes les longueurs de cycles correspondant aux pixels d’une image. Supposons par exemple qu’il n’y ait que trois cycles possibles, de longueur 3, 7 et 10. L’image reviendra identique à elle-même au bout de 3*7*10=210 itérations.
De façon générale, si l’on connaît toutes les longueurs de cycle d’une image, le « temps de retour » de l’image sera égal au plus petit commun multiple de toutes les longueurs de cycles. Dans le pire des cas (si chaque point appartient à un cycle de longueur différente) l’image initiale revient au bout de N! cycles. Ca peut être long, mais ça marche à tous les coups!

Tout s’explique!
Ce raisonnement est valable quelle que soit la nature de la transformation (Boulanger, photomaton ou autre), il suffit juste qu’elle soit bijective. Rigolo non? Au passage, cette démonstration aide à comprendre pourquoi au cours des itérations on voit de temps en temps apparaître  l’image initiale un peu brouillée: c’est le cas chaque fois que le nombre d’itérations est un multiple des longueurs de cycles les plus fréquentes. Les très nombreux pixels correspondant à ces cycles sont alors revenus à leur position initiale – c’est ce qui fait qu’on reconnaît l’image- mais pas les autres -c’est ce qui fait que l’image est floue:

Opera révolutionnaire?

 « – On ne sert pas les neutrinos ici! dit le barman

Un neutrino entre dans un bar. »

On lit plein de trucs sur ces infâmes neutrinos qui iraient plus vite que la lumière et contrediraient Einstein. Les articles mentionnent souvent qu’un tel phénomène remettrait en question “le principe de causalité” ou qu’il reviendrait à faire voyager les neutrinos dans le temps, mais sans plus d’explications. Je vous propose donc aujourd’hui quelques expériences imaginaires pour comprendre pourquoi. Les âmes sensibles peuvent sans problème sauter les paragraphes qui contiennent des équations indigestes.

Reprenons d’abord la recette de la relativité restreinte. A la base, trois hypothèses très sages et raisonnables:
1) L’espace n’a pas de direction privilégiée, il est homogène et isotrope
2) Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels en déplacement uniforme les uns par rapport au autres (c’est le principe de la relativité simple, cher à Galilée)
3) On suppose qu’on sait synchroniser toutes les horloges d’un même référentiel, autrement dit on sait se débrouiller pour qu’elles donnent toutes la même heure à un instant donné.

Moyennant ces trois hypothèses, on peut montrer qu’il existe une vitesse limite c “absolue”, qu’aucun objet ne peut dépasser (le détail des calculs est dans ce billet). Avant de parler de vitesse de la lumière, considérons d’abord les conséquences d’une telle vitesse limite c sur le temps qui passe.

En voyage on ne voit pas le temps passer!

Si l’on envoie une fusée dans l’espace et qu’elle s’éloigne de nous à très grande vitesse, l’horloge qu’on y aura placée nous paraît battre plus lentement qu’aux astronautes embarqués dans la fusée.

Pour les curieux uniquement, voici une manière simple de retrouver ce résultat:
Supposons que deux événements se produisent: on mesure la distance et la durée séparant ces deux événements soit depuis la Terre (x et t) soit depuis la fusée (x’ et t’)
Si la fusée s’éloigne à une vitesse V de la terre, les équations de Lorentz donnent la relation entre ces quatre variables:
(1) ct=γ(ct’+Vx’/c)
(2) x=γ(x’+Vt’)
avec γ=1/√(1-V²/c²)
On vérifie facilement que γ est toujours supérieur à 1. Si par exemple V=0.866 c, γ=2.
Calculons le temps t qui passe sur Terre à chaque seconde qui s’écoule à la montre d’un astronaute. Vu de lui x’=0 (sa montre ne bouge pas) et t’=1 seconde.
Vu de la Terre en revanche, la durée entre le tic et le tac de sa montre se calcule en appliquant la formule (1) et vaut t=γt’=2 secondes. La montre des astronautes semble aller deux fois trop lentement!

Cette dilatation des durées du point de vue de celui qui s’estime immobile confirme ce qu’on savait déjà: le temps passe plus lentement pour celui qui ne part pas en voyage. Bon, l’analogie n’est pas tout à fait valable car du point de vue des astronautes, c’est la Terre qui s’éloigne à la vitesse V et en faisant exactement le même raisonnement que précédemment, ils concluent que ce sont les horloges terrestres qui vont deux fois plus lentement que les leurs! Chacun voit le temps de l’autre battre plus lentement. Qui a raison? Personne bien sûr puisque les durées et les distances sont des notions “relatives” à chaque observateur (d’où le nom de la théorie).

Duel de Tachyons

Supposons maintenant qu’on découvre des particules allant plus vite que cette vitesse maximale c et qu’on appellerait des tachyons. Dans un premier temps on suppose que les tachyons vont à une vitesse infinie. Quand on dégaine son pistolet à tachyons, les tachyons qu’on tire passent instantanément d’un point à l’autre de l’espace. Imaginons donc un duel intergalactique entre deux bandes rivales, les bleus et les rouges, écumant l’univers à la poursuite les uns des autres à bord de leurs fusées intergalactiques. Les règles sont simples: on a le droit de se tirer dessus 4 secondes après que les fusées se sont croisées. Regardez ce qui se passe quand on décompose la scène au ralenti:
– Au top, les fusées se croisent et s’éloignent l’une de l’autre à la vitesse V. Chacun regarde fébrilement son chronomètre et ajuste son pistolet.
– Dans la fusée bleue à t=4 secondes, on tire sur la fusée rouge. Touché! (mais pas coulé).
– Comme on vient de le voir, lorsqu’il s’est passé 4 secondes dans la fusée bleue, il ne s’en est écoulé que 2 dans la fusée rouge. Les rouges se sentent grugés: les bleus ont tiré au bout de deux secondes au lieu des quatre convenues! Blessés mais pas morts, ils voient rouge (forcément) et ripostent instantanément sur ces salauds de bleus.
– Les rouges tirent sur les bleus à t’=2 secondes et ne ratent pas leur coup, eux. Il est alors t=1 seconde chez les bleus (toujours à cause de cette satanée dilatation des durées) quand ils volent en poussière.

Sauf que… attendez. STOP! ARRETEZ TOUT!!! Ya un problème: A t=1 seconde, les bleus n’ont pas encore tiré sur les rouges. Ils ne peuvent pas être détruits en représailles à une attaque qu’ils n’ont pas encore lancé! Et puis quand t’=2 chez les rouges, quelle heure est-il chez les bleus: t=4 ou t=1?

Manifestement du fait de leur vitesse infinie, les tachyons violent le sacro-saint principe de causalité (qui veut qu’une cause précède toujours son effet) et leur vitesse infinie en font des machines à retomber dans le temps avec toutes les boucles paradoxales que ça suppose (l’histoire du gars qui tue son arrière-grand-père, ce qui implique qu’il n’a pas pu naître donc pas pu tuer son aïeul qui n’est donc pas mort etc).
La démonstration vaut même si les tachyons ont une vitesse v supérieure à c qui n’est pas infinie. Il suffit de choisir la vitesse des fusées suffisamment grande pour violer le principe de causalité.

Prenons par exemple v=1.25c pour les tachyons et V=0.866c pour la fusée. Vu des bleus, entre le moment où ils tirent et celui où la fusée rouge est atteinte à la distance x, il s’écoule un délai t = x/v=0.8x/c (t et x sont tous deux positifs). Vu des rouges, le trajet des tachyons dure t’=2(t-0.866 x/c) = 2(0.8 – 0.866) x/c = -0.132 x/c.
Le fait que t’ est négatif signifie qu’aux yeux des rouges, leur fusée est endommagée avant que les bleus ne leur aient tiré dessus. Pour eux l’effet précède la cause.

Aucune particule ne peut donc aller plus vite que c à moins d’admettre qu’on peut violer le principe de causalité et remonter dans le temps. A ce propos, j’adore la raison pour laquelle un objet massif ne peut remonter dans le temps. Si par hasard il y parvenait, au moment où il atterrirait dans le passé, sa masse s’ajouterait à la quantité totale de matière contenue dans l’univers, violant alors le sacro-saint principe de conservation de cette masse totale (le fameux “rien ne se perd, rien ne se crée…”). Impossible!

Les neutrinos supraluminiques peuvent-ils définir “c”? NON!

Alors certes, on ne peut dépasser la vitesse c à moins de supposer certaines anomalies dans l’isotropie de l’espace par exemple. Mais rien ne dit pour l’instant que “c” correspond à la vitesse de la lumière dans le vide. Pourquoi c ne serait-il pas la vitesse de ces neutrinos supraluminiques par exemple? La raison en est que les seules particules autorisées à aller à la vitesse maximale c sont celles:
– qui ont une masse nulle
– qui ne peuvent que se déplacer à la vitesse c, sans jamais se reposer
– pour lesquelles le temps ne s’écoule pas (ça je vous le démontre pas sauf si vous le demandez).

La formule générale de l’énergie d’une particule vaut E = (1-V²/c²)-½ mc², V étant la vitesse de la particule par rapport au référentiel dans lequel on mesure son énergie. Lorsque la particule est au repos V=0 et on retrouve le fameux E=mc². Quand V=c, le seul cas où l’énergie reste définie correspond à m=0 donc à une particule de masse nulle. Réciproquement une particule de masse nulle n’a d’énergie que si elle va à la vitesse de la lumière.

Or on a déjà prouvé que les neutrinos ont une (toute petite) masse. Ils sont donc le maillon faible éliminés de la compétition pour la course à c. Les photons (qui transportent la lumière) sont par contre des prétendants très sérieux car terriblement balaises au concours weight-watcher. Certes il n’est pas démontré qu’ils ont une masse rigoureusement nulle mais on peut leur faire passer un tas d’épreuves pour vérifier que leur masse éventuelle ne peut dépasser certaines limites.

A la recherche de la masse perdue du photon
 Première épreuve (facile): les lois de l’électromagnétisme, celles que Maxwell a découvert vers 1870, prédisent qu’une onde électromagnétique se déplace à la vitesse limite c. Or toutes les mesures expérimentales ont jusqu’ici montré que c correspond justement la vitesse de la lumière dans le vide. Le photon passe donc avec succès les éliminatoires.

Deuxième épreuve (plus dur): si les photons avaient une masse, leur vitesse varierait légèrement selon que la source de lumière s’éloigne ou se rapproche de l’observateur. Dans une série d’expériences devenues célèbres vers 1880, Michelson et Morley démontrèrent que la vitesse de la lumière restait identique quelque soit la vitesse de sa source. C’est d’ailleurs ce résultat qui permit à la théorie de la relativité de gagner aussi vite ses galons. Bravo les photons!

Troisième épreuve (difficile): Si les photons avaient une masse, explique Feynman dans son cours sur la gravitation, leur vitesse varierait en fonction de leur énergie donc de leur longueur d’onde. La lumière bleue irait à une vitesse légèrement différente de la vitesse rouge. Lors de l’éclipse d’une étoile double on devrait donc observer l’éclipse bleue et l’éclipse rouge à des instants différents. Comme on n’a jamais rien observé de semblable, on en déduit que la masse du photon est inférieure à un milliardième de celle de l’électron. Quelle minceur!

Quatrième épreuve (très dur): Les mêmes observations faites sur les émissions de rayon X des pulsars permettent de tester une limite encore plus petite pour la masse du photon. Epreuve remportée haut la main par les photons, dont la masse est maintenant certifiée inférieure au milliardième de millionième de celle de l’électron!

Cinquième et dernière épreuve (pour l’instant): la physique quantique décrit chaque type de force fondamentale (gravitation, électromagnétique, force nucléaire forte et faible) comme un échange d’une certaine particule caractéristique. Le calcul montre que la portée d’une interaction décroît exponentiellement avec la masse de cette particule associée (c’est le potentiel de Yukawa si vous voulez faire chic). La gravitation dont la portée est infinie correspond donc nécessairement à une particule de masse nulle. La force électromagnétique, elle, est véhiculée par le photon, donc sa portée nous renseigne précisément sur la masse du photon. Ah ah! On ne rigole plus avec ce genre de test! Il se trouve que les rayons cosmiques qui nous arrivent du soleil, sont sensibles aux effets du champ magnétique terrestre alors qu’ils sont encore à plusieurs dizaines de milliers de kilomètres de la Terre. Une telle portée signifie que la masse du photon est inférieure à au moins 10-20 fois celle de l’électron! En toute rigueur, rien ne dit que l’on ne trouvera pas un jour une toute petite masse pour le photon, mais pour l’instant tous ceux qui ont essayé (Louis de Broglie par exemple) s’y sont cassé les dents. Aucune expérience n’a encore mis en défaut l’hypothèse d’une masse nulle pour le photon. C’est la raison pour laquelle on admet que la vitesse de la lumière dans le vide correspond à la vitesse limite c.

Et l’expérience OPERA donc?

Si les résultats d’Opera sont si étonnants, c’est donc qu’ils remettent en question non pas Einstein, mais pratiquement toute la physique du XXeme siècle! S’ils étaient confirmés il faudrait supposer des trucs hallucinants:

– l’espace pourrait ne pas être homogène dans toutes les directions (mais après tout pourquoi l’axe Italie-Suisse serait-il moins privilégié que l’axe Franco-Allemand?);
– le principe de causalité (“une cause précède toujours son effet”) aurait-il des failles?
– les photons ont-ils une masse? La vitesse de la lumière serait-elle variable en fonction de la longueur d’onde?

Ce ne serait donc pas un “petit accroc” à la théorie de la relativité, une anomalie marginale qu’on pourrait réparer avec un patch astucieux, mais une véritable révolution conceptuelle. On comprend pourquoi les chercheurs se sont montrés extrêmement prudents en publiant ces résultats…

Sources:
Wayne Throop: Why FTL implies time travel pour le duel de tachyons et une démonstration avec un diagramme de Minkowsky
Richard Feynman: Leçons sur la gravitation

Billets connexes:
La relativité lumineuse même sans la lumière

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Super-organismes

L’idée que les sociétés d’insectes comme les fourmis, les termites ou les abeilles sont comparables à des “super-organismes” n’est pas neuve. Dès 1926 le biologiste William Wheeler remarquait que la coopération entre les membres d’une colonie d’insecte est si poussée qu’elle la dote de tous les attributs d’un être vivant. Exactement comme un organisme constitué de cellules ayant chacune une vie propre, ne prend “corps” que grâce à l’extrême degré de coopération entre ces cellules. Mes histoires d’abeilles qui choisissent un nid m’a permis de mesurer à quel point dans un cas comme dans l’autre, le fonctionnement émergent n’a souvent pas grand rapport avec celui de ses constituants de base...

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